湖南省“天一大聯(lián)考”2025屆高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省“天一大聯(lián)考”2025屆高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={?2,?1,0,1}，B={x|2x≤12A.{?1} B.{?2,?1} C.{1} D.{?1,0,1}2.若復(fù)數(shù)z滿足z1+2i=1?i，則z=(

)A.?1+i B.1+3i C.1+i D.3+i3.已知f(x)=excosxeA.?2 B.?1 C.1 D.24.A，B，C三所大學(xué)發(fā)布了面向高二學(xué)生的夏令營招生計劃，某中學(xué)有四名學(xué)生報名參加.若每名學(xué)生只能報一所大學(xué)，每所大學(xué)都有該中學(xué)的學(xué)生報名，且A大學(xué)只有其中一名學(xué)生報名，則不同的報名方法共有(

)A.18種 B.21種 C.24種 D.36種5.已知a，b，c均為單位向量，且<a，b>=2π3，<a+b，A.34 B.32 C.96.記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2022，S2024，S2026?8成等差數(shù)列，a2A.900 B.600 C.450 D.3007.已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+cos4ωx(ω>0)的最小正周期為A.58 B.34 C.788.過拋物線y2=2x上一動點P作圓C:(x?4)2+y2=r2(r為常數(shù)且r∈N?A.1 B.2 C.3 D.4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知隨機(jī)變量X~N(1,σ2),記P(X>-1)=a,P(1<X<3)=b,則(

)A.P(X<3)=a B.a-b=12 C.E(2X-1)=2E(X) D.D(2X-1)=4D(X10.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BB1A.平面AEF截正方體ABCD?A1B1C1D1所得截面為六邊形

B.點G到平面AEF的距離為定值

C.若A1G=xA1A+yA11.已知正項數(shù)列{an}滿足an+1=aA.若k=32，則a2024=3 B.若a2024=3，則k=32

C.若k=83三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=(x+a)lnx的圖象在點(1,f(1))處的切線斜率為3，則實數(shù)a=

．13.已知AB?平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD與平面α所成的角為30°，且C，D兩點在平面α的同一側(cè)，BD=AB=2，AC=3，則CD=

．14.已知實數(shù)x，y滿足2x=(43)log2?x?3四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)記Sn為等比數(shù)列{an}的前(Ⅰ)求{an(Ⅱ)設(shè)bn=an,n為奇數(shù),1log216.(本小題12分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知2ccos(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若3a2+b17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PC⊥平面ABCD，△ABC是邊長為23的等邊三角形，AD=2，∠ADC=2π(Ⅰ)證明：平面PCD⊥平面PBC;(Ⅱ)若平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為217，求PC18.(本小題12分)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點O，對稱軸為坐標(biāo)軸，且C過A(?2,0)，B(?4,3)兩點．(Ⅰ)求C的方程．(Ⅱ)設(shè)P，M，N三點在C的右支上，且BM//AP，AN//BP，證明：(ⅰ)存在常數(shù)λ，滿足OM(ⅱ)△MNP的面積為定值．19.(本小題12分)帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理函數(shù)近似特定函數(shù)的方法.給定自然數(shù)m，n，我們定義函數(shù)f(x)在x=0處的[m,n]階帕德近似為R(x)=a0+a1x+?+amxm1+注：f，f3(x)=[f，?，設(shè)函數(shù)f(x)=ex在x=0處的[0,1]階帕德近似為(Ⅰ)求R(x)的解析式;(Ⅱ)證明：當(dāng)x<1時，f(x)≤R(x);(Ⅲ)設(shè)函數(shù)g(x)=ex?11?x+kx2，若x=0參考答案1.B

2.D

3.C

4.C

5.B

6.A

7.C

8.B

9.ABD

10.BCD

11.AC

12.2

13.1114.3

15.解：(I)因為Sn=an+1?1，

所以當(dāng)n≥2時，Sn?1=an?1，

兩式相減得an=an+1?an，得an+1=2an(n≥2)，

因為an為等比數(shù)列，

所以an的公比為2．

當(dāng)n=1時，a1=a2?1=2a16.解：(Ⅰ)由已知條件及正弦定理得2sinCcosCcosB+2sinBcos2C=sinA，

得2cosC(sinCcosB+sinBcosC)=sinA，

得2cosCsin(B+C)=sinA，即2cosCsinA=sinA，

因為sinA≠0，所以cosC=12，又C∈(0,π)，所以17.解：(I)因為∠ADC=2π3，AC=23，AD=2，

所以由余弦定理可得AC2=AD2+CD2?2AD?CD?cos∠ADC，即CD2+2CD?8=0，

解得CD=2(負(fù)值舍去)，

所以AD=CD，所以∠DCA=∠DAC=π6．

又因為△ABC為等邊三角形，所以∠DCB=π6+π3=π2，所以CD⊥BC．

因為PC⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PC⊥CD，

又PC∩BC=C，PC，BC?平面PBC，

所以CD⊥平面PBC，

又CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PBC．

(Ⅱ)連接BD，設(shè)AC∩BD=O，PC=?(?>0)，易知AC⊥BD，以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz．

由(I)可知OA=OC=3，OB=3，OD=1，

則A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(?3,0,0)，D(0,?1,0)，P(?3,0,?)．

故18.解：(Ⅰ)設(shè)C的方程為mx2+ny2=1，其中mn<0．

由C過A，B兩點，可得4m=1，16m+9n=1，解得m=14，n=?13．

因此C的方程為x24?y23=1．

(Ⅱ)(i)設(shè)P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2).

因為BM/?/AP，所以直線BM的斜率為k1=y0x0+2，

BM的方程為y?3=k1(x+4)，

由x24?y23=1,y?3=k1(x+4),得(3?4k12)x2?8k1(4k1+3)x?16(4k12+6k1+3)=0，

所以?4x1=?16(4k12+6k1+3)3?4k12，

所以19.解：(I)根據(jù)帕德近似的定義，設(shè)R(x)=a1+bx，則R′(x)=?ab(1+bx)2．

由題意知f′(x)=ex，R(0)=f(0)=1，R′(0)=f′(0)=1，即a=1,?ab=1,解得a=1,b=?1,所以R(x)=11?x；

(Ⅱ)要證：當(dāng)x<1時，ex≤11?x，即證：當(dāng)x<1時，(1?x)ex?1≤0.

設(shè)?(x)=(1?x)ex?1(x<1)，則?′(x)=?xex，

當(dāng)x<0時，?′(x)>0，?(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<1時，?′(x)<0，?(x)單調(diào)遞減．

所以?(x)≤?(0)=0，所以當(dāng)x<1時，ex≤11?x，即f(x)≤R(x)；

(Ⅲ)(i)若k=0，則g(x)=ex?11?x，由(Ⅱ)可知當(dāng)x<1時，g(x)≤0，且僅當(dāng)x=0時，g(x)=0，

所以x=0是g(x)的極大值點，符合題意．

(ii)若k<0，方程1?x+kx2=0有兩個實根x1=1+1?4k2k，x2=1?1?4k