專題12.20 角平分線相關(guān)的幾何模型（精練）（專項(xiàng)練習(xí)）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)專題12.20角平分線相關(guān)的幾何模型（精選精練）（專項(xiàng)練習(xí)）1．已知：中，為的中點(diǎn)，平分于，連結(jié)，若，求的長(zhǎng)．2．（23-24八年級(jí)上·遼寧撫順·階段練習(xí)）如圖，已知平分，點(diǎn)E，D分別為垂足，．求證：．3．（23-24八年級(jí)上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）如圖，，，為垂足，，為垂足，，相交于點(diǎn)，連接，求證：(1)；(2)平分．4．（22-23八年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）如圖，平分，為上一點(diǎn)，，，垂足分別為，，連接，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．5．（23-24八年級(jí)下·重慶開(kāi)州·階段練習(xí)）已知：如圖，中，為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于．（1）使用尺規(guī)完成基本作圖：作的角平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）（2）求證：．證明：，①_________，平分，，②_________，，，③_________，④_________，又，在和中⑤_________，．6．（2019九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，，平分，交于，于，求證：.7．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求證：BE=AD．8．（20-21七年級(jí)下·四川成都·期末）（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．9．（20-21八年級(jí)上·北京順義·期末）已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．10．（22-23七年級(jí)下·山西運(yùn)城·期末）閱讀與思考下面是小明同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)您仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：構(gòu)造全等三角形解決圖形與幾何問(wèn)題在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，常常會(huì)遇到一些問(wèn)題無(wú)法直接解答，需要添加輔助線才能解決．比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過(guò)延長(zhǎng)垂線段與三角形的一邊相交構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．例：如圖1，是內(nèi)一點(diǎn)，且平分，，連接，若的面積為10，求的面積．

該問(wèn)題的解答過(guò)程如下：解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，、交于點(diǎn)，

平分，．，．在和中，，（依據(jù)1）（依據(jù)2），，，．……任務(wù)一：上述解答過(guò)程中的依據(jù)1，依據(jù)2分別是___________，___________；任務(wù)二：請(qǐng)將上述解答過(guò)程的剩余部分補(bǔ)充完整；應(yīng)用：如圖3，在中，，，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．

11．（22-23八年級(jí)上·湖北孝感·期中）如圖，在四邊形中，與交于點(diǎn)，平分，平分，．

（1）求的度數(shù)；（2）求證：．12．（22-23八年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知：平分，點(diǎn)、都是上不同的點(diǎn)，，，垂足分別為、，連接、．求證：(1)．(2)．13．（18-19七年級(jí)下·河南鄭州·期末）如圖，在中，請(qǐng)按要求用尺規(guī)作出下列圖形（不寫作法，但要保留作圖痕跡），并填空．

作出的平分線交于點(diǎn)；作交于點(diǎn)平行依據(jù)是_______；的度數(shù)為．14．（22-23八年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖所示，，在兩邊上且，是內(nèi)部的一條射線且于點(diǎn)，（1）求證平分；（2）分別作和的平分線，相交于，求證P同時(shí)也在的平分線上．15．（23-24八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，是的角平分線，分別是和的高，求證：垂直平分．16．（20-21八年級(jí)上·河北滄州·階段練習(xí)）已知：點(diǎn)P為∠AOB的角平分線的任意一點(diǎn)，∠EPF與∠AOB互補(bǔ)，∠EPF的兩邊與∠AOB的兩邊交于E、F兩點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)∠EPF繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，PE和PF的數(shù)量關(guān)系是_________，請(qǐng)驗(yàn)證你的結(jié)論．

（2）如圖2，若∠AOB=90°時(shí)，∠EPF與∠AOB仍然互補(bǔ)，這時(shí)PE與PF還相等嗎？并加以證明．

17．（20-21八年級(jí)上·湖北武漢·期末）（1）模型：如圖1，在中，平分，，，求證：．（2）模型應(yīng)用：如圖2，平分交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：．（3）類比應(yīng)用：如圖3，平分，，，求證：．18．（20-21八年級(jí)上·安徽淮南·期中）利用角平分線構(gòu)造“全等模型”解決問(wèn)題，事半動(dòng)倍．（1）尺規(guī)作圖：作的平分線．【模型構(gòu)造】（2）填空：①如圖．在中，，是的角平分線，則______．（填“”、“”或“”）方法一：巧翻折，造全等在上截取，連接，則．②如圖，在四邊形中，，，和的平分線，交于點(diǎn)．若，則點(diǎn)到的距離是______．方法二：構(gòu)距離，造全等過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，則．【模型應(yīng)用】（3）如圖，在中，，，是的兩條角平分線，且，交于點(diǎn)．①請(qǐng)直接寫出______；②試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．19．（22-23七年級(jí)下·上海浦東新·期末）如圖，是的角平分線，為上任意一點(diǎn)，于，于．

（1）垂線段、是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖，在中，是的角平分線，于，于，若，，求的值；（3）如圖，在中，是的外角平分線，交的延長(zhǎng)于點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求與的數(shù)量關(guān)系．20．（22-23八年級(jí)上·湖北隨州·期中）如圖，中，點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線上，，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，且．

（1）求證：平分；（2）直接寫出的度數(shù)______；（3）若，，且，求的面積．參考答案：1．【分析】延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)E.根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)得CG=EG，AE=AC,再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出DG=BE=（AB-AC），從而得出的長(zhǎng)．【詳解】解：延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)E．AG平分，于，，，，∵，為的中點(diǎn)，．故答案為.【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用三角形中位線定理求解是解題的關(guān)鍵．2．詳見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)得到，然后證明，從而得到，能根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答是解此題的關(guān)鍵．【詳解】∵平分，∴，在和中，，∴，∴．3．(1)詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理（1）根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定證明即可；（2）根據(jù)角平分線的判定定理證明即可．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，，；（2）證明：，，，平分．4．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．（1）依據(jù)，，可得，，即可根據(jù)得到；（2）依據(jù)可得，再依據(jù)，，可利用證明，即可得到，進(jìn)而得出．【詳解】（1）證明：，，平分，，，在和中，，；（2）解：由（1）知，，又，在和中，，，，，，．5．(1)見(jiàn)詳解(2)①③④⑤【分析】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)．（1）利用基本作圖作的平分線即可；（2）先利用等腰直角三角的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，則，接著根據(jù)等角的余角相等得到，于是可判斷，從而得到．【詳解】（1）解：如圖，為所作；（2）求證：．證明：，平分，，，，又，在和中，．故答案為：①③④⑤6．詳見(jiàn)解析【分析】延長(zhǎng)BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，繼而證得AE=EN，則可證得結(jié)論．【詳解】延長(zhǎng)BD至N，使DN=BD，連接AN．∵AD⊥BE，∴AD垂直平分BN，∴AB=AN，∴∠N=∠ABN，又∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，∴∠ABN=∠NBC=∠C，∴∠NBC=∠C，∴AN∥BC，∴∠C=∠NAC，∴∠NAC=∠N，∴AE=EN，∵BE=EC，∴AC=BN=2BD．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、線段垂直平分線的性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．見(jiàn)解析.【分析】延長(zhǎng)AC、BE交于F，首先由ASA證明△AEF≌△AEB，得到BE=BF，然后再次通過(guò)ASA證明△ACD≌△BCF，得到AD=BF，問(wèn)題得解.【詳解】證明：延長(zhǎng)AC、BE交于F，∵∠1=∠3，BE⊥AE，在△AEF和△AEB中，，∴△AEF≌△AEB(ASA)，∴FE=BE，∴BE=BF，∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，∴∠1=∠2，在△ACD和△BCF中，，∴△ACD≌△BCF（ASA），∴AD=BF，∴BE=AD.【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，兩次證明全等是解題關(guān)鍵，也考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，有一定的難度．8．（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解；（3）AE=13【分析】（1）由題意易得∠AOD=∠BOD，然后易證△AOD≌△BOD，進(jìn)而問(wèn)題可求證；（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，由題意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，則有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，則根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，進(jìn)而問(wèn)題可求證；（3）在AE上分別截取AF=AB，EG=ED，連接CF、CG，同理（2）可證△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，則有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，進(jìn)而可得△CFG是等邊三角形，最后問(wèn)題可求解．【詳解】證明：（1）∵射線OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分別截取AF=AB=9，EG=ED=1，連接CF、CG，如圖所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C為BD邊中點(diǎn)，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等邊三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線證明三角形全等．9．AC+BD=AB，理由見(jiàn)見(jiàn)解析【分析】在BA上截取BF=BD，連接EF，先證得，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，從而證得，可得AF=AC，即可求解．【詳解】解：AC+BD=AB，證明如下：在BA上截取BF=BD，連接EF，如圖所示：∵AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，在△BEF和△BED中，，∴（SAS），∴∠BFE=∠D，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，在△AEF和△AEC中，，∴（AAS），∴AF=AC，∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．任務(wù)一：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（或角邊角或），全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；任務(wù)二：見(jiàn)解析；應(yīng)用：12【分析】任務(wù)一：根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)即可得到答案；任務(wù)二：先推出，得出，，進(jìn)而可得，即可得到答案；應(yīng)用：延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，先推出，得到，進(jìn)而可得，再推出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：任務(wù)一：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（或角邊角或ASA），全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；任務(wù)二：……，，；應(yīng)用：延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，

平分，，，，在和中，，，，，，，在和中，，．【點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．11．(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由四邊形內(nèi)角和性質(zhì)求得．再由角平分線定義可得，，最后由三角形內(nèi)角和性質(zhì)得到結(jié)論；（2）作的平分線交于，證明，再由全等三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）在四邊形中，，又∵，∴．∵平分，平分，∴，，∴．在中，．（2）．如圖，作的平分線交于．則．

在和中，，．∴．同理，．∴【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用角平分線的定義和垂直的定義得到，，則可根據(jù)證明；（2）先由得到，則可根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，然后可根據(jù)判斷，從而得到結(jié)論．【詳解】（1）解：證明：平分，，，，，在和中，；（2），，在和中，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．13．（1）見(jiàn)解析；（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；（3）84°【分析】（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖法，即可求解；（2）根據(jù)平行線的判定定理，尺規(guī)作∠CDE=∠BCD，即可求解；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可求解．【詳解】（1）如圖所示：射線即為所求；（2）如圖所示：直線即為所求；由尺規(guī)作圖得：∠EDC=∠BCD，∴，故答案是：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；（3）∵，∴∠ACB=180°-62°-74°=44°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACB=22°，∴∠BDC=180°=74°-22°=．故答案是：

【點(diǎn)撥】本題主要考查尺規(guī)作圖，平行線的判定定理以及三角形內(nèi)角和定理，掌握尺規(guī)作角平分線，尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，是解題的關(guān)鍵．14．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及，證得，即可得出結(jié)論（2）過(guò)P作，，，利用角平分線的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得，再利用角平分線的逆定理即可得結(jié)論．【詳解】（1），，，在和中，平分；（2）如圖：過(guò)P作，，，，平分，平分，，，，點(diǎn)P在的平分線上．平分，點(diǎn)P在的平分線上．15．見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用．根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，證明，推出，再證明即可．【詳解】證明：設(shè)的交點(diǎn)為K，∵平分，，，∴，在和中，∴，∴，在和中，∴，∴，∴垂直平分線段．16．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)論：PE=PF；作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．只要證明△OPG≌△OPH，△PGE≌△PHF，即可解決問(wèn)題；（2）結(jié)論：PE=PF；作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．只要證明△OPG≌△OPH，△PGE≌△PHF，即可解決問(wèn)題；【詳解】解：（1）PE=PF，理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．在△OPG和△OPH中，，∴△OPG≌△OPH，∴PG=PH，∵∠AOB=50°，∠PGO=∠PHO=90°，∴∠GPH=130°，∵∠EPF=130°，∴∠GPH=∠EPF，∴∠GPE=∠FPH，在△PGE和△PHF中，，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF．

（2）PE=PF；理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．∵∠PGO=∠GOH=∠PHO=90°，∴∠HPG=∠EPF=90°，∴∠EPG=∠FPH，∵OC平分∠AOB，PG⊥OA，PH⊥OB，∴∠POG=∠POH，在△OPG和△OPH中，，∴△OPG≌△OPH，∴PG=PH，在△PGE和△PHF中，，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF．

【點(diǎn)撥】本題考查幾何變換綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用兩次全等三角形解決問(wèn)題．17．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；【分析】（1）由題意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，根據(jù)題意可證△ACD≌△AED，從而可求出，，即可求解；（3）延長(zhǎng)BE至M，使EM=DC，連接AM，根據(jù)題意可證△ADC≌△AEM，故而得出AE為∠BAM的角平分線，即，即可得出答案；【詳解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，∵，，∴：=AB：AC；（2）如圖，在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴，∴，∴AB：AC=BD：CD；（3）如圖延長(zhǎng)BE至M，使EM=DC，連接AM，∵∠D+∠AEB=180°，又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，在△ADC與△AEM中，，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE為∠BAM的角平分線，故，∴BE：CD=AB：AC；【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、以及三角形的面積的應(yīng)用，正確掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；18．（1）見(jiàn)解析；（2）①；②6；（3）①120°；②，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）直接利用角平分線的作法作圖即可；（2）①根據(jù)三角形的性質(zhì)：大邊對(duì)大角即可解答；②如圖：過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，利用角平分線的性質(zhì)證得BE=EF=EC,即E為BC的中點(diǎn)，進(jìn)而求得EF的長(zhǎng)即可；（3）①利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和即可解