北京市房山區(qū)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊期中考試數(shù)學(xué)試題

房山區(qū)中學(xué)20232024學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平調(diào)研

局一數(shù)學(xué)

第一部分（選擇題共50分）

一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知（，），（）,則線段A5的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（1,4）B.（2,1）C.（2,8）D.（4,2）

【答案】A

【解析】

【分析】用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.

'-1+3

a—

則<：

【詳解】設(shè)線段A3的中點(diǎn)坐標(biāo)為“（。力），3,

b=------

I2

即八夕則線段A3的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（L4）

故選：A.

2.如圖，平行六面體43C?！?51GA中，E為CG中點(diǎn).設(shè)與=￡,AD=b>羽="，用基底

｛々五2｝表示向量通，則/=（）

1ii-71-

A.a+b+cB.a+。H—c

2

一1亍-1--

C.aT—bcD.—a+。7+c

22

【答案】B

【解析】

【分析】利用幾何圖形的關(guān)系，結(jié)合向量的加法運(yùn)算，即可求解.

【詳解】AE=AC+CE=AB+AD+^AA^=a+b+^c.

故選：B

3.在如圖所示的正方體ABC。-中，異面直線AB與與C所成角的大小為(

A.30°B,45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義及正方體的特征求解

【詳解】連接A。，DB，如圖，

因?yàn)檎襟w中AD//4C,

所以就是AXB與BXC所成的角，

在ABA］。中，A^D-A^B=BD.

：./BAR=60°.

故選：C

4.在棱長為2的正方體ABC。—A4Goi中，A^BQ=()

A.272B.4A/2C.2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積定義計(jì)算即可.

在棱長為2的正方體ABC。—44Goi中，

易知|旗］=2,|西卜20

---?---?----”----*7T

因?yàn)槌?，BB］與BQ的夾角為I,

所以用與尾的夾角為:，

麗.%=MH阻COSE=2X2@￥=4.

故選：D

5.如圖，在四面體A—BCD中，平面BCD,BC工CD,則下列敘述中錯(cuò)誤的是（）

A./ACD是直線AC與平面5CD所成角

B.NABD是二面角4一3。一。的一個(gè)平面角

C.線段AC的長是點(diǎn)A到直線的距離

D.線段A。的長是點(diǎn)A到平面5CD的距離

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)線面垂直即可求解AD,根據(jù)3cl平面ACD,即可得BC±AC,進(jìn)而判斷C,結(jié)合二面

角的定義即可判斷B.

【詳解】對于AD,由于平面BCD,所以/AC。是直線AC與平面BCD所成角，線段AD的長

是點(diǎn)A到平面5CD的距離，故AD正確，

對于B,平面5CD,5。匚平面5。。,所以5。，4。,又5。，8,

所以3cl平面ACD,

C4u平面ACD,故5c±AC,

又BCLCD,ACu平面ABCCDu平面5C。，

故/ACD是二面角A—3C—。的一個(gè)平面角，故B錯(cuò)誤，

對于C,由于5CLAC,所以線段AC的長是點(diǎn)A到直線BC的距離，C正確，

故選：B

6.已知直線4：2x+（a—l）y+a=0與直線4：依+y+2=0平行，則。的值為（）

-1

A.—1或2B.-C.2D.-1

3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行，即可列式求解.

【詳解】因?yàn)椤啊?，所以2=巴士小@,

a12

解得：a--l

故選：D

7.在同一平面直角坐標(biāo)中，表示4：y=ax+b與％：y=bx-a的直線可能正確的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合各選項(xiàng)分析直線的斜率與在y軸上的截距，即可判斷.

【詳解】對于A：由圖可得直線4的斜率。>0,在y軸上的截距6>o；

而4的斜率b<o,矛盾，故A錯(cuò)誤.

對于B：由圖可得直線4的斜率a>0,在y軸上的截距6>0；

而4的斜率人<0,矛盾，故B錯(cuò)誤.

對于c：由圖可得直線4的斜率°<0,在y軸上的截距6>o；

而4的斜率6>0,在y軸上的截距—a>0，即a<0,故c正確.

對于D：由圖可得直線/］的斜率a<0,在y軸上的截距/?<0；

而4的斜率6>。，矛盾，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

8.長方體ABC?！?4G2中，朋=43=2,M為AB的中點(diǎn)，D}M±MC,則">=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】連接C2,設(shè)AD=a(a>0),表示出CM,CD,,MR,利用勾股定理計(jì)算可得.

【詳解】如圖連接C，，設(shè)AD=a(a>0),則CM="7i，

=V22+22=2A/2，MD1=V?2+l2+22=V?2+5，

因?yàn)樗訟/C2+MD；=c￡)；,即/+1+/+5=8,解得。=1(負(fù)值舍去).

故選：A

9.設(shè)尸為直線y=—1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：(%+3『+(,—2)2=4的切線，則切線長的最小值為

()

A.2B.75C.3D.V13

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)切線最小時(shí)為圓心到直線上的點(diǎn)的距離最小時(shí)可以求出圓心到直線的距離，再求出切線長即

可.

【詳解】圓心為c(—3,2),半徑為r=2,設(shè)切點(diǎn)為。，

要使得切線長|PQ|最小，則|CP|最小，此時(shí)CP，/,

所以卜"=尊=3,所以|PQ|=府二7=近，

故選：B

10.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元首262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的

科學(xué)成果，著作中這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)上傳＞0且左W1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后

人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)A(T,0),5(2,0),圓C:(x—2)?+(y—m)2=((加＞0),在圓

上存在點(diǎn)P滿足|/%|=2|依|,則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)P(x,y),根據(jù)|申|=2|?同求出點(diǎn)尸的軌跡方程，根據(jù)題意可得兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，根據(jù)圓心

距大于或等于半徑之差的絕對值小于或等于半徑之和，解不等式即可求解.

【詳解】設(shè)尸(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)A(—l,0),B(2,0),\PA\=2\PB\,

所以［(x+lf+V=2yl(x-2)2+y2即必+V一6%+5=0,

所以(1-3『+：/=4,可得圓心(3,0),半徑R=2,

由圓C:(x—2y+(y—加［=：可得圓心C(2,/n),半徑/=；,

因?yàn)樵趫AC上存在點(diǎn)尸滿足|叫=2|。@,

所以圓(x—3)?+丁=4與圓C:(x—2)?+3—m)2=:有公共點(diǎn)，

所以2—<A/(3—2)"+m~<2H—,整理可得：一<1+ffl2<—,

29,244

解得：<m<,

22

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是丁，?。荩?/p>

故選：D.

第二部分(非選擇題共100分)

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

11.已知4(2,1),5(0,-3),則直線AB的斜率七=.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)直線斜率公式進(jìn)行計(jì)算即可.

1-(-3)

【詳解】根據(jù)題意，k=——=2,

AB2-0

故答案為：2.

12.已知4(0,0),6(2,2),C(4,2),則“RC外接圓的方程為

【答案】f+j?—6x+2y=0

【解析】

2=0

【分析】首先設(shè)AABC外接圓的方程為爐+產(chǎn)+.+砂+尸=o,從而得到(4+4+2D+2E+R=0,

16+4+4D+2E+F=0

再解方程組即可.

22

【詳解】設(shè)AABC外接圓的方程為x+y+DX+Ey+F=0,

F=0D=-6

則v4+4+2D+2E+F=0=><E=2,

16+4+4O+2E+/=0[F=0

所以外接圓的方程為：x2+y2-6x+2y^Q.

故答案為：/+/一6x+2y=0

13.己知直線/與平面戊所成角為45°,A,8是直線/上兩點(diǎn)，且A3=6,則線段A3在平面戊內(nèi)的射

影的長等于.

【答案】3行

【解析】

【分析】依題意可得線段A3在平面a內(nèi)的射影的長等于ABcos45°.

【詳解】因?yàn)橹本€/與平面a所成角為45°,A,B是直線/上兩點(diǎn)，且AB=6,

則線段AB在平面1內(nèi)的射影的長等于ABcos45°=6x正=3JL

2

故答案為：3亞

14.如圖，長方體ABC?！狝4GR中，AA=AD=1,AB=2,則點(diǎn)R到點(diǎn)8的距離等于

；點(diǎn)D｝到直線AC的距離等于.

【答案】①.V6②.也##:6

53

【解析】

【分析】以向量方，DC，皿所在方向?yàn)閤軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離

UUIX

公式可求點(diǎn)2到點(diǎn)8的距離；連接O|A,作2E垂直AC,垂足為E，求出向量在向量正上的投

影，由勾股定理即可求點(diǎn)2到直線AC的距離.

【詳解】如圖，以向量次，DC-萬瓦所在方向?yàn)闊o軸，＞軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由AB=2,則。（0,0,1）,5（1,2,0）,所以閨=J1+4+1=幾,

所以點(diǎn)2到點(diǎn)B的距離等于V6.

連接QA,作2E垂直AC,垂足為E,由A（l,0,0）,C（0,2,0）,所以宿=（—1,0,1）,

_.?AD,-AC1

￡=（-L2，。），所以即=/丁=存_ji

一5，

又卜夜，所以點(diǎn)2到直線AC的距離d=

0）和直線/：X—y+4=0,則圓心。到直線/的距離等于

；若圓。上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為行，寫出一個(gè)符合要求的實(shí)數(shù)廠的值，r

【答案】①.2&②.2（答案不唯一）.

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算；將圓。上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為后轉(zhuǎn)化為半徑與圓心。

到直線/的距離之間的關(guān)系即可求解.

|0-0+4|

【詳解】圓心。到直線/距離為d==2夜;

A/1+T

因?yàn)閳A。上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為所以-0＜d-廠＜0，解得、回＜廠＜3行.

故答案為：2亞;2（答案不唯一）.

16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是邊長為1的正方形，鉆是等邊三角形，。為A3

的中點(diǎn)，且PO1底面A3CD，點(diǎn)尸為棱PC上一點(diǎn).給出下面四個(gè)結(jié)論：

①對任意點(diǎn)尸，都有CDLOE；

②存在點(diǎn)尸，使0尸//平面BLD；

③二面角P—AC—B的正切值為指；

④平面PAB_L平面ABCD.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用空間直線與直線，直線與平面位置關(guān)系，依次進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

對于①，若點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，顯然不滿足所以①錯(cuò);

對于②，若點(diǎn)產(chǎn)為線段PC中點(diǎn)，取線段中點(diǎn)E,連接所，

則EF//CD且所

2

所以歷//AO且=則四邊形AOEE為平行四邊形，

得OF//AE,因?yàn)椤Ｊ矫鍽A。，AEu平面R4。，

所以5//平面B4。，所以②正確；

對于③，因?yàn)椤锳5的中點(diǎn)，且尸。工底面ABCD,

過。作OHLAC于H,

則ZPHO即為二面角P—AC—B的平面角，

根據(jù)邊長可求得PO=1,OH^—，

24

A/3

所以tanNPHO=g^=所以③正確;

y2

不

對于④，因?yàn)椤?1底面ABCD,尸Ou平面RLB,

所以平面平面A3CD,所以④正確；

故答案為：②③④

三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.已知三條直線4：x+y—2=0,/2：x—3y+lQ=0,/3：3x—4y+5=0.

(1)求直線4的交點(diǎn)/的坐標(biāo)；

(2)求過點(diǎn)/且與直線4平行的直線方程;

(3)求過點(diǎn)/且與直線4垂直的直線方程.

【答案】(1)M(-l,3)

(2)3x-4y+15=0

(3)4x+3y-5=0

【解析】

【分析】(1)聯(lián)立直線方程，即可求解;

(2)根據(jù)已知條件,結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解;

(3)根據(jù)已知條件,結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解;

【小問1詳解】

x+y-2=0x=-l

聯(lián)立解得〈c

x-3y+10=0y=3

故交點(diǎn)M坐標(biāo)"(-1,3)；

【小問2詳解】

所求直線與直線4平行,

則所求直線可設(shè)3x—4y+C=0(Cw5),

所求直線過點(diǎn)〃(-L3),

則3x(—1)—4x3+C=0,解得C=15,

故所求直線方程為3x-4y+15=0；

【小問3詳解】

所求直線與直線4垂直，

則所求直線可設(shè)4x+3y+D=0,

所求直線過點(diǎn)”(-1,3),

則4x(—1)+3*3+￡>=0,解得￡)=—5,

故所求直線方程為4x+3y—5=0.

18.已知圓。的圓心為點(diǎn)C。,—3),半徑為2.

(1)寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/：x—y—2=0與圓C交于A,8兩點(diǎn)，求線段A3的長.

【答案】(1)(x—I)?+(y+3)2=4

⑵2后

【解析】

【分析】(1)根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義可得解；

(2)求出圓心到直線的距離，再利用勾股定理計(jì)算可得.

【小問1詳解】

因?yàn)閳A心C。,—3),半徑廠=2,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(％—I)?+(y+3)2=4.

【小問2詳解】

”3-2|

圓心C到直線/的距離1==6，

...哈獷不GS

.-.\AB\=2>j2.

19.如圖，在四棱錐尸―A5CD中，上4,底面ABCD,底面ABCD是正方形，PA=AB=1，M為

PB的中點(diǎn).

(1)求證：AAfl平面E3C；

（2）求直線與平面P5C所成角的大小;

（3）求點(diǎn)￡（到平面P5C的距離.

7T

【答案】（1）見解析（2）-

6

（3）正

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線線，線面的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可證明線面垂直；

（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）可知向量而是平面P5C的法向量，利用向量法求線面角的大小;

（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的定義，即可求解.

【小問1詳解】

因24,平面A3CD,所以

又3cl.AB,PA^\AB=A,PA,A3u平面

所以平面R45,平面P4B,

所以,

因?yàn)?%=A3,且點(diǎn)又是尸3的中點(diǎn)，所以AMLP3，

且=3C,P3u平面尸5C,

所以AM1平面P3C；

【小問2詳解】

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以向量4瓦汨,ZA為x，%z軸方向向量，建立空間直角坐標(biāo)系,

4（0,0,0）,P（0,0,l）,D（0,l,0）,8（1,0,0）,C（l,l,0）,

AM=1,0,1,而=（0,l，T，

由（1）可知，向量畫7是平面P5C的法向量,

設(shè)直線尸。與平面PBC所成角為9,

所以sind=kos（加,----^-j=-=|■，則,=看，

0x2

TT

所以直線PD與平面尸5C所成角的大小為一；

6

【小問3詳解】

因?yàn)橐?AD=1,則?！辏?后，

TT

由（2）可知，直線P￡）與平面尸5c所成角的大小為一，

6

所以點(diǎn)。到平面PBC的距離為0sin7=2.

20.如圖，在三棱柱ABC-中，AA，平面ABC,D是的中點(diǎn)，BCf，

（1）求證：平面ADG；

（2）求二面角D—AG—C的余弦值；

（3）判斷直線A耳與平面ADG是否相交，如果相交，求出A到交點(diǎn)H的距離；如果不相交，求直線

44到平面ADCi的距離.

【答案】（1）見解析（2）B

3

（3）相交，AH=◎

【解析】

【分析】(1)構(gòu)造中位線，利用線線平行證明線面平行；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求二面角的余弦值；

(3)利用平面的性質(zhì)，即可判斷直線4線與平面ADC1的位置關(guān)系，并利用圖形求解.

【小問1詳解】

連結(jié)4。交AG于點(diǎn)E，連結(jié)。石，

因?yàn)辄c(diǎn)E分別是BC,AC的中點(diǎn)，所以DE//A5,

且DEu平面ADC-43仁平面4。。］，

所以48//平面ADC1；

【小問2詳解】

因?yàn)锳B=AC=1,BC=臟,

所以A81AC,且4A，平面ABC，

所以如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以向量彳及前,麗為蒼軸的方向向量建立空間直角坐標(biāo)系,

4(0,0,0),Dl|,1,0I,q(0,1,1),ADuuu

AG=(0,1,1),

設(shè)平面ADG的