2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（學(xué)生版+解析）

第05講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識.................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過...........................................3

高頻考點(diǎn)一：指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算..................................3

高頻考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)的概念......................................4

高頻考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)的圖象......................................5

角度1：判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象..................................5

角度2：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象求參數(shù)..............................6

角度3：指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題..............................6

角度4：指數(shù)函數(shù)圖象應(yīng)用......................................6

高頻考點(diǎn)四：指數(shù)（型）函數(shù)定義域................................9

高頻考點(diǎn)五：指數(shù)（型）函數(shù)的值域...............................10

角度1：指數(shù)函數(shù)在區(qū)間阿河上的值域..........................10

角度2：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域....................................10

角度3：根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域（最值）求參數(shù).......................11

高頻考點(diǎn)六：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性.....................................36

角度1：由指數(shù)（型）函數(shù)單調(diào)性求參數(shù).........................36

角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式...........................37

高頻考點(diǎn)七：指數(shù)函數(shù)的最值......................................12

角度1：求已知指數(shù)型函數(shù)的值域...............................12

角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)最值求參數(shù)...............................12

第四部分：新定義題(解答題)........................................13

第一部分：基礎(chǔ)知識

(1)概念：式子《石叫做根式,其中"叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

(2)性質(zhì)：

①=ci(neN*且〃>1)；

②當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，技=a；當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，"=|a|=

”[-a,a<0

2、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)募的意義是。：=行(。>0,m,neN\且〃>1)；

m1

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是。下(a>0,m,n&N*,且〃>1)；

③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.

3,指數(shù)募的運(yùn)算性質(zhì)

①a'as=ar+s(a>0,r,seR)；

②(a')'=a"(a>0,r,5eR)；

③(ab)'=arbr(a>0,b>0,reR).

4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)指數(shù)函數(shù)的概念

函數(shù)/'(x)=a工(a>0,且awl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)%是自變量，函數(shù)的定義域是R.

(2)指數(shù)函數(shù),f(x)=a'的圖象和性質(zhì)

底數(shù)a>l0<a<l

圖象二工

定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0,+8)

性質(zhì)

圖象過定點(diǎn)(0,1)

當(dāng)x>0時(shí)，恒有

當(dāng)x>0時(shí)，恒有/(x)>l；

0</(%)<1；

當(dāng)x<0時(shí)，恒有0</(x)<l

當(dāng)三<0時(shí),恒有/(x)〉l

在定義域R上為增函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)

指數(shù)函數(shù)/(%)=優(yōu)(。>0,且awl)的圖象和性質(zhì)與。的取值有關(guān),應(yīng)分a>1

注意

與0<a<l來研究

第二部分：高考真題回顧

1.(2023?天津?統(tǒng)考高考真題)設(shè)a=1。產(chǎn)$力=10儼6,c=06。。則a,瓦c的大小關(guān)系為(

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

2.(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)已知20=5,log83=b,則4。3=()

255

A.25B.5C.—D.—

93

3.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=，，則對任意實(shí)數(shù)X,有()

A./(-x)+/(x)=0B./(-x)-/(x)=0

C./(-x)+/(%)=1D./(-x)-/a)=g

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過

高頻考點(diǎn)一：指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算

典型例題

例題L(2024上?湖北?高一校聯(lián)考期末)計(jì)算：273+[；)+lg^-21g3=

例題2.(2024上?河南漠河?高一潺河高中期末)計(jì)算.

11~2

0253

(l)(0.0081p-3x(1)°x8r+[3||；

(2)1^125+4(-36)2+'_就3T3-

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?安徽亳州?高一亳州二中?？计谀┗喦笾?

⑴（0.⑵

（2）3】+隔z+坨5+log32xlog23xlg2

2.（2024上?湖南長沙?高一統(tǒng)考期末）計(jì)算下列各式的值:

(2)lg?+21g2-log24+e叱

高頻考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)的概念

典型例題

例題1.（2024上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?高二校考期末）已知指數(shù)函數(shù)/⑴=「（a>0且"D"⑴=g,則/（-I）=

（）

11

A.3B.2C.-D.-

32

例題2.（2024上?云南昆明?高一期末）若指數(shù)函數(shù)”力的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,9）,求外力的解析式及/（-1）的

值.

練透核心考點(diǎn)

1.（多選）（2024?江蘇?高一假期作業(yè)）若函數(shù)/（元）=（病+2帆-2）就是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

A.-3B.1C.-1D.-2

2.（2024上?山東棗莊?高一校考期末）若指數(shù)函數(shù)y=〃x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)12,《J,則［-|）=.

高頻考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)的圖象

角度1：判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象

典型例題

例題1.（2024下?浙江溫州?高一浙江省樂清中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=“，與

角度2：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象求參數(shù)

典型例題

<1'NT

例題1.（2024?上海?高一專題練習(xí)）若函數(shù)+根的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是（）

A.m<-\B.-l<m<0C.m>lD.0<m<l

例題2.（多選）（2024?全國?高一專題練習(xí)）函數(shù)=的圖象如圖所示，其中a,6為常數(shù)，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.a>lB.b>0C.0<a<lD.b<0

角度3:指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題

典型例題

例題L（2024上?重慶?高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)/（*）=優(yōu)-3+13>。且。71）的定點(diǎn)

為.

例題2.（2024上?廣東江門?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）=qi+l（。>0,且的圖象恒過定點(diǎn)P,

則尸的坐標(biāo)為.

角度4：指數(shù)函數(shù)圖象應(yīng)用

典型例題

例題L（2024下?四川遂寧?高三射洪中學(xué)?？奸_學(xué)考試）函數(shù)”x）=，-g）cosx的圖象大致為（）

例題2.（2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末）()

例題3.（2024上?上海?高一上海南匯中學(xué)校考期末）已知函數(shù)>=的定義域?yàn)椋踑,切，值域?yàn)椤?,

則的最大值為（）

,4,2

B.logs2

A-log3jC.1嗎§D.2

練透核心考點(diǎn)

1.（2。24上陜西西安?高一西安市鐵一中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)”x）=>的圖象大致為（）

象可能是（）

3.（多選）（2024上?江蘇常州?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)/（x）=a，+6（其中。>0且awl）的圖象過第一、

三、四象限，則（）

A.0<tz<1B.a>l

C.—1v〃v0D.Z?<—1

4.（多選）（2024下?全國?高一開學(xué)考試）已知函數(shù)=且"1）的圖象如圖所示,則函數(shù)y=x"+a

的大致圖象不可能為（）

5.（2024上?江蘇徐州?高三?？奸_學(xué)考試）函數(shù)〃尤）=（尤-0.州在區(qū)間［-3,3］上的圖象大致是（）

6.（2024上?福建寧德■高一統(tǒng)考期末）函數(shù)y=a>2+i（4>0且。41）的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.

7.（2024上?黑龍江齊齊哈爾?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/（%）=4優(yōu)-3+5（。>0）,且的圖象恒過定點(diǎn)尸，點(diǎn)

P又在塞函數(shù)g（x）的圖象上，則g（-2）=.

高頻考點(diǎn)四：指數(shù)（型）函數(shù)定義域

典型例題

例題L（2024上,山東威海?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/（》）=的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,+8)B.(0,+動C.(-oo,0]D.(-8,0)

例題2.（2024上?北京,高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)==？的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-3,+8）B.[-2,+oo）C.[2,+8）D.[4,+oo）

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?江蘇?高一假期作業(yè)）函數(shù)〃尤）=亙[的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（-oo,2]B.（7,5）-（5,+oo）

C.[2,+8]D.[2,5）1（5,+8）

,2%—4

2.（2024上?安徽阜陽?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/（尤）=}------審的定義域?yàn)開____.

（X2-3X-4）

高頻考點(diǎn)五：指數(shù)（型）函數(shù)的值域

角度1：指數(shù)函數(shù)在區(qū)間由河上的值域

典型例題

例題L（2023上?廣西南寧,高一?？计谥校┖瘮?shù)/（x）=2x,xw[-L,l]的值域是（）

A.（0,2）B.C.1,2D.[0,2]

例題2.（2023上?上海浦東新?高三上海南匯中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)y=2*+2x-l,xe[2,+e）的值域

為.

角度2：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域

典型例題

例題1.（2023上?福建三明?高一校聯(lián)考期中）函數(shù)/（力=4「2加+2在-IWxWl時(shí)的值域是

例題2.（2023上?全國?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)=的圖象經(jīng)過點(diǎn)

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

⑵求函數(shù)”力的定義域和值域.

（1、-2x?-8x+l

例題3.（2023上?河南省直轄縣級單位?高一校考階段練習(xí)）求函數(shù)y=；（-34x41）的單調(diào)區(qū)間與值

域.

角度3：根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域（最值）求參數(shù)

典型例題

例題1.（2023下?廣東廣州■高一校考期中）函數(shù)y=a*-2（a>0且"1,-1VxW1）的值域是，則

實(shí)數(shù)"=（）

1-12—3

A.3B.—C.3或—D.7或一

3332

例題2.（2023上?全國?高一期末）如果函數(shù)尸屋計(jì)2優(yōu)T,（a>0且在區(qū)間[-1』上的最大值是14,

則。的值為（）

A.3B.-C.-5D.3或工

33

練透核心考點(diǎn)

1.（2023上?新疆喀什?高一統(tǒng)考期末）y=,尤引0,3]的值域是（）

A.[0,3]B.[1,3]C.J：,。]D.1,1

|_oJ|_o

2.（2023上?廣東東莞?高一東莞市東莞中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)"X）=2*M的值域?yàn)?

3.（2023上?黑龍江綏化?高三校考階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)〃x）=4'-2-m+2的值域?yàn)?

4.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=2M-1在區(qū)間[0,相上的值域?yàn)閇0,3],則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍為?

z[xax2-4x+3

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=g,若I"）的值域是（0,+8）,求。的值.

2.（2024上?陜西渭南?高一?？计谀┮阎瘮?shù)/（x）=F+對于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)看,

[a,x>l

X2,都有"％卜"斗）＜0成立,則實(shí)數(shù)“的取值范圍是________.

x1-x2

3.（2024上?新疆烏魯木齊?高一校聯(lián)考期末）不等式L331的解集為.

4.（2024上?山西長治?高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（力=1--，則不等式〃彳-3）＞〃l-x）的解集

為.

高頻考點(diǎn)七：指數(shù)函數(shù)的最值

角度1:求已知指數(shù)型函數(shù)的值域

典型例題

例題1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（尤）=3、L+2x-4＞6-1的最小值為.

例題2.（2024上?廣東深圳?高一校考期末）已知定義在R上的函數(shù)〃力="4'-2印+l-m（meR）

（1）若7”=1,求函數(shù)〃尤）在[0,2]上的最大值；

（2）若存在xeR,使得了（l+x）+/（l-x）=0,求實(shí)數(shù)"z的取值范圍.

角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)最值求參數(shù)

典型例題

例題L（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/⑺=2一，-25+。.若函數(shù)的最大值為1,則實(shí)數(shù)a=（）

7799

A.——B.—C.一一D.-

8888

例題2.（2024上?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（X）=22X-G2'+4,若/（x）NO恒成立，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍為（）

A.（-℃,4]B.（-co,2]C.[4,+co）D.[2,+8）

角度3:含參指數(shù)（型）函數(shù)最值

典型例題

例題L（2024上?云南昆明?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（x）=4一分2前，xe[-l,2].

⑴當(dāng)a=2時(shí),求/（X）的最小值;

（2）記/（元）的最小值為g㈤，求g⑷的解析式.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?北京?高三階段練習(xí)）若函數(shù)〃力=加4'+（2"1）2有最小值，貝卜的取值范圍是（）

A-H）B.（0』C.g+oo]D.卜+oo]

2.（2023上，北京?高一北京市十一學(xué)校校考期末）函數(shù)y=3-屋在區(qū)間1[,2]上的最小值是_3,貝l]a

的值是.

3.（2024上?吉林?高一長春外國語學(xué)校校聯(lián)考期末）已知函數(shù)=%6[-1,0].

⑴左=—1時(shí),求〃尤）的值域；

⑵若〃尤）的最小值為4,求上的值.

4.（2023上?江蘇連云港?高一校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（x）=fcf-是定義在R上的奇函數(shù).

⑴求人的值，并判斷〃尤）的單調(diào)性（不證明）；

（2）若"I）號,且8（制=才+4小―2何■（%）在[1,+⑹上的最小值為-2,求小的值.

第四部分：新定義題

1.（2023上?上海,高一?？茧A段練習(xí)）對于定義域在R上的函數(shù)y=/（x）,定義g（尤）="力-/（0）.設(shè)區(qū)

X

間/=（-00,0）1（0,+8）,對于區(qū)間/上的任意給定的兩個(gè)自變量的值玉、巧，當(dāng)&＜尤2時(shí)，總有g(shù)（xjvg（9），

則稱g（x）是fM的"T函數(shù)".

⑴判斷函數(shù)＞=-2，,xeR是否存在"T函數(shù)"，請說明理由；

(2)若非常值函數(shù)y=s(x),xeR是奇函數(shù)，求證：＞=s(x)存在"T函數(shù)"的充要條件是存在常數(shù)3使得

s(x)=kx-

⑶若函數(shù)＞="2工-2022》與函數(shù)y=-根.2-，+x的定義域都為R,且均存在"T函數(shù)"，求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

第05講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識.................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過...........................................3

高頻考點(diǎn)一：指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算..................................3

高頻考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)的概念......................................4

高頻考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)的圖象......................................5

角度1：判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象..................................5

角度2：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象求參數(shù)..............................6

角度3：指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題..............................6

角度4：指數(shù)函數(shù)圖象應(yīng)用......................................6

高頻考點(diǎn)四：指數(shù)（型）函數(shù)定義域................................9

高頻考點(diǎn)五：指數(shù)（型）函數(shù)的值域...............................10

角度1：指數(shù)函數(shù)在區(qū)間阿河上的值域..........................10

角度2：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域....................................10

角度3：根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域（最值）求參數(shù).......................11

高頻考點(diǎn)六：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性.....................................36

角度1：由指數(shù)（型）函數(shù)單調(diào)性求參數(shù).........................36

角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式...........................37

高頻考點(diǎn)七：指數(shù)函數(shù)的最值......................................12

角度1：求已知指數(shù)型函數(shù)的值域...............................12

角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)最值求參數(shù)...............................12

第四部分：新定義題(解答題).......................................13

第一部分：基礎(chǔ)知識

(1)概念：式子后叫做根式，其中〃叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

(2)性質(zhì):

①(W)"=a(neN*且〃>1);

②當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，折"=a；當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，4a"=\a\=<a,a-0

[-a,a<0

2、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是〃￡=1/￡(〃>0,m,neN*,且〃>1)；

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)募的意義是。獲(a>0,m,neN\且">1)；

N0m

③。的正分?jǐn)?shù)指數(shù)曙等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)募沒有意義.

3、指數(shù)募的運(yùn)算性質(zhì)

①aras=ar+s(tz>0,r,5eR)；

②(a')'=a"(a>0,r,seR)；

③(ab)，=arb'(a>0,b>0,reR).

4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)指數(shù)函數(shù)的概念

函數(shù)，(x)=a'(a>0,且awl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R.

(2)指數(shù)函數(shù)/(x)=a'的圖象和性質(zhì)

底數(shù)a>l0<〃<1

圖象

定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0,+s)

圖象過定點(diǎn)(0,1)

當(dāng)x>0時(shí)，恒有

性質(zhì)當(dāng)x>0時(shí)，恒有/(x)>l；

0</(%)<1；

當(dāng)x<0時(shí)，恒有0</。)<1

當(dāng)三<0時(shí),恒有/(x)〉l

在定義域R上為增函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)

指數(shù)函數(shù)于(x)=。*(。>0,且awl)的圖象和性質(zhì)與。的取值有關(guān),應(yīng)分a>1

注意

與0<。<1來研究

第二部分：高考真題回顧

1.(2023?天津?統(tǒng)考高考真題)設(shè)°=1.01心涉=1。產(chǎn)6,?=0.6。-5,則的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】根據(jù)對應(yīng)幕、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.

【詳解】由y=1.01'在R上遞增，貝|」4=1.01°5<6=1。儼6,

由"留在［0,+8)上遞增,則a=1.07>°=O.605.

所以〃>a>c.

故選：D

2.(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)已知2°=5,k)g83=b,則平-3=()

255

A.25B.5C.—D.-

93

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，幕的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出.

14"(2")c225

【詳解】因?yàn)?〃=5,&=log83=-log23,即2"=3,所以4T=新=%^=恐=石.

34(2助)39

故選：C.

3.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(幻==7,則對任意實(shí)數(shù)X,有()

1+2、

A./(-x)+/(%)=0B.f(,-x)-f(x)=0

C./(-%)+/(%)=1D.

【答案】C

【分析】直接代入計(jì)算，注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤.

2-r

【詳解】/(-x)/(x)=L+-L+J=1,故A錯(cuò)誤，C正確;

+1+2一"1+2"1+2X1+2、

112X12X-1

/(-x)-/(x)==1」,不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤;

l+2-x1+2"1+2X1+2X2X+12X+1

故選：C.

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過

高頻考點(diǎn)一：指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算

典型例題

（2024上?湖北?高一校聯(lián)考期末）計(jì)算：+lg^-21g3=

例題1.

【答案】24

【分析】由指數(shù)塞運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算可求.

2

(3)2

【詳解】2V+|+lg^-21g3=33+4+lg9-lgl0-lg9-9+16-l=24.

故答案為：24

例題2.（2024上?河南漠河?高一潺河高中期末）計(jì)算.

]_

-i2

(1)(0.0081產(chǎn)-3x(1)°8「。.25+0|3

x

(2)^P125+.-36)2+,(if-,(3-兀丫.

【答案】（1）3

(2)2

【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的運(yùn)算法則計(jì)算即可;

（2）先將根式轉(zhuǎn)化為指數(shù)累，利用指數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

-i2

-0.25||3

(0.008Ip-3x(()。81+3

【詳解】（1）X

(2)V-125+^(-36)2+^(7t-4)6-^(3-?t)3

__11

=[(一5丫?+(64尸+|兀一4|一(3一兀)

=一5+6+4—兀-3+兀=2.

練透核心考點(diǎn)

1.(2024上?安徽亳州?高一亳州二中校考期末)化簡求值.

_2

⑴(0.12)。+]|[2/間一(廝y4+歷?

(2)嘀2+1g5+log32xlog23xlg2

【答案】⑴④-2

(2)7

【分析】(1)利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕和根式的運(yùn)算公式，即可化解求值;

(2)利用對數(shù)運(yùn)算法則和運(yùn)算公式，化解求值.

=1+-X--3+V2-1=V2-2

94:

1+1OB32

(2)3+Ig5+Iog32xlog23xlg2

=31-31Ofo2+lg5+lg2=3x2+lg(2x5)

=6+1=7.

2.(2024上?湖南長沙?高一統(tǒng)考期末)計(jì)算下列各式的值:

(2)lgg+21g2-logN+e1^.

【答案】⑴-3

(2)1

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則，化簡求值，即得答案;

(2)根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，化簡求值，即得答案；

【詳解】(1)原式=一4一1+0.5吊X(0『=-5+；X4=-3.

(2)原式=lg]lg4-2+2=lglO-2+2=L

高頻考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)的概念

典型例題

例題1.(2024上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?高二校考期末)已知指數(shù)函數(shù)/。)=a\a＞0且"1)，/⑴=g,則/(-I)=

()

11

A.3B.2C.-D.-

32

【答案】A

【分析】先根據(jù)函數(shù)值求出。，再求函數(shù)值即可.

x}

【詳角軍】f(x)=a~,f(l)=a~=-=^-,:.a=3f

a3

f(—1)=〃㈠)=a=3.

故選：A.

例題2.(2024上?云南昆明?高一期末)若指數(shù)函數(shù)〃力的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,9),求/(九)的解析式及/(-1)的

值.

【答案】F(x)=3',/(-1)=|

【分析】設(shè)〃力=優(yōu)(。＞0,。片1)，由“2)=9可求出。的值，可得出函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求得了(-1)

的值.

【詳解】解：設(shè)指數(shù)函數(shù)〃0=優(yōu)(。＞0,。21),貝|〃2)="=9,解得a=3,

所以，/(x)=3\

故"T=37=g.

練透核心考點(diǎn)

1.(多選)(2024?江蘇?高一假期作業(yè))若函數(shù)〃%)=(蘇+2加一2)就是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

A.-3B.1C.-1D.-2

【答案】AB

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/'（"=（療+2優(yōu)-2）疝是指數(shù)函數(shù)，

所以蘇+2m—2=1,解得m=1或相=-3.

故選：AB

2.（2024上?山東棗莊?高一?？计谀┤糁笖?shù)函數(shù)y=/（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)則

【答案】1/0.125

O

3

【分析】采用待定系數(shù)法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)所過點(diǎn)可求得函數(shù)解析式，代入即可.

2

【詳解】設(shè)指數(shù)函數(shù)/（句=。'（。＞0且。。1）,

/⑺過點(diǎn)12,小，"2=白，解得：。=4,.?"（X）=4"

"[-|）=一=白='

\2/，4o

故答案為：—.

o

高頻考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)的圖象

角度1:判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象

典型例題

例題1.（2024下?浙江溫州?高一浙江省樂清中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y="與

【分析】分。和兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對于A,B,當(dāng)0<“<1時(shí)，函數(shù)y=在R上為單調(diào)遞減函數(shù)；

又所以》=1+士三在區(qū)間(-8,1)和區(qū)間(1,內(nèi))上單調(diào)遞減，

X-1

且當(dāng)x=0時(shí)，y=0—^n=a>0,故A和B均錯(cuò)誤；

對于C,當(dāng)時(shí)，函數(shù)y="在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，

又1-。<0,所以產(chǎn)—=1+工在區(qū)間(-8,1)和區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤，D正確.

x-1x-1

故選：D.

例題2.(2024上?江西宜春?高一校考期末)函數(shù)y=2同的圖象是()

【分析】根據(jù)圖象變換可得函數(shù)>=2m的圖象是由函數(shù)y=2"的圖象向左平移1個(gè)單位長度得到的，由此

可得出結(jié)論

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2*M的圖象是由函數(shù)y=2,的圖象向左平移1個(gè)單位長度得到的，

而V=2*的圖象過點(diǎn)(1,2),且在R上是增函數(shù),

所以y=的圖象過點(diǎn)(0,2),且在R上是增函數(shù),

故選：A

角度2：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象求參數(shù)

典型例題

<1'NT

例題1.（2024?上海?高一專題練習(xí)）若函數(shù)+根的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是（）

A.m<-\B.-l<m<0C.m>lD.0<m<l

【答案】B

【分析】y=（1T+m與X有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為>=（；）1與丫=一m有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，可得結(jié)果.

【詳解】y=與X有公共點(diǎn)，即y=（?F與y=一機(jī)有公共點(diǎn)，y=（?中圖象如圖

可知0v_m<1=>—l<m<0

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題目.

例題2.（多選）（2024?全國?高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，其中為常數(shù)，則下列結(jié)

C.OvavlD.b<0

【答案】AD

【分析】根據(jù)〃尤）的單調(diào)性確定由/（O）=〃e（O,l）確定b<0.

由圖知/（尤）為減函數(shù)，故?！辞В?，所以。＞1，故A正確C錯(cuò)誤;

【詳解】f（x）=^-x

由圖知〃0）=個(gè)?0，1），所以b＜0,故B錯(cuò)誤D正確.

故選：AD

角度3：指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題

典型例題

例題1.（2024上?重慶?高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)〃力=*3+1（°＞0且"1）的定點(diǎn)

為.

【答案】（3,2）

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)的性質(zhì)即可確定定點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳角軍】因?yàn)?（力=。"3+1（。＞。且。/1）,令彳_3=0,得至ljx=3,止匕時(shí)＞=2,

所以函數(shù)/⑴的定點(diǎn)為（3,2）,

故答案為：（3,2）.

例題2.（2024上?廣東江門?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)"X）="T+1（a＞0,且awl）的圖象恒過定點(diǎn)P,

則P的坐標(biāo)為.

【答案】（L2）

【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由函數(shù)/（X）=，T+1可知，當(dāng)x=l時(shí)，/（l）=a°+l=2,

即函數(shù)圖象恒過點(diǎn)尸（1,2）.

故答案為：（L2）

角度4：指數(shù)函數(shù)圖象應(yīng)用

典型例題

例題1.（2024下?四川遂寧?高三射洪中學(xué)?？奸_學(xué)考試）函數(shù)〃x）=（l-m））cosx的圖象大致為（）

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性即可排除CD,由特殊點(diǎn)的函數(shù)值即可排除A.

【詳解】/（x）=（l-^）-cosx,則/（尤）的定義域?yàn)镽,

又〃”—2x3”

?cos(-x)=1-?cosX=?cos%=-/(%),

3X+1

所以了（元）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除CD,

22

當(dāng)工=兀時(shí)，/（兀）二1一COS7l=-l+^-^-<0,故排除A.

3無+1

故選：B.

例題2.（2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末）函數(shù)〃司=4國-/在［-3,3］上的大致圖象為（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【分析】根據(jù)給定函數(shù)的奇偶性，結(jié)合〃。）=-1即可判斷得解.

【詳解】依題意，/（-%）=41-x|-e1-1=41x|-ew=/（x）,因此函數(shù)〃尤）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱,

排除AB；

又了（。）=-1,選項(xiàng)C不滿足，D符合題意.

故選：D

例題3.（2024上,上海?高一上海南匯中學(xué)校考期末）已知函數(shù)>-1的定義域?yàn)閳F(tuán)向，值域?yàn)?,；

則6-4的最大值為（）

,4,2

B.logs2

A-log3-C-log3-D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象相關(guān)性質(zhì)和對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】由題意得，＞

11[-3+l,x＜0

作出函數(shù)圖象如圖所示，

令解得X=10g3：或X=10g3'|,

42

則當(dāng)b=lOg3§,〃=10g3§時(shí)，人-。取得最大值，

42

止匕時(shí)一。=log3--log3-=log32.

故選：B

練透核心考點(diǎn)

【答案】D

【分析】根據(jù)奇偶性可知函數(shù)/(無)為偶函數(shù)，結(jié)合賦值法和排除法即可求解.

【詳解】由題可知，2-2?w0nxw±l,

所以函數(shù)〃無)的定義域?yàn)閧N尤力±1},關(guān)于原點(diǎn)對稱，

r2

又〃T)=W^=/(X),所以函數(shù)/⑺為偶函數(shù)，排除A,C；

2-211

4

又偌F=_2＜。，排除B.

故選：D.

2.（多選）（2024上?湖南婁底?高一統(tǒng)考期末）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)>=/+以+”一3與y=a'的圖

象可能是（）

【答案】AC

【解析】按照。>1、0<。<1討論，結(jié)合二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.