數(shù)學課后導練：數(shù)學歸納法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導練基礎達標1設f(n)=(n∈N＊），那么f（n+1）—f（n）等于（)A.B.C。+D.—解析：f（n+1)—f（n）=答案:D2若把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序，則從2002到2004年的箭頭方向依次為()A.↓→B.→↓C?！鶧.→↑解析:2002=4×500+2，而an=4n是每一個下邊不封閉的正方形左，上頂點的數(shù).答案:D3凸n邊形有f(n）條對角線，則凸n+1邊形有對角線條數(shù)f(n+1）為（)A.f（n）+n+1B。f（n)+nC。f（n)+n-1D。f(n)+n—2解析：由n邊形到n+1邊形,增加的對角線是增加的一個頂點到原n-2個頂點連成的n-2條對角線,及原先的一條邊成了對角線。答案:C4用數(shù)學歸納法證明“（n+1）(n+2）·…·（n+n)=2n·1·3·…·（2n—1）”，從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為(）A.2k+1B。2(2k+1)C.D。解析：當n=1時，顯然成立。當n=k時,左邊=（k+1）（k+2)·…·(k+k），當n=k+1時,左邊=(k+1+1）（k+1+2）·…·(k+1+k）（k+1+k+1)=（k+2)（k+3)·…·(k+k)（k+1+k)（k+1+k+1）=(k+1）(k+2)·…·(k+k)·=（k+1)(k+2）·…·（k+k)2（2k+1）。答案:B5根據(jù)下列5個圖形及相應點的個數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第n個圖形中有__________個點。解析:觀察圖形點分布的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第一個圖形只有一個中心點;第二個圖形中除中心外還有兩邊,每邊一個點;第三個圖形中除中心點外還有三個邊,每邊兩個點；…；依次類推，第n個圖形中除中心外有n條邊,每邊n-1個點，故第n個圖形中點的個數(shù)為n(n—1)+1。答案:n2-n+1綜合運用6如果命題P（n)對n=k成立,則它對n=k+1也成立,現(xiàn)已知P(n)對n=4不成立，則下列結(jié)論正確的是（)A。P（n）對n∈N＊成立B。P（n）對n>4且n∈N＊成立C.P（n）對n〈4且n∈N*成立D.P（n）對n≤4且n∈N*不成立解析:由題意，可知P（n）對n=3不成立(否則n=4也成立).同理,可推得P（n）對n=2,n=1也不成立.答案:D7用數(shù)學歸納法證明“1+++…+<n（n∈N＊,n>1)”時，由n=k（k>1)不等式成立，推證n=k+1時，左邊應增加的項數(shù)是(）A。2k-1B.2k—1C。2kD.2k+1解析：左邊的特點:分母逐漸增加1,末項為;由n=k，末項為到n=k+1，末項為=,∴應增加的項數(shù)為2k。答案：C8觀察下表:12343456745678910……設第n行的各數(shù)之和為Sn,則=__________。解析:第一行1=12,第二行2+3+4=9=32,第三行3+4+5+6+7=25=52,第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.歸納：第n項的各數(shù)之和Sn=（2n-1)2,=4。答案：49已知y=f(x)滿足f（n—1）=f(n)—lgan—1(n≥2，n∈N）且f(1)=—lga,是否存在實數(shù)α，β使f(n）=(αn2+βn-1）lga對任何n∈N*都成立，證明你的結(jié)論。解析:∵f(n）=f（n—1)+lgan—1,令n=2,則f(2）=f(1）+lga=—lga+lga=0。又f（1）=-lga,∴∴f（n）=(n2—n—1)lga。證明如下:(1）當n=1時,顯然成立。（2）假設n=k時成立,即f（k)=（k2—k-1)lga,則n=k+1時,f(k+1）=f(k）+lgak=f(k）+klga=（k2—k—1+k)lga=［(k+1)2-(k+1）-1］lga?！喈攏=k+1時，等式成立。綜合（1）(2），可知存在實數(shù)α，β且α=，β=—,使f（n）=（αn2+βn-1)lga對任意n∈N*都成立.拓展探究10是否存在常數(shù)a,b，c使等式1·(n2-12)+2（n2—22)+…+n(n2-n2）=an4+bn2+c對一切正整數(shù)n成立?證明你的結(jié)論。思路分析:先取n=1,2,3探求a，b,c的值,然后用數(shù)學歸納法證明對一切n∈N*,a，b，c所確定的等式都成立。解：分別用n=1,2,3代入解方程組下面用數(shù)學歸納法證明.(1)當n=1時，由上可知等式成立;(2)假設當n=k時，等式成立，則當n=k+1時,左邊=1·［(k+1）2—12］+2［(k+1）2-22］+…+k［（k+1）2—k2]+(k+1)[（k+1）2-（k+1）2］=1·(k2-12）+2（k2-22）+…+k（k2-k2）+1·(2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1)=k4+（—)k2+（2k+1）+2（2k+1）+…+k(2k+1)=(k+1）4-（k+1）2?！喈攏=k+1時，等式成立。由(1)(2)得等式對一切的n∈N＊均成立.備選習題11如圖,第n個圖形是由正n+2邊形“擴展"而來（n=1，2，3，…），則第n—2個圖形中共有______個頂點.解析:觀察規(guī)律，第一個圖形有32+3=(1+2)2+(1+2);第二個圖形有（2+2）2+(2+2）=42+4;第三個圖形有(3+2)2+（3+2）=52+5；…第n—2個圖形有（n+2—2）2+（n+2-2）=n2+n個頂點.答案：n2+n12下面四個判斷中,正確的是（）A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N)，當n=1時恒為1B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N),當n=1時恒為1+kC.式子+++…+(n∈N)，當n=1時恒為1++D。設f(x)=（n∈N),則f（k+1）=f(k）+答案:C13若n∈N,求證:xn+1+（x+1)2n-1能被x2+x+1整除.證明:(1）當n=1時,命題顯然成立.(2）設當n=k時,xk+1+(x+1）2k-1能被x2+x+1整除。法1:(添項)當n=k+1時,xk+2+(x+1)2k+1=(x+1)2(x+1)2k—1+xk+2+（x+1)2xk+1-(x+1）2xk+1=(x+1）2［（x+1)2k-1+xk+1］-(x2+x+1）xk+1,而上面各項都能被x2+x+1整除,即n=k+1時成立.法2：（拆項)當n=k+1時xk+2+（x+1)2k+1=（x+1)2(x+1）2k-1+xk+2=(x2+x+1)（x+1）2k—1+x［（x+1）2k—1+xk+1］,以上各項都能被x2+x+1整除,即n=k+1時成立.由(1)（2）命題得證.14用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn+yn能被x+y整除”時,第二步應是(）A。假設n=k（k∈N)時命題成立,推得n=k+1時命題成立B.假設n=2k+1（k∈N）時命題成立,推得n=2k+3時命題成立C。假設k=2k-1（k∈N)時命題成立,推得n=2k+1時命題成立D。假設n=k（k≥1，k∈N)時命題成立,推得n=k+2時命題成立答案:C15用數(shù)學歸納法證明“當n是非負數(shù)時,34n+2+52n+1能被14整除"的第二步中，為了使用歸納假設應將34k+6+52k+3變形為（）A。34k+2×81+52k+1×25B。34k+1×243+52k×125C。25(34k+2+52k+1)+56×34k+2D。34k+4×9+52k+2×5答案:C16用數(shù)學歸納法證明1+2+…+（2n+1）=（n+1)（2n+1）時,在驗證n=1成立時,左邊所得的代數(shù)式是（)A.1B.1+3C.1+2+3D。1+2+3+4答案:C17用數(shù)學歸納法證明1+a+a2+…+an+1=（n∈N，a≠1)中，在驗證n=1成立時,左邊應為（）A。1B。1+aC.1+a+a2D。1+a+a2+a3答案:C18求證：1+2+22+23+…+25n—1能被31整除.證明:記f（n）=1+2+22+23+…+25n—1,用數(shù)學歸納法。當n=1時，命題顯然成立。根據(jù)歸納假設，當n=k時，命題成立，即f(k）=1+2+22+23+…+25k-1能被31整除.①要證明n=k