人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案：7 1 2　全概率公式

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE17.1.2全概率公式課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.結(jié)合古典概型，會(huì)用乘法公式計(jì)算概率.2.結(jié)合古典概型，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.通過學(xué)習(xí)及運(yùn)用全概率公式，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究狼來了這個(gè)故事大家都聽過，那么從心理學(xué)角度分析，這個(gè)小孩是如何一步步喪失村民信任的呢？我們可以通過特殊概率公式來解讀．設(shè)A為事件“小孩說謊”，B為“村民覺得小孩可信”；不妨設(shè)可信的小孩說謊的概率為0.1，而不可信的小孩說謊的概率為0.5,經(jīng)過第一次撒謊，第二次撒謊后，狼真的來了，小孩第三次呼救的時(shí)候，村民都不再相信這是真的，覺得這是誰家熊孩子真氣人，沒人再上山救他．于是，狼在前兩次跳出來嚇唬完小孩就跑走后，成功在第三次抓走小孩，而且無人打擾，由此可見心理學(xué)結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)學(xué)很重要！問題上述問題可以用哪種概率公式來解釋？〖提示〗我們可以借助全概率公式來解讀．1．全概率公式在全概率的實(shí)際問題中我們經(jīng)常會(huì)碰到一些較為復(fù)雜的概率計(jì)算，這時(shí)，我們可以用“化整為零”的思想將它們分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))P(Ai)P(Beq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(Ai）)).我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．2．貝葉斯公式設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意事件B?Ω，P(B)>0，有P(Aieq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B）))＝eq\f(P（Ai）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(Ai）)),P（B）)i＝1，2，…，n.3．在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率．拓展深化〖微判斷〗1．全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件A的概率求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問題．(√)2．所研究的事件試驗(yàn)前提或前一步驟有多種可能，在這多種可能中，均有所研究的事件發(fā)生，這時(shí)要求所研究事件的概率就可用全概率公式．(√)3．全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率，是求最后結(jié)果的概率．(√)〖微訓(xùn)練〗1．一個(gè)盒子中有6只白球，4只黑球，不放回地每次任取1只，連取2次，求第二次取到白球的概率為________．〖解析〗設(shè)A＝“第一次取到白球”，B＝“第二次取到白球”，則B＝AB∪eq\o(A,\s\up6(－))B，且AB與eq\o(A,\s\up6(－))B互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(6,10)×eq\f(5,9)＋eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝0.6.〖答案〗0.62．有兩箱同一種產(chǎn)品，第一箱內(nèi)裝50件，其中10件優(yōu)質(zhì)品，第二箱內(nèi)30件，其中18件優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)在隨意地打開一箱，然后從箱中隨意取出一件，則取到的是優(yōu)質(zhì)品的概率是________．〖解析〗設(shè)A＝“取到的是優(yōu)質(zhì)品”，Bi＝“打開的是第i箱”(i＝1，2)，則P(B1)＝P(B2)＝eq\f(1,2)，P(A|B1)＝eq\f(10,50)＝eq\f(1,5)，P(A|B2)＝eq\f(18,30)＝eq\f(3,5)，直接利用全概率公式：P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝eq\f(2,5).〖答案〗eq\f(2,5)〖微思考〗全概率公式與貝葉斯公式的聯(lián)系與區(qū)別是什么？〖提示〗兩者的最大不同是處理的對(duì)象不同，其中全概率公式用來計(jì)算復(fù)雜事件的概率，而貝葉斯公式是用來計(jì)算簡(jiǎn)單條件下發(fā)生的復(fù)雜事件的概率，也就是說，全概率公式是計(jì)算普通概率的，貝葉斯公式是用來計(jì)算條件概率的.題型一全概率公式〖例1〗甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7.飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率．解設(shè)B＝“飛機(jī)被擊落”，Ai＝“飛機(jī)被i人擊中”，i＝1，2，3，則B＝A1B＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)．為求P(Ai)，設(shè)Hi＝{飛機(jī)被第i人擊中}，i＝1，2，3，則P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，故P(A1)＝P(H1eq\o(H,\s\up6(－))2eq\o(H,\s\up6(－))3＋eq\o(H,\s\up6(－))1H2eq\o(H,\s\up6(－))3＋eq\o(H,\s\up6(－))1eq\o(H,\s\up6(－))2H3)＝P(H1)P(eq\o(H,\s\up6(－))2)P(eq\o(H,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(H,\s\up6(－))1)P(H2)P(eq\o(H,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(H,\s\up6(－))1)P(eq\o(H,\s\up6(－))2)P(H3)＝0.36，P(A2)＝P(H1H2eq\o(H,\s\up6(－))3＋H1eq\o(H,\s\up6(－))2H3＋eq\o(H,\s\up6(－))1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(eq\o(H,\s\up6(－))3)＋P(H1)P(eq\o(H,\s\up6(－))2)P(H3)＋P(eq\o(H,\s\up6(－))1)P(H2)P(H3)＝0.41，P(A3)＝P(H1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(H3)＝0.14.于是P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458，即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.規(guī)律方法全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率，它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用．〖訓(xùn)練1〗有一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三廠同時(shí)生產(chǎn)的，其中甲廠產(chǎn)品占50%，乙廠產(chǎn)品占30%，丙廠產(chǎn)品占20%，甲廠產(chǎn)品中正品率為95%，乙廠產(chǎn)品正品率為90%，丙廠產(chǎn)品正品率為85%，如果從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，試計(jì)算該產(chǎn)品是正品的概率多大？解設(shè)A，B，C分別表示抽得產(chǎn)品是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，D表示抽得產(chǎn)品為正品，則由已知，P(A)＝50%，P(B)＝30%，P(C)＝20%，P(D|A)＝95%，P(D|B)＝90%，P(D|C)＝85%，從而任取一件產(chǎn)品為正品的概率可由全概率公式得到：P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)＝eq\f(95,100)×eq\f(50,100)＋eq\f(90,100)×eq\f(30,100)＋eq\f(85,100)×eq\f(20,100)＝0.915.題型二貝葉斯公式〖例2〗在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列．由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0，已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.8和0.2；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.9和0.1.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的．若已知接收的信號(hào)為0，求發(fā)送的信號(hào)是1的概率．解設(shè)A＝“發(fā)送的信號(hào)為0”，B＝“接收的信號(hào)為0”，則eq\o(A,\s\up6(－))＝“發(fā)送的信號(hào)為1”，eq\o(B,\s\up6(－))＝“接收的信號(hào)為1”．由題意得，P(A)＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.5，P(B|A)＝0.8，P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＝0.2，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.1，P(eq\o(B,\s\up6(－))|eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.9.由貝葉斯公式有P(eq\o(A,\s\up6(－))|B)＝eq\f(P（\o(A,\s\up6(－))）P（B|\o(A,\s\up6(－))）,P（\o(A,\s\up6(－))）P（B|\o(A,\s\up6(－))）＋P（A）P（B|A）)＝eq\f(0.5×0.1,0.5×0.1＋0.5×0.8)＝eq\f(1,9).規(guī)律方法此類問題在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小．〖訓(xùn)練2〗設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率．解設(shè)B＝“中途停車修理”，A1＝“經(jīng)過的是貨車”，A2＝“經(jīng)過的是客車”，則B＝A1B∪A2B，由貝葉斯公式有P(A1eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B)))＝eq\f(P（A1）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A1）)),P（A1）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A1）＋P（A2）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A2）)))))＝eq\f(\f(2,3)×0.02,\f(2,3)×0.02＋\f(1,3)×0.01)＝0.8.題型三全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用〖例3〗同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠供應(yīng)．由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知，三家的正品率分別為0.95，0.90，0.80，三家產(chǎn)品數(shù)按2∶3∶5的比例混合在一起．(1)從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率；(2)現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問它是由甲、乙、丙三個(gè)廠中哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性大？解設(shè)事件A表示“取到的產(chǎn)品為正品”，B1，B2，B3分別表示“產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)”，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8，(1)由全概率公式得：P(A)＝eq\o(∑,\s\up10(3),\s\do10(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86，(2)由貝葉斯公式得P(B1|A)＝eq\f(P（B1）P（A|B1）,P（A）)＝eq\f(0.2×0.95,0.86)≈0.2209，P(B2|A)＝eq\f(P（B2）P（A|B2）,P（A）)＝eq\f(0.3×0.9,0.86)≈0.3140，P(B3|A)＝eq\f(P（B3）P（A|B3）,P（A）)＝eq\f(0.5×0.8,0.86)≈0.4651，由以上3個(gè)數(shù)作比較，可知這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大，由甲廠生產(chǎn)的可能性最?。?guī)律方法P(Ai)(i＝1，2，…，n)是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件B是否發(fā)生)的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)，當(dāng)有了新的信息(知道B發(fā)生)，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計(jì)，貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫了這種變化．〖訓(xùn)練3〗一位教授去參加學(xué)術(shù)會(huì)議，他乘坐飛機(jī)、動(dòng)車和非機(jī)動(dòng)車的概率分別為0.2，0.5，0.3，現(xiàn)在知道他乘坐飛機(jī)、動(dòng)車和非機(jī)動(dòng)車遲到的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,12).(1)求這位教授遲到的概率；(2)現(xiàn)在已經(jīng)知道他遲到了，求他乘坐的是飛機(jī)的概率．解設(shè)A＝“遲到”；B1＝“乘飛機(jī)”；B2＝“乘動(dòng)車”；B3＝“乘非機(jī)動(dòng)車”．(1)所求概率為P(A)，由全概率公式得：P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,12)×eq\f(3,10)＝eq\f(13,60).(2)所求概率為P(B1|A)，由貝葉斯公式得：P(B1|A)＝eq\f(P（AB1）,P（A）)＝eq\f(P（A|B1）P（B1）,P（A）)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,5),\f(13,60))＝eq\f(4,13).一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng)．2．全概率公式是用來計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡(jiǎn)單事件的概率運(yùn)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問題．3．概率論的一個(gè)重要內(nèi)容是研究怎樣從一些較簡(jiǎn)單事件概率的計(jì)算來推算較復(fù)雜事件的概率，全概率公式和貝葉斯公式正好起到了這樣的作用．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．袋中有50個(gè)乒乓球，其中20個(gè)是黃球，30個(gè)是白球．今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球，取后不放回，則第二人取得黃球的概率為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(19,49)C.eq\f(20,49) D.eq\f(2,5)〖解析〗設(shè)A表示“第一個(gè)人取得黃球”，B表示“第二個(gè)人取得黃球”，則P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\