高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)訓(xùn)練：基本不等式的應(yīng)用（分層練）（原卷版）

第12講基本不等式的應(yīng)用

【蘇教版2019必修一】

目錄

題型歸納................................................................................

題型01利用基本不等式的變形求最值.....................................................................2

角度1積(和)為定值求最值.............................................................................2

角度2常數(shù)代換法.......................................................................................5

題型02基本不等式的實際應(yīng)用............................................................................7

分層練習(xí)................................................................................................10

夯實基礎(chǔ)...............................................................................................10

能力提升................................................................................................17

創(chuàng)新拓展................................................................................................24

知識梳理

一、利用基本不等式的變形求最值

用基本不等式求最值

已知％,都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,

兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最y

那么當(dāng)________時，積孫有最大值否2

________值

兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最已知x,y都是正數(shù)，如果積犯等于定值產(chǎn)，

________值那么當(dāng)________時，和x+y有最小值2"

(1)口訣：和定積最大，積定和最小.

(2)應(yīng)用基本不等式求最值時，應(yīng)把握不等式成立的條件：一正、二定、三相等

題型歸納

題型01利用基本不等式的變形求最值

【解題策略】

常數(shù)代換（“1”的代換）法求最值的步驟

（I）根據(jù)已知條件或其變形確定定值（常數(shù)）.

（2）把確定的定值（常數(shù)）變形為1.

（3）把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式.

（4）利用基本不等式求解最值

角度1：積（和）為定值求最值

【典例分析】

【例1】例1⑴若a>0,b>0,。+26=5,則油的最大值為（）

A.25B學(xué)

c25-25

c?不DT

⑵若0<x</則y=2x?（l—3x）的最大值是.

⑶設(shè)實數(shù)x滿足x>—1,則函數(shù)y=x+￡y的最小值為（）

A.3B.4

C.5D.6

【變式演練】

3yx

【變式1］（2324高一下.浙江?期中）若實數(shù)x>2y>0,則4二的最小值為（）

尤一2yy

A.25/3B.2A/3-1C.2A/3+1D.2A/3+2

【變式2］已知0<x<l,則彳（3—3尤）取最大值時x的值為（）

A-|B.gc.|D1

【變式3】（2324高一上?浙江杭州?階段練習(xí)）若正數(shù)。力滿足a+26=4.

⑴求ab的最大值;

⑵求白+5的最小值.

角度2常數(shù)代換法

【典例分析】

Q1

【例2】已知x>0,y>O且滿足1+1=1.求x+2y的最小值.

f%y

【變式演練】

2

【變式1】（2324高一下?遼寧葫蘆島?開學(xué)考試）已知x>0,y>0,且4x+y=l,則工的最小值為（）

口

A.5B.472C.4D.272

41

【變式2］（2324高一上.湖南邵陽?階段練習(xí)）若無>0,>>0,且x+丁=6,則—+一的最小值為______.

xy

【變式3](2324高一上.青海海東?期中)已知x>0,J>0,且x+y=2.

19

(I)求一+一的最小值；

xy

(2)若4x+l—aN0恒成立，求加的最大值.

題型02基本不等式的實際應(yīng)用

【解題策略】

利用基本不等式解決實際問題的步驟

(1)先理解題意，設(shè)變量.設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù).

(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題.

(3)在定義域內(nèi)求出函數(shù)的最大值或最小值.

(4)正確寫出答案

【典例分析】

【例3】甲工廠承擔(dān)了某種材料的生產(chǎn)，并以x千克/時的速度勻速生產(chǎn)(為保證質(zhì)量要求IWXWIO),每小時可消耗A

材料(依+9)千克，已知每小時生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時，消耗A材料10千克.

⑴設(shè)生產(chǎn)機(jī)千克該產(chǎn)品，消耗A材料y千克，試把y表示為x的函數(shù)；

⑵要使生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品消耗的A材料最少，工廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度？并求消耗的A材料最少為多少？

【變式演練】

【變式1]（2223高一上?全國?期中）小王準(zhǔn)備用18m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18m,小王需要合

理安排矩形的長、寬才能使菜園的面積最大，則菜園面積的最大值為（）

8]

A.—m2B.40m2C.36m2D.32m2

2

【變式2]（2324高一上?河北?階段練習(xí)）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買10g黃金,

售貨員先將5g的祛碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的祛碼放在天平右盤中，

再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認(rèn)為顧客購得的黃金______10g.（填

“大于,，“小于,，”等于,，“不確定

附：依據(jù)力矩平衡原理，天平平衡時有叫乙=利七,其中州，牝分別為左右盤中物體質(zhì)量，幾人分別為左右橫梁臂

長.

【變式3]（2324高一上.甘肅臨夏?期末）某單位建造一間地面面積為12平方米的背面靠墻的矩形小房，由于地理位

置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5米，房屋正面的造價為400元/平方米，房屋側(cè)面的造價為150元/平方米，屋

頂和地面的造價費(fèi)用合計為5800元，如果墻高為3米，且不計房屋背面的費(fèi)用，當(dāng)側(cè)面的長度為多少時，總造價最低？

最低總造價是多少元？

分層練習(xí)

【夯實基礎(chǔ)】

一、單選題

2

1.（2324高一上.廣東潮州?期中）已知則無（2-3%）的最大值是（）

1]_

A.-B.-CID.

346

2.（2324高一上?云南昆明?期末）如圖，為滿足居民健身需求，某小區(qū)計劃在一塊直角三角形空地中建一個內(nèi)接矩形

健身廣場（陰影部分），則健身廣場的最大面積為（）

A.32.5m2B.36m2C.37.5m2D.40m2

3.（2324高一上?新疆期末）若正實數(shù)x、>滿足尤+y=2,則'的最小值為（）

孫

A.0B.1C.2D.3

2

4.（2324高一下.湖南?開學(xué)考試）已知加2>〃>0,則m2+/、的最小值為（）

—n）

A.4B.6C.8D.2

二、多選題

5.（2324高一下?山東淄博?期中）已知。>0,b>0,且a+6=l,則下列不等式成立的是（）

49

>25

,1-+--2

A.ab>—B.QbC.Ja+y/b<V2D.a<a+3b

4

6.（2324高一下?云南?階段練習(xí)）已知〃，b均為正數(shù)，且2a+5》=l,則下列結(jié)論一定正確的是（）

1101

A.->yB.-^7+：的最小值是16

aba+4ba+b

C.而的最大值是士D.8a2+50Z?2>1

40

三、填空題

Q1

7.（2324高一上.安徽馬鞍山?期中）已知且a+b=3,則一；+一的最小值為__________.

（2+1b+\

91yn

8.（2324高一上.江西南昌?階段練習(xí)）已知。>。>，且--+-->——恒成立，實數(shù)機(jī)的最大值是_______

a—bb-ca-c

3yxX

9.（2324高一下.湖南?階段練習(xí)）若實數(shù)無>2y>0,則一十+一的最小值為________，此時一=________,

x-2yyy

四、解答題

4

10.（2324高一上.廣東韶關(guān).階段練習(xí)）（1）已知X>1,求函數(shù)y+x的最小值；

x-i

（2）已知正數(shù)滿足4x+y=l,求一+一的最小值.

xy

11.（2324高一上?山東荷澤?階段練習(xí)）已知a>0,b>0,a+b=l,求下列代數(shù)式的最小值

⑴+^—；

a+2b+2

（2）—0+y）.

ab

【能力提升】

一、單選題

1.（2324高一下?河南周口?階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足乃=1,則T=（a+l）2+（6+l）2的最小值為（）

A.4B.6C.8D.16

2.（2324高一上.安徽蕪湖.期末）若實數(shù)蒼，滿足-=1,則/+2丁的最小值為（）

A.1B.72C.2D.272

3.（2324高一上.河北.階段練習(xí)）如圖，某地區(qū)計劃在等腰AABC的空地中，建設(shè)一個有一邊在8C上的矩形花園，已

知A8=AC=50m,BC=80m,則該矩形花園面積的最大值為（）

A.500m2B.550m2C.600m2D.650m2

4.（2324高一上?福建龍巖?期末）已知尤且x+y-盯=；,則2x+y的最小值是（）

A.2A/2B.4C.4A/2D.5

二、多選題

14

5.（2324高一下?浙江?階段練習(xí)）已知a>0,b>0,且一+丁=2,則下列說法正確的是（）

ab

9

A.他有最小值4B.有最小值5

C.2仍+6有最小值40D.4/+從有最小值16

6.（2223高一上?山西大同?階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）

當(dāng)尤時，工的最小值是

A.當(dāng)x>0時，—B.>2x+2

yJXX

XV

C.當(dāng)x>0,y>0時，一+32D.當(dāng)x<2時，y=的最小值為3

yxx-2

三、填空題

Q

7.（2324高一上?北京?期中）已知x>0,貝UXH在％=時，取得最小值為.

X

Q

8.（2324高一上?北京?期中）已知y=2x+--（%>3）,則當(dāng)x=時，，取最小值為.

X-J

9.（2324高一下?安徽?階段練習(xí)）設(shè)mb為正實數(shù)，且滿足。+6=2,則」+「萬的最小值是_____

1+a1+b

四、解答題

10.（2324高一上.安徽蕪湖?階段練習(xí)）（1）已知a,b&R,比較5a?+/+2與4出?+2。的大小，并說明理由.

（2）已知x>l,求y=4x+」1的最小值，并求取到最小值時x的值.

x-1

11.（2324高一上.吉林長春?期中）珍珠棉是聚乙烯塑料顆粒經(jīng)過加熱、發(fā)泡等工藝制成的一種新型的包裝材料，疫情

期間珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若本季度在原材料上多投入X萬元（1VXV15）,

珍珠棉的銷售量可增加。噸，其中。=ITT<,每噸的銷售價格為3-2萬元，另外每生產(chǎn)1噸珍珠棉還需

18-x,9<x<15I

要投入其他成本0.5萬元.

（1）與出該公司本季度增加的利潤y