《兩個平面平行的判定和性質》課堂教學實錄

第11頁共12頁《兩個平面平行的判定和性質》課堂教學實錄（一）一、素質教育目標（一）知識教學點1．兩個平面平行的定義．2．兩個平面的位置關系及畫法．3．兩個平面平行的判定．（二）能力訓練點1．理解并掌握兩個平面平行的定義．2．掌握兩個平面的位置關系應用了類比的方法，體現(xiàn)了分類的數(shù)學思維方法．3．會畫平行或相交平面的空間圖形，并用字母或符號表示，進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力．4．掌握兩個平面的判定定理的證明，進一步培養(yǎng)學生嚴密的邏輯思維能力．（三）德育滲透點讓學生認識研究兩個平面的位置關系以及掌握和應用兩個平面平行的判定是實際生產的需要，體現(xiàn)了理論聯(lián)系實踐的原則，并更好地培養(yǎng)學生分析問題與解決問題的能力．二、教學重點、難點、疑點及解決方法1．教學重點：掌握兩個平面的位置關系；掌握兩個平面平行的判定．2．教學難點：掌握兩個平面平行的判定定理的證明及其應用．3．教學疑點：正確理解并應用兩個平面平行的判定定理時，要注意定理中的關鍵詞：相交．三、課時安排1．12兩個平面的位置關系及1．13兩個平面平行的判定和性質這兩個課題調整安排為2課時．本節(jié)課為第一課時，主要講解兩個平面的位置關系及兩個平面平行的判定．四、教與學過程設計（一）兩個平面的位置關系師：讓我們一起來觀察：教室的正面和背面、左面和右面的墻面有沒有公共點？教室的正面和側面的墻面呢？思考問題：兩個平面的位置關系可分為幾種情況？學生通過直觀觀察得出結論：兩種，平行或相交．師：什么是平行的平面？生：兩個平面沒有公共點叫做兩個平面互相平行．師：能否再舉出一些兩個平面平行和相交的實例？（P．35中練習1．）學生自由回答，教師點評．師：從上面的例子，我們知道：兩個平面的位置關系同平面內兩條直線的位置關系相類似，可從有無公共點來區(qū)分．若兩個平面有不共線的兩個公共點，則由公理3可知這兩個平面必然重合為一個平面；若兩個平面有一個公共點，則由公理2可知這兩個平面相交于過這個點的一條直線；若兩個平面沒有公共點，則這兩個平面互相平行．由此得出不重合的兩個平面的位置關系：兩個平面平行——沒有公共點；兩個平面相交——有一條公共直線（至少有一個公共點）．師：那么如何畫出并表示兩個平行平面和兩個相交平面呢？師邊畫邊答：畫兩個平行平面的要點是：表示平面的平行四邊形的對應邊相互平行．如圖1—102．畫兩個相交平面的要點是：先畫表示兩個平面的平行四邊形的相交兩邊，再畫表示兩個平面交線的線段．成圖時注意不相交的直線相互平行且等長，不可見的部分畫虛線或不畫．如圖1—103．學生練習（P．35中練習2）：畫兩個平行平面和分別在這兩個平面內的兩條平行直線，再畫一個經過這兩條平行直線的平面．如圖1—104，α∥β，a∥b，a＜α，b＜β，a＜γ，b＜γ．（二）兩個平面平行的判定師：根據(jù)前一小節(jié)平面平行的定義，我們來判斷兩個互逆命題的正誤，并說明理由（幻燈顯示）．命題1．如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的所有直線一定都和另一個平面平行．命題2．如果一個平面內的所有直線都和另一個平面平行，那么這兩個平面平行．生：命題1是正確的．因為在這些直線中如果有一條和另一個平面有公共點，這點也必是這兩個平面的公共點．那么這兩個平面就不可能平行了．命題2也是正確的．因為如果這兩個平面有公共點，那么在另一個平面內通過這點的直線就不可能平行于另一個平面．師：通過上面的討論我們知道：兩個平面平行的問題可轉化為一個平面內直線和另一個平面平行的問題．實際上判定兩個平面平行的條件不需要一個平面內的所有直線都平行于另一個平面，只需要在一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面．兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．師：我們知道，一個定理只有經過證明才能說明它的正確性并直接應用，下面我們來證明這個定理．已知：在平面β內，有兩條相交直線a、b和平面α平行．求證：β∥α．師分析：要證明這個定理，先思考幾個問題（提出問題并啟發(fā)學生得出結論）（幻燈顯示）．問題1：如果平面α與平面β不平行，那么它們的位置關系怎樣？（相交）．問題2：若平面α與平面β相交，那么交線與平行于平面α的直線a和b各有什么關系？（平行）．問題3：相交直線a和b都與交線平行合理嗎？（不合理，與平行公理矛盾）．師：總結得出證明定理應該根據(jù)定義，利用反證法，讓學生寫出它的證明過程．證明：假設α∩β＝c．a∥α，a∩β，a∥c，同理b∥c．a∥b，這與題設a與b相交矛盾α∥β．師：在實際生活中，也經常利用這個判定定理判斷兩個平面平行．如在判斷一個平面是否水平時，把水準器放在這個平面上交叉放兩次，如果水準器的氣泡都是居中的，就可以判定這個平面和水平面平行．下面請同學們完成例1和練習．（三）練習例1垂直于同一直線的兩個平面平行．已知：α⊥AA＇，β⊥AA＇，求證：α∥β．師提示：要證明兩個平面平行，有兩種方法：一是利用定義；二是利用判定定理，也是較常用的一種方法．因此利用判定定理證明例1的關鍵是：如何構造一個平面內的兩相交直線都平行于另一個平面？證明：設經過直線AA＇的兩個平面γ，δ分別與平面α、β交于直線a，a＇和b，b＇．∵AA＇⊥α，AA＇⊥β，∴AA⊥a，AA＇⊥a＇，∴a‖a＇，則a＇∥α．同理，b＇∥α．又∵a＇∩b＇＝A＇∴α∥β．師：這個例題的結論可與定理“垂直于同一平面的兩條直線平行”聯(lián)系起來記憶，也可作為判定兩個平面平行的一種方法．練習：判斷下列命題的正誤（幻燈顯示）．1．垂直于同一直線的兩直線平行．2．分別在兩個平行平面內的兩條直線都平行（P．37中練習1）．3．如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（P．38中練習2<1>）．4．如果一個平面內的任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（P．38中練習2<2>）．答：1．錯，這兩條直線還可能相交或異面．2．錯，這兩條直線還可能異面，但不會相交．3．錯，反例如圖1—107．4．對．（四）總結本節(jié)課我們學習了兩個平面平行的定義；兩個平面的位置關系：平行或相交；兩個平面平行的判定．掌握兩個平面平行的判定的研究可以轉化為線線平行、線面平行的研究．五、作業(yè)P．38中習題五1、2、3．補充：1．a、b為異面直線，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β．求證：α∥β．θ2，∠AOD＝θ3．求證：cos·θ3＝cosθ1·cosθ2．《兩個平面平行的判定和性質》課堂教學實錄（二）一、素質教育目標（一）知識教學點1．兩個平面平行的性質．2．兩個平行平面的公垂線、公垂線段、距離的定義．（二）能力訓練點1．利用轉化的思維方法掌握和應用兩個平面平行的性質．2．應用類比的方法理解并掌握兩個平行平面的公垂線、公垂線段、距離的定義．二、教學重點、難點、疑點及解決方法1．教學重點：掌握兩個平面平行的性質及其應用；掌握兩平行平面間的距離的概念，會求兩個平行平面間的距離．2．教學難點：掌握兩個平行平面的性質及其應用．3．教學疑點：正確掌握如何將兩個平面平行的性質的研究轉化為線線平行、線面平行、線面垂直的研究．三、課時安排1．12兩個平面的位置關系及1．13兩個平面平行的判定和性質這兩個課題調整安排為2課時．本節(jié)課為第二課時，主要講解兩個平面平行的性質．四、教與學過程設計（一）復習兩個平面的位置關系及兩個平面平行的判定（一）復習兩個平面的位置關系及兩個平面平行的判定師：兩個平面的位置關系有哪幾種？生：平行或相交．師：兩個平面平行的判定方法有哪幾種？生：第一種可根據(jù)定義（一般用反證法）．b＝0，a∥β，b∥β，則α∥β．第三種可根據(jù)例1的結論，即：如圖1－110，若α⊥AA＇，β⊥AA＇，則α∥β．（二）兩個平面平行的性質師：今天我們研究兩個平面平行的性質．根據(jù)兩個平面平行直線和平面平行的定義可知：兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面．因此，在解決實際問題時，常常把面面平行轉化為線面平行或線線平行．這個結論可作為兩個平面平行的性質1：若α∥1．兩個平面平行的性質定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．已知：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b．求證：a∥b．師：要證明這個定理，有兩種證法：直接證法和間接證法（即反證法）．下面請同學們書寫直接證法，口述反證法．生：（直接證法．）∵α∥β，∴α與β沒有公共點．∴a∥b．（反證法．）假設直線a不平行于直線b，因為直線a、b在同一個平面γ內，公共點P，即α，β相交，這與“α∥β”矛盾，所以假設不成立，即a∥b．師：這個結論可作為性質2：若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥b．下面我們再看一個例題．2．例題例2一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面．已知：α∥β，l⊥α，l∩α＝A．求證：l⊥β．師提問：證明直線與平面垂直的方法有幾種？師與生共同回憶：方法一，證明直線與平面內的任何一條直線都垂直；方法二，證明直線與平面內兩條相交的直線垂直；方法三，證明直線的一條平行線與平面垂直．比較幾種方法，我們可以試著用第一種方法來證明．證明：在平面β內任取一條直線b，平面γ是經過點A與直線b的平面，設γ∩α＝a．因為直線b是平面β內的任意一條直線，所以l⊥β．師：這個例題的結論可與定理“一個平面垂直于兩條平行直線中的一條直線，它也垂直于另一條直線．”聯(lián)系起來記憶，它也可作為性質3：若α∥β，l⊥α，則l⊥β．3．兩個平行平面的公垂線、公垂線段和距離師：象性質3這樣的，和兩個平行平面α，β同時垂直的直線l，叫做這兩個平行平面α，β的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的部分叫做這兩個平行平面的公垂線段．如圖1—113，α∥β．如果AA＇、BB＇都是它們的公垂線段，那么AA＇∥BB＇，根據(jù)兩個平面平行的性質定理有A＇B＇∥AB，所以四邊形ABB＇A＇是平行四邊形，AA＇＝BB＇．由此，我們得到，兩個平行平面的公垂線段都相等，公垂線段的長度具有唯一性．與兩平行線間的距離定義相類似，我們把公垂線段的長度叫做兩個平行平面的距離．兩個平行平面間距離實質上也是點到面或兩點間的距離，求值最后也是通過解三角形求得4．練習（幻燈顯示）（1）如圖1—114，平面α∥β，△ABC在β內，P是α、β間的一點，線段PA、PB、PC分別交α于A＇、B＇、C＇，若BC=12cm，AC＝50cm，AB＝13cm，且PA＇∶PA=2∶3，則△師提示：△ABC∽△A＇B＇C＇，且相似比為3∶2．BB＇⊥β于B＇，若AC⊥AB，AC與β成60°角，AC＝8cm，B＇師提示：可求A＇C＝4cm，又可證AB⊥平面AA＇C，且四邊形AA＇B＇B為矩形，∴AB＝A＇B＇，AB∥A＇B＇．∴A＇B＇⊥平面AA＇C，從而A＇B＇⊥A＇C．在Rt△A＇B＇C中，（3）（P．38中練習3）夾在兩個平行平面間的平行線段相等．已知：如圖1—116，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求證：AB＝CD．證明：∵AB∥CD，∴過AB、CD的平面γ與平面α和β分別交于AC＇和BD．∵α∥β，∴BD∥AC．∴四邊形