2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.1.2類比推理學(xué)案含解析北師大版選修2-2

PAGE1．2類比推理授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第3頁[自主梳理]一、類比推理的含義由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，依據(jù)一類對(duì)象的其他特征，推斷________________________，我們把這種推理過程稱為類比推理，類比推理是________之間的推理．利用類比推理得出的結(jié)論________．二、合情推理的含義________和________是最常見的合情推理，合情推理是依據(jù)試驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、個(gè)人的閱歷和直覺，已有的事實(shí)和正確的結(jié)論，如________、________、________等，推想出某些結(jié)果的推理方式．三、演繹推理的含義演繹推理是依據(jù)已知的事實(shí)和正確的結(jié)論，依據(jù)嚴(yán)格的____法則得到新結(jié)論的推理過程．四、類比推理的特點(diǎn)1．類比是從人們已經(jīng)駕馭了的事物的屬性，推想正在探討中的事物的屬性，它以舊有相識(shí)作基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果；2．類比是從一種事物的特別屬性推想另一種事物的特別屬性；3．類比的結(jié)果是揣測(cè)性的，不肯定牢靠，但它卻具有發(fā)覺的功能．[雙基自測(cè)]1．下面運(yùn)用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”2．假如對(duì)象A和對(duì)象B都具有相同的屬性P、Q、R等，此外已知對(duì)象A還有一個(gè)屬性S，而對(duì)象B還有一個(gè)未知的屬性x，由此類比推理，可以得出下列哪個(gè)結(jié)論可能成立？()A．x就是P B．x就是QC．x就是R D．x就是S3．已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類比三角形的面積公式：S＝eq\f(1,2)×底×高，可推知扇形面積公式S扇等于()A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2)C.eq\f(1,2)lr D．不行類比4．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1∶2，則它們的體積比為__________．[自主梳理]一、另一類對(duì)象也具有類似的其他特征兩類事物特征不肯定正確二、歸納推理類比推理定義公理定理三、邏輯[雙基自測(cè)]1．C由類比推理的定義知C正確．2．D各自另外的屬性S只能類比x.3．C由扇形的弧長(zhǎng)與半徑類比于三角形的底與高，可得S＝eq\f(1,2)lr.4.eq\f(1,8)eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第3頁探究一幾何中的類比[例1]在長(zhǎng)方形ABCD中，對(duì)角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α，β，則cos2α＋cos2β＝1.在立體幾何中，給出類比猜想．[解析]如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝eq\f(c2,c2)＝1.于是類比到長(zhǎng)方體中，猜想其體對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.證明：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,l)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,l)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(g,l)))2＝eq\f(m2＋n2＋g2,l2)＝eq\f(l2,l2)＝1.1．類比推理的基本原則是依據(jù)當(dāng)前問題的須要，選擇適當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象，可以從幾何數(shù)目、位置關(guān)系、幾何性質(zhì)、度量等方面入手．由平面中相關(guān)結(jié)論可以類比得到空間中的相關(guān)結(jié)論．2．平面圖形與空間圖形的類比如下：平面圖形空間圖形點(diǎn)線線面邊長(zhǎng)面積面積體積線線角二面角三角形四面體1．如圖①有面積關(guān)系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，則圖②有體積關(guān)系：eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝________.解析：(1)把平面中三角形的學(xué)問類比到空間三棱錐中，得eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).故填eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).答案：eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)探究二等式及其他學(xué)問點(diǎn)的類比[例2]在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N＋)成立．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b10＝1，則有等式________成立．[解析]等差數(shù)列→用減法定義→性質(zhì)用加法表述(若m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq)；等比數(shù)列→用除法定義→性質(zhì)用乘法表述(若m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq)．由此，猜想本題的答案為b1b2…bn＝b1b2…b19－n(n＜19，n∈N＋)．[答案]b1b2…bn＝b1b2…b19－n(n＜19，n∈N＋)在等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比中，等差數(shù)列中的和，類比等比數(shù)列中的積，差類比商，積類比冪．2．通過計(jì)算可得下列等式：22－12＝2×1＋1,32－22＝2×2＋1,42－32＝2×3＋1，…，(n＋1)2－n2＝2n＋1，將以上各式分別相加得：(n＋1)2－12＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，類比上述求法，則12＋22＋32＋…＋n2＝______________.答案：eq\f(nn＋12n＋1,6)類比對(duì)象不正確致誤[例3]如圖，在四面體S-ABC中，平面SAB、平面SAC、平面SBC與底面ABC所成角分別為α1、α2、α3，三條棱SC、SB、SA與底面ABC所成角為β1、β2、β3，三個(gè)側(cè)面△SAB、△SAC、△SBC的面積分別為S1、S2、S3.類比三角形中的正弦定理，給出空間圖形的一個(gè)猜想．[解析]如圖，在△DEF中，由正弦定理得eq\f(DE,sinF)＝eq\f(EF,sinD)＝eq\f(DF,sinE).如題中圖，由于平面SAB、平面SAC、平面SBC與底面所成的二面角分別為α1、α2、α3，類比可得在四面體S-ABC中，有eq\f(S△SAB,sinα1)＝eq\f(S△SAC,sinα2)＝eq\