《二面角》課堂教學實錄

第16頁共16頁《二面角》課堂教學實錄一、素質(zhì)教育目標（一）知識教學點1．二面角的有關(guān)概念．2．二面角的平面角的定義及作法．（二）能力訓練點1．利用類比的方法理解和掌握二面角的有關(guān)概念；掌握二面角的平面角的定義．2．用轉(zhuǎn)化的思維方法將二面角問題轉(zhuǎn)化為其平面角問題，進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力和分析、解決問題的能力．3．通過練習，歸納總結(jié)作二面角的平面角的三種方法．（三）德育滲透點讓學生認識到研究二面角的問題是人類生產(chǎn)實踐的需要，進一步培養(yǎng)學生實踐第一的觀點．二、教學重點、難點、疑點及解決方法1．教學重點：二面角、二面角的平面角的概念．2．教學難點：如何選取恰當?shù)奈恢米鞒龆娼堑钠矫娼莵斫忸}．3．教學疑點：二面角的平面角必須滿足下列兩個條件：一是平面角的頂點必在棱上；二是平面角的兩邊分別在二面角的兩個面內(nèi)．三、課時安排1課時．四、教與學過程設(shè)計（一）二面角師：我們知道，兩個平面的位置關(guān)系有兩種：一種是平行，另一種是相交．兩個相交平面的相對位置是由這兩個平面所成的“角”來確定的．在生產(chǎn)實踐中，有許多問題也涉及到兩個平面所成的角．如：修筑水壩時，為了使水壩堅固耐久，必須使水壩面和水平面成適當?shù)慕嵌?；發(fā)射人造地球衛(wèi)生時，也要根據(jù)需要，使衛(wèi)星的軌道平面和地球的赤道平面成一定的角度（圖看課本P．39中圖1—43），等等．這些事實都說明了研究兩個平面所成的“角”是十分必要的，我們就把這樣的“角”叫二面角，那么如何定義二面角呢？閱讀課本P．39—40，回答下列問題．師：我們先來回憶：什么是角？如何表示？生：從平面內(nèi)一點出發(fā)的兩條射線（半直線）所組成的圖形叫做角（如圖1—117），表示為∠AOB．師：根據(jù)角的定義，我們可以類似地定義二面角．先給出半平面的定義．生：一個平面內(nèi)的一條直線，把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面（如圖1—119）．師：那么如何表示二面角呢？生：棱為AB，面為α、β的二面角記作二面角α—AB—β，如果棱用a表示，則記作二面角α—a—β．師：二面角的畫法通常有哪幾種？生：第一種是臥式法，也稱為平臥式（如圖1－120）．第二種是立式法，也稱為直立式．（二）平面角師：為了對相交平面的相互位置作進一步的探討，有必要研究二面角的大小問題．如門和墻所在的平面是相交的，但門可以在關(guān)上、開一點小縫、開一半、全開等各種位置上，也就是說兩平面雖處于相交的位置關(guān)系，但相互之間的位置關(guān)系還是應(yīng)當討論的．為了表示二面角的大小，我們必須引入平面角的定義．定義：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．師：二面角的大小可以用它的平面角來度量，即二面角的平面角是幾度，就說這個二面角是幾度．現(xiàn)在我們來思考：問題1：這樣用平面角的度數(shù)來表示二面角的度數(shù)是否合理？為什么？生：是合理的．如圖1—121，在二面角α—a—β的棱a上任取一點O，在半平面α和β內(nèi)，從點O分別作垂直于棱a的射線OA、OB，射線OA和OB組成∠AOB，在棱上另取任意一點O＇，按同樣的方法作∠A＇O＇B＇，因為OA和OA＇、OB和OB＇都垂直于棱a，所以∠AOB和∠A＇O＇B＇的兩邊分別平行且方向相同，根據(jù)等角定理，得：∠AOB＝∠A＇O＇B＇，即∠AOB的大小是一定的．由于這個唯一性，從而說明這樣定義二面角的平面角是合理的，且與點O在棱上的位置無關(guān)．問題2：二面角的平面角必須滿足哪幾個條件？生：兩個條件．一是平面角的頂點必在棱上；二是平面角的兩邊分別在二面角的兩個面內(nèi)．師：平面角是直角的二面角叫直二面角．在實際生活中，木工用活動角尺測量工件的兩個面所成的角時，就是測量這兩個角所成二面角的平面角（圖見P．40中圖1—45）．我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的傾角是68.5°，就是說衛(wèi)生軌道平面與地球赤道平面所成的二面角的平面角是68.5°（圖見P．39中圖1—43）．下面請同學們完成例題和練習．（三）練習例如圖1—122，山坡的傾斜度（坡面與水平面所成二面角的度數(shù)）是60°，山坡上有一條直道CD，它和坡腳的水平線AB的夾角是30°，沿這條路上山，行走100米后升高多少米？解：已知CD=100米，設(shè)DH垂直于過BC的水平平面，垂足為H，線段DH的長度就是所求的高度．在平面DBC內(nèi)，過點D作DG⊥BC，垂足是G，連結(jié)GH．∵DH⊥平面BCH，DG⊥BC，∴GH⊥BC．因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH所成的二面角的平面角，∠DGH＝60°，由此得：≈43.3（米）．答：沿直道前進100米，升高約43.3米．注：在解題中要特別注意書寫規(guī)范．如：∵DG⊥BC，GH⊥BC，∴∠DGH是坡面DGC和水平面BCH所成二面角的平面角．練習：（P．41—42練習1、2、3、4．）1．拿一張正三角形的紙片ABC，以它的高AD為折痕，折成一個二面角，指出這個二面角的面、棱、平面角．2．一個平面垂直于二面角的棱，它和二面角的兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角．為什么？3．教室相鄰兩面墻、天花板兩兩所成的二面角各有多少度？4．在30°二面角的一個面內(nèi)有一個點，它到另一個面的距離是10cm，求它到棱的距離．解：1．如圖1—123，二面角B—AD—C中，面ABD，面ACD；棱AD；平面角∠BDC．2．如圖1—124，平面AOB⊥a，平面AOB與平面α、β的交∠AOB是二面角α—a—β的平面角．3．如圖1—125，二面角α—c—β，二面角β—b—γ，二面角α—a—γ的平面角分別為∠AOB，∠AOC，∠BOC，都是90°．4．已知：如圖1—126，二面角α—AB—β為30°，P∈α，P到平面β的距離為10cm．求P到AB的距離．解：在β內(nèi)作點P的射影O，過點P作PQ⊥AB于Q，連結(jié)OQ，根據(jù)三垂線定理，可得OQ⊥AB．∴∠PQO為二面角α—AB—β的平面角，即∠PQO＝3O°．∵PO＝10cm，∴PQ＝20cm．即P到AB的距離為20cm．小結(jié)：從上面四題練習，我們可以總結(jié)三種作二面角的平面角的一般方法．1．定義法：以二面角的棱上某一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角即二面角的平面角（如練習1，3）．2．應(yīng)用三垂線（逆）定理法：在二面角α—l—β的面α上取一點A，作AB⊥β于B，BC⊥l于C，則∠ACB即為α—l—β的平面角（如練習4）．3．作垂面法：作棱的垂面，則它和二面角的兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角（如練習2）．（四）總結(jié)本節(jié)課我們學習了二面角，二面角的平面角等有關(guān)概念，并學會了如何作二面角的平面角．學習的關(guān)鍵是將二面角的問題轉(zhuǎn)化為其平面角的問題．五、作業(yè)P．45—46中習題六1、2、3、4、5．《二面角》練習課教學目標1．使學生進一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；2．使學生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問題和解決問題的能力．教學重點和難點重點：使學生能夠作出二面角的平面角；難點：根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角．教學設(shè)計過程重溫二面角的平面角的定義．（本節(jié)課設(shè)計的出發(fā)點：空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于做好：定性分析，定位作圖，定量計算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位，定性的深化．在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般說來，對其平面角的定位是問題解決的關(guān)鍵一步．可是學生往往把握不住其定位的基本思路而導致思維混亂，甚至錯誤地定位，使問題的解決徒勞無益．這正是本節(jié)課要解決的問題．）教師：二面角是怎樣定義的？學生：從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角．教師：二面角的平面角是怎樣定義的？學生：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．教師：請同學們看下圖．如圖1：α，β是由l出發(fā)的兩個半平面，O是l上任意一點，OCα，且OC⊥l；ODβ，且OD⊥l．這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．從中我們可以得到下列特征：（1）過棱上任意一點，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；另外，如果在OC上任取一點A，作AB⊥OD，垂足為B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，這便是另一特征．（3）體現(xiàn)出一完整的三垂線定理（或逆定理）的環(huán)境背影．教師：請同學們對以上特征進行剖析．學生：由于二面角的平面角是由一點和兩條射線構(gòu)成，所以二面角的定位可化歸為“定點”或“定線”的問題．教師：特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點”．耐人尋味的是這一點可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問題背影互相溝通，給計算提供方便．（上面的引入力爭符合練習課教學的特點．練習是形成技能的重要途徑，練習課主要是訓練學生良好的數(shù)學技能，同時伴隨著鞏固知識，發(fā)展智能和培育情感．特別要注意做到第一，知識的激活．激活知識有兩個目的，一是突出了知識中的重要因素；二是強化知識中的基本要素．第二，思維的調(diào)理．練習課成功的關(guān)鍵在于對學生思維激發(fā)的程度．學生躍躍欲試正是思維準備較好的體現(xiàn)．因此，準備階段安排一些調(diào)理思維的習題，確保學生思維的啟動和運作．請看下面兩道例題．）例1

已知：如圖2，四面體V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足為H，求側(cè)面與底面所成的角的大?。治觯河梢阎獥l件可知，頂點V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂線定理可知，VO⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．（圖2）正因為此四面體的特性，解決此問題，可以取AB的中點O為其平面角的頂點，而且使得題設(shè)背影突出在面VOC上，給進一步定量創(chuàng)造了得天獨厚的條件．特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ與α，β的交線，而交線所成的角就是α-l-β的平面角．（如圖3）由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”．例2

矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線BD把△ABD折起，使點A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問題，解決問題的關(guān)鍵在于搞清折疊前后的“變”與“不變”．如果在平面圖形中過A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，則折疊后OA，OE與BD的垂直關(guān)系不變．但OA與OE此時變成相交兩線并確定一平面，此平面必與棱垂直．由特征（2）可知，面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角，即為所求二面角的平面角．另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在BC上，所以E點就是A′，這樣的定位給下面的定量提供了可能．在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通過對例2的定性分析、定位作圖和定量計算，特征（2）從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當?shù)拇咕€段，即可確定其平面角．“平面圖形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量．特征（3）顯示，如果二面角α-l-β的兩個半平面之一，存在垂線段AB，那么過垂足B作l的垂線交l于O，連結(jié)AO，由三垂線定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂線交l于O，連結(jié)OB，由三垂線定理的逆定理可知OB⊥l．此時，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如圖6）由此可見，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”．課堂練習1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，E為BC的中點，求面B1D1E與面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．練習1的環(huán)境背景表明，面B1D1E與面BB1C1C構(gòu)成兩個二面角，由特征（2）可知，這兩個二面角的大小必定互補．為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，線段C1D1會讓我們眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交B1E于O，然后連結(jié)OD1（或OC1）即得面D1B1E與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．將棱長為a的正四面體的一個面與棱長為a的正四棱錐的一個側(cè)面吻合，則吻合后的幾何體呈現(xiàn)幾個面？分析：這道題，考生答“7個面”的占99.9％，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？從例題中三個特征提供的思路在解決問題時各具特色，它們的目標分別是找“點”、“垂面”、“垂線段”．事實上，我們只要找到其中一個，另兩個就接踵而來．掌握這種關(guān)系對提高解題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．本題如果能融合三個特征對思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性．如圖9，過兩個幾何體的高線VP，VQ的垂足P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為BC的中點．OP延長過A，OQ延長交ED于R，考慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角A-BC-R的平面角，結(jié)合特征（1），（2），可得VAOR為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以這道題的正確答案應(yīng)該是5個面．（這一階段的教學主要是通過教師精心設(shè)計的一組例題與練習題，或邊練邊評，或由學生一鼓作氣練完后再逐題講評，達到練習的目的．其間要以學生“練”為主，教師“評”為輔）為了提高“導練”質(zhì)量，教師要力求解決好三個問題：1．設(shè)計好練習．設(shè)計好練習是成功練習的前提．如何設(shè)計好練習是一門很深的學問，要注意：圍繞重點，精選習題；由易到難，呈現(xiàn)題組；形式靈活，題型多變．2．組織好練習．組織練習是“導練”的實質(zhì)，“導練”就是有指導、有組織的練習過程．要通過一題多用、一題多變、一題多解等使學生舉一反三，從而提高練習的效果．有組織的練習還包括習題的臨時增刪、節(jié)奏的隨時控制、要求的適時調(diào)整等．3．講評好練習．講評一般安排在練習后進行，也可以在練習前或練習時．練習前的講評，目的是喚起學生的注意，提醒學生避免出錯起到前饋控制的作用；練習時的講評，屬于即時反饋，即學生練習，教師巡視，從中發(fā)現(xiàn)共性問題及時指出來，以引起學生的注意；更多的是練習后的講評，如果采用題組練習，那么最常用的辦法是一組練習完畢后教師講評，再進行下一組練習，以此類推．教師：由例1、例2和課堂練習，我們已經(jīng)看到二面角的平面角有三個特征，這三個特征互相聯(lián)系，客觀存在，但在許多問題中卻表現(xiàn)得含糊而冷漠，三個特征均藏而不露，在這種形勢下，需認真探索．學生：應(yīng)探索體現(xiàn)出一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，有了“垂線段”，便可以定位．教師：請大家研究下面的例題．例3

如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．分析：在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中，沒有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個面內(nèi)找出兩個面的共點，則這兩個公共點的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．略解：如圖10．在面BB1CC1內(nèi)，作EH⊥B1C1于H，連結(jié)HA1，顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1．延長EF，HA1交于G，過G，B1的直線為所求二面角的棱．在平面A1B1C1D1內(nèi)，作HK⊥GB1于K，連EK，則∠HKE為所求二面角的平面角．在平面A1B1C1D1內(nèi)，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH．又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值教師：有時我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過等價變換或具體的計算得出其平面角的大?。缥覀兛梢允褂闷揭品ǎ蓛善矫嫫叫械男再|(zhì)可知，若兩平行平面同時與第三個平面相交，那么這兩個平行平面與第三個平面所成的二面角相等或互補．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角時，可利用此結(jié)論平移二面角的某一個面到合適的位置，以便等價地作出該二面角的平面角．略解：過F作A′B′的平行線交BB′于G，過G作B′C′的平行線交B′E于H，連FH．顯見平面FGH∥平面A′B′C′D′．則二面角B′-FH-G的平面角度數(shù)等于所求二面角的度數(shù)．過G作GM⊥HF，垂足為M，連B′M，由三垂線定理知B′M⊥HF．所以∠B′MG為二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大?。ň毩曊n的一個重要特