專題12.28 添加輔助線構(gòu)造三角形全等的十四種方法（題型梳理與方法分類講解）（人教版）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題12.28添加輔助線構(gòu)造三角形全等的十四種方法（方法梳理與方法分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】幾何學(xué)是初中數(shù)學(xué)的重要部分，通過添加輔助線解決幾何問題是關(guān)鍵。作輔助線的原則要按照定義和基本圖形添輔助線，常用方法包括構(gòu)造全等三角形、按軸對稱作輔助線、構(gòu)造相似三角形等，還可以通過作底或高的輔助線等方法求面積。在解決全等三角形問題時(shí)，可以從結(jié)論、已知條件和條件和結(jié)論綜合考慮來構(gòu)造全等三角形，本專題共梳理出以下常用的幾種作輔助線構(gòu)造三角形全等的方法?！痉椒?】連接兩點(diǎn)構(gòu)造全等【方法2】作垂直構(gòu)造全等；【方法3】作平行線構(gòu)造全等；【方法4】延長相交補(bǔ)全圖形構(gòu)造全等；【方法5】構(gòu)造雙垂直等角全等；【方法6】倍長中線構(gòu)造全等；【方法7】截長補(bǔ)短構(gòu)造全等；【方法8】旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等；【方法9】連接兩點(diǎn)構(gòu)造全等拓展；【方法10】作垂直構(gòu)造全等延伸與拓展；【方法11】作平行線構(gòu)造全等拓展；【方法12】構(gòu)造雙垂直等角全等拓展；【方法13】延長相交構(gòu)造全等拓展；【方法14】截長補(bǔ)短構(gòu)造全等拓展.第二部分【題型梳理與方法點(diǎn)撥】【方法1】連接兩點(diǎn)構(gòu)造全等；【例1】（23-24八年級上·山東聊城·階段練習(xí)）已知，，求證：．【變式1】（2024·山東聊城·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，于點(diǎn)，且．若，則（）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級下·河南平頂山·期末）如圖，在中，，，將沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)處，折痕是，延長交邊于點(diǎn)M，若是的中點(diǎn)，則圖中的的度數(shù)為．【方法2】作垂直構(gòu)造全等；【例1】（22-23八年級上·全國·單元測試）如圖．(1)在四邊形中，與的面積相等，求證：直線必平分(2)寫出（1）的逆命題，并判斷這個(gè)命題是否正確，為什么【變式1】（23-24八年級上·重慶沙坪壩·期中）如圖，點(diǎn)是等腰的邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，則的值是（）A．4 B．5 C．8 D．16【變式2】（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，過點(diǎn)B作，且使得，連接AD．若，則的面積為．【方法3】作平行線構(gòu)造全等【例2】（23-24八年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在邊的延長線上，且．

(1)當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)（如圖1），則有______（填“”“”或“”）；(2)猜想如圖2，與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【變式1】（21-22八年級上·貴州黔西·期末）如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，過點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC至點(diǎn)Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長為（）A．1 B．1.8 C．2 D．2.5【變式2】如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長線上的一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．求讓：【方法4】延長相交補(bǔ)全圖形構(gòu)造全等；【例4】（22-23八年級上·云南紅河·期末）已知，是等腰直角三角形，，A點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，直角頂點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在x軸上方．(1)如圖1所示，若A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖2，過點(diǎn)C作軸于D，請直接寫出線段之間等量關(guān)系；(3)如圖3，若x軸恰好平分與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作軸于F，問與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【變式1】（23-24八年級上·重慶渝北·階段練習(xí)）如圖，在中，，，的平分線交于點(diǎn)D，，交的延長線于點(diǎn)E，若，則長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式2】（21-22七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，已知，平分，且，為上一點(diǎn)，，，則．【方法5】構(gòu)造雙垂直等角；【例5】D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN，DM，DN分別交BC，CA于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）當(dāng)∠MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證：DE=DF．（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積．【變式1】（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）在中，、是高，、相交于，，連接，，的面積為7．則的面積等于．【方法6】倍長中線構(gòu)造全等；【例6】（23-24八年級上·湖北省直轄縣級單位·期中）我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形．如圖，，，．回答下列問題：(1)求證：和是兄弟三角形．(2)取的中點(diǎn)，連接，試說明．小王同學(xué)根據(jù)要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線（點(diǎn)）倍延”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個(gè)問題．①請?jiān)趫D中通過作輔助線構(gòu)造，并證明．②求證：．【變式1】（2024·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·三模）生命中總有些節(jié)點(diǎn)，如同一條線段的中點(diǎn)，它既是過去與未來的交匯，也是靜默與喧囂的界碑．如圖，點(diǎn)D是的邊上的中線，，，則的取值范圍為（

）．

A． B．C． D．【變式2】（23-24七年級下·山東濟(jì)南·期末）如圖，中，為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接并延長交于．若，，，那么的長度為．【方法7】截長補(bǔ)短構(gòu)造全等；【例7】（23-24八年級上·江西南昌·期中）綜合與實(shí)踐問題提出如圖1，在中，平分，交于點(diǎn)D，且，則，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．方法運(yùn)用

（1）我們可以通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形來解題．如圖2，延長至點(diǎn)E，使得，連接，……，請判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系并補(bǔ)充完整解題過程．（2）以上方法叫做“補(bǔ)短法”．我們還可以采用“截長法”，即通過在上截取線段構(gòu)造全等三角形來解題．如圖3，在線段上截取，使得①______，連接②______．請補(bǔ)全空格，并在圖3中畫出輔助線．延伸探究（3）小明發(fā)現(xiàn)“補(bǔ)短法”或“截長法”還可以幫助我們解決其他多邊形中的問題．如圖4，在五邊形中，，，，若，求的度數(shù)．【變式1】（19-20八年級上·湖北黃岡·期中）如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長與AD+BC的大小關(guān)系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．無法確定【變式2】（20-21七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，，，，且AE=AB，連接交的延長線于點(diǎn)，，則．【方法8】旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等；【例8】（22-23八年級上·湖北孝感·期中）已知：，，．(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請說明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）【變式1】（21-22九年級上·湖北·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，E為直線上方的一點(diǎn)，且滿足，連接，以為腰，A為直角頂點(diǎn)作等腰，連接，當(dāng)最大，且最大值為時(shí)，則．【變式2】（22-23八年級上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖所示，且，為直角三角形，，已知，，則四邊形的面積為（

）A． B．15 C． D．20【方法9】連接兩點(diǎn)構(gòu)造全等拓展；【例9】已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，CE，CE⊥AE，過點(diǎn)B作BD⊥AE，交AE的延長線于D．

（1）如圖1，求證BD=AE；（2）如圖2，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，分別連接EH，DH，求∠EDH的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)M為CH上的一點(diǎn)，連接EM，點(diǎn)F為EM的中點(diǎn)，連接FH，過點(diǎn)D作DG⊥FH，交FH的延長線于點(diǎn)G，若GH：FH=6：5，△FHM的面積為30，∠EHB=∠BHG，求線段EH的長．【變式1】（23-24八年級上·安徽馬鞍山·期末）如圖，已知，，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，，上兩點(diǎn)，，．下面能表示最小值的線段是（

）A．線段 B．線段 C．線段 D．線段【變式2】（23-24七年級下·遼寧丹東·期中）如圖，在中，，的角平分線，相交于點(diǎn)P，過P作交的延長線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論①；②；③；④；⑤，正確的序號是．【方法10】作垂直構(gòu)造全等延伸與拓展；【例10】（23-24八年級上·福建莆田·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，，．

(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)．①求三角形的面積；②在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使與全等？若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式1】如圖，AOOM，OA=8，點(diǎn)B為射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以O(shè)B、AB為直角邊，B為直角頂點(diǎn)，在OM兩側(cè)作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，連接EF交OM于P點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在射線OM上移動(dòng)時(shí)，PB的長度是(

)A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的長度隨B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化【變式2】（22-23八年級上·湖北宜昌·期中）如圖所示，平分，，于點(diǎn)，，，那么的長度為．【方法11】作平行線構(gòu)造全等拓展；【例11】（20-21八年級上·浙江·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)，點(diǎn)Q在x軸的負(fù)半軸上，且分別以、為腰，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)在第一、第二象限作等腰、等腰，連接交y軸于P點(diǎn)，則的值為．【變式1】（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖所示，中，，M、N分別為、上動(dòng)點(diǎn)，且，連、，當(dāng)最小時(shí)，（）．A．2 B． C． D．1【變式2】（20-21八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，等邊△ABC，D為CA延長線上一點(diǎn)，E在BC邊上，且AD＝CE，連接DE交AB于點(diǎn)F，連接BD，若∠BFE＝45°，△DBE的面積為2，則DB＝．【方法12】構(gòu)造雙垂直等角全等拓展；【例12】在中，，點(diǎn)是射線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，那么度；(2)設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，時(shí)，請你探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，時(shí)，請將圖3補(bǔ)充完整，并直接寫出此時(shí)與之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．【變式1】如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，則四邊形ABCD的面積為．【變式2】（22-23八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)B、A分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，，則等于（

）A．8 B．9 C．10 D．11【方法13】延長相交構(gòu)造全等拓展；【例13】（20-21八年級上·湖北武漢·期中）如圖，△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分線交于點(diǎn)O，若AB＝OC﹣AC，∠OCA＝x，其中60°＜x＜90°，則∠OAC的度數(shù)是°．（用含x的式子表示）【變式1】如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分線AP和∠ACB外角的平分線CF相交于點(diǎn)D，AD交CB于點(diǎn)P，CF交AB的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥CF交CB的延長線于點(diǎn)G，交AB的延長線于點(diǎn)E，連接CE并延長交FG于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正確的有（）A．①②④ B．①②③ C．①②④⑤ D．①②③⑤【變式2】如圖，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,連CD,下列結(jié)論:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2S△CDB；④AB=3CD,其中正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【方法14】截長補(bǔ)短構(gòu)造全等拓展.【例14】（23-24八年級上·貴州遵義·期末）在中，，點(diǎn)E為上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)