人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊教學設計1：3 3 2 第2課時 拋物線的方程及性質的應用教案

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課程基本信息課題3.3.2第2課時拋物線的方程及性質的應用教學目標教學目標：使學生熟練掌握拋物線的幾何性質——范圍、頂點、離心率、對稱性等.教學重點：初步掌握有關拋物線的解題方法,培養(yǎng)學生分析問題、解決解題的能力.教學難點：坐標法在解決〖解析〗幾何問題中的應用.教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動3分鐘5分鐘7分鐘5分鐘3分鐘復習引入問題探究類比探究性質推廣鞏固練習小結問題1拋物線的簡單幾何性質都有哪些？各種標準方程形式下的幾何性質分別是什么？我們已經學習了拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標、準線方程、范圍、對稱軸、頂點、和離心率問題2經過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，經過點和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點，求證：直線平行于拋物線的對稱軸.追問1：這條拋物線的對稱軸是什么？開口方向與軸的正方向相同，拋物線在軸右側，對稱軸為軸.追問2：如何證明一條直線平行于軸？直線斜率為0，直線上任意兩點縱坐標相等，等等.因此，本題可證明點，點的縱坐標相等.追問3：如何求點，點的縱坐標？點為直線與拋物線的交點，需要構建直線方程與拋物線方程間的聯系.點為直線與拋物線準線的焦點，需要構建直線方程與準線方程間的聯系.因此，我們從點與焦點弦的關系出發(fā)，通過設直線的方程，從而表示點.追問4：如何設直線的方程便于計算？不妨將過焦點的直線方程設為，從而避免直線斜率是否存在的分類討論.下面我們來具體計算：設，設直線的方程為，與拋物線方程聯立，得，所以.即.直線的方程為，因為，所以直線的方程為.令，得點縱坐標為.所以.所以直線平行于軸.即直線平行于拋物線的對稱軸.方法提煉：本題揭示了處理〖解析〗幾何問題的核心方法——坐標法.求解中將直線與軸平行問題轉化為兩點縱坐標相等，借助根與系數的關系，整體代換進行求解.在順利完成本題的解答后我們又想到，這個結論在一般的拋物線方程中是否仍然成立？問題3經過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，經過點和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點，求證：直線平行于拋物線的對稱軸.分析：我們以拋物線為例進行證明.依然用坐標法證明這個結論，即通過建立拋物線及直線的方程，運用方程研究直線與拋物線對稱軸之間的位置關系.建立如圖所示的直角坐標系，只要證明點的縱坐標與點的縱坐標相等即可.方法一如圖，以拋物線的對稱軸為軸，拋物線的頂點為原點，建立平面直角坐標系.設，設拋物線的方程為，①設過焦點的直線方程為，②聯立①②，消去，可得.所以.即.直線的方程為，因為，所以直線的方程為.令，得點縱坐標為.所以.所以直線平行于軸.即直線平行于拋物線的對稱軸.其他拋物線形式也可以類似得到證明，請同學們課下完成.追問1：你還有其他證明方法嗎？從點與拋物線的關系出發(fā)，通過設點的坐標，得到直線，直線方程，聯系拋物線方程和準線方程，從而表示點，點.追問2：點坐標如何表示？因為點是拋物線上的點，所以.追問3：為什么用含有的式子表示點坐標？因為本題要求證的是平行關系，只需證明縱坐標相等，因此我們傾向于用縱坐標表示點坐標.方法二如圖，以拋物線的對稱軸為軸，拋物線的頂點為原點，建立平面直角坐標系.設拋物線的方程為，設點的坐標為，則直線的方程為，①拋物線的準線方程是.②聯立②③，可得點的縱坐標為.因為焦點的坐標是，當時，直線的方程為③聯立①④，消去，可得，所以.即.所以.于是平行于軸.當時，易知結論成立.所以，直線平行于拋物線的對稱軸.方法提煉：問題3是拋物線的一個性質，由這個性質我們發(fā)現經過拋物線的焦點和頂點的直線很重要.本題的求解采用了坐標法，通過代數運算解決問題，把平行關系轉化為坐標間的關系.問題4過拋物線焦點的一條直線與它交于，經過點作垂直準線于點，求證三點共線.追問1：如何證明三點共線？（1）且有公共點：但是要考慮斜率是否存在.（2）且有公共點：此方法更普遍適用.追問2：如何證明？如果向量，那么向量與向量共線的充要條件是：存在唯一實數，使得.這個充要條件可以用坐標表示：設，則.因此我們只需證明與的坐標滿足此關系.追問3：如何求與的坐標？需要先求得點，點坐標.追問4：如何求解點的坐標？追根溯源，點是過點作準線的垂線得到的垂足，因此點的橫坐標為，點的縱坐標與點的縱坐標相同.因此問題又轉化為以點坐標出發(fā)，聯系直線與拋物線的關系，表示點和點坐標的問題.我們不妨循著問題3方法二的思路，具體計算：設點的坐標為，則.所以.當時，易知結論成立.當時，直線的方程為.聯立消去，可得，所以.即.將代入，得.所以.因為，所以.又與有公共點，所以三點共線.本題也可以通過斜率的相等來求證，請同學們課下完成.小結：〖解析〗幾何的核心方法——坐標法用代數法解決幾何問題，其核心的解題方法是坐標法．所謂坐標法，就是建立平面直角坐標系，把幾何對象轉化為代數對象，把幾何