人教版高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（一）

1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)

【學(xué)習(xí)目標】1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義2會求函數(shù)y=Asin(ox+0)&y=

Acos(ox+0)的周期.3.掌握函數(shù)y=sinx,y=cosx的奇偶性，會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性.

IT問題導(dǎo)學(xué)--------------------------

知識點一函數(shù)的周期性

思考1如果函數(shù)式功滿足yu+3)=x尤)，那么3是五x)的周期嗎？

答案不一定.必須滿足當(dāng)尤取定義域內(nèi)的每一個值時，都有於+3)=段)，才可以說3是加)

的周期.

思考2所有的函數(shù)都具有周期性嗎？

答案不是.只有同時符合周期函數(shù)定義中的兩個條件的函數(shù)才具有周期性.

思考3周期函數(shù)都有最小正周期嗎？

答案周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如，對于常數(shù)函數(shù)/U)=c(c為常數(shù)，xGR),所有

非零實數(shù)T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常數(shù)函數(shù)沒有最小正周期.

梳理函數(shù)的周期性

(1)對于函數(shù)兀明如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有加土

Q=心),那么函數(shù)1x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)7叫做這個函數(shù)的周期.

(2)如果在周期函數(shù)1x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)叫做*x)的最小

正周期.

知識點二正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性

思考1證明函數(shù)〉=$始了和y=cosx都是周期函數(shù).

答案sin(x+2?t)=sinx,cos(x+2兀)=cosx,

.?.尸sinx和產(chǎn)cos尤都是周期函數(shù)，且2兀就是它們的一個周期.

思考2證明函數(shù)/U)=Asin(ox+°)(或/(x)=Acos(0x+0))(/0WO)是周期函數(shù).

答案由誘導(dǎo)公式一知，對任意xGR,都有Asin[(cax+e)+2TT]=Asin(cox+p),

所以Asin[tt)G+普)+0]=Asin((ux+0),

即《無+離=?

一2冗

所以“x)=Asin(Gx+e)(G#0)是周期函數(shù)，高就是它的一個周期.

同理，函數(shù)/(X)=ACOS(GX+9)(①W0)也是周期函數(shù).

梳理由sin(x+2kji)=sinx,cos崖+2左兀)=cosx(k￡Z)知,y=sinx與y=cosx都是周期函數(shù),

2fai(左￡Z且左WO)都是它們的周期，且它們的最小正周期都是2兀.

知識點三正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性

思考對于xGR,sin(一%)=—sinx,cos(一尤)=cosx,這說明正弦函數(shù)、余弦函數(shù)具備怎樣

的性質(zhì)？

答案奇偶性.

梳理(1)對于y=sinx,xGR恒有sin(—x)=—sinx,所以正弦函數(shù)y=sinx是壹函數(shù)，正弦

曲線關(guān)于原點對稱.

(2)對于y=cos%,尤GR恒有cos(—x)=cos尤，所以余弦函數(shù)y=cos尤是假函數(shù)，余弦曲線關(guān)

于y軸對稱.

2題型探究

類型一三角函數(shù)的周期性

例1求下列函數(shù)的最小正周期.

TT

(1)y=sin(2x+1)(x￡R)；

(2)y=|sin(x￡R).

IT

解⑴方法一令z=2x+],因為尤GR,所以zGR.

函數(shù)/(x)=sinz的最小正周期是2兀，

即變量z只要且至少要增加到z+2%,

函數(shù)/U)=sinz(zGR)的值才能重復(fù)取得.

TTJT

而z+2兀=2x+]+2兀=2(工+兀)+],所以自變量工只要且至少要增加到x+兀，函數(shù)值才能重

復(fù)取得，所以函數(shù)/(x)=sin(2x+g(x￡R)的最小正周期是兀.

方法二/(x)=sin(2x+§的最小正周期為苧=兀

(2)因為y=|sinx\

fsinxQkiiWxW2kn+兀),

=\(MZ).

[——sinx(2kji+兀＜％W2kn+2K)

其圖象如圖所示，

y

—2TT-TVOTT27r3IT

所以該函數(shù)的最小正周期為兀

27r

反思與感悟?qū)τ谛稳绾瘮?shù)y=Asin@x+e),4GW0時的最小正周期的求法常直接利用丁=兩

來求解，對于y=|Asin①x|的周期情況常結(jié)合圖象法來求解.

跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的周期.

⑴y=(2)y=|cos2x\.

解(1)7=告9IT=4兀

L習(xí)

71

(2)T=》

類型二三角函數(shù)的奇偶性

例2判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(l)fl.x)=sin

(2加%)=lg(1—sinx)—lg(1+sinx)；

l+sinx—cos2^

次

(3v)=1+sinx'

解⑴顯然無￡R,fix)=cos

(1>1

x)=cosl_2^)=cos1x=/a)，

???加)是偶函數(shù).

fl—sinx>0,

⑵由得一l<sin尤<1.

U十sinx>0,

IT

解得定義域為{x|x￡R且xWZ兀+],%￡Z}.

??/>)的定義域關(guān)于原點對稱.

又'?"(%)—lg(l—sinx)—lg(l+sinx),

?*-A-^)=lg[l_sin(-x)]-lg[l+sin(-x)]

=lg(1+sinx)—lg(1—sinx)——fix).

?7/@)為奇函數(shù).

(3)V1+sin%W0,sinxW—1,

兀

；.xeR且尤#2也一,，k^Z.

???定義域不關(guān)于原點對稱，

該函數(shù)是非奇非偶函數(shù).

反思與感悟判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好兩個關(guān)鍵點：

關(guān)鍵點一：看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；

關(guān)鍵點二：看八無)與一尤)的關(guān)系.

對于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡后再判斷.

跟蹤訓(xùn)練2判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(1)j[x)=cosg兀+2x)+x2sinx；

=yj1-2cosx+^2cosx-l.

解(l)/(x)=sin2%+fsinx,

「x￡R,—x)=sin(—2x)+(—x)2sin(~x)

=-sin2x—j^sinx=-fix),

???加)是奇函數(shù).

fl—2cosx^0,i

⑵由。i>n得cosx=2.

[2cosx—1^0,乙

71

.\J(x)=0,x=2E±9，kRZ.

既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

類型三三角函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用

例3定義在R上的函數(shù)八尤）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若式尤）的最小正周期是兀，且當(dāng)

尤G0,時，危）=sinx,求《引的值.

解,.?/（X）的最小正周期是兀，

二痣）=/管—2%）=｛苫）.

??V（x）是R上的偶函數(shù)，

反思與感悟解決此類問題的關(guān)鍵是運用函數(shù)的周期性和奇偶性，把自變量x的值轉(zhuǎn)化到可

求值區(qū)間內(nèi).

跟蹤訓(xùn)練3若兀0是以名為周期的奇函數(shù)，且媚=1，求（一篇的值.

解因為式x）是以胃為周期的奇函數(shù)，所以（一期）=/（一知+5）=d—9=一周=-L

類型四函數(shù)周期性的綜合應(yīng)用

71

例4已知函數(shù)次元）=COSQ無，求犬1）+犬2）+式3）+…+黃2020）的值.

jr12,71147115兀

角星V/1)=COS2=2?7(2)=cos§=-2，y(3)=cos兀=——1,f(4)=cos-=fi5)=co^~

2，/(6)=cos27i=l,

1)+八2)+黃3)+黃4)+八5)+五6)=0.

同理，可得每連續(xù)六項的和均為0.

：.J(l)+fl2)+fi3)+-+fi2020)

=人2017)+/(2018)+八2019)+/(2020)

2017兀，2018兀，2019兀，2020兀

—cos十cos十cos十cos

兀2兀4兀

=cos2+cos^"+cosK+COS-^-

1113

=1+(-，)+(-D+(-5)=-]

反思與感悟當(dāng)函數(shù)值的出現(xiàn)具有一定的周期性時，可以首先研究它在一個周期內(nèi)的函數(shù)值

的變化情況，再給予推廣求值.

TT

跟蹤訓(xùn)練4設(shè)函數(shù)段)=singx,則#1)+式2)+/(3)+…+人2015)=.

答案0

解析??7(x)=sin李:的周期7=^=6,

3

???犬1)+八2)+/(3)+…+黃2015)

=335[f(l)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+/(2011)+式2012)+/2013)+犬2014)+/2015)

cc/.兀1.2

=335(sm1十sin卒十sm兀十sinq兀十sin鏟十sm2兀I

+/335X6+1)+X335X6+2)+7(335X6+3)+

A335X6+4)+/(335X6+5)

=335X0+Al)+A2)+A3)+A4)+X5)

7i245

=sing+sin可兀+sin兀+sin371+sin郅=0.

3當(dāng)堂訓(xùn)練

1.函數(shù)y（X）=A/§sin（j-xGR的最小正周期為（）

71

A，2B.兀C.2兀D.4兀

答案D

2.下列函數(shù)中最小正周期為71的偶函數(shù)是（）

A?%CX

A.y=sin2B.y=cos]

C.y=cosxD.y=cos2x

答案D

3.設(shè)函數(shù)兀c)=sin(2尤一5〉xGR,則大尤)是()

A.最小正周期為兀的奇函數(shù)

B.最小正周期為無的偶函數(shù)

C.最小正周期為鄂勺奇函數(shù)

D.最小正周期為胃的偶函數(shù)

答案B

解析：sin(2無一號=-sin^—2x)=—cos2x,

.?.危)=—cos2x.

又K-x)=-cos(-2x)=-cos2x=f(x),

.?.?r)是最小正周期為兀的偶函數(shù).

TT

4.函數(shù)尸sin0x+a)的最小正周期為2,則co的值為.

答案士兀

解析V7=^=2,二?|初=兀，=±7i.

3兀

5.若函數(shù)式x)的定義域為R,最小正周期為宇，且滿足

71

危尸,cosx,2則<小1黨5兀、

sinx,0<xV兀，

規(guī)律與方法.------------------------------]

1.求函數(shù)的最小正周期的常用方法：

⑴定義法，即觀察出周期，再用定義來驗證；也可由函數(shù)所具有的某些性質(zhì)推出使"元+7)

=/(%)成立的T.

(2)圖象法，即作出y=?x)的圖象，觀察圖象可求出T,如y=|sin%].

(3)結(jié)論法，一般地，函數(shù)y=Asin(s+9)(其中A、①、夕為常數(shù)，AWO,co>0,x￡R)的周期

2兀

T=—

CD

2.判斷函數(shù)的奇偶性，必須堅持“定義域優(yōu)先”的原則，準確求函數(shù)定義域和將式子合理變

形是解決此類問題的關(guān)鍵.如果定義域關(guān)于原點對稱，再看八一X）與犬X）的關(guān)系，從而判斷奇

偶性.

課時作業(yè)

一、選擇題

1.下列函數(shù)中，周期為彳的是（）

.X

A.y=singB.y=sin2x

x

C.y=cosiD.y=cos（—4x）

答案D

解析7=島=，

2.函數(shù)無）=sin（ox+號）的最小正周期為其中。＞0,則。等于（）

A.5B.10C.15D.20

答案B

3.已知aGR,函數(shù)兀c）=sinx—|a|（xGR）為奇函數(shù)，則。等于（）

A.OB.lC.-lD+1

答案A

解析因為人%）為奇函數(shù)，

所以一尤）=sin（一尤）一|。|=~j（x）=一sin無十同，

所以⑷=0,從而a=0,故選A.

4.下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是兀的函數(shù)是（）

A.y=cos|2x|B.y=|sinx\

C.y=sin（5+2x）D.y=cos。^-

答案D

解析y=cos|2x|是偶函數(shù)，y=|sin是偶函數(shù)，j=sin（j+2x）=cos2x是偶函數(shù)，y=

cos傳一2x）=—Sin2x是奇函數(shù)，根據(jù)公式求得其最小正周期T=n.

5.函數(shù)尸cos/+飄＞0）的最小正周期不大于2,則正整數(shù)上的最小值應(yīng)是（）

A.10B.llC.12D.13

答案D

解析Vr=y^2,即々,4兀,

4

???正整數(shù)左的最小值是13.

6?函數(shù)>=回平高誓的奇偶性為（）

A.奇函數(shù)

B.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)

C.偶函數(shù)

D.非奇非偶函數(shù)

答案D

解析由題意知，當(dāng)l-sinx#O,

即sin尤#1時，

|sinx|（l—sinx）

y==Isin,

J1—sinx

JT

所以函數(shù)的定義域為{X|XW2E+5，kez},

由于定義域不關(guān)于原點對稱，

所以該函數(shù)是非奇非偶函數(shù).

7.函數(shù)段）=3sin（|x+空）是（）

A.周期為3兀的偶函數(shù)B.周期為2兀的偶函數(shù)

47r

C.周期為3兀的奇函數(shù)D.周期為竽的偶函數(shù)

答案A

二、填空題

TTTT

8.若0<a</,g(x)=sin(2x+1+a)是偶函數(shù)，則。的值為.

答案f

jr

解析要使g（x）=sin（2x+[+a）為偶函數(shù)，

JTJT

則需a+a=E+]，女RZ,

71

??cc—kn~\~k^Z.

?0<a<5，??（z=不

9.函數(shù)危尸讓sin管+2x）+1的圖象關(guān)于對稱.（填“原點”或“y軸”）

答案y軸

角畢析1Ax）=

:八一只=病），尤）是偶函數(shù).

?..偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，

.\Ax）的圖象關(guān)于y軸對稱.

10.關(guān)于尤的函數(shù)/（x）=sin（x+夕）有以下說法：

①對任意的＜p,都是非奇非偶函數(shù)；

②存在9，使兀r）是偶函數(shù)；

③存在夕，使兀V）是奇函數(shù)；

④對任意的9,y（x）都不是偶函數(shù).

其中錯誤的是.（填序號）

答案①④

解析當(dāng)夕=0時，?x）=sinx是奇函數(shù).

1T

當(dāng)°=5時，y（x）=cosx是偶函數(shù).

三、解答題

11.判斷下列函數(shù)的奇偶性.

兀

(1次V)=COS(]+2x)cos(7l+X)；

(2)f(x)=\l1+sinx+yj1—sinx；

gsinx_|_g_sinx

(3)XX)-eSinx_sinx,

TT

解(1)VxER,y(x)=COS(2+2x)cos(7l+x)

=-sin2x-(—cosx)=sin2xcosx.

，火―x)=sin(—2x)cos(-x)=-sin2xcosx

???)=啟)是奇函數(shù).

(2)，?,對任意—iWsinxWl,

l+sinx^0,1—sinx^O,

?，?fix)=71+sinx+y1—sinx的定義域是R.

又VX—x)="\/]+sin(—x)—sin(—x),

=yj1—sinx+yj1+sinx=J(x),

；?y=/(x)是偶函數(shù).

(3)Vesinx-e-sin^0,,sinxWO,

.二尤￡R且xWku,%￡Z.

?,?定義域關(guān)于原點對稱.

__-

esin(x)_|_esin(x)

又,?7(一尤)=gSin(-x)_sin(-x)

sinx_|_gSinx

一sinx_gSinx

=-7（x），

?力二五%）是奇函數(shù).

12.已知危）是以兀為周期的偶函數(shù)，且