專題13.12 軸對(duì)稱（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題13.12軸對(duì)稱（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】軸對(duì)稱1.軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱（1）軸對(duì)稱圖形

如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.（2）軸對(duì)稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么它們的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.（3）軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別:軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱；如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.【知識(shí)點(diǎn)二】作軸對(duì)稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形；（2）對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.【知識(shí)點(diǎn)三】等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等邊”）.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求值【例1】（2024八年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P在四邊形的內(nèi)部，且點(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱，交于點(diǎn)G，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于對(duì)稱，交于點(diǎn)H，分別交于點(diǎn)．

（1）連接，若求的周長(zhǎng)；（2）若，求的度數(shù)．【答案】(1)12cm(2)134°【分析】本題主經(jīng)考查了軸對(duì)稱與多邊形綜合．熟練掌握軸對(duì)稱性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和公式，是解決問題的關(guān)鍵．n邊形內(nèi)角和公式．（1）根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)得到，，，得到的周長(zhǎng)等于線段的長(zhǎng)度，為．（2）根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)得到，，，，，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為與，得到，根據(jù)五邊形內(nèi)角和為，得到．解：（1）如圖，∵點(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱，

∴，∵點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于對(duì)稱，∴，∵，∴的周長(zhǎng)為．（2）解：∵點(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱，∴，即，∵點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于對(duì)稱，∴，即，∵，，∴，∵，∴．【變式1】（23-24七年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖，四邊形中，，將沿著折疊，使點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造四邊形，解題時(shí)注意：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．連接，，過作于，依據(jù)，，即可得出，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)，即可得到．解：如圖，連接，過作于，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在上，垂直平分，，，，，又，，，又，，故選：D．【變式2】（22-23八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，．【答案】36【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，證明，利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程求解即可．解：與關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，，，，，故答案為：36．【題型2】利用折疊的特征求值【例2】（23-24七年級(jí)下·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在長(zhǎng)方形紙片中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，四邊形沿翻折得到四邊形且點(diǎn)恰好落在邊上；將沿折疊得到且點(diǎn)恰好落在邊上．（1）若則．（2）若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，熟練用折疊的性質(zhì)進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則可得，根據(jù)列方程，即可解答；（2）根據(jù)可求得，再求出和，利用折疊的性質(zhì)即可得到，即可解答．解：（1）四邊形沿翻折得到四邊形且點(diǎn)恰好落在邊上，，設(shè)，則可得，根據(jù)可得，解得，故答案為：；（2）解：在中，∵，，，∵點(diǎn)恰好落在邊BC上，．，，，由折疊的性質(zhì)，知．【變式1】（23-24九年級(jí)上·山東棗莊·開學(xué)考試）如圖，四邊形為一矩形紙帶，點(diǎn)分別在邊上，將紙帶沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，若，則的度數(shù)為（

）?A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，由可得，再利用折疊的性質(zhì)求得的度數(shù)，然后利用平行線性質(zhì)即可求得答案，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：∵，∴，由折疊性質(zhì)可得，，∵，∴，故選：．【變式2】（2024八年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在和中，相交于點(diǎn)E，．將沿折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)處，若，則的大小為．【答案】【分析】本題主要考查了翻折變換（折疊問題），全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．證明，得，然后由翻折的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．解：在和中，，∴，∴，∴，由翻折可知：，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【題型3】線段垂直平分線的性質(zhì)與判定求值【例3】（23-24八年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，是的角平分線，分別是和的高．（1）試說明垂直平分；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見解析(2)4【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的判定等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．（1）利用角平分線的性質(zhì)證明，證明，則，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)列式計(jì)算即可．解：（1）證明：∵是的角平分線，分別是和的高．∴，在與中，，∴，∴，∵，∴垂直平分；（2）解：∵，∴，∵，∴．【變式1】（23-24八年級(jí)上·四川巴中·期末）如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)、，作直線，交于點(diǎn)，連接．若，，則的周長(zhǎng)為（

）A．12 B．14 C．19 D．26【答案】C【分析】由作圖可知，是線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得，通過等量代換即可求解，本題考查了垂直平分線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：從作圖方法中識(shí)別出垂直平分線的作法．解：由題意可得，是線段的垂直平分線，，，故選：．【變式2】（23-24九年級(jí)上·重慶·期末）如圖在中，D為中點(diǎn)，，，交于F，，，則的長(zhǎng)為．【答案】10【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等；連接，過點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由線段垂直平分線的性質(zhì)得，由角平分線的性質(zhì)得，由得由全等三角形的性質(zhì)得，同理可得，即可求解；掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，能根據(jù)題意作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．解：如圖，連接，過點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，為中點(diǎn)，，，，，，，，，在和中，，（），，同理可得：，，，，解得：，，故答案：．【題型4】利用等腰三角形的性質(zhì)與判定求值或證明【例4】（2024八年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，，，是邊上的中線，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，．（1）求證：；（2）試判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)等邊三角形，見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，，進(jìn)而根據(jù)，得出，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；（2）根據(jù)是的垂直平分線，得出，根據(jù)等邊對(duì)等角得出，進(jìn)而得出，可得是等邊三角形.（1）證明：∵，，是邊上的中線，∴，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）結(jié)論：是等邊三角形．∵垂直平分線段，∴，∵，∴，∴，又∵，，是邊上的中線，∴，∴，∴是等邊三角形．【變式1】（23-24八年級(jí)上·湖南株洲·期末）在中，，，則是（

）A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的判定，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出即可判斷．解：在中，，，∴，∴是等腰三角形，故選：B．【變式2】（23-24八年級(jí)上·重慶沙坪壩·期末）如圖，在中，，，于點(diǎn)E，若，的周長(zhǎng)為10，則的長(zhǎng)為．【答案】3【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知可得，從而可得，然后利用等腰三角形三線合一性質(zhì)計(jì)算解答．解：，且的周長(zhǎng)為10，，，，，，，，，．故答案為：3．【題型5】利用等邊三角形的性質(zhì)與判定求值或證明【例5】（2024八年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，已知中，，于D，的平分線分別交，于E、F．（1）試說明是等腰三角形．（2）若點(diǎn)E恰好在線段的垂直平分線上，試說明線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)條件，，可證出，，再根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得到，再利用三角形的外角性質(zhì)可得到，最后利用等角對(duì)等邊即可得出答案；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由是的平分線，得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）∵點(diǎn)E恰好在線段的垂直平分線上，∴，∴，∵是的平分線，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】此題主要考查了直角三角形綜合，熟練掌握直角三角形性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24八年級(jí)上·福建福州·期末）如果為三角形的三邊長(zhǎng)，且滿足，那么該三角形的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．不等邊三角形 D．無法確定【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形和等邊三角形的判定，掌握等腰三角形和等邊三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．根據(jù)得到或或或，從而可以判定該三角形的形狀．解：∵，∴或或或，解得或或或，∴該三角形的形狀為等腰三角形或等邊三角形，故選：D．【變式2】（23-24九年級(jí)上·河北邯鄲·期末）如圖1，和是等邊三角形，連接，交于點(diǎn)F．（1）的值為；（2）的度數(shù)為.【答案】160【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，，再由，得出，利用可證得，從而可得出結(jié)論；（2）由，可得，再根據(jù)，結(jié)合三角形內(nèi)角和即可求解．解：（1）∵和是等邊三角形，∴，，，∵，∴，∴，∴，則，故答案為：1；（2）由，可得，∵，，∴，∴，故答案為：60．【題型6】利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊一半求值或證明【例6】（2024八年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）在中，，是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，平分．（1）求證：平分；（2）過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：；（3）是什么三角形？證明你的猜想．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)是等腰直角三角形，證明見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，由余角的性質(zhì)得到，等量代換得到，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)，，得到，由平行線的性質(zhì)得到，由于，于是得到，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)，，于是得到，由，推出是等腰直角三角形．（1）證明：中，，是邊的中點(diǎn)，，，，，，，，平分，，，即，平分；（2）證明：，，，，，，；（3）解：是等腰直角三角形，，，，，是等腰直角三角形．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，中，，于點(diǎn)D，若，則的長(zhǎng)度為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用“在直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”是解題的關(guān)鍵．由含角的直角三角形的性質(zhì)可分別求得和的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)．解：∵在中，，∴，∵，∴，∴在中，，∴在中，，∴．故選：C．【變式2】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，，是的平分線，垂直平分，若，則．【答案】6【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)、所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．由角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)可求得，在中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求得，則可得出的長(zhǎng)．解：垂直平分，，，平分，，，，，，．故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在中，是的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，且．下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A．的垂直平分線一定與相交于點(diǎn)B．C．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，是等邊三角形D．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，【答案】D【分析】連接，根據(jù)，點(diǎn)是的中點(diǎn)得，則，進(jìn)而得點(diǎn)在線段的垂直平分線上，由此可對(duì)選項(xiàng)Ａ進(jìn)行判斷；設(shè)，根據(jù)得，的，再根據(jù)得，則，由此可對(duì)選項(xiàng)Ｂ進(jìn)行判斷；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，則，是線段的垂直平分線，由此得，然后根據(jù)，，得，由此可對(duì)選項(xiàng)Ｃ進(jìn)行判斷；連接并延長(zhǎng)交于，根據(jù)是等邊三角形得，則，進(jìn)而得，，由此得，，由此可對(duì)選項(xiàng)Ｄ進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．解：連接，如圖1所示：

，點(diǎn)是的中點(diǎn)，為斜邊上的中線，，，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，即線段的垂直平分線一定與相交于點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；設(shè)，，，，，，，即，故選B正確，不符合題意；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，則，，是線段的垂直平分線，，，，，，，是等邊三角形，故選C正確，不符合題意；連接，并延長(zhǎng)交于，如圖2所示：

當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)三角形三條中線交于一點(diǎn)得：點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，是等邊三角形，，，平分，平分，，，在中，，，，，，，故選項(xiàng)D不正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)撥】此題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【例2】（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，AD是高，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，再分別以B、E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部交于點(diǎn)F，作射線，則．【答案】/10度【分析】本題主要考查角平分線