專題12.18 構(gòu)造三角形全等方法-截長補(bǔ)短和倍長中線（精練）（專項(xiàng)練習(xí)）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（人教版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題12.16三角形全等幾何模型（半角模型）（精選精練）（專項(xiàng)練習(xí)）1．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，已知是的中線，且．求證：．2．在四邊形中，，點(diǎn)E在DC上，AE平分，BE平分（1）判定△AEB的形狀，并說明理由.（2）求證：3．（22-23八年級上·河北保定·期中）如圖，點(diǎn)E在的中線的延長線上，且．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍；（3）若，求證：是直角三角形．4．如圖，，，，直線過點(diǎn)交于，交于點(diǎn)．求證：．5．（22-23八年級上·河南信陽·期中）如圖，某村莊有一塊五邊形的田地，，，連接對角線，，．（1），與之間的數(shù)量關(guān)系是____________．（2）為保護(hù)田內(nèi)作物不被牲畜踩踏，村里決定給這塊田地的五邊上圍一圈木柵欄，已知每米木柵欄的建造成本是50元，則建造木柵欄共需花費(fèi)多少元？（提示：延長至點(diǎn)，使）（3）在和區(qū)域種上小麥，已知每平方米田地的小麥播種量為克，請直接寫出需提前準(zhǔn)備多少千克的小麥種．6．（23-24八年級·江蘇·假期作業(yè)）如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)O，求證：．

7．（20-21七年級下·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，、分別平分、，交于E點(diǎn)．（1）如圖1，求的度數(shù)．

（2）如圖2，過點(diǎn)E的直線分別交、于B、C，猜想、、之間的存在的數(shù)量關(guān)系：_______．

（3）試證明（2）中的猜想．8．（22-23八年級上·重慶江津·階段練習(xí)）如圖，在中，，是的中線，．

（1）若，，則的取值范圍是______；（2）求證：；（3）求證：．9．（23-24八年級上·山西長治·期中）如圖，，分別是的中線和高，是的角平分線

（1）若，求的度數(shù)．（2）若，求中線長的取值范圍．10．（23-24八年級上·遼寧鐵嶺·期中）如圖，交于，交于平分平分，直線經(jīng)過點(diǎn)并與分別交于點(diǎn)．

（1）如圖①，求證：；（2）如圖②，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明：若不成立，直接寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系．11．（22-23八年級上·山西朔州·期末）（1）問題背景：如圖①：在四邊形中，，，．E、F分別是、上的點(diǎn)且．探究圖中線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點(diǎn)，使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是___________；（2）探索延伸：如圖②，若在四邊形中，，．分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由；（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以海里/小時(shí)的速度前進(jìn)小時(shí)后，甲、乙兩艦艇分別到達(dá)處，此時(shí)在指揮中心觀測到兩艦艇之間的夾角為，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．12．（23-24八年級上·浙江杭州·期中）（1）【教材呈現(xiàn)】以下是某數(shù)學(xué)教材某頁的部分內(nèi)容（請?zhí)顚憴M線中的依據(jù)）：例4、如圖，在中，D是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)C畫直線，使，交的延長線于點(diǎn)E，求證：．

證明：∵（已知），∴，．∵D為邊中點(diǎn)，∴．在與中，∵，∴（）∴（）

（2）【方法應(yīng)用】如圖①，在中，，，則邊上的中線長度的取值范圍是．（3）【猜想證明】如圖②，在四邊形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若是的平分線，試猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

13．（23-24八年級上·福建莆田·期中）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，老師提出了如下問題：如圖1，已知中，是邊上的中線．求證：．智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長至，使，∵是邊上的中線，∴在和中，∴（依據(jù)一）∴，在中，（依據(jù)二）∴．任務(wù)一：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：______________________________________________；依據(jù)2：______________________________________________．歸納總結(jié)：上述方法是通過延長中線，使，構(gòu)造了一對全等三角形，將轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，進(jìn)而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．任務(wù)二：如圖3，，則的取值范圍是_____________；任務(wù)三：如圖，中，，D為中點(diǎn)，求證：．14．（23-24八年級上·江蘇·期末）如圖，在中．是邊上的中線，交于點(diǎn)．（1）如下圖，延長到點(diǎn)，使，連接．求證：．（2）如下圖，若，試探究與有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如下圖，若是邊上的中線，且交于點(diǎn)．請你猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．15．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）（1）如圖①，在中，若，，為邊上的中線，求的取值范圍；（2）如圖②，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，判斷與的大小關(guān)系并證明；（3）如圖③，在四邊形中，，與的延長線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若是的角平分線．試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．16．（23-24八年級上·廣西北?！て谀┌四昙墧?shù)學(xué)課外興趣小組活動時(shí)，老師提出了如下問題：如圖，中，若，，求邊上的中線的取值范圍小紅在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點(diǎn)，使，請根據(jù)小紅的方法思考作答：（1）由已知和作圖能得到的理由是______；A．

B．

C．

D．（2）求得的取值范圍是______；A．

B．

C．

D．（3）歸納總結(jié)：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中完成上題之后，小紅善于探究，她又提出了如下的問題，請你解答．如圖，在中，點(diǎn)在上，且，過作，且求證：平分．17．（23-24八年級上·江西南昌·期中）綜合與實(shí)踐問題提出如圖1，在中，平分，交于點(diǎn)D，且，則，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．方法運(yùn)用

（1）我們可以通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形來解題．如圖2，延長至點(diǎn)E，使得，連接，……，請判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系并補(bǔ)充完整解題過程．（2）以上方法叫做“補(bǔ)短法”．我們還可以采用“截長法”，即通過在上截取線段構(gòu)造全等三角形來解題．如圖3，在線段上截取，使得①______，連接②______．請補(bǔ)全空格，并在圖3中畫出輔助線．延伸探究（3）小明發(fā)現(xiàn)“補(bǔ)短法”或“截長法”還可以幫助我們解決其他多邊形中的問題．如圖4，在五邊形中，，，，若，求的度數(shù)．18．（23-24七年級下·四川成都·期中）在的高、交匯點(diǎn)，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖1，求的度數(shù)；（3）如圖2，延長到點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，探究線段、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．19．（22-23七年級下·山東青島·期末）為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時(shí)，小麗在組內(nèi)