2020-2021學(xué)年湖北省鄂西北六校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年湖北省鄂西北六校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出.【詳解】，則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選：C.2．已知集合，集合，則集合等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合，，根據(jù)并集的定義解答即可．【詳解】解：，，，，，，，．故選：A．3．設(shè)是第三象限角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出的值，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出的值．【詳解】解：為其終邊上的一點(diǎn)，且，，解得：或，又是第三象限角，，，，．故選：C．4．在新冠肺炎疫情期間，某學(xué)校定期對教室進(jìn)行藥熏消毒.教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（單位：毫克）隨時(shí)間（單位：小時(shí)）的變化情況如圖所示.在藥物釋放的過程中，與成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)）.據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.2毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室.那么，從藥物釋放開始到學(xué)生能回到教室，至少在（）（參考數(shù)值）A．42分鐘后 B．48分鐘后C．50分鐘后 D．60分鐘后【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出時(shí)的函數(shù)解析式，即求出的值，再解不等式求得答案.【詳解】把點(diǎn)代入中，，解得.所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.2毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室所以，解得.至少需要經(jīng)過分鐘后，學(xué)生才能回到教室.故選：B.5．若，是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別計(jì)算出、、，進(jìn)而可得，夾角.【詳解】根據(jù)題意得，，，，故，因此，夾角為120°.故選：C.6．在平行四邊形中，已知，，對角線，則對角線的長為（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】根據(jù)題意，在中，由余弦定理得，因，所以，故在中，由余弦定理得，計(jì)算得.故選：A.7．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意得到在為增函數(shù)，根據(jù)是偶函數(shù)得到，從而得到.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在為增函數(shù).又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，所以，即.故選：A8．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)向量的基本運(yùn)算得到，再結(jié)合“奔馳定理”即可求解結(jié)論．【詳解】解：為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，．，故選：D．二、多選題9．下列命題錯(cuò)誤的是（）A．有兩個(gè)面平行，其他各個(gè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體C．相等的線段在直觀圖中仍然相等D．平行的線段在直觀圖中仍然平行【答案】ABC【分析】直接利用棱柱的定義，平面圖形和直觀圖的定義的應(yīng)用，棱柱和直棱柱的定義判斷A、B、C、D的結(jié)論．【詳解】解：對于A：有兩個(gè)面平行，其他各個(gè)面都是平行四邊形兩個(gè)扣在一起的斜棱柱組成的多面體就不是棱柱，故A錯(cuò)誤；對于B：長方體是四棱柱，直四棱柱的底面不一定是長方形，故不一定是長方體，B錯(cuò)誤；對于C：相等的線段在直觀圖中不一定相等，故C錯(cuò)誤；對于D：與軸平行的線段在直觀圖中平行性不變，故D正確；故選：ABC．10．在中，角，，所對的邊分別為，，，那么在下列給出的各組條件中，能確定三角形有唯一解的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BD【分析】對于ABC，求出頂點(diǎn)A到BC邊的距離與比較大小即可，對于D，由三個(gè)角和一邊確定唯一個(gè)三角形【詳解】解：對于A，頂點(diǎn)A到BC邊的距離為，因?yàn)椋匀切斡袃蓚€(gè)解，所以A不符合題意；對于B，頂點(diǎn)A到BC邊的距離為，因?yàn)椋匀切问侵苯侨切?，有唯一解，所以B符合題意；對于C，頂點(diǎn)A到BC邊的距離為，所以三角形無解，所以C不符合題意；對于D，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以三角形的形狀是唯一的，所以D符合題意，故選：BD11．設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）A．，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)數(shù)模長的計(jì)算，即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，因，所以，故，因此A為真命題；對于選項(xiàng)B，因，所以，因此B為真命題；對于選項(xiàng)C，因，所以，即，因此C為真命題；對于選項(xiàng)D，當(dāng)，時(shí)，，但，因此D為假命題.故選：ABC.12．下列關(guān)于平面向量的說法中錯(cuò)誤的是（）A．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得B．已知向量，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是C．若且，則D．若點(diǎn)為的垂心，則【答案】ABC【分析】直接利用向量的共線，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的率要條件，向量的數(shù)量積的應(yīng)用判斷A，B，C，D的結(jié)論即可【詳解】解：對于A，當(dāng)時(shí)，滿足，但不滿足存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，所以A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，，所以，因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，解得，而當(dāng)時(shí)，與共線，所以且，所以B錯(cuò)誤；對于C，由于，，所以當(dāng)時(shí)，等號成立，所以C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)辄c(diǎn)為的垂心，所以，所以,所以,同理可得所以，所以D正確，故選：ABC三、填空題13．一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，且該正方體的表面積為，則該球的表面積為___________.【答案】【分析】利用正方體的表面積求解棱長，然后求解外接球的半徑，即可求解球的表面積．【詳解】解：一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，且該正方體的表面積為，設(shè)正方體的棱長為，則，解得，正方體的體對角線的長度就是外接球的直徑，所以，所以外接球的表面積為：，故答案為：．14．已知是虛數(shù)單位，則___________.【答案】-1【分析】先計(jì)算，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【詳解】解：，．．故答案為：．15．已知向量，，，，若，則的最小值為___________.【答案】2【分析】根據(jù)，得，結(jié)合“1”的巧用即可求解.【詳解】由，得，即，因此，故當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，取最小值2.故答案為：2.16．如圖，在扇形中，，半徑，為弧上一點(diǎn)，則的最小值為___________.【答案】-8【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)可引入角表示，然后結(jié)合和差角及輔助角公式進(jìn)行化簡后，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求．【詳解】解：因?yàn)?，，所以，設(shè)，則，則，，則，，，，由，得，所以，則的最小值．故答案為：．四、解答題17．為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)是：（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)？【答案】（1）或；（2）且；（3）【分析】先對復(fù)數(shù)整理得，（1）要為實(shí)數(shù)，只要虛部為零，令即可；（2）要為虛數(shù)，只要虛部不為零，令即可；（3）要為純虛數(shù)，只要實(shí)部為零，虛部不為零，由求解即可【詳解】解：．（1）由得或，即或時(shí)，為實(shí)數(shù)．（2）由得且，即且時(shí)，為虛數(shù)．（3）由得，即時(shí)，為純虛數(shù)．18．已知向量，.（1）若向量，且，求的坐標(biāo)；（2）若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）設(shè)，利用兩個(gè)向量平行的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出向量的坐標(biāo)．（2）由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，代入模即可求出的值．【詳解】解：（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得或，所以?（2）因?yàn)橄蛄颗c互相垂直所以，即，而，，所以，，因此，解得.19．在中，角，，所對的邊分別為，，且.（1）求；（2）已知，若為的中點(diǎn)，且，求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理把轉(zhuǎn)化為可求得；（2）由，兩邊平方可求得長，從而求得的面積．【詳解】解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，即，所以，因?yàn)樵谥?，，所以，因?yàn)椋?（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則兩邊平方得，因?yàn)?，所以，解得?舍去)，所以的面積為.20．已知母線長為的圓錐的側(cè)面展開圖為半圓.（1）求圓錐的底面積；（2）在該圓錐內(nèi)按如圖所示放置一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求圓柱的體積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)展開圖扇形的弧長即為底面圓的周長求出底面圓的半徑，即可求出圓錐的底面積；（2）設(shè)圓柱的高，，根據(jù)三角形相似得到，即可表示出圓柱的側(cè)面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積最大值，即可得解；【詳解】解：（1）沿母線剪開，側(cè)面展開圖是以為半徑的半圓設(shè)，在半圓中，，弧長為，圓錐的底面周長，所以，所以，故圓錐的底面積為.（2）設(shè)圓柱的高，，在，，∵，所以，即，，，所以，當(dāng)，時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，此時(shí).21．如圖：某快遞小哥從地出發(fā)，沿小路以平均時(shí)速30公里/小時(shí)，送快件到處，已知(公里)，，，是等腰三角形，.（1）試問，快遞小哥能否在30分鐘內(nèi)將快件送到處？（2）快遞小哥出發(fā)5分鐘后，快遞公司發(fā)現(xiàn)快件有重大問題，由于通訊不暢，公司只能派車沿大路追趕，若汽車平均時(shí)速60公里/小時(shí)，問汽車是否先到達(dá)處？(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】（1）快遞小哥能在30分鐘內(nèi)將快件送到處；（2）汽車不能先到達(dá)處.【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理得，即可得到路程，進(jìn)而可求得快遞小哥將快件送到處的時(shí)間，即可求解；(2)根據(jù)題意，分別計(jì)算、的路程，即可得到汽車到達(dá)處的時(shí)間，進(jìn)而可求解.【詳解】(1)在中，，則，由正弦定理得，所以(公里)，又因?yàn)?分鐘)，所以快遞小哥能在30分鐘內(nèi)將快件送到處.(2)在中，由余弦定理，得(公里)，由(1)知(公里)，又因?yàn)?分鐘)，所以汽車不能先到達(dá)處.22．已知向量，，.（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)，使得函數(shù)在上恰有2021個(gè)零點(diǎn)？若存在，請求出所有符合條件的和的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【分析】（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出函數(shù)的值域；（2）假設(shè)同時(shí)存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)滿足條件，得出函數(shù)和直線在，上恰有2021個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)，時(shí)函數(shù)的圖象特征，討論的取值情況，從而求出滿足條件的和的值．【詳解】解：（1）∵又∵，∴∴，∴（2）假