2025屆高考考數(shù)學復習講義：圓的知識點及?？碱}型分析

2025屆高考考數(shù)學圓的知識點及常考題型分析復習講義

一、圓的相關(guān)知識

1圓的標準方程：(X-。尸+(丁-6)2=，，其中圓心為(a,份,半徑為r。

例：圓的方程(X-2)2+('+3)2=5,其中圓心為(2,—3),半徑為百。

2點M(x。,光)與圓(x—a)2+(y—6)2=，的關(guān)系的判斷方法：

(1)(七一療+儀一行〉/,點在圓外；(2)(40-。)2+(%->)2=’,點在圓上;

(3)(x0—a)~+(y0—瓦)2V廠，點在圓內(nèi)。

3圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0

DrF,力2+一4斤其中圓心為(―。

轉(zhuǎn)為圓的標準方程為：(*+萬)2+(丁+萬)2=-----------T，—g)

4圓的特殊方程

(1)圓心在坐標原點的圓的標準方程：x-+y2=r\

例：圓心在坐標原點，且半徑為1的圓的標準方程：x2+y2=1o

222

(2)圓心在x軸的圓的標準方程：(x-a)+y=r0

例：圓心在(2,0),且半徑為3的圓的標準方程：(%一2)2+/=9。

(3)圓心在y軸的圓的標準方程：x2+(y-b)-=r2,

22

例：圓心在(0,3),且半徑為2的圓的標準方程：x+(y-3)=4o

(4)圓與y軸相切的圓的標準方程：(x—af+ly—b)2=/,

例：圓心在(2,3),且y軸相切的圓的標準方程：(x—2)2+(y—3)2=4。

(5)圓與x軸相切的圓的標準方程：。-4+⑶-份2=〃，

例：圓心在(2,3),且x軸相切的圓的標準方程：(*-2)2+(丁一3)2=9。

22

(5)圓與兩坐標軸都相切的圓的標準方程：(x+a)+(y+a)=a-o

例：圓與兩坐標軸都相切，且半徑為2的圓的標準方程：(x土2『+(y±2)2=4。

(6)圓過坐標原點的圓的標準方程：(x-a)2+(y-4=，=/+/。

例：圓過坐標原點，且圓心在(3,4)的圓的標準方程：(x-3)2+(丁-4)2=25。

5用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系.

設直線/：Ax+By+C=O,圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=O,圓的半徑為「，圓心(_2,一￡)到直線的距

22

離為d,則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：

(1)當?時，直線/與圓C相離；(2)當d=r時，直線/與圓C相切；

(3)當時，直線/與圓C相交；(4)當時，直線/與圓C有交點。

當直線與圓相交時，弦長=2,產(chǎn)一。

例：已知直線/:3x—4y—1=0與圓。：產(chǎn)+/―2x+4y—3=0相交于A5兩點，求|A4的值

解：第一步：將圓轉(zhuǎn)化為標準形式：(x-1)?+(>+2)2=8,

|3+8-1|

第二步:圓心到直線的距離d==2,第三步：|第q=2/2—/=27^=4。

V25

當直線與圓相切時，(圓心到直線的距離等于半徑)

例：已知直線/:3x-4y-根=0與圓C:犬+>2-2x+4y—4=0相切，求用的值

解：第一步：將圓轉(zhuǎn)化為標準形式：(x-+(>+2)2=9,

|3+8—ot|

第二步:圓心到直線的距離d==3,|ll-m|=15,解得根=/■或m=26。

4

當直線與圓相離時，(圓心到直線的距離大于半徑)

例：圓C:犬+丁一2x+4y+4=0上的點到直線/:3x—4y+4=0的距離的最大值與最小值

解：第一步：將圓。轉(zhuǎn)化為標準形式：(x-Ip+(>+2)2=1,

|3+8+4|

第二步:圓心到直線的距離d==3,

V25

第三步：圓上的點到直線的距離最大值為d+r=4,圓上的點到直線的距離最小值為=2。

圓與圓的位置關(guān)系

兩圓的位置關(guān)系.

一、設兩圓的連心線長為d,則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點:

圓0：(x—a)"+(y—6)2=弓一,圓C：(x—機廠+(y—〃)~=弓？，

兩圓圓心距：\OC\=d=^(a-m)2+(b-n)2(兩點間的距離公式)

(1)當〃>〃+2時，圓G與圓。2相離；(2)當d=4+2時，圓C］與圓C2外切;

(3)當|八-r2Kd<4+2時，圓Ci與圓C2相交;

(4)當d=|弓一之|時，圓C］與圓。2內(nèi)切；(5)當d<|〃—2|時，圓Ci與圓C2內(nèi)含;

二、看兩圓的公切線數(shù)

（1）兩圓有4條公切線,說明兩圓相離。（2）兩圓有3條公切線，說明兩圓外切。

（3）兩圓有2條公切線,說明兩圓相交。（4）兩圓有1條公切線，說明兩圓內(nèi)切。

（5）兩圓有0條公切線,說明兩圓內(nèi)含。

兩圓外切時，d=rl+r2

例：若圓V+y2=l與圓（X—。）2+（1一4）2=16有3條公切線，則正數(shù)。=（）

解：第一步：兩圓的圓心分別為（0,0）,（a,4）,d=J（a-0）2+（4-0）2=J/+16,

第二步：兩圓有3條公切線，說明兩圓外切，（〃=彳+2）心+16=1+4=5,

a2=9,a=+3,由題意得a=3。

兩圓相離時，d>r1+r2

2

例：已知圓。1：?+/=16和圓02：?+/-6mx-8/7；y+16m=0有且僅有4條公切線，則實數(shù)m的取值范圍是？

解：第一步：圓。2轉(zhuǎn)化為標準形式：（x-3m）2+（y—4〃z）2=9"/，

第二步：兩圓的圓心分別為（0,0）,（3加,4加），々=4,馬=3帆，d=（3m-0）2+（4m-0）2=5帆，

第三步：兩圓有4條公切線，說明兩圓相離，（d>{+馬）5|/n|>3|m|+4

2|/n|>4,|/n|>2,由題意得力>2或加<-2。

兩圓相交時，|a-r2Kd<彳+G。

例：圓。：/+9-4=0與圓。：/+/-4x+4y-12=0的公共弦長為

解：第一步：圓。：X2+/=4,圓C：（x—2）2+（y+2）2=20,

兩圓的圓心分別為(0,0),(2,—2),d=7(2-0)2+(-2-0)2=272,126—2|<d<2+2布，說明兩圓相交。

第二步:兩圓一般式作差，4x—4y+8=0,化解x—y+2=0。

第三步:圓0的圓心到直線x—y+2=0的距離d

第四步：弦長q=2jA—/=2j4—2=2后。

例題分析：

2若過點（2,1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的距離為（）

解：由題意可得所求的圓在第一象限，設圓心為（a,a）,則半徑為a,a>0.

故圓的方程為（x-a）2+（y-a）2=a2,再把點（2,1）代入，求得〃=5或1,

故要求的圓的方程為（x-5）2+（y-5）2=25或（x-1）2+（3；-1）2=1.

故所求圓的圓心為（5,5）或（1,1）；

故圓心到直線2x-y-3=o的距離d=5-5-3|=_g^_或d=12X1-1-3I=2V§-;

獺2+125獺2+/5

3已知圓f+y2-6x=0,過點（1,2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（）

解：由圓的方程可得圓心坐標C（3,0）,半徑r=3；設圓心到直線的距離為d,則過。（1,2）的直線與圓的

相交弦長履2|=2，r2_d2,當d最大時弦長以為最小，當直線與。所在的直線垂直時d最大，這時d=|CD|=

7(3-1)2+(2-0)2=2近,所以最小的弦長|A2|=24呼_氏眄)2=2.

二、例題精析

【考點一、求圓的標準方程】

【例題1】圓心為(1,-1)且過原點的圓的方程是()

A.(尤+1)2+(y-1)2=[B.(x+1)2+(y+1)2=1

C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(尤-1)2+(y-1)2—2

分析：已知圓心，先求出圓的半徑，可得圓的方程.

答案：C

解析：圓心為(1,-1)且過原點的圓的半徑為可(-0)2+(_1_0)2=6,

故圓心為(1,-1)且過原點的圓的圓的方程為(x-1)2+(j+1)2=2,故選：Co

【例題2】經(jīng)過原點和點(3,-1)且圓心在直線3x+y-5=0上的圓的方程為()

A.(%-5)2+(y+10)2=125B.(x+1)2+(y-2)2=5

2

C.(X-1)2+(y-2)2=5D.(X《)+丫2=普

222,

分析：設圓心C(a,5-3a),<^a+(5-3a)(a-3)+(5-3a+l)求得。的值，可得圓心和半徑,

從而求得圓的方程.

答案：D

解析：設圓心CQ,5-3a),則由所求的圓經(jīng)過原點和點(3,-1),

即7a2+(5-3a)2=V(a-3)2+(5~3a+l)2)

求得。=$,可得圓心為也，0),半徑為42+(53)2=1-

333

故圓的方程為(尤-5)2+y2=空.故選：Do

3-9

【例題3】下列方程中表示圓心在直線y=x上，半徑為&,且過原點的圓的是()

A-(x-l)2+(y-l)2=V2B-(x-l)2+(y+l)2=V2

C.(X-1)2+(y+1)2=2D.(X-1)2+Cy-1)2=2

分析：假設圓的標準方程，根據(jù)題意列出方程求解圓心和半徑即可.

答案：D

解析：因為圓心在y=x上，所以設圓心為(a,a),因為圓的半徑為五,

所以設圓的標準方程為(x-a)2+2=2,因為該圓過原點，

所以(-a)?+(-a)2=2,解得a—+1,所以圓心為(1,1)或(-1,-1),

當圓心為(1,1)時，圓的標準方程為(X-1)2+(y-1)2=2,。對；

當圓心為(-1,-1)時，圓的標準方程為(尤+1)"+(y+1)2=2.故選：Do

【方法和總結(jié)】：確定圓的標準方程：(x-。)2+(>-勿2=/，其中圓心為伍,3,半徑為r,確定圓心

與半徑。

【考點二、圓成立的條件】

【例題4】若方程/+/+2日-4y+后+k-2=0表示的曲線是圓，則實數(shù)上的取值范圍是()

A.(-6,-8)B.[-6,+8)C.(-8,6]D.(-8,6)

分析：將圓的一般方程配方后得(x+Z)2+(y-2)2=6根據(jù)圓的半徑大于0求解即可.

答案：D

解析：由方程/+;/+2依-4y+F+笈-2=?？傻?x+左)2+(y-2)2—6-k,

則當曲線表示圓時，有r=J藐〉0,解得左<6,故選：Do

【例題5】已知:+y+2丘-4y+^+A-2=0表示的曲線是圓，則發(fā)的值為()

A.(6,+8)B.[-6,+8)C.(-8,6)D.(-8,6]

分析：方程配方后得5+左)2+(J-2)2=6-左，根據(jù)圓的半徑大于0求解.

答案：C

解析：由方程7+;/+2區(qū)-4y+M+A-2=0可得(x+k)~+(y-2)2=6-k,

所以當rf/6-k>0時表示圓,解得左<6.故選：C.

【例題6】已知方程/+)2+2彳-2ay+2a+4=0表示一個圓，則實數(shù)a取值范圍是()

A.(-8,-1]U[3,+8)B.[-1,3]

C.(-8,-1)u(3,+8)D.(-1,3)

分析：根據(jù)題意，將圓的方程化為標準形式，根據(jù)/>0建立關(guān)于a的不等式，解之即可得到本題的答案.

答案：C

解析：圓的方程化為標準形式，可得(龍+1)2+(廠a)2=/_2a-3,

所以/=/-2a-3>0,解得a<-l或a>3,即實數(shù)a取值范圍是(-8,-1)u(3,+°°).故選：C。

【方法和總結(jié)】：圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標準方程，半徑大于0。

【考點三、部分圓的應用】

【例題7】點集Q={(x,y)I(x+y-1)(yf/l-x2)=0}表示的曲線總長度等于()

A.2冗+2&B.TT+4C.n+2V2D.4-oo

分析：根據(jù)題意整理得尤+廠1=0,/+9=1(后0),且-IWXWI,結(jié)合直線，圓的方程分析求解.

答案：C

解析：由題意可知：解得

22

因為(x+y-1)(y-V1-x)=0'則x+y-1=0或y-^l-x=0，

若x+y-l=O,且-1W尤W1,表示以(-1,2),(1,0)為端點的線段，

此時表示的曲線總長度為J(_b1)2+(2-0)2二樂;

若y-jn=0,整理得/+/=1(y》O),表示以0(0,0)為圓心，半徑為1的上半圓,

此時表示的曲線總長度為/x2兀X1=7T；

綜上所述：點集。表示的曲線總長度等于冗+2^.故選：C?

【例題8】方程|x-1|=，卜(”1)2表示的曲線是(

A.一個圓B.兩個半圓C.兩個圓D.半圓

分析：化簡曲線方程，即可判斷曲線的形狀.

答案：A

解析：方程|x-1|=｛卜(y+l)2,兩邊平方，可變?yōu)?x-1)2+(y+1)2=1,

方程表示的曲線為以(1,-1)為圓心，半徑為1的圓，故選：Ao

【例題9】過點P(4,0)引直線，與曲線yW4-x2+2相交于A，B兩點,則直線/的斜率范圍為()

A.(q,0)B.[4,0]C.[4,-1)D.(4,-1]

OOOo

分析：設直線方程為>=左(X-4),曲線y=J7I+2即/+(廠2)2=4(y\2),作出圖形，可求直線/的

斜率范圍.

答案：D

解析：由已知可得/+(y-2)2=4(y22),它表示以(0,2)為圓心，2為半徑的上半圓弧，

設直線/方程為(x-4),即質(zhì)-廠4左=0,作出圖形，由圖象可得直線/的斜率應滿足ZPD<%WAPE,

記直線產(chǎn)。與/+(廠2)2=4(y22)相切于點。，得2』芒4kL,解得k=_l或左=0(舍去).

A/V+i3

又E（2,2）,kpr=??=~lf所以[故選：D。

3

-4-3-2-1023N力

【方法和總結(jié)】：明確圓的標準方程和特征，利用圓的相關(guān)知識解決。

【考點四'過已知三點求圓的方程】

【例題10］已知直角梯形ABCZ),且A(1,1),B(3,1),C(3,3),D(2,3),則過其中三點的圓的方程

可以為()

A.(x-2)2+y2—3B.(尤-2)2+y2—2

C.(x-2)2+(j-2)2=2D.(尤-3)2+(j-2)2=2

分析：直接將點的坐標代入檢驗即可逐一判斷各個選項.

答案：C

解析：對于A，由于點A(1,1),B(3,1)的坐標都不滿足圓的方程(x-2)2+y2=3,

即圓(尤-2)2+/=3不可能過四個點中的三個點，故A不符合題意；

對于8,由于點C(3,3),D(2,3)的坐標都不滿足圓的方程(x-2)2+y2=2,即圓(x-2)2+/=2不可

能過四個點中的三個點，故8不符合題意；

對于C,首先利用點A(1,1),B(3,1),C(3,3)的坐標求出滿足圓的方程(x-2)2+(y-2)2=2,D

(2,3)的坐標不滿足圓的方程(x-2)2+(y-2)2=2,即圓(尤-2)2+(j-2)2=2過四個點中的三個點，

故C符合題意；

對于。，由于點A(1,1),B(3,1)的坐標都不滿足圓的方程(x-3)2+(廠2)2=2,即圓(x-3)2+(y

-2)2=2不可能過四個點中的三個點，故。不符合題意.故選：C。

【例題11］已知圓C經(jīng)過原點O(0,。)，A(4,3),8(1,-3)三點，則圓C的方程為()

A.-4尤-3y=0B.d+y2-尤+3y=0

C.x2+y2-5x-5=0D.jc+y1-7尤+y=0

分析：利用待定系數(shù)法，求出圓C的方程.

答案：D

解析：設圓的方程為/+/+Ox+Ey+F=0.:圓C經(jīng)過三個點O(0,0),A(4,3),B(1,-3),

7=0

/.<16+9+4D+3E+F=0-解得D=-7,E=l,尸=0,即圓C的方程/+/-7x+y=0.故選：￡>0

l+9+D-3E+F=0

【例題12】經(jīng)過三點A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圓的面積S=()

A.TiB.2nC.3nD.4ir

分析：首先利用三點的坐標求出圓的方程，進一步利用圓的面積公式求出結(jié)果.

答案：D

解析：設圓的一般式方程為：x1+y1+Dx+Ey+F^0,

由于：圓經(jīng)過三點A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的坐標，

'1-D+F=O

故：<9+3D+F=0，解得：D=-2,E=0,F=-3.故圓的方程為：?+/-2x-3=0,

l+4+D+2E+F=0

整理得：(x-1)?+y2=4,所以：S—4n.故選：D。

【方法和總結(jié)】：這種題型設圓的一般方程比圓的標準方程簡單。

【考點五、點與圓的位置關(guān)系】

【例題13】若點(1,1)在圓/+y2-x-a=。的外部，則。的取值范圍為()

A.(-A,1)B.(A,1)C.(-8,1)D.(1,+8)

44

分析：根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，列式算出然后根據(jù)點(1，1)在圓的外部，列式算出

4

1,再求交集即可得到本題的答案.

答案：B

解析：方程/+;/-尤-。=0表示圓，所以(-1)2+()2-4(-a)>0,解得a>二，

4

因為點(1,1)在圓/+/-x-a=0的外部，

所以將點(1,1)代入圓方程的左邊，得P+p-1_心0,解得

綜上所述，-l<a<l,實數(shù)。的取值范圍為(二，1).故選：A。

44

【例題14】若點P(2,3)在圓C：/+y2+2x-2y+a=0外，則。的取值范圍是()

A.(-11,+8)B.(-11,2)C.(-8,2)D.(-8,+°°)

分析：結(jié)合點在圓外的代數(shù)關(guān)系式與圓的一般方程的定義即可.

答案：B

解析：由于點尸(2,3)在圓C：/+/+2尤-2y+a=0外，

J2+3+2-2-2-3+a>0解得7K2,即。的取值范圍是(-11.2).故選:B.

,22+(-2)2-4a>0

【例題15】已知點A(4,0),圓C：(x-a)2+(廠0)2=1,若圓C上存在點P使得抬=3,則實數(shù)a的最小

值是()

A.-1B.1C.0D.2

分析：根據(jù)題意，分析P所在的軌跡為圓，設其軌跡為圓A,分析可得圓C與圓A有公共點，由圓與圓的位

置關(guān)系分析可得答案.

答案：C

解析：根據(jù)題意，點A(4,0),若以=3,則點尸的軌跡是以A為圓心，3為半徑的圓，

設該圓為圓A,

圓C：（x-a）2+（y-a）2=1,若圓C上存在點尸使得B4=3,則圓C與圓A有公共點，

則2W?（a_4）2+/W4,解得。即。的取值范圍為［0,4］,

故。的最小值為0.故選：C。

【方法和總結(jié)】：點”（毛,%）與圓（%-。/+⑶-6）2=r的關(guān)系的判斷方法：

（1）（X?！猘）?+（y。—6）~＞廣，點在圓外；（2）（%—a）~+（%—＞）2=廠，點在圓上；

（3）（X。-a）?+（y0—Z?）~＜廣，點在圓內(nèi)。

【考點六、圓的對稱性問題】

【例題16】圓/+/+4X-1=0關(guān)于點（0,0）對稱的圓的標準方程為（）

A.x2+y2-4x-1=0B.x2+（y-2）2=5

C.?+/+8x+15=0D.（x-2）2+/=5

分析：先將圓的方程化為標準方程得到圓心和半徑，再求出圓心關(guān)于（0,0）的對稱點即可得到對稱的圓的

標準方程.

答案：D

解析：由題意可得圓的標準方程為（龍+2）2+/=5,所以圓心為（-2,0）,半徑為遙，

因為點（-2,0）關(guān)于點（0,0）的對稱點為（2,0）,所以所求對稱圓的標準方程為（x-2）2+y=5.

故選：Do

【例題17】若圓（x-a）2+（y+1）2=3關(guān)于直線5x+4y-a=0對稱，貝!］a=（）

A.-1B.1C.3D.-3

分析：由題意可得圓心（a,-1）在直線5x+4y-。=0上，把圓心坐標代入直線的方程，可得。的值.

答案：B

解析：由圓（x-a）2+（y+1）2=3的方程可知：圓心坐標（a,-1）,

由題意可得圓心（a,-1）在直線5x+4y-a=0上，故5a-4-a=0,解得。=1.故選：瓦

【例題18］已知圓/+y=4與圓?+/-8.r+4v+16=0關(guān)于直線/對稱，則直線/的方程為（）

A.2x+y-3=0B.x-2y-8=0C.2x-y-5=0D.x+2y=0

分析：根據(jù)對稱可知/是圓Cl和圓C2圓心連線的垂直平分線，利用垂直關(guān)系求解斜率，由點斜式方程即可.

答案：c

解析：圓C］：x2+y2=4,圓心Cl（。，0），半徑ri=2,

22

02.x+y-8x+47+16=0,圓心。2（4,-2）,半徑r2=2,由題意知，/是圓C1和圓C2圓心連線的垂直

平分線，VCi（0,0）,C2（4,-2）,C1C2的中點（2,-1）,

圓心C1C2連線的斜率為k「=」■，則直線/的斜率為2,故/的方程：y+l=2（X-2）,即2x-y-5=0.

故選：C.

【方法和總結(jié)】：圓的對稱問題主要有圓關(guān)于點對稱和關(guān)于直線對稱。

【考點七、圓與直線相切的問題】

【例題19】：過點p（3，-1）與圓。：/+/=4相切的直線的傾斜角為（）

A.B.22Lc.—D.—

6363

分析：判斷點P在圓。上，計算OP的斜率，再求切線的斜率和傾斜角.

答案:B

解析：因為點2（-五，-1）在圓O：/+。=4上，且op的斜率為kop=?+=/=■

-V3V3

所以切線的斜率為左=-6，傾斜角為空.故選：B.

k0P3

【例題20】：過點M（2,-1）且與圓/+y2=5相切的直線方程為（）

A.x-2y+5=0B.x+2y+5=0C.lx-y-5=0D.2x+y+5=0

分析：先判斷出點M在圓上，進而求出切線斜率即可得到答案.

答案：C

解析：因為2?+（-1）2=5,所以點M在圓上，而kc-二L=_l,所以切線斜率為2,

KOM22

所以切線方程為：y+l=2（x-2）,即2尤-y-5=0.故選：C.

【例題21］：過點尸（1,1）作圓E：/+9-公+2尸0的切線，則切線方程為（）

A.x+y-2=0B.2x+y-3=0C.x-2y+l=0D.2x-y-1=0

分析：由圓E的方程可得圓心E的坐標，將P點的坐標代入圓的方程，可得尸點在圓上，求出直線PE的斜

率，得到過尸點的切線的斜率，再求出過尸點的切線方程.

答案：C

解析：由圓E：-4x+2y=0的方程，可得圓心坐標為E（2,-1）,將尸（1,1）的坐標代入圓的方程，

可得1+1-4+2=0,則尸在圓上，又kPE=±L=-2,所以過P點與圓相切的直線的斜率為工，

2-12

所以過P點的切線方程為y-1=/（x-1）,即x-2y+l=0,故選：C。

【方法和總結(jié)】：當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑。

【考點八、圓外一點作圓的切線，夾角問題】

【例題22】過點(-2,0)與圓/+/=1相切的兩條直線的夾角為a,則cosa=()

A.1B.亞C.返D._A

2222

分析：根據(jù)題意可知圓心為。(0,0),半徑r=l,設過A(-2,0)的直線與圓相切于點8,在中利

用銳角三角函數(shù)的定義求出/0A8的大小，從而算出角a的值，進而可得答案.

答案：A

解析：圓/+y2=l的圓心為。(0,0),半徑r=l.

過點A(-2,0)的直線與圓相切于2、C兩點，所以。BLAB,OCLAC.

在RtZ\A08中，A0=2,02=1,

所以sin/OAB=2殳=」，可得NOAB=2L,即工_=_ZL,a=Z",可得cosa=—.

0A262632

【例題23】過點(0,-2)與圓-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為a,則sina=()

A.1B.2/ILC.D.返

444

分析：圓的方程化為(x-2)2+/=5.求出圓心和半徑，利用直角三角形求出sin旦，再計算COS&和sina

22

的值.

答案：B

解析：圓/+9-4尤-1=0可化為(x-2)2+/=5,則圓心C(2,0),半徑為「=返；

設P(0,-2),切線為E4、PB,則尸。=五口”=2加,

△以C中，sin—所以cos_2_=J[__1=乂|^,

22V2_2V182V2

所以sina=2sin-^~cos-^~=2義=、'羔，.故選：B.

222V22V24

【例題24】直線Zi和公是圓/+y2=2的兩條切線.若/1與b的交點為(1,3),則與/2的夾角的正切值等于.

分析：設/1與/2的夾角為20,由于/1與/2的交點A(1,3)在圓的外部，由直角三角形中的邊角關(guān)系求得sin0

的值，可得cos。、tan。的值，再計算tan20.

答案：A

3

解析：設與/2的夾角為20,由于/1與12的交點4(1,3)在圓的外部,且點A與圓心0之間的距離為0A=

圓的半徑為r=J^,sing=，；.cose=,tan0=A>tan20=―2tan8——__'_=3，

V10V1021-tan26-3

4

故答案為：1.

3

【方法和總結(jié)】：由半徑與切線構(gòu)造直角三角形，然后用勾股定理。

【考點九、與切點之間距離有關(guān)的應用】

【例題25］已知圓M：(x-4)2+y2=4,點P為直線x-y=0上的動點，過點P作圓M的兩條切線，切點分別

為A,B,則|AB|的最小值為()

A.2V3B.V2C.2V2D.V3

分析：由圓的切線性質(zhì)可知PBLBM,ABLPM,由面積相等和勾股定理可得|A8|=4J1———

71PMi2

由M到直線X-y=0的距離即為IPM的最小值即可求得.

答案：C

解析：因為E4,PB是圓〃的切線，切點分別為A,B,所以PB±BM,AB±PM,

所以四邊形APBM的面積為2SAPAM=2XyXIAPIX|AM|=J*|AB|X|PM|)

所以IARI_21AplX|AM|=4|AP|=4山PM|2-|AM|2=||PM|2-4=匕4

|AB|-1PM1e而一N1-W

當|PM取得最小值時，|45|有最小值,

當PM垂直于直線x-y=O時，|PM最小，且

所以㈤一5盛產(chǎn)=4X浮桃故選：心

【例題26】已知。M：/+y-2x-2y-2=0,直線/：2x+y+2=0,P為/上的動點，過點尸作。加的切線E4,

PB,切點為A,B,當1PM?|AB|最小時，直線42的方程為（）

A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+l=0D.2x+y+l=0

分析：由已知結(jié)合四邊形面積公式及三角形面積公式可得日|PM?|AB|=W|PH|2-4,說明要使|PM，|A8|最

小，則需IPM最小，此時PM與直線/垂直.寫出PM所在直線方程，與直線/的方程聯(lián)立，求得P點坐標，

然后寫出以為直徑的圓的方程，再與圓M的方程聯(lián)立可得AB所在直線方程.

答案：D

解析：化圓M為（x-1）2+（y-1）2=4,圓心A/（1,1）,半徑r=2.

：S四邊形P砸4|PH|，|AB1=2弘。=|-=2照|=W|PM|2_4.

二要使最小，則需|PM最小，此時PM與直線/垂直.

由直線/：2x+y+2=0,可得直線PM的斜率為工，

2

（」1

直線PM的方程為y-1=工（x-1）,BP聯(lián)立.丫工'巧，解得p（-1,0）.

222l2x+y+2=0

則以PM為直徑的圓的方程為x2+（y］）2=*

’22

聯(lián)立,x：+y-2x-2y-2=0；相減可得直線.的方程為2x+y+i=o.故選：D.

,x2+y2-y-l=0

【例題27】已知。M：?+/+2x-4y+l=0,直線/：x-y-1=0,尸為/上的動點.過點P作。M的切線E4,

PB,切點分別為A,B,當1PMi?|AB|最小時，直線A8的方程為（）

A.x-y+l=0B.x-y-2=0C.x+y+2=0D.x+y+l=0

分析：由已知結(jié)合四邊形面積公式及三角形面積公式可得|PM」A8|=2,|PM|2一4,所以最小轉(zhuǎn)化

為1PM最小，此時PM與直線/垂直，求出PM所在直線方程，與直線/的方程聯(lián)立，求得尸點坐標；然后寫

出以加為半徑的圓的方程，再與圓M的方程相減可得公共弦AB所在直線方程.

答案：A

解析：OA/的標準方程為（x+1）2+（廠2）2=4,其圓心為Af（-1,2）,半徑為2.

因為加加另出川.席|=25H斕=出人|?向|=2出人|=2\而乃二’

所以當IPM最小時，|PMrAB|最小，此時PM與直線/垂直，所以直線的方程為y-2=-（x+1）,

V—W—1=0（V—1

即尤+y-l=O.聯(lián)立,y，解得|.

x+y-l=0,[y=0,

所以點P的坐標為P（l,0）,|PM|={（-1-1）2+（2-0）2=2加'

在Rt△"M中，lAPlWlPM12TAM|2=2,同理|BP|=2.

以P為圓心，|AP|為半徑的OP的方程為（尤-1）2+y2=4,即/+/-2x-3=0,

則線段AB為與。尸的公共弦，兩圓方程相減得x-y+l=0,即直線A8的方程為尤-y+l=0.故選：A.

【方法和總結(jié)】：對角互補，四點共圓。

【考點十、直線與圓的相交問題】

【例題28】圓（x-2）2+y2=4與直線x-y-2+&=0相交所得弦長為（）

A.1B.V2C.2V3D.2/2

分析：求出圓心到直線的距離，代入弦長公式，即可求解.

答案：C

解析：由圓（尤-2）2+/=4的圓心坐標為（2,0）,半徑r=2,圓心（2,0）至U直線x-y-2+&=0的距離

所以弦長為：2斤彳=2反1=2?.故選：C.

d=I2-0-W2|=?

【例題29】直線2x-y+l=0與圓W+y2=2交于A、B兩點，則弦的長（）

A.鼠2B.嶇C,272.口.班

5555

分析：利用點到直線的距離公式及勾股定理即可求解.

答案：B

解析：圓/+y2=2的圓心坐標為（0,0）,半徑為r=V2?圓心到直線2尤-y+l=0的距離為d=|2><0~1^0+1

正+㈠產(chǎn)

=在，所以|AB|=2'r2_d2.故選：Bo

5

【例題30】以點（1,1）為圓心的圓C截直線y=x+2所得的弦長為則圓C的半徑為（）

A.1B.V2C.2D.V5

分析：根據(jù)題意求圓心到直線的距離，結(jié)合垂徑定理求半徑.

答案：D

解析：由題意可知：圓心（1,1）到直線x-y+2=0的距離I用,所以圓C的半徑為

V2

r=7（V3）2+d2=V5-故選：D.

【方法和總結(jié)】：圓心到直線的距離小于半徑，說明直線與圓相交，當直線與圓相交時，弦長=2，尸一>2.

【考點十一、直線與圓的外置關(guān)系】

【例題31】M（尤o,yo）為圓x2+y2—a2（a>0）內(nèi)異于圓心的一點，則直線xor+yoy=a2與該圓的位置關(guān)系為（）

A.相切B.相交

C.相離D,相切或相交

分析：由圓的方程找出圓心坐標與半徑，因為M為圓內(nèi)一點，所以M到圓心的距離小于圓的半徑，利用兩點

間的距離公式表示出一個不等式，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到已知直線的距離d,根據(jù)求出的

不等式即可得到d大于半徑廠，得到直線與圓的位置關(guān)系是相離.

答案：C

解析：由圓的方程得到圓心坐標為（0,0）,半徑r=a,由M為圓內(nèi)一點得到：JxJ+y02V°，

2

I-aI,2

則圓心到已知直線的距離d=J［?->且-=a=r,所以直線與圓的位置關(guān)系為：相離.故選：C。

a

【例題32］圓jr+y2-2x+4y=0與2以-y-2-2t=0（正R）的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相切

C.相交D,以上都有可能

分析：觀察動直線2fx-y-2-2f=0（teR）可知直線恒過點（1,-2）,然后判定點（1,-2）在圓內(nèi)，從

而可判定直線與圓的位置關(guān)系.

答案：C

解析：直線2tx-y-2-2/=0恒過（1,-2）,而J+（-2）2-2X1+4X（-2）=-5<0

.,.點（1,-2）在圓尤2+『-2x+4y=0內(nèi)，則直線2￡r-y-2-2f=0與圓r+yZ-Zx+UnO相交

故選：C.

【例題33］圓/+尸-4x+6y=0與直線2mx+y+2-加=0（機6R）的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相切

C.相交D.以上都有可能

分析：根據(jù)題意，將直線方程變形為m（2x-1）