三次函數(shù)（學(xué)生版） -2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題

專(zhuān)題14三次函數(shù)

考情分析

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，我們知道二次函數(shù)是重要的且具有廣泛應(yīng)用的基本初等函數(shù),

學(xué)生對(duì)此已有較為全面、系統(tǒng)、深刻的認(rèn)識(shí)，并在某些方面具備了把握規(guī)律的能力，由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二

次函數(shù)，我們可以利用二次函數(shù)深入研究三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，這使得三次函數(shù)成為高考數(shù)學(xué)的一個(gè)熱點(diǎn).

解題秘籍

(-)三次函數(shù)的單調(diào)性

由于三次函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)/(x)是二次函數(shù),我們可以利用/■'(x)=0根的情況及根的分布來(lái)研究三次函數(shù)

的單調(diào)性，特別是含有參數(shù)的三次函數(shù)的單調(diào)性通常要借助二次方程根的分布求解.

【例1】(2024屆青海省部分學(xué)校高三下學(xué)期聯(lián)考)已知函數(shù)/(工)=；/+；心尤2一(%+1N.

⑴討論的單調(diào)性；

⑵若/(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求機(jī)的取值范圍.

2

［解析］(1)/'(x)=x+mx-(m+l)=(x-l)(x+w+l),

令/'(x)=0,解得％=1或%=-加一1,

①當(dāng)-m-1>1,即加<一2時(shí)，

由/'(X)>°得或x>-m-1；由/'(x)<0得1<x<-m-1,

所以/(x)在(-0,1)和(-加T+動(dòng)上單調(diào)遞增；在(L-加-1)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)一加一1=1,即加=一2時(shí)，

r(x)>o恒成立，所以/(%)在R上單調(diào)遞增；

③當(dāng)-m一1<1,即加〉—2時(shí)，

由/'(X)>°得x〉l或x<—機(jī)-1：由/'(X)<0得一加一1<x<l,

所以/(X)在(-8,-〃L1)和(L+8)上單調(diào)遞增；在(-加T1)上單調(diào)遞減;

綜上，

當(dāng)機(jī)＜-2時(shí),/（x）在（-雙1）和（-加-1,+“）上單調(diào)遞增；在（1,-加-1）上單調(diào)遞減；

當(dāng)加=-2時(shí)J（元）在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)機(jī)＞-2時(shí),〃x）在（-雙-加-1）和（1,+8）上單調(diào)遞增；在（-機(jī)-1,1）上單調(diào)遞減.

（2）因?yàn)椤垼┯?個(gè)零點(diǎn)，所以加片-2,

m217

當(dāng)機(jī)＞一2時(shí),極大值/（-w-l）=—+—（機(jī)+1）一7；極小值/（1）=一5加一］

63

(m

lu+i2(加+1)2>0

4

所以，解得加＞一］且小N-l,

1

——m—<0

[2t

12m2

當(dāng)》＜-2時(shí),極大值/（1）=-］加--；極小值-1）=—+—W+1)：

63

(m2

\6+3+1)~<0

所以，解得m<-4,

1

—m—->0

123

綜上產(chǎn)的取值范圍為（-8,-4八卜2-11口（-1,+功.

（二）過(guò)平面上一點(diǎn)P作三次函數(shù)圖象的切線的條數(shù)

1.此類(lèi)問(wèn)題一般是先設(shè)出切點(diǎn)⑺）,寫(xiě)出曲線〃x）在X處的切線方程，把點(diǎn)尸坐標(biāo)代入，整理出一

個(gè)關(guān)于/的三次方程，該方程實(shí)根個(gè)數(shù)就是切線條數(shù).

2.以三次函數(shù)為/（x）=a/+區(qū)為例，研究■下三次函數(shù)的切線問(wèn)題：若M（Xi,yi）是三次曲線

/（x）=ax'+區(qū)上的任一點(diǎn)，設(shè)過(guò)〃的切線與曲線y=f（x）相切于（x0,y0），則切線方程為

F一必）=/'（項(xiàng)））（》一/），因點(diǎn)〃上此切線上，故必一汽=/'（/）（項(xiàng)一/），又

332

y0-ax^+bx0,yl-ax/+bxx,所以axi+bxr-（ax0+bx0）=（3ax0+b）（xx-x0）,整理得：

2

（x0-%1）（2%0+匹）=0,解得=$或%=一蓑.綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M是對(duì)稱(chēng)中心即$=0時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作曲

線的切線切點(diǎn)是惟一的，且為M故只有一條切線；當(dāng)點(diǎn)M不是對(duì)稱(chēng)中心即X］W0時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作曲線的切線可

產(chǎn)生兩個(gè)不同的切點(diǎn)，故必有兩條切線，其中一條就是以M為切點(diǎn)（亦即曲線在點(diǎn)M處）的切線.

由此可見(jiàn)，不僅切線與曲線的公共點(diǎn)可以多于一個(gè)，而且過(guò)曲線上點(diǎn)的切線也不一定惟一

【例2】(2024屆福建省泉州市高中畢業(yè)班5月適應(yīng)性練習(xí))已知函數(shù)〃x)=*-2x2-2x+a(a>0).

⑴當(dāng)。=1時(shí),若直線y=-3x+6與曲線y=/(x)相切，求6；

⑵若直線V=-2x-2與曲線y=〃x)恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，求a.

【解析】(I)當(dāng)°=1時(shí),〃X)=X3-2X2-2X+1J'(X)=3X2-4X-2,

因?yàn)橹本€V=-3x+b與曲線y=〃x)相切，

設(shè)切點(diǎn)為(％,%),則切線斜率左=/'(工0)=3焉-4工(1-2,

1

3XQ-4XQ-2=-3%二1

4

可得<典=-3%+b，解得V為=_2或.%一藥,

%=xo3-2/2―2%+1

b=l31

b=—

27

所以6=1或6=二.

27

(2)因?yàn)橹本€V=-2x-2與曲線了=/(元)恰有兩個(gè)公共點(diǎn),

以1^3不壬ctx^-2廠-2x+a=-2x-2,

即方程a,+1)-2(/-1)=0有兩個(gè)不等實(shí)根,

因?yàn)槭?1是方程a(d+1)-2(/-1)=0的一個(gè)根;

當(dāng)x力一1時(shí)，方程可化為ax~—+2)尤+。+2=0(*),

依題意，方程(*)有不等于-1的唯一根，

因?yàn)??！?,若。=0,則(*)即-2x+2=0,x=l,滿足條件；

若空0,則由12(.一n解得：”十

△=(Q+2)—4Q(Q+2)=03

2

綜上所述,。=0或。=(.

【例3】(2024屆江蘇省南通市高三上學(xué)期期初質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知函數(shù)/口)=加+加2+5(”>0)的極小值為

-2淇導(dǎo)函數(shù)/''(耳)的圖象經(jīng)過(guò)"(TO)*。,。)兩點(diǎn).

⑴求〃x)的解析式;

(2)若曲線y=/(x)恰有三條過(guò)點(diǎn)P(l,m)的切線，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【解析】(1)f'(x)=3ax2+2bx+c,

因?yàn)閍>0,且尸(x)的圖象經(jīng)過(guò)囚T0),8(1,0)兩點(diǎn).

所以當(dāng)xe(-8,-l)時(shí)J(x)>0J(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(-1,1)時(shí)J'(x)<0J(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(1,+⑹時(shí),/'(X)>0J(x)單調(diào)遞增.

所以「(X)在x=l處取得極小值，所以〃l)=a+6+c=-2,

又因?yàn)?'(-l)=0,/'(l)=。,所以3a-2b+c=0,3a+2b+c=0,

3a-2b+c=0

解方程組<3a+2b+c=°得。=1,6=0,。=—3,

a+b+c=-2

所以/(力=/-3工

(2)設(shè)切點(diǎn)為(%,%)),則為=x；-3%,

因?yàn)?(無(wú))=3尤2-3,所以廣為)=3X；-3,

所以切線方程為J，_(x”3x°)=(3x；-3)(x-%,

將尸(1,加)代入上式，得2x；-3x；+加+3=0.

因?yàn)榍€了=/(x)恰有三條過(guò)點(diǎn)尸(1,加)的切線，所以方程2/-3/+〃,+3=0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解.

記g(x)=2x3-3x2+加+3,則導(dǎo)函數(shù)g'(x)=6x，-6x=6x(x-l),

令g'(x)=0,得x=0或1.

列表：

X(-8,0)0(0』)1(1,+CO)

g'(x)+0-0+

g（x）7極大\極小7

所以g（x）的極大值為g（O）=切+3,g（x）的極小值為8⑴二加+2,

fg（0）＞0/、

所以，解得-3＜加＜-2.故切的取值范圍是（-3,-2）.

（三）三次函數(shù)的極值

三次函數(shù)/（x）的極值點(diǎn)就是二次函數(shù)/'（X）的零點(diǎn)，所以與三次函數(shù)極值有關(guān)的問(wèn)題常借助“三個(gè)二次”的

關(guān)系求解.

【例4】（2024屆山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三二模）已知函數(shù)/（x）=（x-4）2（x-6）（a,6eR,q＜6）.

⑴當(dāng)a=l,b=2時(shí),求曲線T=/（x）在點(diǎn)（2,/（2））處的切線方程；

⑵設(shè)和血是/（X）的兩個(gè)極值點(diǎn),七是〃X）的一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)HX],X3工赴.是否存在實(shí)數(shù)匕,使得占戶2，9戶4按

某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求X,；若不存在，說(shuō)明理由.

【解析】（1）當(dāng)。=1,6=2時(shí),〃X）=（X-1）2（X-2）,

則/'（力=2（》-1）（》-2）+（工-1）2=（》-1）（3》-5）,故八2）=1,

又/⑵=0,所以曲線＞=〃x）在點(diǎn)（2,0）處的切線方程為y=x-2；

（2）/（X）=2（x-a）（x-6）+（x-a）2=3（）一°）]3，,

由于a＜6,故二2”,

令r（x）＞0,解得或令，（“＜0,解得

可知＞=〃x）在3,@產(chǎn)]內(nèi)單調(diào)遞減，在（-雙與絲,+"內(nèi)單調(diào)遞增，

所以/（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x=",x=，不妨設(shè)玉=a,x[=與約，

因?yàn)轳R力占廣3片%,且退是/（x）的一個(gè)零點(diǎn)，故％=上

又因?yàn)槎?T、，

故匕=以0+三絲卜女此時(shí)見(jiàn)怨々匕絲,6依次成等差數(shù)列，

所以存在實(shí)數(shù)尤4滿足題意，且匕=現(xiàn)￥

(四)三次函數(shù)的零點(diǎn)

1.若三次函數(shù)/(X)沒(méi)有極值點(diǎn)，則/(X)有1個(gè)零點(diǎn)；

2.三次函數(shù)/(x)有2個(gè)極值點(diǎn)七,超,，則〃再)/泣)〉。時(shí)/(x)有1個(gè)零點(diǎn)；〃再)/泣)=。時(shí)

/(x)有2個(gè)零點(diǎn)；/(再)/(%2)<0時(shí)/(x)有3個(gè)零點(diǎn).

【例5】(2023屆江西省贛撫吉H"一校高三第一次聯(lián)考)已知函數(shù)〃X)=X3-4加/-3加/+2,其中以20.

⑴若“X)的極小值為一16,求加；

⑵討論〃x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

［解析】(1)由題得/'(%)=3x2-Smx-3m2=(x-3m)(3x+加)淇中加［0,當(dāng)加=0時(shí)J'(x)20J(%)單調(diào)遞增,

無(wú)極值；當(dāng)加〉0時(shí)，令/(、)>0,解得或%>3加；令/。)<0,解得-g<x<3加，所以/⑴的單

調(diào)遞減區(qū)間為1*3加),單調(diào)遞增區(qū)間為所以當(dāng)x=3加時(shí),〃x)取得極小值

〃3加)=2-18加3,所以2_18加=一16，解得加=1.

(2)由⑴知當(dāng)…時(shí),/(x)的極小值為〃3時(shí)=278療J(x)的極大值為(T=2+/3>O,

r產(chǎn)

//當(dāng)2-18療<0,即加>出時(shí)J(x)有三個(gè)零點(diǎn)，如圖①曲線；當(dāng)2-18加3=0,即

flV53

皿T時(shí)J(x)有兩個(gè)零點(diǎn),如圖②曲線；當(dāng)2-18加>0,即0<加考時(shí)J(x)有一個(gè)零點(diǎn),如圖③曲線；當(dāng)

加=0時(shí)J(x)=/+2,易知/⑴有一個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí),/(x)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)機(jī)=日時(shí)，

/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng).>日時(shí)J(x)有三個(gè)零點(diǎn).

(五)三次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性

三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a豐0)的圖象有六種，如圖：

圖⑷

對(duì)函數(shù)/(x)=ax3+bx2+CX+d(a豐0)進(jìn)行求導(dǎo)：f'(x)=3ax2+2bx+c是二次函數(shù)，原函數(shù)的極值點(diǎn)與

單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有關(guān)，所以容易發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)中的參數(shù)。與A的符號(hào)起決定性作用.當(dāng)a為正時(shí)，原函數(shù)

的圖象應(yīng)為上圖中的(1)、(3)、(5)三種情況；而當(dāng)a為負(fù)時(shí)，原函數(shù)的圖象則為(2)、(4)、(6)三種情

況.當(dāng)A〉。時(shí)，二次方程八%)=0有兩相異實(shí)根乂,憶，且在汨,％的兩邊/'(X)的符號(hào)相反,故函數(shù)/(x)存

在兩個(gè)極值點(diǎn)，圖象為上圖中的(3)、(4)兩種；當(dāng)△=()時(shí)，二次方程/'(x)=0有兩相等實(shí)根，且在根的兩

邊/'(X)的符號(hào)相同，這時(shí)函數(shù)/(x)只存在駐點(diǎn)(但不是極值點(diǎn)),函數(shù)的圖象為上圖中Q)、Q)兩種，當(dāng)△<()

時(shí)；方程/'(x)=0無(wú)實(shí)根，/'(X)的值恒為正(或負(fù))，函數(shù)的圖象為上圖中的(5)、(6)兩種.

仔細(xì)觀察圖象，我們還不難發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)是中心對(duì)稱(chēng)曲線,這一點(diǎn)可以得到進(jìn)一步的驗(yàn)證:設(shè)

/(m-x)+f(m+x)=2〃，得

[a(jn-x)3+b(jn-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2〃整理得，

(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2mc+2d)=2”.據(jù)多項(xiàng)式恒等對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，可得m=-■2且

3a

n=am3-\-brn1+加。+乙從而三次函數(shù)是中心對(duì)稱(chēng)曲線，且由n=/(加)知其對(duì)稱(chēng)中心(加,/(加))仍然在曲

線上.而加=-2是否具有特殊的意義？對(duì)函數(shù)/(x)進(jìn)行兩次求導(dǎo)J〃(x)=6"+26再令等于0,得

3。

x=--，恰好是對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，這可不是巧合，因?yàn)闈M足/"(機(jī))=0的"正是函數(shù)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這一

3a

性質(zhì)剛好與圖象吻合.

【例6】對(duì)于三次函數(shù)"X)=+反2+CX+"(aW。),給出定義：設(shè)/'(X)是函數(shù)＞=fix)的導(dǎo)數(shù)，/"(X)是

/(X)的導(dǎo)數(shù)，若方程r'(x)=0有實(shí)數(shù)解%,則稱(chēng)點(diǎn)(%,/(%))為函數(shù)＞=/(x)的，拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn):

任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)，，；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心.若

1,1,5

/(x)=§x-5一+3%一方,請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn).

(1)求函數(shù)/(x)的對(duì)稱(chēng)中心；

1232020

(2)計(jì)算/(——)+/(——)+/(—)+-?-+/(—).

2021202120212021

【解析】(1)'.1f'{x)=x2-x+3,f"{x}=2x-1,

令/"(x)=0,即2%-1=0,解得X=；,

?■?/(i)=ix(i)34x(l)2+3x1-il=b

由題中給出的結(jié)論，可知函數(shù)/(X)的對(duì)稱(chēng)中心為。,1).

(2)由⑴知函數(shù)/四=#-9+3”卷的對(duì)稱(chēng)中心為(”，

所以/(”)+〃；-無(wú))=2,即〃x)+/(l-x)=2,

故/(—1^)+2020=2,/(^2)+/(2^0^19)=2…20201=2,

202120212021202120212021

1?320201

所以/(——)+/(——)+/(——)+-?-+/(——)=—x2x2020=2020.

20212021202120212

(六)三次函數(shù)與韋達(dá)定理的交匯

由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，而二次函數(shù)常與韋達(dá)定理交匯,故有時(shí)可以用定理交匯處理三次函數(shù)問(wèn)題

a、b、c

【例7】設(shè)X],X2是函數(shù)/(x)=1X+]/—。2M?！?)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且a|+口21=2

(1)求。的取值范圍；

(2)求證：怪64V一3.

22

【解析】⑴/(x)=ax+bx-a,xx,x^f'(x)=0的兩個(gè)實(shí)根，又a>0

XjX2=_a<0,Xj+X2=----,|Xj|+|X21=1X]—/|=~+4fi!

由|X1|+|/1=2得與+4a=4,即Z>2=4a2—4a3=4t72(l—a)

一a

b1>00<a<1

⑵設(shè)/=g(a)=4a2-4/,則g(a)=8a-12a2=4a(2-3a)

77

g(a)在(0,§)在單調(diào)遞增，在(1,1)上單調(diào)遞增

「/、1_/2、_16y4指

[g(a)]max=g(-)=—^-<—^―

[例8](2024年2月第二屆“魚(yú)塘杯”高考適應(yīng)性練習(xí))對(duì)三次函數(shù)/")=加+&2+5+4。30,如果其存

_bcd_

在三個(gè)實(shí)根西,工2，三,則有匹+%2+退=--,XjX+XX+XXj=一,用工2%3=.稱(chēng)為三次方程根與系數(shù)關(guān)系.

a2233aa

(1)對(duì)三次函數(shù)/(力=辦3+&2+5+4,設(shè)8(力=/(力,存在為€11,滿足0=/(%)=8(/)/8，(%).證明：存

在百工%,使得/@)=。卜-王)(》-工0)2；

⑵稱(chēng)〃x)是卜%上的廣義正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)〃x)存在極值點(diǎn)國(guó),/e(m,M)，使得

[〃西),〃X2)}={〃")，〃朋9}.在平面直角坐標(biāo)系短了中,4(°,6)是第一象限上一點(diǎn),設(shè)

/(x)=x(a-x)+—,g(x)=x(a-x1-46“已知g(x)在(0,。)上有兩根x0<x3,

(i)證明：/(x)在(0,+8)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件是03>276；

(ii)求點(diǎn)A組成的點(diǎn)集，滿足/(x)是民,9]上的廣義正弦函數(shù).

【解析】⑴因?yàn)椤坥)=O,所以不妨設(shè)〃x)=a(x-尤/0),

所以g(x)=/'(x)=，(工一工0)(%—再)+。('—Xo)(x—工2)+。(%—x1)('—工2),(〃。,

因?yàn)閛=g(尤0)Wg'伉),所以g伉)=((％)=。(％-X])伉一x2)=0,(a*0),

所以不妨取了2=%滿足題意，且此時(shí)必有工產(chǎn)后，

3,2，

否則若X=%,則有/(x)=fl(x-x0),g(x)=/(x)=3a(x-x0),g(A：)=6<7(x-x0),

而此時(shí)8'(%)=6。(%0-%)=0與已知0=850)心，舊)矛盾，

綜上所述，存在/%,使得/'(x)=a(x-)(x-X。丫.

(2)(i)/(凡6)是第一象限上一點(diǎn)，所以a>0,6>0,

因?yàn)?(x)=x(fl_x)+2,所以/(x)=a-2x-=~2x+ax~b,(a>0,Z>>0),

XXX

32

設(shè)/z(x)=-2x+ax-b,則/z(0)=-Z)<0?

而x-—00時(shí),〃(x)T+8,Xf+00時(shí),〃(x)T-00,

所以〃(%)=一2%3+"2_b=0存在負(fù)根，

因?yàn)椤癤)在(0,+句上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于方程r(x)=-2x：x~=0在(0,+8)上有兩個(gè)根,

等價(jià)于方程人⑴=-2x3+#_6=0在(0,+8)上存在兩個(gè)根，

注意到三次方程最多有3個(gè)根，所以方程"x)=-2d+辦2-6=o有一個(gè)負(fù)根，兩個(gè)不同的正根，

而h'(x)=-6x2+2ax，當(dāng)0<x<：時(shí),”(x)=-6x2+2ax>0,/z(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>￡時(shí),/(x)=-6x2+lax<0,/z(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)且僅當(dāng)〃[*]=-蕓+/-6=(-6>0,即當(dāng)且僅當(dāng)。3>27江

綜上所述，命題(i)得證；

(ii)容易驗(yàn)證1>276時(shí),g(x)=。也恰好有兩個(gè)正根沖,七,

止匕時(shí)：由于對(duì)x>0來(lái)說(shuō)，/''(x)=0等價(jià)于2x3-辦2+6=0透(》)=0等價(jià)于工.一"2-46=0,

所以對(duì)x>0,如果g(x)=0,那么寧)+6=0,

這意味著玉=號(hào),馬=寧，

然后，對(duì)兩個(gè)不相等的正數(shù)〃,VJ(")-〃V)=(M-V)a-(u+v)--,

所以/(")=/3)當(dāng)且僅當(dāng)"+V+—=心

uv

那么如果t=再或*2，就有。-2/=X?；騒?,故/■'。)=gg-2。，

232

,z_xbbb-t(a-2t)2t-at+b

此時(shí)t+(6Z-2/)+---------=a-t+—-------=a+—————T=a+--------=a,

/(a-2。7(a-2。

所以/(/)=/(。一2/),這意味著/(%)=/(%),/(再)=/(%)，

最后,由于加(X)=i(x)=2x3_o?+6有一個(gè)極值點(diǎn)x=,

所以X”吃都不等于。(再,乙是不相等的正零點(diǎn)，同時(shí)該方程還有另一個(gè)負(fù)零點(diǎn)，但與只要是根就是二重的，所

以§不可能是根)，這就說(shuō)明占3W%，

結(jié)合/(x)的單調(diào)性以及/(%)=/(丫2)J(xj=/(X3),必有/<X[<X?<X3,

所以此時(shí)〃X)一定是廣義正弦函數(shù)，

綜上所述，滿足題意的4={(。力)I43>27b}.

典例展示

【例11(2024屆福建省泉州市高三5月適應(yīng)性練習(xí))已知函數(shù)y(x)=G3-2x2-2x+a(aN0).

(1)當(dāng)。=1時(shí),若直線V=-3x+6與曲線y=/(x)相切，求6；

(2)若直線>=-2x-2與曲線y=/(x)恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，求a.

【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),/'(x)=—2x?-2x+1J'(x)=3x~-4x—2,

因?yàn)橹本€>=-3x+6與曲線y=/(x)相切，

設(shè)切點(diǎn)為(％,%),則切線斜率先=/'(Xo)=3x：-4xo-2,

1

-

%3

3XQ—4XQ—2=-3%二14

-

-一

可得<%=-3%+b，解得V%=_2或.Jo

27

%=-2/2-2x0+1b=l

31一

b:

27

所以6=1或6=布.

27

(2)因?yàn)橹本€>=-2》-2與曲線y=/(x)恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，

所以方程ax'-2x?-2尤+a=—2.x—2,

即方程a(Y+l12(/_1)=0有兩個(gè)不等實(shí)根，

因?yàn)槭?1是方程。(/+1)-2,-1)=0的一個(gè)根；

當(dāng)XW-1時(shí)，方程可化為/-(a+2)x+a+2=0(*),

依題意，方程(*)有不等于-1的唯一根，

因?yàn)椤?0,若。=0,則(*)即-2x+2=0,x=l,滿足條件；

Q+Q+2+Q+2W02

若a>0,則由|,2/解得："=￡,

△=(Q+2)—4Q(Q+2)=03

2

綜上所述,。=0或a=].

【例2】(2024屆福建省泉州第五中學(xué)高考熱身測(cè)試)已知函數(shù)/(司=/-"+2,aeR.

(1)若x=-2是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，求。的值，并求其單調(diào)區(qū)間;

⑵若函數(shù)/(x)在1,3上僅有2個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【解析】(1)-(x)=3/-a2)=12-a=0,得°=12,

當(dāng)Q=12時(shí)J'(x)=3x2-12=0,得工=一2或x=2,

x,r(x),/(x)的變化情況如下表所示，

X(-雙-2)-2(-2,2)2(2,+8)

f(x)+0-0+

小)增區(qū)間極大值18減區(qū)間極小值-14增區(qū)間

所以函數(shù)/⑺的增區(qū)間是(-8,-2)和(2,+動(dòng),減區(qū)間是(-2,2)；

(2)令/(x)=%3一"+2=0,%￡；,3,

2

得。=X+2=X?+-,^-g(x)=x+-,x&3

XXxr，

22

g,(x)=2x--=-=0,得x=l,

x2

如下表,

￡

X1。，3)3

3加

g'(x)-0+

5529

g(x)減區(qū)間極小值增區(qū)間

~93T

因?yàn)楹瘮?shù)〃X)在1,3上僅有2個(gè)零點(diǎn)，即了=。與y=g(x)有2個(gè)交點(diǎn)，如圖:

即3<041.

[例3](2024屆陜西省銅川市高三下學(xué)期模擬)已知函數(shù)"幻=2丁+3/-12x+m(機(jī)eR)的一個(gè)極值為

⑴求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

"3-

⑵若函數(shù)〃(x)在區(qū)間k,-上的最大值為18,求實(shí)數(shù)上與加的值.

【解析】(1)由〃(x)=2%3+3,一12%+加(加￡R),得Zz'(x)=6—+6x—12=6(x+2)(x—l),

令//(x)=0,得工=一2或x=l；令〃(x)<0,得-2vx〈l；令〃(x)>0,得%<-2或x>l.

所以函數(shù)〃(x)有兩個(gè)極值〃(-2)和人⑴.

若〃(—2)=—2,得2x(—2)3+3x(—2)2—12x(—2)+加=—2,解得加=—22；

若"(1)=-2,得2xF+3xF-i2xl+機(jī)=-2,解得加=5.

綜上,實(shí)數(shù)用的值為一22或5.

(2)由(1)得,“(力,力(力在區(qū)間,叫|的變化情況如下表所示:

3

X(-GO,-2)-2(-24)1

2

h'^x)+0—0+

9

//(%)/極大值加+20極小值加-7/m——

2

由表可知，

①當(dāng)1"＜|時(shí)，函數(shù)在區(qū)間用上單調(diào)遞增，所以最大值為〃［］=加

其值為或］不符合題意；

②當(dāng)上=-2時(shí)，函數(shù)3)在(-2,1)上單調(diào)遞減，在臼上單調(diào)遞增，

因?yàn)椤?-2)=20+加，?||=入-：,〃(2)＞彳|),所以“工)在左,|上的最大值為可-2)=加+20淇值為_(kāi)2

或25,不符合題意；

③當(dāng)左＜-2時(shí)，函數(shù)〃(x)在(鼠-2)上單調(diào)遞增，在(-2,1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因?yàn)槿?-2)=20+%彳|)=加-|血2)＞同,所以〃(力在,上的最大值為力(-2)=加+20淇值為_(kāi)2

或25,不符合題意；

④當(dāng)-2〈人＜1時(shí),〃⑴在停,1)上單調(diào)遞減，在［1,1)上單調(diào)遞增，

若力(X)在區(qū)間椅上的最大值為彳3=加一(其值為?；??，不符合題意，

「3-

又因?yàn)槿艏?-22,則〃(-2)=m+20=-2.那么，函數(shù)在區(qū)間k,-上的最大值只可能小于一2,不合題

,zsh=.

忌、,

「3-1

所以要使函數(shù)〃(X)在區(qū)間k,-上的最大值為18,必須使〃化)=2左'+3左2-12左+加=18,且〃2=5,

艮［J"(左)=2左3+3左2-12左+5=18.所以2后3+3斤2—12左一13=0,

所以2^+2/+^+左一13/一13=0.所以2F優(yōu)+1)+上伍+1)-13化+1)=0,

所以(2r+左一13)伍+1)=0.所以2"+"13=0或后+1=0,

所以左=T±.或左+1=0.因?yàn)橐?<:<1,所以左=T±.舍去.

44

綜上,實(shí)數(shù)上的值為-1,"的值為5.

【例4】(2023屆江蘇省徐州市睢寧縣高三下學(xué)期5月模擬)已知函數(shù)/(x)=-2x3+加eR,且g(x)=I/(%)I

在xe(0,2)上的極大值為1.

⑴求實(shí)數(shù)加的值；

(2)若b=f{a),c=f(b),a=/(c)，求a也c的值.

[解析](1)g(x)=x212x-/w|,0<x<2,

①加W0時(shí)，g(x)=2x3-mx2g'(x)=6x2-2mx>0,無(wú)極值.

②加24時(shí),g(x)=-2x3+mx2g'(x)=2x(m-3x),

fTl

當(dāng)I22,即加26時(shí),g'(x)20,無(wú)極大值;

TV]m

當(dāng)4?冽<6時(shí),X<§時(shí),gr(x)>0；§<X<2時(shí),g'(x)<0,

...g(x)在X=g處取極大值，即g(9=1=1,.??加=3,舍去.

-+加I?,0?1工——

(3)0<m<4時(shí),g(x)=<

2x3-mx2,—<x<2

2

2x(加-3x),0Kx<—

???g'(x)=，-

2x(3x-m),-y<x<2

YYlvyimvv]

0<x<§時(shí),g'(x)>0；§<X<5時(shí),g'(x)<0；,<X<2時(shí),g'(x)>0.

...g(x)在x=g處取極大值嗎=1m=3符合題意.

3乙/

(2)由(1)可知,/(%)=-2丁+3%2/(1)二-6工2+6%=61(-1+1),

令/'(、)>0可得-l<x<0,令/'卜)<0可得%〉1或…,

如圖所示.

①當(dāng)〃<0時(shí)。=/(a)>0,

當(dāng)時(shí),。vc=/(6)W1,貝Ua=/(c)>。,矛盾；

當(dāng)6〉；時(shí),。=/3)<0,.?.。=/?>0,矛盾.

②當(dāng)。=0時(shí)，符合題意.

③當(dāng)0<a<」時(shí),0<x<,時(shí),/(x)<x0<b=/(?)<?<-,

222

則0<C=f(b)<6<；,0<a=/(c)<c<^,.-.a<c<b<a，矛盾.

?當(dāng)時(shí)，符合題意.

⑤當(dāng)：<a<l時(shí),(<尤<1時(shí),/(x)>xl>b=/(a)>?>1,

貝！J1〉。=/3)>6〉；,1>a=/(c)>c>ga>c>b>a，矛盾.

⑥當(dāng)。=1時(shí)，符合題意.

⑦當(dāng)1va4］時(shí),。w6=/(a)v1,貝lj。Wc=/(6)<1a=7(c)V1,與Q>1矛盾.

33

?當(dāng)Q>］時(shí),6=/(。)<0,。=/3)>0,??.。=/0?1,與?！?矛盾.

綜上,a=b=c=O,或。=6=c=；，或a=b=c=l.

【例5】(2023屆重慶市第十一中學(xué)校高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)/(x)=d-3/+G+3,/(X)在

X1處取極大值，在x?處取極小值.

⑴若”0,求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵在方程/(x)=/(占)的解中，較大的一個(gè)記為馬,在方程〃x)=/(々)的解中，較小的一個(gè)記為X”證明：

上五為定值.

x3-x2

【解析】(1)當(dāng)a=0時(shí),/(x)=x3-3f+3,定義域?yàn)镽,/'(X)=3X2-6X,

當(dāng)/'(x)>0時(shí),x>2或x<0；當(dāng)/'(x)<0時(shí),0〈尤<2；

即函數(shù)〃x)的單調(diào)增區(qū)間為(-嗎0),(2,+動(dòng)；單調(diào)減區(qū)間為(0,2).

(2)由廣(x)=3x?-6x+a,

根據(jù)題意，得3x2-6x+a=O的兩根為x”x?，且玉<%,

即A=36-12。>0，得a<3,

X]+%2=2,

所以占vlv%2,

因f(x)—f(再)，貝!J%，—3/+dx+3—%：—3x；+uXy+3,

2

可矢口—3x+ax=xf-+axx,

因?yàn)?(再)=0,即a=6%一3%；,

3222

即x-xf+3xf-3x+ax-axx=(x-xj^x+%(^-3)-2x^+3xJ=(x-x1)(x+2x1-3)=0,

可知&=3—2』,同理，由/(力=)(%)，

222

可知工3_石+3考-3x+ax-ax2=(x-x2)|^x+x(x2-3)-2xf+3x2^|=(x-x2)(x+2x2-3)=0；

得至！J%=3—2X2,

所以當(dāng)二五=三汩2=匕邃=匕心)=一1.

X-j—%23—2再—%2]—X]]-X]

【例6】已知函數(shù)f(x)=|ax3+|te2+cx(a>0).

⑴若函數(shù)〃x)有三個(gè)零點(diǎn)分別為毛,4，尤3，且玉+々+X3=-3,XA=-9，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若廣⑴=-%,3a>2c>26,證明：函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)一定有極值點(diǎn)；

(3)在(2)的條件下,若函數(shù)/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)之間的距離不小于百，求白的取值范圍.

a

【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)+cx=M；a%2+gbx+c)(a>0),

xx

又X1+%+%3=-3,\2二一9，貝!]二°,匹+%2=-3,xxx2=-9

因?yàn)槭欠匠蹋?+；bx+c=0的兩根，

bc

所以/'(x)=ax2+bx+c=a(x2+—x+—)=a(x2+2x-3)=a(x-l)(x+3).

aa

令/'(x)=0解得：x=l,x=-3當(dāng)/'(x)>0時(shí),x<—3或x>l,

當(dāng)/'(x)<0時(shí),-3<x<1,故/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-3,1),

單調(diào)遞增區(qū)間是(-叫-3),(1,+功.

(2)因?yàn)?'*)=/+bx+cJ'(l)=-；a,

所以a+b+c=-1a，即3a+26+2c=0.

又a>0,3a>2c>26,所以3a>0,26<0,即a>0.b<Q.

于是/")=<0,=c,/'(2)=4a+2b+c=4a-(3a+2c)+c=a-c.

①當(dāng)c>0時(shí)，因?yàn)榘?)=c>0J'(D=[a<0,而f'(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)連續(xù),

則/'(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為“加，

則在xe(0,加),(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

在X€(加,1)J(x)<0,/(%)單調(diào)遞減,

故函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極大值點(diǎn)x=m；

②當(dāng)C40時(shí)，因?yàn)?'(l)=-ga<0,八2)="c>0,

則/'(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一零點(diǎn).設(shè)為X=",

則在xe(l,?),r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

在xw(〃,2)/(x)>0J(x)單調(diào)遞增,

故函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有極小值點(diǎn).

綜上得函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)一定有極值點(diǎn).

(3)設(shè)加，”是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，

則加，〃也是導(dǎo)函數(shù)廠(x)=加+fex+c=0的兩個(gè)零點(diǎn)，

由(2)得30+26+2。=0,貝!]加+〃=-2,?2〃=￡=-。-2.

aa2a

222

所以|相一〃|=yj(m+n)-4mn=A/(-—))=./(—+2)+2

Va2a\a

由已知,J(2+2y+22JJ,

Va

則兩邊平方得(2+2)2+223,得出。+221,或2+2WT,

aaa

即—2-1，或—<—3，又2c=-3a-2b,3a〉2c>2b,

aa

3

所以3a>-3a-2b>2b，即-3a<b<--a.

因?yàn)閍>0,所以-3-.綜上分析,2的取值范圍是1I,-"

a