《二面角》課堂教學(xué)實(shí)錄

第16頁(yè)共16頁(yè)《二面角》課堂教學(xué)實(shí)錄一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)1．二面角的有關(guān)概念．2．二面角的平面角的定義及作法．（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)1．利用類比的方法理解和掌握二面角的有關(guān)概念；掌握二面角的平面角的定義．2．用轉(zhuǎn)化的思維方法將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其平面角問(wèn)題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和分析、解決問(wèn)題的能力．3．通過(guò)練習(xí)，歸納總結(jié)作二面角的平面角的三種方法．（三）德育滲透點(diǎn)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到研究二面角的問(wèn)題是人類生產(chǎn)實(shí)踐的需要，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐第一的觀點(diǎn)．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法1．教學(xué)重點(diǎn)：二面角、二面角的平面角的概念．2．教學(xué)難點(diǎn)：如何選取恰當(dāng)?shù)奈恢米鞒龆娼堑钠矫娼莵?lái)解題．3．教學(xué)疑點(diǎn)：二面角的平面角必須滿足下列兩個(gè)條件：一是平面角的頂點(diǎn)必在棱上；二是平面角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)．三、課時(shí)安排1課時(shí)．四、教與學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）二面角師：我們知道，兩個(gè)平面的位置關(guān)系有兩種：一種是平行，另一種是相交．兩個(gè)相交平面的相對(duì)位置是由這兩個(gè)平面所成的“角”來(lái)確定的．在生產(chǎn)實(shí)踐中，有許多問(wèn)題也涉及到兩個(gè)平面所成的角．如：修筑水壩時(shí)，為了使水壩堅(jiān)固耐久，必須使水壩面和水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?；發(fā)射人造地球衛(wèi)生時(shí)，也要根據(jù)需要，使衛(wèi)星的軌道平面和地球的赤道平面成一定的角度（圖看課本P．39中圖1—43），等等．這些事實(shí)都說(shuō)明了研究?jī)蓚€(gè)平面所成的“角”是十分必要的，我們就把這樣的“角”叫二面角，那么如何定義二面角呢？閱讀課本P．39—40，回答下列問(wèn)題．師：我們先來(lái)回憶：什么是角？如何表示？生：從平面內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線（半直線）所組成的圖形叫做角（如圖1—117），表示為∠AOB．師：根據(jù)角的定義，我們可以類似地定義二面角．先給出半平面的定義．生：一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面（如圖1—119）．師：那么如何表示二面角呢？生：棱為AB，面為α、β的二面角記作二面角α—AB—β，如果棱用a表示，則記作二面角α—a—β．師：二面角的畫(huà)法通常有哪幾種？生：第一種是臥式法，也稱為平臥式（如圖1－120）．第二種是立式法，也稱為直立式．（二）平面角師：為了對(duì)相交平面的相互位置作進(jìn)一步的探討，有必要研究二面角的大小問(wèn)題．如門(mén)和墻所在的平面是相交的，但門(mén)可以在關(guān)上、開(kāi)一點(diǎn)小縫、開(kāi)一半、全開(kāi)等各種位置上，也就是說(shuō)兩平面雖處于相交的位置關(guān)系，但相互之間的位置關(guān)系還是應(yīng)當(dāng)討論的．為了表示二面角的大小，我們必須引入平面角的定義．定義：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．師：二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，即二面角的平面角是幾度，就說(shuō)這個(gè)二面角是幾度．現(xiàn)在我們來(lái)思考：?jiǎn)栴}1：這樣用平面角的度數(shù)來(lái)表示二面角的度數(shù)是否合理？為什么？生：是合理的．如圖1—121，在二面角α—a—β的棱a上任取一點(diǎn)O，在半平面α和β內(nèi)，從點(diǎn)O分別作垂直于棱a的射線OA、OB，射線OA和OB組成∠AOB，在棱上另取任意一點(diǎn)O＇，按同樣的方法作∠A＇O＇B＇，因?yàn)镺A和OA＇、OB和OB＇都垂直于棱a，所以∠AOB和∠A＇O＇B＇的兩邊分別平行且方向相同，根據(jù)等角定理，得：∠AOB＝∠A＇O＇B＇，即∠AOB的大小是一定的．由于這個(gè)唯一性，從而說(shuō)明這樣定義二面角的平面角是合理的，且與點(diǎn)O在棱上的位置無(wú)關(guān)．問(wèn)題2：二面角的平面角必須滿足哪幾個(gè)條件？生：兩個(gè)條件．一是平面角的頂點(diǎn)必在棱上；二是平面角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)．師：平面角是直角的二面角叫直二面角．在實(shí)際生活中，木工用活動(dòng)角尺測(cè)量工件的兩個(gè)面所成的角時(shí)，就是測(cè)量這兩個(gè)角所成二面角的平面角（圖見(jiàn)P．40中圖1—45）．我國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的傾角是68.5°，就是說(shuō)衛(wèi)生軌道平面與地球赤道平面所成的二面角的平面角是68.5°（圖見(jiàn)P．39中圖1—43）．下面請(qǐng)同學(xué)們完成例題和練習(xí)．（三）練習(xí)例如圖1—122，山坡的傾斜度（坡面與水平面所成二面角的度數(shù)）是60°，山坡上有一條直道CD，它和坡腳的水平線AB的夾角是30°，沿這條路上山，行走100米后升高多少米？解：已知CD=100米，設(shè)DH垂直于過(guò)BC的水平平面，垂足為H，線段DH的長(zhǎng)度就是所求的高度．在平面DBC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足是G，連結(jié)GH．∵DH⊥平面BCH，DG⊥BC，∴GH⊥BC．因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH所成的二面角的平面角，∠DGH＝60°，由此得：≈43.3（米）．答：沿直道前進(jìn)100米，升高約43.3米．注：在解題中要特別注意書(shū)寫(xiě)規(guī)范．如：∵DG⊥BC，GH⊥BC，∴∠DGH是坡面DGC和水平面BCH所成二面角的平面角．練習(xí)：（P．41—42練習(xí)1、2、3、4．）1．拿一張正三角形的紙片ABC，以它的高AD為折痕，折成一個(gè)二面角，指出這個(gè)二面角的面、棱、平面角．2．一個(gè)平面垂直于二面角的棱，它和二面角的兩個(gè)面的交線所成的角就是二面角的平面角．為什么？3．教室相鄰兩面墻、天花板兩兩所成的二面角各有多少度？4．在30°二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，它到另一個(gè)面的距離是10cm，求它到棱的距離．解：1．如圖1—123，二面角B—AD—C中，面ABD，面ACD；棱AD；平面角∠BDC．2．如圖1—124，平面AOB⊥a，平面AOB與平面α、β的交∠AOB是二面角α—a—β的平面角．3．如圖1—125，二面角α—c—β，二面角β—b—γ，二面角α—a—γ的平面角分別為∠AOB，∠AOC，∠BOC，都是90°．4．已知：如圖1—126，二面角α—AB—β為30°，P∈α，P到平面β的距離為10cm．求P到AB的距離．解：在β內(nèi)作點(diǎn)P的射影O，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q，連結(jié)OQ，根據(jù)三垂線定理，可得OQ⊥AB．∴∠PQO為二面角α—AB—β的平面角，即∠PQO＝3O°．∵PO＝10cm，∴PQ＝20cm．即P到AB的距離為20cm．小結(jié)：從上面四題練習(xí)，我們可以總結(jié)三種作二面角的平面角的一般方法．1．定義法：以二面角的棱上某一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角即二面角的平面角（如練習(xí)1，3）．2．應(yīng)用三垂線（逆）定理法：在二面角α—l—β的面α上取一點(diǎn)A，作AB⊥β于B，BC⊥l于C，則∠ACB即為α—l—β的平面角（如練習(xí)4）．3．作垂面法：作棱的垂面，則它和二面角的兩個(gè)面的交線所成的角就是二面角的平面角（如練習(xí)2）．（四）總結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二面角，二面角的平面角等有關(guān)概念，并學(xué)會(huì)了如何作二面角的平面角．學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是將二面角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其平面角的問(wèn)題．五、作業(yè)P．45—46中習(xí)題六1、2、3、4、5．《二面角》練習(xí)課教學(xué)目標(biāo)1．使學(xué)生進(jìn)一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；2．使學(xué)生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：使學(xué)生能夠作出二面角的平面角；難點(diǎn)：根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角．教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程重溫二面角的平面角的定義．（本節(jié)課設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)：空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于做好：定性分析，定位作圖，定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位，定性的深化．在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般說(shuō)來(lái)，對(duì)其平面角的定位是問(wèn)題解決的關(guān)鍵一步．可是學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定位，使問(wèn)題的解決徒勞無(wú)益．這正是本節(jié)課要解決的問(wèn)題．）教師：二面角是怎樣定義的？學(xué)生：從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角．教師：二面角的平面角是怎樣定義的？學(xué)生：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．教師：請(qǐng)同學(xué)們看下圖．如圖1：α，β是由l出發(fā)的兩個(gè)半平面，O是l上任意一點(diǎn)，OCα，且OC⊥l；ODβ，且OD⊥l．這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．從中我們可以得到下列特征：（1）過(guò)棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；另外，如果在OC上任取一點(diǎn)A，作AB⊥OD，垂足為B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，這便是另一特征．（3）體現(xiàn)出一完整的三垂線定理（或逆定理）的環(huán)境背影．教師：請(qǐng)同學(xué)們對(duì)以上特征進(jìn)行剖析．學(xué)生：由于二面角的平面角是由一點(diǎn)和兩條射線構(gòu)成，所以二面角的定位可化歸為“定點(diǎn)”或“定線”的問(wèn)題．教師：特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”．耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問(wèn)題背影互相溝通，給計(jì)算提供方便．（上面的引入力爭(zhēng)符合練習(xí)課教學(xué)的特點(diǎn)．練習(xí)是形成技能的重要途徑，練習(xí)課主要是訓(xùn)練學(xué)生良好的數(shù)學(xué)技能，同時(shí)伴隨著鞏固知識(shí)，發(fā)展智能和培育情感．特別要注意做到第一，知識(shí)的激活．激活知識(shí)有兩個(gè)目的，一是突出了知識(shí)中的重要因素；二是強(qiáng)化知識(shí)中的基本要素．第二，思維的調(diào)理．練習(xí)課成功的關(guān)鍵在于對(duì)學(xué)生思維激發(fā)的程度．學(xué)生躍躍欲試正是思維準(zhǔn)備較好的體現(xiàn)．因此，準(zhǔn)備階段安排一些調(diào)理思維的習(xí)題，確保學(xué)生思維的啟動(dòng)和運(yùn)作．請(qǐng)看下面兩道例題．）例1

已知：如圖2，四面體V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足為H，求側(cè)面與底面所成的角的大?。治觯河梢阎獥l件可知，頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂線定理可知，VO⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．（圖2）正因?yàn)榇怂拿骟w的特性，解決此問(wèn)題，可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn)，而且使得題設(shè)背影突出在面VOC上，給進(jìn)一步定量創(chuàng)造了得天獨(dú)厚的條件．特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ與α，β的交線，而交線所成的角就是α-l-β的平面角．（如圖3）由此可見(jiàn)，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”．例2

矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對(duì)角線BD把△ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于搞清折疊前后的“變”與“不變”．如果在平面圖形中過(guò)A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，則折疊后OA，OE與BD的垂直關(guān)系不變．但OA與OE此時(shí)變成相交兩線并確定一平面，此平面必與棱垂直．由特征（2）可知，面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角，即為所求二面角的平面角．另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在BC上，所以E點(diǎn)就是A′，這樣的定位給下面的定量提供了可能．在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通過(guò)對(duì)例2的定性分析、定位作圖和定量計(jì)算，特征（2）從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段，即可確定其平面角．“平面圖形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量．特征（3）顯示，如果二面角α-l-β的兩個(gè)半平面之一，存在垂線段AB，那么過(guò)垂足B作l的垂線交l于O，連結(jié)AO，由三垂線定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂線交l于O，連結(jié)OB，由三垂線定理的逆定理可知OB⊥l．此時(shí)，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如圖6）由此可見(jiàn)，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”．課堂練習(xí)1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，求面B1D1E與面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．練習(xí)1的環(huán)境背景表明，面B1D1E與面BB1C1C構(gòu)成兩個(gè)二面角，由特征（2）可知，這兩個(gè)二面角的大小必定互補(bǔ)．為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，線段C1D1會(huì)讓我們眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交B1E于O，然后連結(jié)OD1（或OC1）即得面D1B1E與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．將棱長(zhǎng)為a的正四面體的一個(gè)面與棱長(zhǎng)為a的正四棱錐的一個(gè)側(cè)面吻合，則吻合后的幾何體呈現(xiàn)幾個(gè)面？分析：這道題，考生答“7個(gè)面”的占99.9％，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？從例題中三個(gè)特征提供的思路在解決問(wèn)題時(shí)各具特色，它們的目標(biāo)分別是找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”．事實(shí)上，我們只要找到其中一個(gè)，另兩個(gè)就接踵而來(lái)．掌握這種關(guān)系對(duì)提高解題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．本題如果能融合三個(gè)特征對(duì)思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性．如圖9，過(guò)兩個(gè)幾何體的高線VP，VQ的垂足P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為BC的中點(diǎn)．OP延長(zhǎng)過(guò)A，OQ延長(zhǎng)交ED于R，考慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角A-BC-R的平面角，結(jié)合特征（1），（2），可得VAOR為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以這道題的正確答案應(yīng)該是5個(gè)面．（這一階段的教學(xué)主要是通過(guò)教師精心設(shè)計(jì)的一組例題與練習(xí)題，或邊練邊評(píng)，或由學(xué)生一鼓作氣練完后再逐題講評(píng)，達(dá)到練習(xí)的目的．其間要以學(xué)生“練”為主，教師“評(píng)”為輔）為了提高“導(dǎo)練”質(zhì)量，教師要力求解決好三個(gè)問(wèn)題：1．設(shè)計(jì)好練習(xí)．設(shè)計(jì)好練習(xí)是成功練習(xí)的前提．如何設(shè)計(jì)好練習(xí)是一門(mén)很深的學(xué)問(wèn)，要注意：圍繞重點(diǎn)，精選習(xí)題；由易到難，呈現(xiàn)題組；形式靈活，題型多變．2．組織好練習(xí)．組織練習(xí)是“導(dǎo)練”的實(shí)質(zhì)，“導(dǎo)練”就是有指導(dǎo)、有組織的練習(xí)過(guò)程．要通過(guò)一題多用、一題多變、一題多解等使學(xué)生舉一反三，從而提高練習(xí)的效果．有組織的練習(xí)還包括習(xí)題的臨時(shí)增刪、節(jié)奏的隨時(shí)控制、要求的適時(shí)調(diào)整等．3．講評(píng)好練習(xí)．講評(píng)一般安排在練習(xí)后進(jìn)行，也可以在練習(xí)前或練習(xí)時(shí)．練習(xí)前的講評(píng)，目的是喚起學(xué)生的注意，提醒學(xué)生避免出錯(cuò)起到前饋控制的作用；練習(xí)時(shí)的講評(píng)，屬于即時(shí)反饋，即學(xué)生練習(xí)，教師巡視，從中發(fā)現(xiàn)共性問(wèn)題及時(shí)指出來(lái)，以引起學(xué)生的注意；更多的是練習(xí)后的講評(píng)，如果采用題組練習(xí)，那么最常用的辦法是一組練習(xí)完畢后教師講評(píng)，再進(jìn)行下一組練習(xí)，以此類推．教師：由例1、例2和課堂練習(xí)，我們已經(jīng)看到二面角的平面角有三個(gè)特征，這三個(gè)特征互相聯(lián)系，客觀存在，但在許多問(wèn)題中卻表現(xiàn)得含糊而冷漠，三個(gè)特征均藏而不露，在這種形勢(shì)下，需認(rèn)真探索．學(xué)生：應(yīng)探索體現(xiàn)出一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，有了“垂線段”，便可以定位．教師：請(qǐng)大家研究下面的例題．例3

如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．分析：在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中，沒(méi)有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找出兩個(gè)面的共點(diǎn)，則這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．略解：如圖10．在面BB1CC1內(nèi)，作EH⊥B1C1于H，連結(jié)HA1，顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1．延長(zhǎng)EF，HA1交于G，過(guò)G，B1的直線為所求二面角的棱．在平面A1B1C1D1內(nèi)，作HK⊥GB1于K，連EK，則∠HKE為所求二面角的平面角．在平面A1B1C1D1內(nèi)，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽R(shí)t△GKH，可求得KH．又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值教師：有時(shí)我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過(guò)等價(jià)變換或具體的計(jì)算得出其平面角的大小．例如我們可以使用平移法．由兩平面平行的性質(zhì)可知，若兩平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么這兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面所成的二面角相等或互補(bǔ)．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角時(shí)，可利用此結(jié)論平移二面角的某一個(gè)面到合適的位置，以便等價(jià)地作出該二面角的平面角．略解：過(guò)F作A′B′的平行線交BB′于G，過(guò)G作B′C′的平行線交B′E于H，連FH．顯見(jiàn)平面FGH∥平面A′B′C′D′．則二面角B′-FH-G的平面角度數(shù)等于所求二面角的度數(shù)．過(guò)G作GM⊥HF，垂足為M，連B′M，由三垂線定理知B′M⊥HF．所以∠B′MG為二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大?。ň毩?xí)課的一個(gè)重要特