四川省成都市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

2024-2025學(xué)年四川省成都市樹(shù)德中學(xué)高三（上）段考

數(shù)學(xué)試卷（10月份）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合Z={x|log2x<1},B={%|0<%<4},則ZUB=()

A.{x\x<2}B.{x\x<4}C.{x|0<%<4]D.{%|0<%<2]

2.設(shè)五=(-1,2),b=(4,fc),若219，則|a+b|=()

A.5B.2計(jì)C.20D.25

3.設(shè)甲:｛%｝為等比數(shù)列;乙：｛a”a“+i｝為等比數(shù)列，則（)

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

sin3a—sina

4.已知tana=-3,則,sin（a+方）=（）

A3Bc

A.一4!4

5.已知關(guān)于x的不等式a/—2久+3a<0在（0,2］上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

4

A.(-8,第B.(-8,今C.（￥，+8）D.?+°°)

6.已知拋物線E：y2=4%的焦點(diǎn)為F,以F為圓心的圓與E交于48兩點(diǎn)，與E的準(zhǔn)線交于C,。兩點(diǎn)，若

\CD\=29則|訓(xùn)=()

A.3B.4C.6D.8

7.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y=/（x）及其導(dǎo)函數(shù)y=（（久）的圖像如圖所示，已知兩圖像有且僅有一

個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0,1）,貝1（）

A,函數(shù)y=/（%）?e、的最大值為1

B.函數(shù)y=f（x）-e工的最小值為1

C.函數(shù)y=零的最大值為1

D.函數(shù)y=管的最小值為1

.已知函數(shù)/)=下設(shè)則的大小關(guān)系是()

8'(X：2*a=f(0,32),b=/(log20.3),c=f(2Zn2),a,b,c

第1頁(yè)，共9頁(yè)

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.小明上學(xué)有時(shí)坐公交車(chē)，有時(shí)騎自行車(chē)，他各記錄了50次坐公交車(chē)和騎自行車(chē)所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析

得到，坐公交車(chē)平均用時(shí)10爪譏，樣本方差為9；騎自行車(chē)平均用時(shí)15nl譏，樣本方差為1.已知坐公交車(chē)所

花時(shí)間X與騎自行車(chē)所花時(shí)間y都服從正態(tài)分布，用樣本均值和樣本方差估計(jì)x,丫分布中的參數(shù)，并利用

信息技術(shù)工具畫(huà)出X和丫的分布密度曲線如圖所示.若小明每天需在早上8點(diǎn)之前到校，否則就遲到，則下列

判斷正確的是()

A.X?N(10,32)

B.若小明早上7：50之后出發(fā)，并選擇坐公交車(chē)，則有60%以上的可能性會(huì)遲到

C.若小明早上7：42出發(fā)，則應(yīng)選擇騎自行車(chē)

D.若小明早上7：47出發(fā)，則應(yīng)選擇坐公交車(chē)

10.已知函數(shù)y=/(久)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)于任意xeR,都有+4)=/(%)+/(2)成立.當(dāng)

xG[0,2)時(shí)，/(%)=2，—1,下列結(jié)論中正確的有()

A)(2)=0B.函數(shù)y=/(久)在(2,4)上單調(diào)遞增

C.直線x=4是函數(shù)y=/(%)的一條對(duì)稱軸D.關(guān)于x的方程/(%)=log2|x|+2共有4個(gè)不等實(shí)根

11.我國(guó)著名科幻作家劉慈欣的小說(shuō)《三體n?黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新型材料-強(qiáng)互作

用力(S/M)材料所制成的宇宙探測(cè)器，其外形與水滴相似，某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測(cè)試結(jié)果如圖

所示(水滴角可看作液、固、氣三相交點(diǎn)處氣一液兩相界面的切線與液一固兩相交線所成的角)，圓法和橢

圓法是測(cè)量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓(長(zhǎng)軸平行于液一固兩者的相交線，橢圓

的短半軸長(zhǎng)小于圓的半徑)的一部分，設(shè)圖中用圓法和橢圓法測(cè)量所得水滴角分別為好，92,則下列結(jié)論

中正確的有()

附：橢圓總+:=l(a>b>0)上一點(diǎn)即%)處的切線方程為翳+賢=1.

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固體材料

A.圓法中圓的半徑為尚B.tandx=|

c.0i>02D.&<e2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.“五一”期間人民群眾出游熱情高漲，某地為保障景區(qū)的安全有序，將增派6名警力去4、B兩個(gè)景區(qū)執(zhí)

勤,要求力景區(qū)至少增派3名警力，B景區(qū)至少增派2名警力，則不同的分配方法的種數(shù)為.

13.已知圓臺(tái)的下底面半徑為6,上底面半徑為3,其側(cè)面積等于上、下底面積之和，則圓臺(tái)的高為

14.已知函數(shù)f(x)=a(x-xi)(x-久2)0-*3)色>0),設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)(符,/(符))處切線的斜率為信

(i=1,2,3),若久1，%2>久3均不相等，且七=一2,則的+4k3的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在△A8C中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足2bcsin4=/(a2+°2-62).

(1)求B的大??；

(2)若b=3,△力BC的面積為竽，求△ABC的周長(zhǎng).

16.(本小題15分)

已知橢圓C：*+f1=l(a>6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P為橢圓C的右頂點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OPE的面積為

晅

2?

(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)。(—1,0)作直線Z與橢圓C交于4B,4關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為C,若出4|=|BC|,求直線4B的斜

率.

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐Q—力BCD中，CD//AB,BC1AB,平面Q4D1平面力BCD,QA=QD,M,N分別是

AD,CQ的中點(diǎn).

第3頁(yè)，共9頁(yè)

(1)證明：QM1BD；

(2)若4D=AB=2CD=2,直線MN與平面QBC所成角的正弦值為半，求QM的長(zhǎng)度.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/(x)=x2—2x+alnx,(aeR).

(1)若a=l,求函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1)(1))處的切線；

1，%2G00),C12)2f01)2)]>

(2)若對(duì)任意的久(0,+X±x2,有。一久?[久一久"(久。恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍.

19.(本小題17分)

2023年10月11日，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉團(tuán)隊(duì)成功構(gòu)建255個(gè)光子的量子計(jì)算機(jī)原型機(jī)“九章三號(hào)”，

求解高斯玻色取樣數(shù)學(xué)問(wèn)題比目前全球最快的超級(jí)計(jì)算機(jī)快一億億倍.相較傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)的經(jīng)典比特只能處于

0態(tài)或1態(tài)，量子計(jì)算機(jī)的量子比特(qabit)可同時(shí)處于0與1的疊加態(tài)，故每個(gè)量子比特處于0態(tài)或1態(tài)是基

于概率進(jìn)行計(jì)算的.現(xiàn)假設(shè)某臺(tái)量子計(jì)算機(jī)以每個(gè)粒子的自旋狀態(tài)作為量子比特，且自旋狀態(tài)只有上旋與下

旋兩種狀態(tài)，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子間的自旋狀態(tài)相互獨(dú)立.現(xiàn)將兩個(gè)初始狀態(tài)均為疊

加態(tài)的粒子輸入第一道邏輯門(mén)后，粒子自旋狀態(tài)等可能的變?yōu)樯闲蛳滦?，再輸入第二道邏輯門(mén)后，粒子

的自旋狀態(tài)有P的概率發(fā)生改變，記通過(guò)第二道邏輯門(mén)后的兩個(gè)粒子中上旋粒子的個(gè)數(shù)為X.

(1)若通過(guò)第二道邏輯門(mén)后的兩個(gè)粒子中上旋粒子的個(gè)數(shù)為2,且p=|,求兩個(gè)粒子通過(guò)第一道邏輯門(mén)后

上旋粒子個(gè)數(shù)為2的概率；

(2)若一條信息有n(n>l,neN*)種可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為pi，P2,

pn,則稱H=/(pi)+/(「2)+…+(其中f(x)=-&。92久)為這條信息的信息焙.試求兩個(gè)粒子通

過(guò)第二道邏輯門(mén)后上旋粒子個(gè)數(shù)為X的信息燧”；

(3)將一個(gè)下旋粒子輸入第二道邏輯門(mén)，當(dāng)粒子輸出后變?yōu)樯闲Ｗ訒r(shí)則停止輸入，否則重復(fù)輸入第二道

邏輯門(mén)直至其變?yōu)樯闲Ｗ?，設(shè)停止輸入時(shí)該粒子通過(guò)第二道邏輯門(mén)的次數(shù)為丫(丫=1,2,3，…,小…).證明：

當(dāng)幾無(wú)限增大時(shí)，丫的數(shù)學(xué)期望趨近于一個(gè)常數(shù).

第4頁(yè)，共9頁(yè)

參考答案

l.c

2.2

3.X

4.C

5.4

6.D

7.C

8.C

9.ACD

10.2C

11.AD

12.35

13.4

14.18

15.解:(1)因?yàn)?bcsinA=避(。2+?2-爐),

所以考著WX涼+c2—b2

2ac'

由余弦定理得，bsinA=y^acosB,

由正弦定理得sinBs譏A=y/^sinAcosB,

因?yàn)?<4<n,所以sinA片0,

所以sinB=yf^cosB,即tcmB=4，

TT

又。<B<7T,所以B=§.

(2)因?yàn)镾=^acsinB=2居所以ac=9,

由余弦定理得，b2=a2+c2—2accosB=(a+c)2—3ac,

因?yàn)閎=3,所以(a+c)2=b2+3ac=9+3x9=36,解得。+c=6,

所以△ABC的周長(zhǎng)為。+b+c=9.

16.解：(1)因?yàn)镻為橢圓C的右頂點(diǎn)，且△OPE的面積為岑，

所以Jxax*=§,

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解得a=2,

因?yàn)镋(l*)在橢圓C上，

所以"+白=1'

解得b=1,

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+y=1；

(2)因?yàn)橐虼?\BC\,。為2C的中點(diǎn),

所以。A1OB,

不妨設(shè)直線/的方程x=my-l,^(xi,yi)5(x2,y2)>

，%=my—1

聯(lián)立旺+y2=「消去％并整理得(而+4)y2_2?ny_3=0,

.4,

由韋達(dá)定理得月+及=得下月及二方七，

因?yàn)椤?1OB,

所以瓦？?赤=0,

即久62+%>2=0,

此時(shí)(血2+l)y1y2-m(y1+及)+1=。，

所以(小2+1)xx+1=0,

整理得胎誓=°，

1

解得機(jī)=±-.

故直線4B的斜率為±2.

17.解：(1)證明：M是4。中點(diǎn)，QA=QD,QM1AD,

?.,平面Q2D1平面ABC。，平面Q4DC平面力BCD=AD,QMu平面QW,

.-.QM1平面ABCD,又BDu平面力BCD,

QM1BD.

(2)取BC中點(diǎn)尸，連接MF,

M,F分另Ij為AD,8c中點(diǎn)，AB“CD,

MF//AB,又BC1AB,：.MF1BC,

以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，~FM,而正方向?yàn)閤,y軸正方向，過(guò)F作z軸〃QM,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

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設(shè)QM=a(a>0),

???MF=^AB+CD)=|,BC=yjAD2-(AB-CD)2=5

M(|,0,0),Q(|,0,a),B(0忠0),C(O-^O),晦,一舞,

zzz，q4■乙

.??麗=4_*,|)，BC=(0-73,0),&=4，室a),

設(shè)平面QBC的法向量五=(%,y,z),

(BC-n=-#y=0

則CQ?ri=3%+—y+az=0，

I"22)

令久=2a,解得y=0,z=-3,

???n=(2a,0,-3),

\MN-n\_LZ^I--------_屈

\cos<MN,n>

|MN||n|-4a2+9-十

解得a=道或a=I，

故QM的長(zhǎng)為平或|.

18.解：(l)/'(x)=2x-2+p當(dāng)a=1,時(shí)，/(I)--1,/(x)=1,

故切線方程為：y+1=x-1,即y=久一2；

(2)不妨設(shè)0＜久1＜冷，貝年2人久1)一久"(久2)＜。，同除以孫冷，得等＜竽，

所以G(x)=?=久-2+*在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以GQ)=]+以：產(chǎn))20.

①若a=0,G(x)＞0恒成立，符合題意.

②若a＞0,則(2包滬恒成立.

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令F(x)=券，則F，Q)=號(hào)空，

令F，Q)=3-2fax>0,則o<%<漆，

33

所以F(x)在(0,謨)單調(diào)遞增，在(崗+8)單調(diào)遞減,

-131

所以22F(談)=點(diǎn)，所以ae(0,2e3].

③若a<0,同理，上生滬恒成立，

由②可知，當(dāng)％—0+時(shí)，F(xiàn)(x)->-oo,所以不存在滿足條件的a.

綜上所述，ae[0,2e3].

19.解：(1)設(shè)4="兩個(gè)粒子通過(guò)第一道邏輯門(mén)后上旋粒子個(gè)數(shù)為i個(gè)"，i=0,1,2,

B="兩個(gè)粒子通過(guò)第二道邏輯門(mén)后上旋粒子個(gè)數(shù)為2個(gè)”，

則P(&)=0⑶)=(芥=pP(&)=C必2=1；

124

P(BMo)=/，P(B|4)號(hào)，P(B\A2)=l，

則P(B)=ELoP(4)P(B|4)=h|+|x|+|x|=|

14

故P(4|B)=%=P再常的=亨茨.

(2)由題知X=0,1,2,

1111

由(1)知P(X=2)=-p2+-p(l-p)+T(1-P)2=P

同理可得P(X=1)=1cp(l-p)+揚(yáng)2+(l_p)2]+羽p(l-p)=1

4-2Z