2024-2025學年湖南省師大附中高三上學期月考（二）數(shù)學試題及答案

湖南師大附中2025屆高三月考試卷（二）數(shù)學命題人?審題人：高三數(shù)學備課組時量：120分鐘滿分：150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.11+iz=1.的虛部是（）112?1A.1B.C.?D.2a?b=3b2.a是單位向量，向量b滿足A.2B.43.已知角θ的終邊在直線y=2x上，則，則的最大值為（）C.3D.1θsinθ+θ的值為（）231321A.?B.?C.D.33x+?<e3a,x0()=fx對任意的∈，且≠1,2R12，總滿足以下不等關(guān)系：4.已知函數(shù)x2+a,x≥0()?()f1f2>0a，則實數(shù)的取值范圍為（）1?2343Aa≤B.a≥C.a1≤a≥1D.4AB,CDAB⊥CD，三棱錐5.如圖，圓柱的母線長為分別為該圓柱的上底面和下底面直徑，且8A?BCD的體積為，則圓柱的表面積為（）392A.10πB.πC.4πD.8π6.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為2，過焦點F的直線與拋物線交于,B兩l2+3點，則的最小值為（）5A.6+B.26+5C.46+10πD.112ππ()=(+?)，其中?<若x∈R，都有+=?則=()的圖fx.fxxfxfxy7.設函數(shù).2441y=x?1的交點個數(shù)為（象與直線）4A.1B.2C.3D.4()()滿足：()≠()()?()?()=(?)，且fxy8.已知定義域為R的函數(shù)fx,gxg0fxgyfygx()()?()()=(?)，則下列說法正確的是（gxgyfxfygxy）()=f01A.B.()是偶函數(shù)fx12()+()=C.若f1g1，則()?()=22024f2024g2024()?()=，則()+()=g1f11f2024g20242D.若?二多選題：本題共小題，每小題分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目3618.要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是（）1(1?3)2+(2?3)2+(?3)2，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于s2=+A.一個樣本的方差20x,x,,x2x?2x?210?1，的標準差為12B.若樣本數(shù)據(jù)的標準差為，則數(shù)據(jù)12C.數(shù)據(jù)27,23的第百分位數(shù)是23D.若一個樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)樣本中又加入一個新數(shù)據(jù)，此時樣本容量為9，平均數(shù)不變，方差變小fxax3bx2()=?+10.已知函數(shù)，則（）f(x)的值域為RA.B.fx()圖象的對稱中心為(2)?時，f(x)在區(qū)間(?1)內(nèi)單調(diào)遞減C.當ba>0()有兩個極值點fxD.當0時，>我國古代太極圖是一種優(yōu)美的對稱圖.定義：能夠?qū)AO的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓O的一個太極函數(shù)，則下列命題中正確的是（）()=+是圓=1的一個太極函數(shù)fxsinx1O:x2+(y?2A.函數(shù)B.對于圓O:xC.對于圓O:x22+y+y22=1的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，都不能為偶函數(shù)=1的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，均為中心對稱圖形fxkx3kR()=?(∈)是圓2+y2=115的太極函數(shù)，則∈(?2)kD.若函數(shù)O:x?三填空題：本題共小題，每小題分，共35.分y=2x?x()處的切線與拋物線1,2y=ax?ax+2相切，則a=__________.212.在點?2?2?2?F,2，若P為橢圓C113.已知橢圓=1(?>?>0)的左右焦點分別為上一點，?:+?2c⊥FFF的內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓C的離心率為______.112123x()=+(x>4)，若a是從2,3,4四個數(shù)中任取一個，b14.設函數(shù)fxax24六是從x?4個數(shù)中任取一個，則f(x)>b恒成立的概率為__________.四解答題：本題共小題，共77分解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟.?5.?中，角所對的邊分別為，已知(+)(?)=(?)15.在ABC,B,Ca,b,cbcsinBsinCacsinA.（1B；33（2的面積為，且AD=2，求BD的最小值.423，點2在雙曲線E上，點1,F分別為雙曲線的2x16.已知雙曲線E的焦點在軸上，離心率為3?.左右焦點（1E的方程；（2作兩條相互垂直的和Fll，與雙曲線的右支分別交于A，CB,D兩點和兩點，求四邊形212ABCD面積的最小值.1BABC?ABC,AB=2AB=42,P為棱1B117.如圖，側(cè)面上的動點.水平放置的正三棱臺，側(cè)棱長為111111AA1⊥1B；1（1）求證：平面5（2）是否存在點P，使得平面與平面存在，請說明理由.ABC的夾角的余弦值為111？若存在，求出點P；若不{}同時滿足下列兩個性質(zhì)：①存在M>0，使得an；②{}為單調(diào)an*18.若無窮正項數(shù)列n<M,n∈N數(shù)列，則稱數(shù)列{}具有性質(zhì)P.ann13（1n2nb，=?=n{}{}a,b（）判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)P，并說明理由；nnS=ab+ab++ab{}是否具有性質(zhì)，并說明理由；S（）記，判斷數(shù)列Pn1122nnn12()<p<（2）已知離散型隨機變量X服從二項分布Bn,p,0Xc.，記為奇數(shù)的概率為證明：數(shù)列n{}具有性質(zhì)cP.nx?24e()=19已知函數(shù)fx?g(x)=?x2+ax?a2?a∈（aR且a<2）.2x，x（1）令?(x)=f(x)?g(x),h(x)是?(x)的導函數(shù)，判斷h(x)的單調(diào)性；（2f(x)≥g(x)對任意的x∈+∞)恒成立，求的取值范圍.a湖南師大附中2025屆高三月考試卷（二）數(shù)學命題人?審題人：高三數(shù)學備課組時量：120分鐘滿分：150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.11+iz=1.的虛部是（）112?1A.1B.C.?D.2【答案】C【解析】【分析】先化簡給定復數(shù)，再利用虛部的定義求解即可.11?i(+)(?)1?i1iz====?【詳解】因為，1+i1i1i2221?所以其虛部為，故C正確.2故選：C.a?b=3b2.a是單位向量，向量b滿足，則的最大值為（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】==ab?=3B在以A為圓心，3a,bb何意義，可得的最大值.【詳解】==ab?=3，設a,b，因為即?==3，即AB=3，所以點B在以A為圓心，3為半徑的圓上，=1，又a是單位向量，則+=1+3=4b故最大值為故選：B.3.已知角θ的終邊在直線y=2x上，則，即的最大值為4.θsinθ+θ的值為（）2313213A.?B.?C.D.3【答案】D【解析】cosθsinθ+cosθ1+tanθ1【分析】由角θ的終邊，得θ=2，由同角三角函數(shù)的關(guān)系得=，代入求值即可.【詳解】因為角θ的終邊在直線y=2xθ=2.上，所以cosθsinθ+cosθ1+tanθ1+2111===.所以3故選：D.x+?<e3a,x0()=fx對任意的∈，且≠1,2R12，總滿足以下不等關(guān)系：4.已知函數(shù)x2+a,x≥0()?()f1f2>0a，則實數(shù)的取值范圍為（）1?2343A.a≤B.a≥C.a1≤a≥1D.4【答案】D【解析】【分析】由條件判定函數(shù)的單調(diào)性，再利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.()?()f1fx2>0?f(x)在?上單調(diào)遞增，1?2x+?<e3a,x0fx=又()，x2+a,x≥0f(x)=e+3?a單調(diào)遞增，x當x0時，<當x≥0時，()單調(diào)遞增，fx只需1+3?a≤0+a，解得a≥1.故選：D.AB,CDAB⊥CD，三棱錐5.如圖，圓柱的母線長為分別為該圓柱的上底面和下底面直徑，且8A?BCD的體積為，則圓柱的表面積為（）392A.10πB.πC.4πD.8π【答案】A【解析】1【分析】取的中點O，由VA?=S?，可求解底面半徑，即可求解.3rAB⊥CDBC=AC=BD=AD，易得，【詳解】設底面圓半徑為，由取的中點O，連接OC,，AB⊥OC,AB⊥OD=O,OC,OD?平面OCD則，又，111?AB=××2r×4×2r=83⊥平面OCD，所以，V=SA?BCDOCD所以AB，332解得?=，所以圓柱表面積為2r2+4×2r10π.=故選A.6.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為2，過焦點F的直線與拋物線交于,B兩l2+3點，則的最小值為（）5A.6+B.26+5C.46+10D.112【答案】B【解析】=4xl的方程為：xty1C的方=+C的方程為y2xxAF=1+1，BF=2+1212+3出的最小值即可.11+=1，再利用基本不等式即可求解即可.（方法二）首先求出AFBFp=2因為拋物線C的焦點到準線的距離為2，故，所以拋物線C的方程為y2=4x，焦點坐標為?(1,0)，x=ty+Ax,y,Bx,y()()，不妨設y>0>y，12設直線l的方程為：11222=4xyy2?ty?4=0y1+y2t,1y2=?4，=聯(lián)立方程，整理得，則x=ty+1y214y224故12=?=1，p?=+=+21，又|??|=1+=1+1，BF2222AF3BF21+=(+)+(+)=1321++≥2132526xx5265+=+則，1266=,2=23+26+5.的最小值為當且僅當1時等號成立，故23故選：B.1111x+x+212xx=1+=+==1，（方法二）由方法一可得，則12AFBFx+1x+1xx+x+x+112121212AF3BF1()=++2+3=2AF+3BF+5因此AFBFBFAF3BF2AF≥5+2?=5+26，AFBF66當且僅當AF=1+,BF=1+時等號成立，232+3故的最小值為26+5.故選：B.7.設函數(shù)ππ4π4()=(+?)，其中?<若x∈R，都有+=?則=()的圖fx.fxxfxfxy.21y=x?1的交點個數(shù)為（象與直線）4A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】π4fx=cosx?【分析】利用給定條件求出()，再作出圖像求解交點個數(shù)即可.π4π4【詳解】對x∈R，都有f+x=f?x，πx=所以所以是?=?(?的一條對稱軸，4πππk+?=(∈)Z?<，又，42ππ4所以?=?fxcosx()=?，.所以4π1fx=cosx?在平面直角坐標系中畫出()y=x?1的圖象，與443π3π13π3πx=?f?=?1，=×(?y)?1=??1<?1，當當當當時，4444165π5πf15π=?1，=×?=5πx=x=x=y1?1>?1，時，4444169ππ419π=×?=9πf1=y1?1<1，時，，44416π17π4117π=×117πf1=y?=?1>1時，，444161y=x?1所以如圖所示，可知?=?(?的圖象與直線故選：C.的交點個數(shù)為，故C正確.4()()滿足：()≠()()?()?()=(?)，且fxy8.已知定義域為R的函數(shù)fx,gxg0fxgyfygx()()?()()=(?)，則下列說法正確的是（gxgyfxfygxy）()=f01A.B.()是偶函數(shù)fx12()+()=C.若f1g1，則()?()=22024f2024g2024()?()=，則()+()=g1f11f2024g20242D.若【答案】C【解析】x=y=0(?)，再利用偶函數(shù)fyx【分析】對A，利用賦值法令即可求解；對B，根據(jù)題中條件求出f0?g0=1定義即可求解；對C，先根據(jù)題意求出()()(?)?(?)與()?(fx1gx1fxgx，再找出fx?1+gx?1的關(guān)系，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解；對D()()與()+(fxgx的關(guān)系，再根據(jù)常數(shù)列的定義即可求解.fxgy?fy?gx=fx?y，()()()()()【詳解】對A，x=y=0f0g0f0g0()()?()?()=()，解得()=，故錯；f0f00令，即Afxgy?fygx=fx?y對，根據(jù)()()()()()，得()()?()()=(?)，fygxfxgyfyx即()(fxfy?x=?fx?y)，故()為奇函數(shù)，故Bgxgy?fxfy=gx?y)()()()()(對，x=y=0()()?()()=()，g0g0f0f0g0令，即，()=f00∴g2(0)=g(0)，又g(0)≠0，∴()=g01，∴()?()=?f0g01，fx?y?gx?y)由題知：()(=()()?()?()?()()?()(fxgyfygxgxgyfxfy=()+(()?(fygyfxgx，y=1，即fx1gx1(?)?(?)=()+(()?(，f1g1fxgx令12()+()=f1g1，1∴(?)?(?)=()?(fx1gx1fxgx，2{()()是以}f0?g0=1()()2fx?gx即為首項為公比的等比數(shù)列；f2024)?g(2024)=()×22024=22024故(對D，由題意知：(=()()?()?()+()()?()()C正確；fx?y+gx?y))(fxgyfygxgxgyfxfy=()?(()+(，gyfyfxgxy=1，得fx1gx1(?)+(?)=()?(()+(，g1f1fxgx令又g)?f)=1，即(?)+(?)=()+()，fx1gx1fxgx即數(shù)列f(x)+g(x)為常數(shù)列，{}由上知f(0)+g(0)=1，故f2024g2024()+()=1D錯.故選：C.D選項通過賦值再結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)進行求解.二多選題：本題共小題，每小題分，共18分在每小題給出的選項中，有多項符合題目?36.要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是（）1(1?3)2+(2?3)2+(?3)2，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于s2=+A.一個樣本的方差20x,x,,x2x?2x?2x?1，的標準差為1210B.若樣本數(shù)據(jù)的標準差為8，則數(shù)據(jù)12C.數(shù)據(jù)27,23的第百分位數(shù)是23D.若一個樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)樣本中又加入一個新數(shù)據(jù)，此時樣本容量為9，平均數(shù)不變，方差變小【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由題意可得樣本容量為，平均數(shù)是從而可得樣本數(shù)據(jù)的總和，即可判斷；對于，根據(jù)標準差為64C義，求出第百分位數(shù)，即可判斷；對于D，由題意可求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差，即可判斷.1222,(1?3)+(2?3)++(20?3)【詳解】解：對于A，因為樣本的方差s2=20所以這個樣本有個數(shù)據(jù)，平均數(shù)是這組樣本數(shù)據(jù)的總和為3×20=A正確；x,x,,x的標準差為10s=8，則s2=對于B，已知樣本數(shù)據(jù)64，122x?2x?,2x?1=×，其標準差為22×64=2×8=16B正數(shù)據(jù)確；的方差為22s22212對于C，數(shù)據(jù)27,30,15,17,19,23共個數(shù)，從小到大排列為27,30，由于10×0.7=7，23+24=23.5故選擇第78個數(shù)的平均數(shù)作為第百分位數(shù)，即所以第百分位數(shù)是，故C錯誤；，2對于D8個數(shù)的平均數(shù)為，方差為2，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)，8×5+58×2+?2169設此時這9個數(shù)的平均數(shù)為，方差為S2，則xx==S2==<2D正99確.故選：ABD.fxax3bx2()=?+10.已知函數(shù)，則（）f(x)的值域為RA.B.fx()圖象的對稱中心為(2)?時，f(x)在區(qū)間(?1)內(nèi)單調(diào)遞減C.當ba>0()有兩個極值點D.當0時，fx>【答案】BD【解析】A研究函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合特殊值法排除，利用極值點的定義可判定D.()為三次或者一次函數(shù)，值域均為?；fxa,b【詳解】對于A至少一個不為，則{}，錯誤；2a,b當0時，值域為gx=fx?2=ax對于B：函數(shù)()()3?bxg(?x)=?滿足+gxax3bx=?()，可知()為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于gx(0)中心對稱，所以()的圖象為()的圖象向上移動兩個單位后得到的，gxfx即關(guān)于(0,2)中心對稱，正確；對于C：()′=2?，當b?a>0時，取a=?b=1，fxaxb3333x∈?,fx3x21fx′()=?+>()?在區(qū)間,上單調(diào)遞增，錯誤；當時，3333對于D：()′=2?，當f′(x)=ax2?b=0時，有兩個不相等的實數(shù)根，fxaxb>0所以函數(shù)()有兩個極值點，正確.fx故選：BD.我國古代太極圖是一種優(yōu)美的對稱圖.定義：能夠?qū)AO的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓O的一個太極函數(shù)，則下列命題中正確的是（）()=+是圓=1的一個太極函數(shù)fxsinx1O:x2+(y?2A.函數(shù)B.對于圓O:xC.對于圓O:x22+y+y22=1的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，都不能為偶函數(shù)=1的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，均為中心對稱圖形fxkx3kR()=?(∈)是圓2+y2的太極函數(shù)，則∈(?2)=1kD.若函數(shù)O:x【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，對于AD利用新定義逐個判斷函數(shù)是否滿足新定義即可，對于C舉反例說明．【詳解】對于AO:x=1，圓心為(0,1)+的圖象也過2+(y?2，()=fxsinx1，且(0,1)(0,1)是其對稱中心，所以f(x)=sinx+1的圖象能將圓一分為二，所以A正確；3312?x?,x<?33313x+,?≤x≤032()=，對于B,C，根據(jù)題意圓O:x2+y2=1，如圖fx312?3x+,0<x≤3331x?,x>332與圓交于點(?1,0)(1,0)，且在軸上方三角形面積與軸下方個三角形面積之和相等，xx()為圓O的太極函數(shù)，且()是偶函數(shù)，所以，錯誤；fxfxBC()()()()fx，所以為奇函數(shù)，f?x=k(?x)對于D，因為()3?k?x=?()3?=?fxk∈R由f(x)=3?=0x=0或x=1，，得所以()的圖象與圓(?)()，且過圓心(0)，=1的交點為1,0,1,0fxO:x2+y2=y3?()x2x6?2k2x42+1+k22?1=0，k由，得x2+y=12()t?1=0=x2，則k2t3?2k2t2+1+k令t，即(t?1k)(22?k2t+1=0)，得t=1或k2tkt+1=0，t2?2當t1時，=x=1，t+1=0時，若k=0，則方程無解，合題意；當k2t2?k2k?4)k≠0，則Δ=k4?4k2=k22若，若Δ0，即0k<<2<4時，方程無解，合題意；k∈?2)時，兩曲線共有兩個交點，函數(shù)能將圓一分為二，如圖，(所以若Δ=0，即k=±2時，函數(shù)與圓有個交點，將圓分成四部分，4若Δ>0，即k2>4時，函數(shù)與圓有6個交點，且均不能把圓一分為二，如圖，k∈?2)，所以D正確.(所以故選：AD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是理解新定義，即如果一個函數(shù)過圓心，并且函數(shù)圖象關(guān)于圓心中心對稱，且函數(shù)將圓分成2部分，不能超過2部分必然合題．如果函數(shù)不是中心對稱圖形，則考慮與圓有2個交點，交點連起來過圓心，再考慮如何讓面積相等．?三填空題：本題共小題，每小題分，共3515.分y=2x?x()處的切線與拋物線1,2y=ax?ax+2相切，則a=__________.212.在點【答案】1【解析】y=2x?x()1,2y=ax?ax+22元，得到一元二次方程，其y=2x?x在點Δ=0，即可求得a.1′=?y′，則=1，x1y2【詳解】由，則xy=2x?x()處的切線方程為?=?，即1,2y2x1在點y=x+1曲線，y=x+1?(a+)x+1=0當a0時，則≠?ax+2，得ax2，y=ax2Δ=(a+2?4a=0a=1.由，得故答案為：1.?2?2?2?2?F,2，若P為橢圓C113.已知橢圓的左右焦點分別為上一點，?:+=1(?>?>0)c⊥FFF的內(nèi)切圓的半徑為12，則橢圓C的離心率為______.11232【答案】【解析】31Fa,c2e離心率的方程，計算得到結(jié)果.b212bc2PF=，1F的面積為2?2c?PF1=【詳解】由題意，可知為橢圓通徑的一半，故，11aac1c(+)?F的內(nèi)切圓的半徑為，則F的面積也可表示為2ac又由于，121232311cb2c1c?2cPF?2a2c=(+)?=(+)?所以，即2a2c，1223a23整理得：2a2?acc?2=0，兩邊同除以a，22得e2+e?2=0，所以e=或?1，32e∈()，所以橢圓C又橢圓的離心率的離心率為.32故答案為：.3x()=+(x>4)，若a是從2,3,4四個數(shù)中任取一個，b14.設函數(shù)fxax24是從六x?4個數(shù)中任取一個，則f(x)>b恒成立的概率為__________.5【答案】##0.6258【解析】【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式，求得是從2,3,4四個數(shù)中任取一個，bf(x)=(2a+2，轉(zhuǎn)化為(2a+2>b恒成立，結(jié)合a24是從六個數(shù)中任取一個，得到基本事件總數(shù)有24成立的基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計算公式，即可求解.a>x>4，可得x?4>0個，再利用列舉法，求得f(x)>b【詳解】因為，x4x?44x?4()=fxax+=ax+1+ax4=(?)+++4a1≥4a+4a+1=(2a+2則，x?44當且僅當x=+4時，等號成立，故f(x)=(2a+2，a由不等式f(x)>b恒成立轉(zhuǎn)化為(2a+2>b恒成立，a是從2,3,4四個數(shù)中任取一個，b是從24六個數(shù)中任取一個，因為則構(gòu)成(a,b)的所有基本事件總數(shù)有個，又由(21+2=(22+=9+42∈12,16)，2(23+2=13+43∈20),(24+=25，2()>恒成立，則事件A包含事件：fx=b設事件A“不等式”()()，()()()，()()()()，1,4,82,4,2,8,2,123,4,3,8,,()()()()()()共4,4,4,8,4,12,4,16,20,255因此不等式f(x)>b=.恒成立的概率為858故答案為：.四解答題：本題共小題，共77分解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟.?5.?中，角所對的邊分別為，已知(+)(?)=(?)15.在ABC,B,Ca,b,cbcsinBsinCacsinA.（1B；33（2的面積為，且AD=2，求BD的最小值.4πB=【答案】（）3（2）2.【解析】a2+c2?b212）利用正弦定理可得(b+cb?c=a?c)a，再結(jié)合余弦定理得B)()(，==2ac從而可求解.11323（2）結(jié)合ABC的面積可求得3，再由.BD=BC+CA=BA+BC，平方后得，=31423()2BD=c2+a2+，再結(jié)合基本不等式即可求解.99【小問1詳解】由正弦定理得(b+cb?c=a?c)a，即a2c2b2ac，)()(+?=a2+c2?b2ac12由余弦定理可得cosB===，2ac2acπB∈π()，所以B=因為.3【小問2詳解】334π12334因為ABC的面積為，所以=3.，所以,B=acsinB=3)1112(BD=BC+CA=BC+BA?BC=BA+BC因為，3333)194291441423()2()2()2(BD=BA+BC+2?BA?BC=c2+a2+B=c2+a+2所以，99999919421226c2+a2+≥2?c?a+=2a=,c=6時取等號，所以，當且僅當933332所以BD的最小值為2.23，點2在雙曲線E上，點1,F分別為雙曲線的2x16.已知雙曲線E的焦點在軸上，離心率為3?.左右焦點（1E的方程；（2作兩條相互垂直的直線和Fll，與雙曲線的右支分別交于A，CB,D兩點和兩點，求四邊形212ABCD面積的最小值.x2?y=12【答案】（）3（2）6【解析】233，及點2)）由c2=a2+b2和e=在雙曲線上，求出Ea2,b2，即可求出的方程；E11=(?)x2=?(?)k≠0，根據(jù)題中條件確定<k<3，再將的2l（2）設直線l:ykx2,l:y，其中121k3x2?y2=1聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，用kBD，的長，再利用方程與表示31SABCD=ACBDABCD，即可求出四邊形面積的最小值.2【小問1詳解】c24因為c=a2+b2，又由題意得e2==ab22b22，則有，a2392又點2)?=1，解得=a=3，2在雙曲線E上，故b2b2x2故E的方程為?y=1.23【小問2詳解】l,l10根據(jù)題意，直線的斜率都存在且不為，21l:ykx2,l:y=(?)=?(?)x2k≠0設直線，其中，12k31313l,l1Ek>,?><k<3，2因為均與的右支有兩個交點，所以，所以23k3x2=1聯(lián)立，可得1?k)xl?y222+12k2x?12k2?3=0將的方程與.13?12k1?k2?12k2?3設(所以)()，則，Ax,y,Cx,yx+x=,xx=1122121221?k2(x+x)2?412AC=1+k2x?x=1+k21212(231+k)22?2?2?+212k12k3231k=1+k2?4×=1+k2?=，1?k21?k21?k2k?12(+)23k2同理BD=，3?k2()(+)k+)2231+k223k22121所以SABCD=ACBD=??=6?.2?13k?2k2?3?k2)2k43+1，所以k2=t?t∈,4令t=k2，t+216SABCD=6?=6?=≥6t2t16?16162則當11，3+?216?+1ttt211=k=1，即時，等號成立.t2故四邊形ABCD面積的最小值為6.1BABC?ABC,AB=2AB=42,P為棱1B，側(cè)棱長為117.如圖，側(cè)面上的動點.水平放置的正三棱臺111111AA1⊥1B；1（1）求證：平面5（2）是否存在點P，使得平面與平面ABC的夾角的余弦值為111？若存在，求出點P；若不存在，請說明理由.【答案】（）證明見解析AB（2）存在，點P為中點11【解析】）延長三條側(cè)棱交于一點O，由勾股定理證明OA⊥OB，⊥，根據(jù)線面垂直的判定定理得證；ABC和平面1的法向量，利用向量夾角公式求解.（2）建立空間直角坐標系，求出平面11【小問1詳解】延長三條側(cè)棱交于一點O，如圖所示，由于AB=2AB=BB=2，所以==22，11116AB2，所以OA⊥OB，同理⊥=所以2+2=又=O，OB,平面?，⊥平面AA1⊥1B平面.1所以，即【小問2詳解】由（）知OA⊥OB,OA⊥OC,OB⊥OC，如圖建立空間直角坐標系，()()()()()A0,0,22,C22,0A2,B2,0,0,C2,0，111則，()()()AA=0,0,?2,AC=22,22,AB=(2?2),BC=?2,2,0所以，.11111()(2λ,0,?2λ)AP=λAB=λ2,0,?2=設，111()則AP=AA1+1P=2λ,0,?2?2,0,1λλ∈[]，設平面的法向量分別為)=(r,s,t)，ABC和平面1m=(x,y,z,n111t0λ?(λ+)=2x?2z02r=2，所以?2x+2y=02s?t=0m=,n=λ+λ,λ()()，取,n=m?nλ+133533==則mn.λ+λ+12233176整理得12(λ?)(λ+)=16（λ+λ?7=0，即28270，所以λ=λ=?或2AB故存在點P（點P為18.若無窮正項數(shù)列.11{}同時滿足下列兩個性質(zhì)：①存在M>0，使得；②{}為單調(diào)anann<M,n∈N*數(shù)列，則稱數(shù)列{}具有性質(zhì)P.ann13（1n2nb，=?=n{}{}a,b（）判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)P，并說明理由；nnS=ab+ab++ab{}是否具有性質(zhì)，并說明理由；S（）記，判斷數(shù)列Pn1122nnn12()<p<（2）已知離散型隨機變量X服從二項分布Bn,p,0Xc.，記為奇數(shù)的概率為證明：數(shù)列n{}具有性質(zhì)cP.n【答案】（1{}不具有性質(zhì)P{}具有性質(zhì){}具有性質(zhì)P，PanbnSn理由見解析（2）證明見解析【解析】）判斷數(shù)列是否滿足條件①②，可得（）的結(jié)果；利用錯位相減法求數(shù)列nn}的前項和，n再判斷是否滿足條件①②.（2）先求數(shù)列{}的通項公式，再判斷是否滿足條件①②.cn【小問1詳解】a=2n?1na<M，使得恒成立，n（）因為單調(diào)遞增，但無上限，即不存在M所以數(shù)列{??不具有性質(zhì)P.n1因為n1，又數(shù)列{?為單調(diào)遞減數(shù)列，所以數(shù)列{?具有性質(zhì)P.=<??3（）數(shù)列{}具有性質(zhì)P.Sn112n?1S=1?+3?++，n32n313112n?1Sn=1?+3?++，3233n1231111n2n?1S=1?+2?+2?++2??兩式作差得，n3233n132311?213n2n?122n+2即S=?+?=?，n1n1n13331?3n+1{}滿足條件①S.nS=1?n<∴數(shù)列所以n1nann=(?)2n13<S>∴SnS∴{}為單調(diào)遞增數(shù)列，滿足條件②.n1n綜上，數(shù)列{}具有性質(zhì)PSn【小問2詳解】X=,,n∈N*，因為c,Xnd，n若X為奇數(shù)的概率為為偶數(shù)的概率為ndn=1=1?p)+pn+=C0np0?p)n+C1np1p)n1??+C2np2?p)n?2++Cnnpn?p)0①[1ppnC(p)p)C(p)p)(?)?=0n?0?n+1n?1?n1+C(p)p)2n?2?n?2+C(p)p)+nn?n?0②，①?②1??2p)n=c=，即n.n22112所以當0<p<0<1?2p1<，故cn的增大而增大，且n隨著<.時，n2故數(shù)列{}具有性質(zhì)P.cnx?24e()=19.已知函數(shù)fx?g(x)=?x2+ax?a2?a∈（aR且a<2）.2x，x?x=fx?gx,hx?(x)（1()()()()是h(x)的單調(diào)性；的導函數(shù)，判斷fx≥gx（2()()對任意的x∈+∞)a恒成立，求的取值范圍.【答案】（?(?在(,0)(0,+∞上單調(diào)遞增；（2）(,1?∞].【解析】）需要二次求導，利用導函數(shù)的符號分析函數(shù)的單調(diào)性.（2）法一先利用f(2)≥g(2)這一特殊情況，探索ax∈+∞)時，的取值范圍，再證明對()≥()恒成立；法二利用導數(shù)工具求出函數(shù)?()的最小值?()，同法一求證∈(]時fxgxxx0a0,1?()≥x0a∈2)時?(2)<0，接著求證不符合題意即可得解.0【小問1詳解】4ex?2{∣x02xxaxaa，定義域為≠}?()=()?()=xfxgx?+2?+2+，x4ex?2(x?)()=?′()=?2+2xa，?所以hxxx2?2(?+)x2x224ex所以h′(x)=+2>0.x3所以()在()和()上單調(diào)遞增,0.hx【小問2詳解