《不等式與不等式組》解答題重點題型分類（原卷版+解析）

專題10《不等式與不等式組》解答題重點題型分類

專題簡介：本份資料專攻《不等式與不等式組》中“求一元一次不等式組中待定字母的值的情況”、“利

用一元一次不等式(組)解決實際問題”、“方程組與不等式組相結(jié)合解決實際問題”、“利用不等式計

算獲利問題”、“運用一元一次不等式組進行方案設(shè)計”解答題重點題型；適用于老師給學生作復習培訓

時使用或者考前刷題時使用。

考點1:求一元一次不等式組中待定字母的值的情況

方法點撥：

不等式組(a>b)解集在數(shù)軸上的情況不等式組的解集口訣

H—

①一x>a

x>a同大取大

^x>h

-x<a

-------4------->x<b同小取小

②4.x<bbci

~x<a

③4-----41-----b<x<a大小交叉中間找

ba

?x>a

④V------44------->無解(空集)大小分離無處找

.x<hba

1.已知關(guān)于X的不等式組。c,

13x-2m<-1

(1)如果不等式組的解集為6Vx<7,求機的值；

(2)如果不等式組無解，求〃，的取值范圍；

2.對于任意實數(shù)a,b,定義一種新運算：a#b=a-36+7,等式右邊是通常的加減運算.例如：3#5=3-3x5+7.

(1)求5#x>0解集；

(2)若3根<2#x<7有解，求尤的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，若x的解集中恰有3個整數(shù)解，求相的取值范圍.

3.已知不等式g(x-m)>2-相.

⑴若其解集為x>3,求加的值；

(2)若滿足x>3的每一個數(shù)都能使已知不等式成立，求加的取值范圍.

［尤+aN0

4.若不等式組，、-有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是多少.

2x+l5x-31

------------------<I

5.不等式組36的解集是關(guān)于x的一元一次不等式依>-l解集的一部分，求。的取值范圍.

|2%-1|<5

6.已知關(guān)于x的不等式4（x+2）-2>5+3a的解都能使不等式'3>2成立'求。的取值范

圍.

4（2元-1）+2>Tx,

7.已知關(guān)于x的不等式組《6x-ar

x<--------+1.

7

（1）若該不等式組有且只有三個整數(shù)解，求。的取值范圍;

（2）若不等式組有解，且它的解集中的任何一個值均不在x25的范圍內(nèi)，求。的取值范圍.

8.若一個不等式（組）A有解且解集為。<*<仇。<3，則稱字為A的解集中點值，若A的解集中點值是

不等式（組）2的解（即中點值滿足不等式組），則稱不等式（組）8對于不等式（組）A中點包含.

2%-3>5

（1）已知關(guān)于x的不等式組A：,以及不等式3：-l<x<5,請判斷不等式8對于不等式組A

6-x>0

是否中點包含，并寫出判斷過程;

f2%+7>2m+1（x>rn—4

（2）已知關(guān)于x的不等式組C：?！钒?和不等式，口,，若。對于不等式組。中點包

px-16<9m-lpx-13<5m

含，求機的取值范圍.

[x>2n[x—n<5

（3）關(guān)于X的不等式組E：。（"〈機）和不等式組小。,若不等式組尸對于不等式組￡

[x<2m[2x-m>3n

中點包含，且所有符合要求的整數(shù)加之和為9,求w的取值范圍.

考點2：利用一元一次不等式（組）解決實際問題

方法點撥：列不等式解應用題基本步驟與列方程解應用題相類似，即：（1）審：認真審題，

找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不

小于”等含義；（2）設(shè)：設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)；（3）歹!J：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式;

（4）解：解出所列的不等式的解集；（5）答：寫出答案，并檢驗答案是否符合題意。

1.在平面直角坐標系中，已知點在第二象限，求機的取值范圍.

2.眾志成城抗疫情，全國人民在行動.某公司決定安排大、小貨車共20輛，運送260噸物資到A地和B

地，支援當?shù)乜箵粢咔?每輛大貨車裝15噸物資，每輛小貨車裝10噸物資，這20輛貨車恰好裝完這批物

資.已知這兩種貨車的運費如下表：

目的地車型A地（元/輛）8地（元/輛）

大貨車9001000

小貨車500700

現(xiàn)安排上述裝好物資的20輛貨車中的10輛前往A地，其余前往8地，設(shè)前往A地的大貨車有x輛，這20

輛貨車的總運費為y元.

（1）這20輛貨車中，大貨車、小貨車各有多少輛？

（2）求y與x的函數(shù)解析式，并直接寫出尤的取值范圍；

（3）若運往A地的物資不少于140噸，求總運費y的最小值.

3.已知某校六年級學生超過130人，而不足150人，將他們按每組12人分組，多3人，將他們按每組8

人分組，也多3人，該校六年級學生有多少人？

4.如圖，要設(shè)計一幅寬20cm,長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為2:1.如

果要使彩條所占面積是圖案面積的1鳥9，應如何設(shè)計彩條的寬度？

5.某地為促進淡水養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，決定對淡水魚的養(yǎng)殖提供政府補貼，以使淡水魚的價格控制在6~12元/kg

之間.據(jù)市場調(diào)查，如果淡水魚的市場價格為。元/kg,政府補貼為t元/kg,那么要使每日市場的淡水魚

供應量與需求量正好相等，，與。應滿足關(guān)系式100（。+—8）=270-3〃.為使市場價格不高于10元/kg,政

府補貼至少應為多少？

6.某長方體形狀的容器長5cm.寬3cm,高10cm.容器內(nèi)原有水的高度為3cm,現(xiàn)準備向它繼續(xù)注水.用

V（單位：cn?）表示新注入水的體積，寫出y的取值范圍.

7.某校計劃安排七年級全體師生參觀紅旗渠風景區(qū)，現(xiàn)有36座和48座兩種客車（不包括駕駛員座位）供

選擇租用，若只租用36座客車若干輛，則正好坐滿；若只租用48座客車，則能比租36座的客車少租1輛,

且有1輛車沒有坐滿，但超過了30人，該校七年級共有師生多少人？

8.如圖，是△ABC的高，BE平分NA8C交AC于點E.點尸為射線C8上的動點，連接EF

(1)若/EBC=30°,Z1：N2=l：2,ZFEC=60°.求證：EF//AD；

(2)設(shè)/PEC=x。，Z2=60°,當△EFC為鈍角三角形時，試求出x的取值范圍.

考點3：方程組與不等式組相結(jié)合解決實際問題

方法點撥：列不等式解應用題基本步驟與列方程解應用題相類似，即：(1)審：認真審題，

找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如‘'大于"、“小于”、“不大于”、“不

小于”等含義；(2)設(shè)：設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)；(3)歹!J：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式;

(4)解：解出所列的不等式的解集；(5)答：寫出答案，并檢驗答案是否符合題意。

(x+y=2k+3

i.已知：方程組。》]的解中，尤是非負數(shù)，y是正數(shù).求整數(shù)化的值.

[2x-y=-3K-l

2.閱讀下列材料：

解答“已知x-y=2,且x>l,y<0,試確定x+y的取值范圍“有如下解法，

解：Vx-y=2,又?.”>1,.*.^+2>1,即y>T.

又yVO,???-lVy〈0…①

同理，得：l〈xV2…②

由①+②，得-1+1Vy+%V0+2,?\x+y的取值范圍是0<x+yV2.

請按照上述方法，完成下列問題：

I2x+y=l

已知關(guān)于尤、y的方程組1”的解都為非負數(shù).

[x-y=5-3a

(1)求a的取值范圍.

(2)已知2a-6=7,求a+b的取值范圍.

(3)己知a-若?且云1,求a+b的取值范圍(用含的代數(shù)式表示).

3.(1)閱讀下面問題的解答過程并補充完整.

問題：實數(shù)無，y滿足x—y=2,x+y=a,且彳>1,y<0,求。的取值范圍.

4+2〃+21

x=------>I

x—y—2227

解：列關(guān)于％,y的方程組，解得<又因為X>1y<0,所以,解得______

x+y=aa—2a-2八

y=

2

(2)已知X—y=4,且犬>3,yvl,求x+y的取值范圍；

2

(3)若。，b滿足34+5|4=7,S=2a-3\b\f求S的取值范圍.

4.某地區(qū)為籌備一項慶典，計劃搭配A,B兩種園藝造型共50個擺放在迎賓大道兩側(cè)，已知搭配一個A種

造型需甲種花卉50盆，乙種花卉30盆；搭配一個B種造型需甲種花卉40盆，乙種花卉60盆，且搭配一

個A種造型的花卉成本是270元，搭配一個B種造型的花卉成本是360元.

(1)試求甲、乙兩種花卉每盆各多少元？

(2)若利用現(xiàn)有的2295盆甲種花卉和2190盆乙種花卉進行搭配，則有哪幾種搭配方案？

5.為更好地推進我市生活垃圾分類工作，改善城市生態(tài)環(huán)境，某小區(qū)準備購買A、B兩種型號的垃圾箱，

通過市場調(diào)研得知：購買3個A型垃圾箱和2個B型垃圾箱共需540元，購買2個A型垃圾箱比購買3個

B型垃圾箱少用160元.

(1)求每個A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？

(2)該小區(qū)物業(yè)計劃用不多于2100元的資金購買A、B兩種型號的垃圾箱共20個，則該小區(qū)最多可以購

買B型垃圾箱多少個.

6.請閱讀求絕對值不等式國<3和國>3的解集過程.

對于絕對值不等式國<3,從圖1的數(shù)軸上看：大于-3而小于3的絕對值是是小于3的，所以國<3的解集

為一3v尤v3；

對于絕對值不等式W>3,從圖2的數(shù)軸上看：小于-3而大于3的絕對值是是大于3的，所以W>3的解集

為九<一3或x>3.

I2%—"V=-5

已知關(guān)于X、y的二元一次方程組rC的解滿足|x+y|<3,其中機是負整數(shù)，求加的值.

[x+4y=-7m+2

7.閱讀下列材料：

解答“已知x-y=2,且x>l,y<0,試確定x+y的取值范圍”有如下解法：

解：'：x-y=2,：.x=y+2.

又；x>1,y+2>1.y>—1.

又：”()，.-.-l<y<0....?

同理，可得：1<%<2.…②

①+②,得-1+1<x+y<0+2.即0Vx+y<2,

x+y的取值范圍是。<x+y<2.

請按照上述方法，完成下列問題：

(1)已知x-y=4,且x>3,y<l,求尤+y的取值范圍；

（2）已知。一6=根，且關(guān)于％、y的方程組尸;。中彳<“y>Q-①求。的取值范圍；②求的

取值范圍（結(jié)果用含加的式子表示）.

8.為開展“校園讀書活動”，雅禮中學讀書會計劃采購數(shù)學文化和文學名著兩類書籍共100本.經(jīng)了解，購

買20本數(shù)學文化和50本文學名著共需1700元，30本數(shù)學文化比30本文學名著貴450元.（注：所采

購的同類書籍價格都一樣）

（1）求每本數(shù)學文化和文學名著的價格；

（2）若校園讀書會要求購買數(shù)學文化本數(shù)不少于文學名著，且總費用不超過2780元，請求出所有符合條

件的購書方案.

考點4：利用不等式計算獲利問題

方法點撥：（1）了解售價、進價、利潤、利潤率的關(guān)系：利潤=銷售額一成本；銷售額=售

價義數(shù)量；利潤=成本X利潤率成本；（2）根據(jù)題中關(guān)鍵句子及字眼找不等關(guān)系：“大于”

“小于”等字眼找不等關(guān)系；通過分析解題過程，思考和總結(jié)解題的步驟；（3）掌握利用

一元一次不等式解決實際問題的步驟。

1.某商店需要購進甲、乙兩種商品共180件其進價和售價如表：（注：獲利=售價進價）

（1）若商店計劃銷售完這批商品后能獲利1240元，問甲、乙兩種商品應分別購進多少件？

（2）若商店計劃投入資金少于5040元，且銷售完這批商品后獲利多于1312元，請問有哪幾種購貨方案？

并直接寫出其中獲利最大的購貨方案.

2.隨著越來越多年輕家長對低幼階段孩子英語口語的重視，某APP順勢推出了“北美外教在線授課”系列課

程，提供“A課程”、“2課程”兩種不同課程供家長選擇.已知購買“A課程”3課時與“3課程”5課時共需付款

410元，購買“A課程”5課時與“8課程”3課時共需付款470元.

（1）請問購買“A課程”1課時多少元？購買“2課程”1課時多少元？

（2）根據(jù)市場調(diào)研，APP銷售“A課程”1課時獲利25元，銷售“8課程”1課時獲利20元，臨近春節(jié)，小融

計劃用不低于3000元且不超過3600元的壓歲錢購買兩種課程共60課時，請問購買“A課程”多少課時才使

得APP的獲利最高？

3.某楊梅經(jīng)銷商以每千克40元的價格分三批向果農(nóng)購進楊梅，均分揀成“特優(yōu)”和“普通”兩類銷售，分揀和

包裝費用為每千克6元.每批楊梅中最差的10%不能銷售，為損耗，其余楊梅均能售完.“特優(yōu)”楊梅售價

是每千克110元，“普通”楊梅售價為每千克30元.

（1）該經(jīng)銷商購進的第一批楊梅為500千克，分揀出“特優(yōu)”楊梅150千克，則他獲得的利潤是元；

（2）該經(jīng)銷商購進的第二批楊梅為800千克，獲利4800元，求其中售出“特優(yōu)”和“普通”楊梅各多少千克?

（3）該經(jīng)銷商希望自己第三批楊梅的銷售的利潤率不少于35%,他收購楊梅時要確保能分揀出“特優(yōu)”楊梅

占收購總量的百分比至少要達到多少（精確到1%）?（利潤=銷售收入-總成本，利潤率=利潤+總成本

xlOO%）

4.夏季到了，靚點女裝店老板到廠家進購A、8兩種型號的裙裝，若購A種型號裙裝10件，8種型號裙裝

12件，需要3000元；若購進A種型號裙裝15件，5種型號裙裝8件，恰好也需要3000元.

（1）求A、8兩種型號的裙裝每件分別為多少元？

（2）若銷售一件A型裙裝可獲利40元，銷售一件8型裙裝可獲利60元，老板打算購進這兩款裙裝共30

件，而用于購進這兩款女裝的錢只有3980元，要使這批裙裝全部售出后總的獲利不低于1400元，問有幾

種進貨方案？

（3）如何進貨可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

5.某商場準備購進一批兩種不同型號的衣服，已知購進A種型號衣服3件，8種型號衣服5件，共需700

元；購進A種型號衣服6件，8種型號衣服4件，共需920元；商場對A型號衣服定價為120元，8型號衣

服定價為90元，商場一次性購進A、8兩種型號的衣服共100件，要使在這次銷售中獲利不少于1250元，

且A型號衣服不多于27件.

（1）求A、B型號衣服進價各是多少元？

（2）求出商場此次購進A、8型號衣服的方案有哪些？

6.“壯麗70載，奮進新時代”.值偉大祖國70華誕之際，某網(wǎng)店特別推出甲、乙兩種紀念文化衫，已知甲

種紀念文化衫的售價比乙種紀念文化衫多15元，廣益中學陳老師從該網(wǎng)店購買了2件甲種紀念文化衫和3

件乙種紀念文化衫，共花費255元.

（1）該網(wǎng)店甲、乙兩種紀念文化衫每件的售價各是多少元？

（2）根據(jù)消費者需求，該網(wǎng)店決定用不超過8780元購進甲、乙兩種紀念文化衫共200件，且甲種紀念文

化衫的數(shù)量大于乙種紀念文化衫數(shù)量的1,已知甲種紀念文化衫每件的進價為50元，乙種紀念文化衫每件

的進價為40元.

①若設(shè)購進甲種紀念文化衫機件，則該網(wǎng)店有哪幾種進貨方案？

②若所購進紀念文化衫均可全部售出，請求出網(wǎng)店所獲利潤W（元）與甲種紀念文化衫進貨量優(yōu)（件）之

間的函數(shù)關(guān)系式，并說明當初為何值時所獲利潤最大？最大利潤是多少？

考點5：運用一元一次不等式組進行方案設(shè)計

方法點撥：解答這類問題的關(guān)鍵是先根據(jù)題意列出不等式（組）,

再根據(jù)問題的實際意義得出不等式（組）的特殊解來確

定方案.其主要類型有：通信計費方案、商品購買方

案、車輛調(diào)配方案等.

1.某文具店購進A、8兩種文具進行銷售.若每個A種文具的進價比每個8種文具的進價少2元，且用900

元正好可以購進50個A種文具和50個5種文具，

（1）求每個A種文具和8種文具的進價分別為多少元？

（2）若該文具店購進A種文具的數(shù)量比購進3種文具的數(shù)量的3倍還少5個，購進兩種文具的總數(shù)量不超

過95個，每個A種文具的銷售價格為12元，每個8種文具的銷售價格為15元，則將購進的A、8兩種文

具全部售出后，可使總利潤超過371元，通過計算求出該文具店購進A、3兩種文具有哪幾種方案？

2.一中雙語舉行書畫大賽，準備購買甲、乙兩種文具，獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的師生，已知購買2個甲種

文具，1個乙種文具共需要花費35元，購買1個甲種文具，3個乙種文具共需要花費30元.

（1）求購買一個甲種文具，一個乙種文具各需多少錢？

（2）若學校計劃購買這兩種文具共12。個，投入資金不少于955元，又不多于1000元，問有多少種購買

方案？

3.某市救災物資儲備倉庫共存儲了A,B,C三類救災物資，下面的統(tǒng)計圖是三類物資存儲量的不完整統(tǒng)計

圖.

（1）求A類物資的存儲量，并將兩個統(tǒng)計表補充完整；

（2）現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛，一次性將A、8兩類物資全部運往某災區(qū).已知甲種貨車最多可

裝A類物資10噸和B類物資40噸，乙種貨車最多可裝A、B類物資各20噸，則物資儲備倉庫安排甲、乙

兩種貨車有幾種方案？請你幫助設(shè)計出來.

4.“綠水青山就是金山銀山”.為保護生態(tài)環(huán)境，A、3兩村準備各自清理所屬區(qū)域養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱，每

村參加清理人數(shù)及總開支如下表：

村莊清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)/人清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù)/人總支出/元

A15957000

B101668000

(1)若兩村清理同類漁具的人均支出費用一樣，求清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱的人均支出費用各是多少元？

(2)在人均支出費用不變的情況下，為節(jié)約開支，兩村準備協(xié)調(diào)40人共同清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱.要

使總支出不超過102000元，且清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)小于清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù)，則有哪幾種分配清理人員方案？

5.某市為了提升菜籃子工程質(zhì)量，計劃用大、中型車輛共30輛調(diào)撥不超過190噸蔬菜和162噸肉制品補充當

地市場.已知一輛大型車可運蔬菜8噸和肉制品5噸；一輛中型車可運蔬菜3噸和肉制品6噸.

(1)符合題意的運輸方案有幾種？請你幫助設(shè)計出來；

(2)若一輛大型車的運費是900元，一輛中型車的運費為600元，試說明⑴中哪種運輸方案費用最低？最

低費用是多少元？

買一些筆記本和文具盒做獎品.已知筆記本單價是9元，文具盒的單價是4元，若購買兩種獎品的數(shù)量總

共30個，購買費用不低于140元，且不高于150元.求學校有哪幾種購買方案？

7.某汽車專賣店銷售42兩種型號的新能源汽車，上周售出1輛A型車和2輛2型車，銷售額為70萬元;

本周已售出3輛A型車和1輛8型車，銷售額為80萬元.

(1)每輛A型車和8型車的售價各為多少萬元？

(2)甲公司擬向該店購買48兩種型號的新能源汽車共7輛，且A型號車不少于2輛，購車費不少于150

萬元，則有哪幾種購車方案？

8.為緩解并最終解決能源的供需矛盾，改善日益嚴峻的環(huán)境狀況，我國大力提倡發(fā)展新能源.新能源汽車

市場發(fā)展迅猛，國家不僅在購買新能源車方面有補貼，而且還有免繳購置稅等利好政策.某汽車租賃公司

準備購買A、B兩種型號的新能源汽車10輛.新能源汽車廠商提供了如下兩種購買方案：

汽車數(shù)量(單位：輛)

總費用

方案

(單位：萬元)

AB

第一種購買方案64170

第二種購買方案82160

(1)A、8兩種型號的新能源汽車每輛的價格各是多少萬元？

(2)為了支持新能源汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，國家對新能源汽車發(fā)放一定的補貼.已知國家對A、8兩種型號的新

能源汽車補貼資金分別為每輛3萬元和4萬元.通過測算，該汽車租賃公司在此次購車過程中，可以獲得

國家補貼資金不少于34萬元，公司需要支付資金不超過145萬元，請你通過計算求出有幾種購買方案.

專題10《不等式與不等式組》解答題重點題型分類

專題簡介：本份資料專攻《不等式與不等式組》中“求一元一次不等式組中待定字母的值的

情況”、“利用一元一次不等式(組)解決實際問題”、“方程組與不等式組相結(jié)合解決實

際問題”、“利用不等式計算獲利問題”、“運用一元一次不等式組進行方案設(shè)計”解答題

重點題型；適用于老師給學生作復習培訓時使用或者考前刷題時使用。

考點1:求一元一次不等式組中待定字母的值的情況

方法點撥：

不等式組(a>b)解集在數(shù)軸上的情況不等式組的解集口訣

x>a

①4-4—『x>a同大取大

.x>b

"x<a

②4—*——>x<b同小取小

、x<bba

^x<a

③4」1?b<%<a大小交叉中間找

ba

-x>a

④?------*4------->無解(空集)大小分離無處找

.x<bba

2x—m>l

1.已知關(guān)于X的不等式組

3x—2m<—1

(1)如果不等式組的解集為6<x<7,求加的值;

(2)如果不等式組無解，求的取值范圍;

【答案】(1)11；(2)m<5

-I-19m—1

【分析】(1)解兩個不等式得出X>亍且x<\—,根據(jù)不等式組的解集為6<x<7得

m+\

------=6

/2,,解之可得答案;

2^=7

3

(2)根據(jù)不等式組無解，利用“大大小小找不到”可得等…苧，解之可得答案.

m+1

【詳解】解：(1)由2x-"z>l,得：x>一

2m—1

解不等式3x-2m<—l,得：尤<^—

???不等式組的解集為6Vx<7,

m+1

------=o

,2

J2m-1，

-----二7

[3

解得加=11；

（2）???不等式組無解，

.m+12m-1

"2"■3，

解得犯,5.

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找;

大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

2.對于任意實數(shù)a,b,定義一種新運算：a#b=a-3b+l,等式右邊是通常的加減運算.例

如：3#5=3-3x5+7.

（1）求5#x>0解集；

（2）若3機<2#x<7有解，求x的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若x的解集中恰有3個整數(shù)解，求機的取值范圍.

2

【答案】（1）x<4；（2）-<x<3-m；（3）-l<m<0

【分析】（1）根據(jù)新定義得出關(guān)于尤的不等式，解之即可；

（2）根據(jù)新定義列出關(guān)于x的不等式組，再分別求解即可得出其解集；

（3）由不等式組整數(shù)解的個數(shù)得出關(guān)于力的不等式組，再進一步求解即可.

【詳解】解：（1）由題意得5-3x+7>0,

解得x<4；

（2）由題意,得：

[2-3x+7>3根②

2

解不等式①，得：x>-,

解不等式②，得：x<3-m,

則不等式組的解集為（<尤<3-加；

（3）??,該不等式組有3個整數(shù)解，

/.3<3-m<4,

解得-iSmVO.

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同

大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

3.已知不等式>2-根.

⑴若其解集為x>3,求加的值；

（2）若滿足x>3的每一個數(shù)都能使已知不等式成立，求機的取值范圍.

【答案】（1）〃工=1.5；（2）m>1.5

【分析】（1）根據(jù)已知等式求出機的范圍即可；

（2）根據(jù)題意確定出川的范圍即可.

【詳解】解：（1）不等式整理得:*一加>6—3a，

解得:x>6-2m,

由不等式的解集為x>3,

得至1]6-2m=3,

解得:〃?=1.5;

（2）由滿足尤>3的每一個數(shù)都能使已知不等式成立，

得到6-2m<3,

解得/nN1.5

【點睛】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

4.若不等式組f〈.X+c<2>0c有3個整數(shù)解，則。的取值范圍是多少.

[l-2x>x-2

【答案】2<a<3

【分析】先求出不等式組解集，然后再根據(jù)已知不等式組有3個整數(shù)解，列出不等式組確定

。的取值范圍即可.

fx+a>0①

【詳解】解：,、。的

[l-2x>x-2②

解不等式①得：

解不等式②尤<1,

..?不等式組的解集為-gx<l,

:不等式組恰有3個整數(shù)解，

-3<-a<-2,

解得：2Wa<3.

【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式（組），不等式組的整數(shù)解等知識點，能根據(jù)不

等式組的解集得出關(guān)于a的不等式組是解答本題的關(guān)鍵.

2無+15x—3.

------------------<1

5.不等式組36的解集是關(guān)于x的一元一次不等式依>-1解集的一部分，求。

」21區(qū)5

的取值范圍.

【答案】<a<1

2x+l5x-31

------------------<I

【分析】先求出不等式組36的解集為T<xW3,然后分別討論當。>0時，

|2x-l|<5

2x+l5x-31

------------------<I

當"<o時，當。=0時，不等式以>-1的解集，然后根據(jù)不等式組36的解集

心小5

是關(guān)于x的一元一次不等式依>-1解集的一部分進行求解即可.

2x+l5x-31G

------------------<I①

【詳解】解：36

|2龍小5②

解不等式①得：x>-\,

解不等式②得：-2<x<3,

二不等式的解集為-l<x43,

*.*ax>-1,

???當a>0時，x>—

a

2x+l5x—3]

------------------<I

???不等式組36的解集是關(guān)于工的一元一次不等式以>-l解集的一部分，

、|21區(qū)5

0<tz<1；

同理當avO時，x<~—,

a

2x+l5x—31

------------------<I

???不等式組36的解集是關(guān)于尤的一元一次不等式以>T解集的一部分,

心小5

----VQV0;

3

當。=0時，0>-1恒成立，即關(guān)于工的一元一次不等式以>-1的解集為一切實數(shù)，

2x+l5x-3q

------------------<I

???此時也滿足不等式組36的解集是關(guān)于了的一元一次不等式以>-1解集的

|2x-l|<5

一部分，

???綜上所述，——<a<1,

【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵在于能夠熟

練掌握解不等式的方法.

6.已知關(guān)于x的不等式4（x+2）-2>5+3。的解都能使不等式加；）%>成立,

求a的取值范圍.

【答案】g

【分析】先求出不等式4（x+2）-2>5+3a的解集，再根據(jù)不等式（力：]）尤>.用「

32

表示出x的取值范圍，最后解不等式組即可求出〃的取值范圍.

3/7-1

【詳解】解：解不等式4（元+2）—2>5+3，得：龍〉中，

.（3〃+l）x〃（2元+3）

?〉,

32

解得：X小

3a~]9a

"4"T

解得：

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式，正確理解不等式的解集是解此題的關(guān)鍵.

4（2x-l）+2>7x,

7.已知關(guān)于x的不等式組6x-a

x<--------+1.

I7

（1）若該不等式組有且只有三個整數(shù)解，求a的取值范圍；

（2）若不等式組有解，且它的解集中的任何一個值均不在x25的范圍內(nèi)，求。的取值范圍.

【答案】（1）l<a<2；⑵2<a<5

【分析】（1）先求出不等式組的解集，再根據(jù)不等式組有且只有三個整數(shù)解求出整數(shù)解，

得出關(guān)于。的不等式組，從而求解；

（2）結(jié)合不等式組有解及它的解集中的任何一個值均不在x25的范圍內(nèi)，得出關(guān)于。的不

等式組，從而求解.

【詳解】解：（1）解不等式4（2x—l）+2>7x,得x>2.

解不等式工<包f+1,得x<7—a,

該不等式組有且只有三個整數(shù)解，

.?.這三個整數(shù)解為3,4,5.

5<7-a<6.

1<a<2.

（2）,?,該不等式組有解，由（1）知7-。>2.

該不等式組的解集為2Vx<7-a.

又它的解集中的任何一個值均不在x25的范圍內(nèi),

??7—a?5.

j7—〃>2

解不等式組，得符合題意的a的取值范圍為2Wa<5.

[7-a<5

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組和不等式的整數(shù)解，根據(jù)題意列出不等式，熟知

“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

8.若一個不等式（組）A有解且解集為a<x<仇。<切，則稱一為A的解集中點值，若A

的解集中點值是不等式（組）8的解（即中點值滿足不等式組），則稱不等式（組）8對于

不等式（組）A中點包含.

2x-3>5

（1）已知關(guān)于X的不等式組462。,以及不等式"一13請判斷不等式2

對于不等式組A是否中點包含，并寫出判斷過程;

2x+7>2m+1x>m—4

（2）已知關(guān)于x的不等式組C：和不等式。:,若。對于不

3x—16<9m—13x—13<5m

等式組c中點包含，求機的取值范圍.

\x>2n\x—n<5

（3）關(guān)于龍的不等式組E：c（〃<根）和不等式組足仁，，若不等式組產(chǎn)

x<2m\2x-m>3n

對于不等式組E中點包含，且所有符合要求的整數(shù)加之和為9,求”的取值范圍.

【答案】（1）不等式8對于不等式組A是中點包含，見解析；（2）-3<16；（3）1<?<2

【分析】（1）先解不等式組4再按照要求求中點，再判斷中點是否在2不等式中即可.

（2）先解不等式組C、D,再根據(jù)C組的中點在。不等式組中建立不等式，再解出m取值

范圍.

（3）先解不等式組E、F,再根據(jù)E組的中點在尸不等式組中建立不等式，再解出機取值

范圍，再根據(jù)符合要求的整數(shù)加之和為9,縮小機取值范圍從而確定n取值范圍.

⑵:一3>5

【詳解】（1）解不等式組A：4八得4Vx<6,

，中點值為x=5

又：x=5在不等式B：-1<XV5范圍內(nèi)，

???不等式B對于不等式組A是中點包含

（2）解不等式C得：〃?-3<x<3〃?+5

m-3+3/n+5?，

...不等式組C中點為:----------------=2/n+l

2

5m+13

解不等式。得：機-4<x（土—

*.*2m-1位于m-4和------之間

3

m-4<2m-1<---------

3

解得：—3<相<16

（3）解不等式組E得：2n<x<2m,則中點值為幾十機

解不等式組產(chǎn)得：也土‘4<5+"

2

..3n+m

?--------<n+m<5+n

2

.Jm<5

\n<m

???所有符合要求的整數(shù)機之和為9

可取4,3,2

/.\<n<2

【點睛】本題考查新定義概念的運用與求解，實際還是在考查不等式組的解法和不等式的性

質(zhì)，掌握好不等式組的解法和不等式性質(zhì)是本題解題關(guān)鍵.

考點2：利用一元一次不等式（組）解決實際問題

方法點撥：列不等式解應用題基本步驟與列方程解應用題相類似，即：（1）審:

認真審題，找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如“大于”、“小

于”、“不大于”、“不小于”等含義；（2）設(shè)：設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)；（3）

列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；（4）解：解出所列的不等式的解集；

（5）答：寫出答案，并檢驗答案是否符合題意。

1.在平面直角坐標系中，已知點尸仁根在第二象限，求機的取值范圍.

【答案】-3<m<2

【分析】根據(jù)第二象限點的符號特征（-,+）,可列出關(guān)于m的不等式組，求解即可.

2m-4<0①

【詳解】解：根據(jù)題意，列不等式組13S，

122

解不等式①，得，〃<2,

解不等式②，得機>-3,

：.m的取值范圍是-3<m<2.

【點睛】本題考查了象限點及一元一次不等式組，由象限點的符號列出不等式組是解題的關(guān)

鍵.

2.眾志成城抗疫情，全國人民在行動.某公司決定安排大、小貨車共20輛，運送260噸物

資到A地和B地，支援當?shù)乜箵粢咔?每輛大貨車裝15噸物資，每輛小貨車裝10噸物資,

這20輛貨車恰好裝完這批物資.已知這兩種貨車的運費如下表：

目的地車型A地(元/輛)3地(元/輛)

大貨車9001000

小貨車500700

現(xiàn)安排上述裝好物資的20輛貨車中的10輛前往A地，其余前往B地，設(shè)前往A地的大貨

車有無輛，這20輛貨車的總運費為y元.

(1)這20輛貨車中，大貨車、小貨車各有多少輛？

(2)求y與x的函數(shù)解析式，并直接寫出x的取值范圍；

(3)若運往A地的物資不少于140噸，求總運費y的最小值.

【答案】(1)大貨車、小貨車各有12與8輛

(2)j=100%+15600(2<x<10,x為整數(shù))

(3)y的最小值16400元

【分析】(1)設(shè)大貨車、小貨車各有冽與"輛，根據(jù)題意列二元一次方程組，解方程組求

解即可;

(2)根據(jù)題意列出一次函數(shù)解析式，根據(jù)題意寫出不等式組的解集，即可求得x的取值范

圍;

(3)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值即可

(1)設(shè)大貨車、小貨車各有機與“輛,

15機+10〃=260

由題意可知:

m+n=20

〃?=12

解得:

w=8

答：大貨車、小貨車各有12與8輛

(2)設(shè)到A地的大貨車有x輛，

則到A地的小貨車有(10-x)輛,

到8地的大貨車有(12-x)輛，

到8地的小貨車有(x-2)輛，

/.j=900x+500(10-x)+1000(12-x)+700(x-2)

=100x+15600,

10-%>0

依題意,

x-2>0

.'-2<x<10

其中2W爛10,x為整數(shù).

(3)運往A地的物資共有［15尤+10(10-x)］噸,

15x+10(10-尤)>140,

解得：x>8,

???8<r<10,尤為整數(shù)，

?.?^=100>0,.?.當x=8時，y有最小值，此時y=100x8+15600=16400元，

答：總運費最小值為16400元.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用是解

題的關(guān)鍵.

3.已知某校六年級學生超過130人，而不足150人，將他們按每組12人分組，多3人，將

他們按每組8人分組，也多3人，該校六年級學生有多少人?

【答案】147

【分析】由12和8的最小公倍數(shù)為24,可設(shè)該校六年級學生有（24x+3）人，根據(jù)“該校六

年級學生超過130人，而不足150人”，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得

出x的取值范圍，結(jié)合x為正整數(shù)即可確定x的值，再將其代入（24x+3）中即可得出結(jié)論.

【詳解】W：V12和8的最小公倍數(shù)為24,

設(shè)該校六年級學生有（24x+3）人.

24x+3>130

依題意，得:

24x+3<150

一71

解得：5—<x<6—.

24o

又為正整數(shù)，

；.24x+3=147(人).

答：該校六年級學生有147人.

【點睛】本題考查了一元一次不等式組.解題的關(guān)鍵在于通過確定兩數(shù)的最小公倍數(shù)得到數(shù)

量關(guān)