人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊學案3：§8 1　成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1§8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性學習目標1.結合實例，了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義.2.了解樣本相關系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關系.3.結合實例，會通過樣本相關系數(shù)比較多組成對樣本數(shù)據(jù)的相關性．知識梳理知識點一相關關系1．相關關系的定義：兩個變量有關系，但沒有確切到可由其中一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系．思考相關關系是函數(shù)關系嗎？2．相關關系的分類(1)按變量間的增減性分為相關和相關．①正相關：當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現(xiàn)的趨勢；②負相關：當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現(xiàn)的趨勢．(2)按變量間是否有線性特征分為相關和相關(曲線相關)．①線性相關：如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在附近，我們稱這兩個變量線性相關；②非線性相關或曲線相關：如果兩個變量具有相關性，但不是相關，我們稱這兩個變量非線性相關或曲線相關．知識點二相關關系的刻畫1．散點圖：為了直觀描述成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征，把每對成對樣本數(shù)據(jù)都用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖，叫做散點圖．2．樣本相關系數(shù)(1)我們常用樣本相關系數(shù)r來確切地反映成對樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)的相關程度，其中r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)\r(\i\su(i＝1,n,)(yi－\x\to(y))2)).(2)樣本相關系數(shù)r的取值范圍為．①若r>0時，成對樣本數(shù)據(jù)相關；②若r<0時，成對樣本數(shù)據(jù)相關；③當|r|越接近時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強；④當|r|越接近時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱．題型探究探究一變量間相關關系的判斷例1.有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點的數(shù)學方法；②利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關系是否可以用線性關系表示；③通過回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))可以估計觀測變量的取值和變化趨勢；④因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗．其中正確命題的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4反思感悟兩個變量是否相關的兩種判斷方法(1)根據(jù)實際經(jīng)驗：借助積累的經(jīng)驗進行分析判斷．(2)利用散點圖：通過散點圖，觀察它們的分布是否存在一定的規(guī)律，直觀地進行判斷．如果發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關的，注意不要受個別點的位置的影響．跟蹤訓練1.下面變量關系是相關關系的是()①學生的學習態(tài)度與學習成績之間的關系；②教師的執(zhí)教水平與學生的學習成績之間的關系；③學生的身高與學生的學習成績之間的關系；④家庭的經(jīng)濟條件與學生的學習成績之間的關系．A．①② B．①③C．②③ D．②④探究二樣本相關系數(shù)的性質例2.(多選)對兩個變量的樣本相關系數(shù)r，下列說法正確的是()A．|r|越大，相關程度越大B．|r|越小，相關程度越大C．|r|趨近于0時，沒有線性相關關系D．|r|越接近1時，線性相關程度越強反思感悟樣本相關系數(shù)的性質(1)r的絕對值越接近0，相關性越弱．(2)r的絕對值越接近1，相關性越強．跟蹤訓練2.對變量x，y有成對樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖圖1；對變量u，v有成對樣本數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖圖2.由這兩個散點圖可以判斷()A．變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關，u與v負相關C．變量x與y負相關，u與v正相關D．變量x與y負相關，u與v負相關探究三樣本相關系數(shù)的計算及應用例3.變量x，y的散點圖如圖所示，那么x，y之間的相關系數(shù)r的最接近的值為()A．1B．－0.5C．0D．0.5反思感悟線性相關強弱的判斷方法(1)散點圖：散點圖只是粗略作出判斷，其圖象越接近直線，相關性越強．(2)樣本相關系數(shù)：樣本相關系數(shù)能夠較準確的判斷相關的程度，其絕對值越大，相關性越強．跟蹤訓練3.下面的數(shù)據(jù)是從年齡在40歲到60歲的男子中隨機抽出的6個樣本，分別測定了心臟的功能水平y(tǒng)(滿分100)，以及每天花在看電視上的平均時間x(小時)．看電視的平均時間x4.44.62.75.80.24.6心臟功能水平y(tǒng)525369578965(1)求心臟功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時間x之間的樣本相關系數(shù)r；(2)求心臟功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時間x的線性回歸方程，并討論方程是否有意義；(3)估計平均每天看電視3小時的男子的心臟功能水平．課堂小結1．知識清單：(1)相關關系．(2)散點圖．(3)正相關、負相關、線性相關、非線性相關．(4)樣本相關系數(shù)．2．方法歸納：數(shù)形結合．3．常見誤區(qū)：相關關系與函數(shù)關系不分，樣本相關系數(shù)絕對值的大小與相關程度的關系．當堂檢測1.關于兩個變量x，y與其線性相關系數(shù)r，有下列說法：①若r>0，則x增大時，y也相應增大；②若|r|越趨近于1，則x與y的線性相關程度越強；③若r＝1或r＝－1，則x與y的關系完全對應(有函數(shù)關系)，在散點圖上各個散點均在一條直線上．其中正確的有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③2.甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量進行線性相關試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數(shù)r如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85則這四位同學的試驗結果能體現(xiàn)出A，B兩變量有更強的線性相關性的是()A．甲B．乙C．丙D．丁3.給定y與x是一組樣本數(shù)據(jù)，求得相關系數(shù)r＝－0.690，則()A．y與x的線性相關性很強B．y與x線性不相關C．y與x正線性相關D．y與x負線性相關4.一唱片公司研究預支出費用x(十萬元)與唱片銷售量y(千張)之間的關系，從其所發(fā)行的唱片中隨機抽選了10張，得到如下的資料：eq\i\su(i＝1,10,x)i＝28，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝303.4，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝75，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝598.5，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝237，則y與x的相關系數(shù)r的絕對值為________．5.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為________．6.若已知eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2是eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2的4倍，eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))是eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2的1.5倍，則相關系數(shù)r的值為________．▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁知識梳理知識點一相關關系1．思考〖答案〗不是．函數(shù)關系是唯一確定的關系．2．相關關系的分類(1)正負①增加②減少(2)線性非線性①一條直線②線性知識點二相關關系的刻畫2．樣本相關系數(shù)(2)－1,1〗①正②負③1④0題型探究探究一變量間相關關系的判斷例1.〖解析〗①反映的正是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點圖的作用，也正確．③解釋的是回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的作用，故也正確．④是不正確的，在求回歸方程之前必須進行相關性檢驗，以體現(xiàn)兩變量的關系．〖答案〗C跟蹤訓練1.〖解析〗①②是相關關系，③④是非相關關系．〖答案〗A探究二樣本相關系數(shù)的性質例2.〖答案〗AD〖解析〗對于A，|r|越大，相關程度越大，A正確；對于B，|r|越小，相關程度越小，B錯誤；對于C，|r|趨近于0時，線性相關關系越弱，C錯誤；對于D，|r|越接近1時，線性相關程度越強，D正確．綜上，正確的是AD.跟蹤訓練2.〖答案〗C〖解析〗由這兩個散點圖可以判斷，變量x與y負相關，u與v正相關．探究三樣本相關系數(shù)的計算及應用例3.〖答案〗C〖解析〗從散點圖中，我們可以看出，x與y沒有線性相關關系，因而r的值接近于0.跟蹤訓練3.解：n＝6，eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(4.4＋4.6＋…＋4.6)≈3.7167，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(52＋53＋…＋65)≈64.1667，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)－6eq\x\to(x)2＝(4.42＋4.62＋…＋4.62)－6×3.71672≈19.7668，eq\i\su(i＝1,6,y)eq\o\al(2,i)－6eq\x\to(y)2＝(522＋532＋…＋652)－6×64.16672≈964.8077，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi－6eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝(4.4×52＋4.6×53＋…＋4.6×65)－6×3.7167×64.1667≈－124.6302.(1)心臟功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時間x之間的相關系數(shù)：r＝eq\f(－124.6302,\r(19.7668×964.8077))≈－0.9025.(2)b＝eq\f(－124.6302,19.7668)≈－6.3050，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈87.6005，心臟功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時間x的線性回歸方程為y＝87.6005－6.3050x.由(1)知y與x之間有較強的線性關系，所以這個方程是有意義的．(3)將x＝3代入線性回歸方程y＝87.6005－6.3050x，可得y≈68.7，即平均每天看電視3小時，心臟功能水平約為68.7.當堂檢測1.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)相關系數(shù)的定義，變量之間的相關關系可利用相關系數(shù)r進行判斷：當r為正數(shù)時，表示變量x，y正相關；當r為負數(shù)時，表示兩個變量x，y負相關；|r|越接近于1，相關程度越強；|r|越接近于0，相關程度越弱．故可知①②③正確．2.〖答案〗D〖解析〗由相關系數(shù)的意義可知，相關系數(shù)的絕對值越接近于1，相關性越強，結合題意可知，丁的線性相關性更強，故選D.3.〖答案〗D〖解析〗因為|r|＝|－0.690|<0.75，所以y與x的線性相關性一般，又因為r＝－0.690<0，所以y與x負線性相關．4.〖答案〗0.3〖解析〗根據(jù)公式得相關系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2\i\su(i＝1,10,y)\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))＝eq\f(237－10×2.8×7.5,