人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：7 5　正態(tài)分布

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE17．5正態(tài)分布課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；通過具體實(shí)例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征.2.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.通過了解正態(tài)分布的特征，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究高斯是一個偉大的數(shù)學(xué)家，一生中的重要貢獻(xiàn)不勝枚舉，德國的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布曲線，這就傳達(dá)了一個信息：在高斯的科學(xué)貢獻(xiàn)中，對人類文明影響最大的是“正態(tài)分布”．問題正態(tài)分布有哪些應(yīng)用？〖提示〗正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要的地位，它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)踐之中，在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布．1．正態(tài)曲線正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動只能改變對稱軸的位置，曲線的形狀沒有改變，所得的曲線依然是正態(tài)曲線函數(shù)f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)．顯然對于任意x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1．我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)，特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．2．由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點(diǎn)(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；(2)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(3)當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))無限增大時，曲線無限接近x軸．3．正態(tài)分布的期望與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2．4．正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682__7；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954__5；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997__3．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取〖μ－3σ，μ＋3σ〗中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3σ原則.拓展深化〖微判斷〗1．函數(shù)(x∈R)中參數(shù)μ，σ的意義分別是樣本的均值與方差．(×)〖提示〗函數(shù)中σ的意義為標(biāo)準(zhǔn)差．2．正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的．(×)〖提示〗正態(tài)曲線與x軸圍成的面積為定值1.3．正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對稱．(√)〖微訓(xùn)練〗1．若X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))，Y＝6X，則E(Y)等于()A．1 B.eq\f(3,2)C．6 D．36〖解析〗由X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))，知E(X)＝1，又Y＝6X，故E(Y)＝6E(X)＝6.〖答案〗C2．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2),且P(X≤c)＝P(X＞c),則c等于()A．0 B．σC．－μ D．μ〖解析〗由P(X≤c)＝P(X＞c)，知x＝c為對稱軸，又由X～N(μ，σ2)知對稱軸為x＝μ，故c＝μ.〖答案〗D〖微思考〗函數(shù)f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R的圖象如圖所示．試確定函數(shù)f(x)的〖解析〗式．〖提示〗由圖可知，該曲線關(guān)于直線x＝72對稱，最大值為eq\f(1,10\r(2π))，由函數(shù)表達(dá)式可知，函數(shù)圖象的對稱軸為x＝μ，∴μ＝72，且eq\f(1,σ\r(2π))＝eq\f(1,10\r(2π))，∴σ＝10.∴f(x)＝eq\f(1,10\r(2π))e－eq\f(（x－72）2,200)(x∈R).題型一正態(tài)曲線的圖象的應(yīng)用〖例1〗如圖所示是一個正態(tài)分布的圖象，試根據(jù)該圖象寫出正態(tài)分布密度函數(shù)的〖解析〗式，求出隨機(jī)變量總體的均值和方差．解從給出的正態(tài)曲線可知該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對稱，最大值是eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20.由eq\f(1,σ\r(2π))＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是該正態(tài)分布密度函數(shù)的〖解析〗式是f(x)＝eq\f(1,2\r(π))eeq\f(－（x－20）2,4)，x∈(－∞，＋∞)，隨機(jī)變量總體的均值是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.規(guī)律方法利用圖象求正態(tài)分布密度函數(shù)的〖解析〗式，應(yīng)抓住圖象的兩個實(shí)質(zhì)性特點(diǎn)：一是對稱軸為x＝μ，二是最大值為eq\f(1,σ\r(2π)).這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)μ，σ便確定了，代入f(x)中便可求出相應(yīng)的〖解析〗式．〖訓(xùn)練1〗若一個正態(tài)分布密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為eq\f(1,4\r(2π))，求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的〖解析〗式．解由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于y軸對稱，即μ＝0，而正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的最大值是eq\f(1,4\r(2π))，所以eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,4\r(2π))，解得σ＝4.故函數(shù)的〖解析〗式為φμ，σ(x)＝eq\f(1,4\r(2π))e－eq\f(x2,32)，x∈(－∞，＋∞)．題型二利用正態(tài)分布的對稱性求概率〖例2〗設(shè)X～N(1，22)，試求：(1)P(－1≤X≤3)；(2)P(3≤X≤5)．解∵X～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，(1)P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)，∴P(3≤X≤5)＝eq\f(1,2)〖P(－3≤X≤5)－P(－1≤X≤3)〗＝eq\f(1,2)〖P(1－4≤X≤1＋4)－P(1－2≤X≤1＋2)〗＝eq\f(1,2)〖P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)〗≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.〖遷移1〗(變換所求)例2條件不變，求P(X≥5)．解P(X≥5)＝P(X≤－3)＝eq\f(1,2)〖1－P(－3＜X≤5)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(1－4＜X≤1＋4)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)〗≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)＝0.02275.〖遷移2〗(變換條件)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，則P(0＜X＜2)＝()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2〖解析〗∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，∴μ＝2，對稱軸是x＝2.∵P(X＜4)＝0.8，∴P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.2，∴P(0＜X＜4)＝0.6.∴P(0＜X＜2)＝0.3.故選C.〖答案〗C規(guī)律方法利用正態(tài)分布求概率的兩個方法(1)對稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間概率相等．如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間〖μ－σ，μ＋σ〗，〖μ－2σ，μ＋2σ〗，〖μ－3σ，μ＋3σ〗內(nèi)的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解．〖訓(xùn)練2〗設(shè)X～N(1，1)，試求：(1)P(0<X≤2)；(2)P(2<X≤3)；(3)P(X≥3)．解∵X～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1.(1)P(0<X≤2)＝P(1－1<X≤1＋1)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(2<X≤3)＝P(－1<X≤0)，∴P(2<X≤3)＝eq\f(1,2)〖P(－1<X≤3)－P(0<X≤2)〗＝eq\f(1,2)〖P(1－2<X≤1＋2)－P(1－1<X≤1＋1)〗＝eq\f(1,2)〖P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)〗≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.(3)∵P(X≥3)＝P(X≤－1)，∴P(X≥3)＝eq\f(1,2)〖1－P(1－2<X≤1＋2)〗＝eq\f(1,2)〖1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)〗≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)＝0.02275.題型三正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用〖例3〗某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(4，0.52)．質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機(jī)抽查1件，測得它的外直徑為5.7cm，試問：該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？解由于外直徑X～N(4，0.52)，則X在〖4－3×0.5，4＋3×0.5〗之內(nèi)取值的概率為0.9973，在〖2.5，5.5〗之外取值的概率為0.0027，而5.7?〖2.5，5.5〗，這說明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認(rèn)為這批零件是不合格的．規(guī)律方法解題時，應(yīng)當(dāng)注意零件尺寸應(yīng)落在〖μ－3σ，μ＋3σ〗之內(nèi)，否則可以認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格．判斷的根據(jù)是小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格．〖訓(xùn)練3〗在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績服從正態(tài)分布N(80，52)，現(xiàn)在已知該班同學(xué)中成績在80～85分的有17人，該班成績在90分以上的同學(xué)有多少人？解∵成績服從正態(tài)分布N(80，52)，∴μ＝80，σ＝5，則μ－σ＝75，μ＋σ＝85.∴成績在〖75，85〗內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的68.27%，成績在〖80，85〗內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的34.135%.設(shè)該班有x名同學(xué)，則x·34.135%＝17，解得x≈50.∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成績在〖70，90〗內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.45%，成績在90分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的2.275%.即有50×2.275%≈1(人)，即成績在90分以上的僅有1人.一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．在正態(tài)分布N(μ，σ2)中，參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，即總體隨機(jī)變量的均值，它可以用樣本的均值去估計，其取值是任意的實(shí)數(shù)．參數(shù)σ是反映隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，即總體隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計，其取值范圍是正數(shù)，即σ>0.3．正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法：(1)熟記P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．正態(tài)分布N(0，1)在區(qū)間(－2，－1)和(1，2)上取值的概率分別為P1，P2，則二者的大小關(guān)系為()A．P1＝P2 B．P1＜P2C．P1＞P2 D．不確定〖解析〗根據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)，圖象關(guān)于x＝0對稱，可得在區(qū)間(－2，－1)和(1，2)上取值的概率P1，P2相等．〖答案〗A2．已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間〖3，6〗內(nèi)的概率為()(附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.45%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%〖解析〗P(3≤ξ≤6)＝eq\f(1,2)〖P(－6≤ξ≤6)－P(－3≤ξ≤3)〗≈eq\f(1,2)×(95.45%－68.27%)＝13.59%.故選B.〖答案〗B3．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，則c等于__________．〖解析〗∵X～N(2，9)，又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，∴eq\f(c＋1＋c－1,2)＝2，∴c＝2.〖答案〗24．在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0，1)內(nèi)取值的概率為0.4，則X在(0，2)內(nèi)取值的概率為__________．〖解析〗如圖，易得P(0<X<1)＝P(1<X<2)，故P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2×0.4＝0.8.〖答案〗0.85．在某省組織的一次數(shù)學(xué)競賽中全體參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布N(60，100)，已知成績在90分以上的學(xué)生有135人．(1)求此次參加競賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人？(2)若計劃獎勵競賽成績排在前2275名的學(xué)生，問受獎學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是多少？解(1)設(shè)學(xué)生的成績?yōu)閄分，共有n人參加競賽，因?yàn)閄～N(60，100)，所以μ＝60，σ＝10，P(