2025年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)訓(xùn)練：冪函數(shù)與二次函數(shù)【七大題型】原卷版+解析版

專題2.3幕函數(shù)與二次函數(shù)【七大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1暴函數(shù)的定義】...........................................................................2

【題型2比較幕值的大小】........................................................................3

【題型3幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】.........................................................3

【題型4求二次函數(shù)的解析式】....................................................................4

【題型5二次函數(shù)的圖象問題】....................................................................4

【題型6二次函數(shù)的最值問題】....................................................................6

【題型7二次函數(shù)的恒成立問題】..................................................................6

?考情分析

1、嘉函數(shù)與二次函數(shù)

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

幕函數(shù)與二次函數(shù)是常見的重要函

數(shù)，在歷年的高考中都占據(jù)著重要的地

(1)了解募函數(shù)的定義，掌位，是高考常考的熱點內(nèi)容，從近幾年

握塞函數(shù)的圖象與性質(zhì)的高考形勢來看，塞函數(shù)較少單獨考查，

2020年江蘇卷：第7題，5分

⑵熟練掌握二次函數(shù)的常與指、對數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，包括比較

2024年天津卷：第2題，5分

圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對指對塞的大小、解不等式等考法，主要

稱性與最值等)出現(xiàn)在選擇題、填空題中，難度較易；

二次函數(shù)常與其他知識相結(jié)合，考查二

次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

?知識梳理

【知識點1塞函數(shù)的解題技巧】

1.嘉函數(shù)的解析式

幕函數(shù)的形式是y=x“(aeR),其中只有一個參數(shù)a,因此只需一個條件即可確定其解析式.

2.塞函數(shù)的圖象與性質(zhì)

在區(qū)間(0,1)上，哥函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近X軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1,+8)上，嘉函

數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離X軸.

3.比較幕值的大小

在比較塞值的大小時，必須結(jié)合塞值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較，準(zhǔn)確掌握各

個幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【知識點2求二次函數(shù)解析式的方法】

1.二次函數(shù)解析式的求法

（1）一般式法：已知三點坐標(biāo)，選用一般式.

（2）頂點式法：已知頂點坐標(biāo)、對稱軸或最大（?。┲担x用頂點式.

（3）零點式法：已知與無軸兩交點坐標(biāo)，選用零點式.

【知識點3二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】

1.二次函數(shù)的圖象問題

（1）研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是圖象上

關(guān)于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方

向.

（2）求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.

2.二次函數(shù)的單調(diào)性與最值

閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一

軸指的是對稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.

3.二次函數(shù)的恒成立問題

不等式恒成立求參數(shù)范圍，一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)，直接借助于函數(shù)

圖象求最值.這兩個思路，最后都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

【變式1-1］（23-24高一上?云南西雙版納?期中）下列結(jié)論正確的是（）

A.幕函數(shù)的圖象一定過原點

B.a=1,3,|■時，累函數(shù)%都是增函數(shù)

C.塞函數(shù)的圖象會出現(xiàn)在第四象限

D.y=2x2既是二次函數(shù)，又是幕函數(shù)

【變式1-2］（23-24高一上?山東濟寧?期中）下列函數(shù)是基函數(shù)且在（-8,0）是增函數(shù)的是（）

A.y=1B.y=%3+1C.y=x_2D.y=/［五

【變式1-3］（23-24高一上?陜西咸陽?期中）現(xiàn)有下列函數(shù)：①丫=久3；②y=4/；@y=x5+1；（4）y=

（x-1）2；@y=x,其中幕函數(shù)的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【題型2比較幕值的大小】

【例2】(2023,上海青浦?一模)已知a,beR,則“a>爐是“層>川”的().

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

h-

【變式2?1】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知a=log510,b=log48,c=46,則a、6、c的大小關(guān)系為

()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

【變式2-2](2024?江西宜春?模擬預(yù)測)已知幕函數(shù)/(%)=(租—1)鏟的圖象過點(租,8).設(shè)。=/(2。?3),

2

&=/(0.3),c=/(log20.3),則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

【變式2-3](2023?湖北孝感?模擬預(yù)測)已知"%)為奇函數(shù)，當(dāng)04%<2時，/(%)=2x-x2,當(dāng)久>2時，

/(%)=|%—3|—1,則()

A.-/(-V26)>/(203)>/(303)B./(203)>/(303)>-/(-V26)

C.-/(-V26)>/(303)>/(203)D./(303)>/(203)>-/(-V26)

【題型3幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

【例3】(2024?湖南岳陽?模擬預(yù)測)探究累函數(shù)當(dāng)。=2,3[-1時的性質(zhì)，若該函數(shù)在定義域內(nèi)為

奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增，則&=()

A.2B.3C.1D.-1

【變式3-1](2023?四川南充?模擬預(yù)測)已知事函數(shù)f(x)=x：(nuieZ),下列能成為“f(久)是R上的偶函

數(shù)”的充分條件的是()

A.m=-3,n=1B.m=l,n=2

C.m=2,n=3D.m=l,n=3

【變式3-2](23-24高三上?上海浦東新?階段練習(xí))如圖所示是函數(shù)丫=京(皿九均為正整數(shù)且？?VI互質(zhì))的

圖象，則()

A.m,n是奇數(shù)且:V1

B.m是偶數(shù),九是奇數(shù)，且?<1

7M

C.m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且雙>1

D.771,71是奇數(shù)，且三>1

【變式3-3](2023?山東荷澤?三模)己知函數(shù)f(x)=N+(a—2)/+2x+b在[一2c-l,c+3]上為奇函數(shù),

則不等式/(2x+l)+f(a+b+c)＞。的解集滿足()

A.(-2,4]B.(-3,5]C.(―|,2〕D.(-2,2]

【題型4求二次函數(shù)的解析式】

【例4】(23-24高一上?河北保定?期末)寫出一個同時具有下列四個性質(zhì)中的三個性質(zhì)的二次函數(shù):

f(x)=

①/(%)的最小值為—1;②/(*)的一次項系數(shù)為—4；③/(0)=3；?/(X)=/(-%+2).

【變式4-1](2023高三?全國?專題練習(xí))已知二次函數(shù)/(無)的兩個零點分別是0和5,圖象開口向上，且

/(%)在區(qū)間[-1,4]上的最大值為12,則函數(shù)/(尤)的解析式為.

【變式4-2](23-24高一上?新疆克拉瑪依?期中)已知二次函數(shù)f(x)=a/+6%+c(a>0,a,瓦ceR),

=對任意久CR,/(x—2)=/(—%),且/(x)Nx恒成立.則二次函數(shù)八乂)的完整解析式為.

【變式4-3](23-24高一上?浙江金華?開學(xué)考試)已知二次函數(shù)/(%)=a/+法+。的對稱軸是久=1,且不

等式/(X)<2x的解集為[1,3],則f(x)的解析式是/(久)=.

【題型5二次函數(shù)的圖象問題】

【例5】(2020?山東?高考真題)已知二次函數(shù)y=a久2+6%+c的圖像如圖所示，則不等式a/+匕刀+c>0

的解集是()

A.(-2,1)B.(-00,-2)U(1,+oo)C.[-2,1]D.(-00-2]U[1,+oo)

【變式5-1](23-24高一上?湖南株洲?階段練習(xí))不等式c/+ax+6＞0的解集為｛x|—1＜久＜則函數(shù)

【變式5-2]（23-24高二下?北京昌平?期末）若不等式a/—x—c>0的解集為3―1<%<當(dāng)，則函數(shù)y="2

—x—a的圖象可以為（）

【變式5-3]（2024高一?全國?專題練習(xí)）不等式a%2-b%+c>0的解集為{用-2V%<1},則函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖像大致為（）

【例6】(23-24高二下?天津河西?期末)下面關(guān)于函數(shù)/(尤)=/+3%+4的說法正確的是()

A./(久)>0恒成立B./(%)最大值是5

C.f(x)與y軸無交點D.f(x)沒有最小值

【變式6-1](2024高三?全國?專題練習(xí))設(shè)二次函數(shù)/(x)=(a-2)/+3ax+2在R上有最大值，最大值為

m(a),當(dāng)m(a)取最小值時，a=()

A.0B.1C.1D.V2

【變式6-2]⑵-24高一上?重慶沙坪壩?階段練習(xí))f(x)=2017X2-2018X+2019x2020,xG[t,t+2].則當(dāng)

t變化時，f(X)max-f(X)min的最小值為()

A.2020B.2019C.2018D.2017

【變式6-3](21-22高一上?浙江臺州?期末)已知函數(shù)/(x)=a/+2x的定義域為區(qū)間加，〃],其中

a,m,neR,若/(x)的值域為[-4,4],貝!的取值范圍是()

A.[4,4V2]B.[2V2,8V2]C.[4,8V2]D.[4也8]

【題型7二次函數(shù)的恒成立問題】

【例7】(2024?遼寧鞍山?二模)已知當(dāng)x>0時，不等式：久2一小刀+16>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

()

A.(—8,8)B.(—8,8]C.(—8,8)D.(8,+8)

【變式7-1](2023?遼寧鞍山?二模)若對任意的％6(0,+8),%2一m％+1>()恒成立，則加的取值范圍是

()

A.(—2,2)B.(2,+8)C.―D.(-8,2]

【變式7-2](2023?遼寧大連?模擬預(yù)測)命題臼x>0,a*2+%+1<0”為假命題，則命題成立的充分不必要

條件是（）

1

A.CL>—-B.a>0C.a>1D.a<1

4

【變式7-3］（2024?江西九江?模擬預(yù)測）無論x取何值時，不等式2日+4>0恒成立，則k的取值范圍

是()

A.(_8,_2)B.(_8,_4)C.(_4,4)D.(_2,2)

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）若幕函數(shù)/⑶=（/-爪-1）久2m-3在（0,+8）上單調(diào)遞增，則實數(shù)小的值為

（）

A.2B.1C.-1D.-2

2.（2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測）如圖，已知基函數(shù)丫=久。）=/）=產(chǎn)在（0,+8）上的圖象分別是下降，急

C.c<a<bD.a<b<c

3.（2023?北京海淀?一模）已知二次函數(shù)f（x）,對任意的久GR,有f（2x）<2/（%）,則f（x）的圖象可能是

4.（2024?浙江?模擬預(yù)測）若不等式kN+（fc_6）x+2>0的解為全體實數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（）

A.2<fc<18B.-18<k<-2

C.2<k<18D.0<fc<2

5.(23-24高一上?浙江?單元測試)設(shè)函數(shù)/(x)=*2+2(4-a)x+2在區(qū)間(-8,3]上是減函數(shù)，則實數(shù)°的

取值范圍是()

A.a>—7B.a>7C.a>3D.a<-7

11

6.(2023?四川瀘州?一模)已知點(2,》在塞函數(shù)=的圖象上，設(shè)a=/(log23),h=/(ln3),c=f(3-

),則Q,b,。的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.a<b<cC.b〈c<aD.a<c<b

7.(2023?河南?模擬預(yù)測)已知幕函數(shù)/(x)的圖象過g,?)，P(xi,%),Q(x2,y2)(%i<x2)是函數(shù)圖象上

的任意不同兩點，則下列結(jié)論中正確的是()

A.>%2/(%2)B.%1/(%2)<^2/(%1)

CD/(巧)</(Q)

?%2%1,X1%2

8.(2023?江西南昌?二模)已知函數(shù)/。)=/+￡1尤2+以+(;的三個零點分別為1,盯,無2(0<巧<X2)，若

函數(shù)f(x+l)為奇函數(shù)，則f(2)的取值范圍為()

A.[0,1]B.(0,1)C.(0,2)D.[0,2]

二、多選題

9.(2024?全國?模擬預(yù)測)下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是()

A./(%)=-3刀5B./(%)=2X

11

c./(%)=-D,f(x)=-2%3

10.(2023?江蘇連云港?模擬預(yù)測)若對于任意實數(shù)x,不等式(a—1)/-2(a—l)x—4<0恒成立，則實數(shù)a

可能是()

A.-2B.0C.-4D.1

11.(2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無)=x+1,設(shè)9i(x)=/(%),gn(x)=/(5n-iW)

(n>l,nGN*).且關(guān)于x的函數(shù)y=/+S/(嗎何eN*).貝！)()

A.g九(%)=%+71或0i(%)=九%+1

cn2+2n.(.*2

B.y=^r^\x+-)

C.當(dāng)九42時，存在關(guān)于％的函數(shù)y在區(qū)間(-8,-1］上的最小值為6,九=0

D.當(dāng)71>2時，存在關(guān)于x的函數(shù)y在區(qū)間上的最小值為6,n=4

三、填空題

12.(2024?北京延慶?一模)已知函數(shù)/(%)=^(0<戊<1)在區(qū)間(—1,0)上單調(diào)遞減，貝必的一個取值

為.

13.(2024?四川宜賓?模擬預(yù)測)已知函數(shù)y=a(久一4)+2(a>0,且aK1)的圖像恒過定點尸，且尸在幕函

數(shù)/'(%)的圖像上，則f(久)=.

14.(2024?河南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=|久2一6%+7］在>1)上的最大值為4在［?n,2ni—1］上的

最大值為B,若422B,則實數(shù)小的取值范圍是.

四、解答題

15.(2024?山東?二模)已知f(x)是二次函數(shù)，且/'(1)=4/(0)=1/(3)=4.

(1)求/(%)的解析式;

(2)若久€求函數(shù)/(X)的最小值和最大值.

16.(2023?山東?一模)己知二次函數(shù)/(x)滿足/(0)=—1,頂點為(1,—2).

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若函數(shù)/(%)在區(qū)間［a-1,4］上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.

17.(23-24高一下?上海?期中)己知幕函數(shù)/■(久)=%*-2力-3(^Z)為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上是嚴(yán)格

減函數(shù).

(1)求函數(shù)y=/(久)的表達式；

(2)對任意實數(shù)xe［|,i］,不等式/(x)<t+4,恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

18.(23-24高一上?遼寧?階段練習(xí))已知累函數(shù)/(%)=(m2+2zn—2Am2—(mGZ)的定義域為R,且在[0,+8)

上單調(diào)遞增.

⑴求加的值；

(2)vxe[1,2],不等式a/O)—3光+2>0恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

19.(23-24高一上?江蘇?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(X)=口必+(1-a)x+a-2.

(1)若關(guān)于％的不等式久支)N-2有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若不等式f(x)>-2對于實數(shù)a￡[-1,1]時恒成立，求實數(shù)x的取值范圍;

(3)解關(guān)于x的不等式：/(%)<a-l,(a￡/?).

專題2.3幕函數(shù)與二次函數(shù)【七大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1暴函數(shù)的定義】...........................................................................2

【題型2比較幕值的大小】........................................................................3

【題型3幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】.........................................................5

【題型4求二次函數(shù)的解析式】....................................................................7

【題型5二次函數(shù)的圖象問題】....................................................................9

【題型6二次函數(shù)的最值問題】...................................................................12

【題型7二次函數(shù)的恒成立問題】.................................................................14

?考情分析

1、嘉函數(shù)與二次函數(shù)

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

幕函數(shù)與二次函數(shù)是常見的重要函

數(shù)，在歷年的高考中都占據(jù)著重要的地

(1)了解募函數(shù)的定義，掌位，是高考?？嫉臒狳c內(nèi)容，從近幾年

握塞函數(shù)的圖象與性質(zhì)的高考形勢來看，塞函數(shù)較少單獨考查，

2020年江蘇卷：第7題，5分

⑵熟練掌握二次函數(shù)的常與指、對數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，包括比較

2024年天津卷：第2題，5分

圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對指對塞的大小、解不等式等考法，主要

稱性與最值等)出現(xiàn)在選擇題、填空題中，難度較易；

二次函數(shù)常與其他知識相結(jié)合，考查二

次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

?知識梳理

【知識點1塞函數(shù)的解題技巧】

1.嘉函數(shù)的解析式

幕函數(shù)的形式是y=x“(aeR),其中只有一個參數(shù)a,因此只需一個條件即可確定其解析式.

2.塞函數(shù)的圖象與性質(zhì)

在區(qū)間(0,1)上，哥函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近X軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1,+8)上，嘉函

數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離X軸.

3.比較幕值的大小

在比較塞值的大小時，必須結(jié)合塞值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較，準(zhǔn)確掌握各

個幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【知識點2求二次函數(shù)解析式的方法】

1.二次函數(shù)解析式的求法

(1)一般式法：已知三點坐標(biāo)，選用一般式.

(2)頂點式法：已知頂點坐標(biāo)、對稱軸或最大(小)值，選用頂點式.

(3)零點式法：已知與無軸兩交點坐標(biāo)，選用零點式.

【知識點3二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】

1.二次函數(shù)的圖象問題

(1)研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是圖象上

關(guān)于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方

向.

(2)求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.

2.二次函數(shù)的單調(diào)性與最值

閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一

軸指的是對稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.

3.二次函數(shù)的恒成立問題

不等式恒成立求參數(shù)范圍，一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)，直接借助于函數(shù)

圖象求最值.這兩個思路，最后都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

?舉一反三

【題型1嘉函數(shù)的定義】

【例1】(23-24高一下?湖北?階段練習(xí))下列函數(shù)是事函數(shù)的是()

A.y=~iB.y=2xC.y=2x2D.y=-%-1

【解題思路】由寨函數(shù)的定義可判斷各選項.

【解答過程】由事函數(shù)的定義，形如y=aCR叫幕函數(shù)，

對A,y=^=x-3,故A正確；B,C,D均不符合.

故選：A.

【變式1-1](23-24高一上?云南西雙版納?期中)下列結(jié)論正確的是()

A.累函數(shù)的圖象一定過原點

B.a=時，嘉函數(shù)y=廿是增函數(shù)

C.幕函數(shù)的圖象會出現(xiàn)在第四象限

D.y=2/既是二次函數(shù)，又是幕函數(shù)

【解題思路】利用幕函數(shù)的簡單性質(zhì)判斷即可.

【解答過程】解：暴函數(shù)圖象不一定過原點，例如y=》T,函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點，故A不正確；

-11

當(dāng)。=1,3萬時，幕函數(shù)y=x,y-x3,y=位=正在定義域內(nèi)均為增函數(shù)，故B正確；

由函數(shù)的定義及嘉函數(shù)在第一象限均有圖象可知，嘉函數(shù)的圖象不會出現(xiàn)在第四象限，故C不正確；

函數(shù)y=2*2是二次函數(shù)，但是不是募函數(shù)，幕函數(shù)得形如y=/（aeR）,故D不正確.

故選：B.

【變式1-2］（23-24高一上?山東濟寧?期中）下列函數(shù)是幕函數(shù)且在（-8,0）是增函數(shù)的是（）

A.y=1B.y=x3+lC.y=x~2D.y=y［\x\

【解題思路】由幕函數(shù)的概念和單調(diào)性可得選項C正確.

【解答過程】由幕函數(shù)的概念可以排除B、D選項，

而y=:在（一8,0）是減函數(shù)，y=久V在（_8,o）是增函數(shù)，

故選：C.

【變式1-3］（23-24高一上?陜西咸陽?期中）現(xiàn)有下列函數(shù)：①y=X3；②y=4/；（3）y=x5+1；④y=

（久-1）2；（5）y-x,其中基函數(shù)的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【解題思路】由事函數(shù)的定義即可求解.

【解答過程】由于基函數(shù)的一般表達式為：y=xa,（a^0）；

逐一對比可知題述中的幕函數(shù)有①y=好；⑤丫=%共兩個.

故選：C.

【題型2比較塞值的大小】

【例2】（2023?上海青浦?一模）已知a,hGR,則“a>b”是“cP>〃”的（）.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【解題思路】

直接根據(jù)充分性和必要性的定義判斷即可.

【解答過程】因為函數(shù)y=/在R上單調(diào)遞增，

所以a>b^a3>b3,

即“a>b”是七3>〃，，的充要條件.

故選：c.

,7

【變式2-1](2024?全國?模擬預(yù)測)已知a=log510,b=log48,c=4-6,則a、b、c的大小關(guān)系為

()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

33

【解題思路】化簡Q=1+log52,b=1+log5V5=I，所以aVb,再化簡c=4§,c=(43)>(|)=b,

故可得出答案.

【解答過程】va=log5(5x2)=log55+log52=1+log52,

b=log4(4x2)=log44+log42=1+1=l+log5V5=|,：.a<b,

c=42-6=43,vc3=(4§)=4>0=b3,

且y=%3在R上為增函數(shù)，...c>b,gpc>h>a,

故選：C.

【變式2-2](2024?江西宜春?模擬預(yù)測)已知幕函數(shù)/(%)=(租—1)廿的圖象過點(租,8).設(shè)。=/(2口3),

2

b=/(0.3),c=/(log20.3),則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

【解題思路】根據(jù)基函數(shù)的定義求出函數(shù)/(、)解析式，再利用幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小而得解.

【解答過程】因幕函數(shù)/(%)=(血一1)廿的圖象過點(血,8),貝!]6一1=1,且W=8,

于是得m=2,九=3,函數(shù)f(%)=%3,函數(shù)/(%)是火上的增函數(shù)，

203203

Mlog20.3<0<0,3<1<2-,則有f(log20.3)</(0.3)</(2),

所以c<b<a,

故選：D.

【變式2-3](2023?湖北孝感?模擬預(yù)測)已知/(%)為奇函數(shù)，當(dāng)時，/(%)=2x-x2,當(dāng)久>2時，

/(%)=|%-3|-1,則()

A.-/(-V26)>/(203)>/(303)B./(203)>/(303)>-/(-V26)

C.-/(-V26)>/(303)>/(203)D.f(303)>/(20-3)>-/(-V26)

【解題思路】利用題給條件求得/(%)在[1,3]上單調(diào)性，利用/(%)為奇函數(shù)求得-/(-師/⑴的大小關(guān)系,

再利用塞函數(shù)性質(zhì)比較3。汽2。-3的大小關(guān)系，進而得到了(3。-3),/(2。-3),-/(-京)三者間的大小關(guān)系.

【解答過程】因為當(dāng)0WxW2時，/(%)=2x-x2,

則久支)在(0,1)上單調(diào)遞增，在［1,2］上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>2時，/(%)-|x—3|-1,

則f(尤)在(2,3)上單調(diào)遞減，在［3,+8)上單調(diào)遞增.

且/(2)=0=|2—3|—1,所以/'(%)在(0,1)上單調(diào)遞增,

在［1,3］上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增.

因為—/(—師=/(V26)>/(5)=1=/(1),1<20-3<30-3<3,

則/■(1)>/'(2。3)>/(3。3)

所以一/'(一屬)>/(20-3)>/(30-3).

【題型3嘉函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

【例3】(2024?湖南岳陽?模擬預(yù)測)探究事函數(shù)/(幻=^當(dāng)a=2,3a—1時的性質(zhì)，若該函數(shù)在定義域內(nèi)為

奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增，則。=()

1

A.2B.3C.-D.-1

【解題思路】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【解答過程】由題意可得a>0且a為奇數(shù)，

所以a=3.

故選：B.

【變式3-1］(2023?四川南充?模擬預(yù)測)已知事函數(shù)/(x)=/(wieZ),下列能成為“f(久)是R上的偶函

數(shù)”的充分條件的是()

A.m=-3,n=1B.m=l,n=2

C.m=2,n=3D.m=l,n=3

【解題思路】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件的定義進行判斷即可.

【解答過程】當(dāng)m=-3,九=1時，/(%)=x-3=

111

因為函數(shù)/(%)=或的定義域(一8,0)U(0,+8),關(guān)于原點對稱，且/(一%)=1矛=一行=一/(%),

所以/(》)=*為奇函數(shù)，不合題意，故A錯誤；

1

當(dāng)血=1,九=2時，/(X)=%2=7%,因為/(%)=y函數(shù)的定義域[o,+8),不關(guān)于原點對稱，

所以/(%)=?為非奇非偶函數(shù)，不合題意，故B錯誤；

當(dāng)m=2,n=3時，/⑴=藍(lán)=V邁，定義域為R,關(guān)于原點對稱，且f(―%)=在不=疹=/⑺，

3

所以『0)=應(yīng)為偶函數(shù)，符合題意，故C正確；

111

當(dāng)m=l,n=3時，/(X)=必，定義域為R,關(guān)于原點對稱，且/'(-》)=(一%戶=一疝=-f(x),

1

所以/(%)=疝為奇函數(shù)，不合題意，故D錯誤.

故選：C.

【變式3-2](23-24高三上?上海浦東新?階段練習(xí))如圖所示是函數(shù)丫=瑞(機刀均為正整數(shù)且小刀互質(zhì))的

A.爪,幾是奇數(shù)且?<1

B.爪是偶數(shù)，幾是奇數(shù)，且:<1

C.zn是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且:>1

D.機,71是奇數(shù)，且胃>1

__771___m

【解題思路】由哥函數(shù)性質(zhì)及0<x<l時兩圖象的位置關(guān)系可知7r<1；由圖象可知丫=瑞為偶函數(shù)，進而

確定小,九的特征.

【解答過程】由哥函數(shù)性質(zhì)可知：了=/與丫=》恒過點(1,1),即在第一象限的交點為(1,1),

當(dāng)0<久<1時，>X,則:<1；

又y=京圖象關(guān)于y軸對稱，y=京為偶函數(shù)，(一%)三=(-%)m=京=也和

又m,n互質(zhì),??.m為偶數(shù),幾為奇數(shù).

故選：B.

【變式3-3］(2023?山東荷澤?三模)已知函數(shù)/(%)=/+(a-2)%2+2%+b在［—2c—l,c+3］上為奇函數(shù)，

則不等式“2%+1)+f(a+b+c)>。的解集滿足()

A.(-2,4］B.(-3,5］C.(-|,2］D.(-2,2］

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出參數(shù)a、b、c的值，從而得到函數(shù)解析式與定義域，再判斷函數(shù)的單調(diào)

性，結(jié)合單調(diào)性與奇偶性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.

2

【解答過程】因為函數(shù)/(%)=/+(a-2)%+2%+b在|-2c-Lc+3］上為奇函數(shù)，

所以—2c—1+c+3=0,解得c=2,又f(—x)=-f(x),

即一+(a—2)x2—2x+b=—x3—(a—2)%2—2x—6,

a-2

得

解

所以2(a-2)/+2b=0,解得b-o

所以/'(x)=7+2%,x6[-5,5],

由y=爐與y=2久在定義域［-5,5］上單調(diào)遞增，所以f(x)在定義域［-5,5］上單調(diào)遞增，

則不等式f(2x+l)+f(a+b+c)>0,即f(2x+l)+f(4)>0,等價于f(2x+1)>f(-4),

所以｛一黑普葭5,解得~t<xW2,即不等式的解集為(—羽.

故選：C.

【題型4求二次函數(shù)的解析式】

【例4】(23-24高一上?河北保定?期末)寫出一個同時具有下列四個性質(zhì)中的三個性質(zhì)的二次函數(shù)：

f(x)=

支2—4久+3或2/—4久+1或4/—8%+3或2/—4久±3,_.

①/(%)的最小值為—1;②/(*)的一次項系數(shù)為—4；(3)/(0)=3；④/(*)=/(—x+2).

【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的特征，如頂點、對稱軸設(shè)函數(shù)的解析式即可求解.

【解答過程】第一種情況：/O)具有①②③三個性質(zhì)，由②③可設(shè)/(%)=ax2—4%+3(a力0),則根據(jù)①

可得：工*=-1,解得a=l,所以f(x)="—4x+3.

第二種情況：/(x)具有①②④三個性質(zhì)，由①④可設(shè)/Q)=a(x—1)2-l(a>o),則根據(jù)②可得:

-2a=—4,解得Q=2,所以/(%)=2(x—l)2—1=2x2—4x+1.

第三種情況：/(%)具有①③④三個性質(zhì)，由①④可設(shè)"%)=。(%-1)2-1(。>0),則根據(jù)③可得：

/(0)=a—1=3,解得：a=4,所以/(%)=4(%—1)2—1=4/—8%+3.

第四種情況：f(x)具有②③④三個性質(zhì)，由②③可設(shè)/(x)=aX2-4x+3(a70),則根據(jù)④可得：-?

=1,解得a=2,所以/1(解=2%2-4%+3.

故答案為：％2—4%+3或2%2—4%+1或4%2—8%+3或2/—4%+3.(不唯一).

【變式4-1](2023高三?全國?專題練習(xí))已知二次函數(shù)/(%)的兩個零點分別是。和5,圖象開口向上，且

/(%)在區(qū)間上的最大值為12,則函數(shù)/(%)的解析式為=2%2io%.

【解題思路】根據(jù)函數(shù)特征設(shè)/(%)=ax(x-5),(a>0)然后判斷并求解/(-1)=6a=12,a=2從而解得函數(shù)

解析式.

【解答過程】設(shè)f(x)=a%(x-5),(a>0)其對稱軸為直線％=今又f(x)在區(qū)間[一1,4]上的最大值為12,

所以/(-1)=6a=12,a=2,所以/(%)=2x2—10%.

故答案為：/(%)=2x2-10x.

【變式4-2](23-24高一上?新疆克拉瑪依?期中)已知二次函數(shù)/(%)=a/+匕％+。(a>0ta,b,cER),

/⑴=1,對任意久CR,/(x—2)=/(—%),且/(x)Nx恒成立.則二次函數(shù)/⑴的完整解析式為_JX%)=|x2

,1,5

土殍土?

【解題思路】根據(jù)/(%-2)=/(-%)得至必=2a,結(jié)合/'⑴=1得出c=l-3a,根據(jù)/'(%)2萬恒成立，求出a的

值，即可求出函數(shù)解析式.

【解答過程】???對任意x€R,/(x-2)=/(-%),

二次函數(shù)對稱軸為x=整=T，

b—2a,

,?"(1)=1,

???a+b+c=1,

???c=1—3a,

又對任意KCR,/(%)之久恒成立，

:.ax2+2ax+(1—3a)>x,BPa%2+(2a—l)x+(1—3a)>0在R上恒成立，

a>0,

A=(2a-l)2-4a(l-3a)=16a2-8a+1=(4a-l)2<0,

1

?1-b=^,c=1,即函數(shù)/'(X)=：/+,+3，

故答案為：+

【變式4-3](23-24高一上?浙江金華?開學(xué)考試)已知二次函數(shù)y(x)=a/+6x+c的對稱軸是x=1,且不

等式f(x)<2x的解集為[1,3],則f(x)的解析式是/(久)=_必馬土3_.

【解題思路】由不等式的解集得一元二次方程的兩根，由韋達定理得兩個關(guān)系式，又由對稱軸得一關(guān)系式,

結(jié)合起來可求得a力,c,得函數(shù)解析式.

【解答過程】解：/(%)<2x^)ax2+(b-2)x+c<0,其解集為[1,3],則

]c"…,a>0,又函數(shù)/'(X)的對稱軸是x=1,貝卜小=1,

(-=1X3力

、a

兩者結(jié)合解得a=l,b=-2,c=3,

所以f(x)=x2-2x+3.

故答案為：%2-2X+3.

【題型5二次函數(shù)的圖象問題】

【例5】(2020?山東?高考真題)己知二次函數(shù)y=a/+c的圖像如圖所示，則不等式a久2+bx+c>0

A.(—2,1)B.(一oo,—2)U(1,+oo)C.[—2,1]D.(—oo,一2]U[1,+oo)

【解題思路】本題可根據(jù)圖像得出結(jié)果.

【解答過程】結(jié)合圖像易知，

不等式a/+b%+c>0的解集

故選：A.

【變式5-1](23-24高一上?湖南株洲?階段練習(xí))不等式=2+3+6>0的解集為{x|—is.},則函數(shù)

y=a/一bx—c的圖象大致為()

【解題思路】首先根據(jù)一元二次不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，求解a,瓦c的關(guān)系，再代入函數(shù)y=a/-bx-c,

即可分析函數(shù)的圖象.

【解答過程】因為ex?+ax+b>0的解集為｛幻—1<x<0,所以方程c/+ax+6=。的兩根分別為抑一1,

2c

且cvo,貝*1b,a=-c,b=--c,

—1x-=-z4

2c

故函數(shù)y=ax2-bx-c=fx2+fx-c=+2）（x—l）的圖象開口向下，且與X軸的交點坐標(biāo)為（1,0）和（一2,0）,

故A選項的圖象符合.

故選：A.

【變式5-2］（23-24高二下?北京昌平?期末）若不等式a/-x-c>0的解集為｛久|-1<久<§,則函數(shù)y=c久2

—%—a的圖象可以為（）

【解題思路】由題可得-1和是方程ax2-x-c=0的兩個根，求出a,c,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出.

【解答過程】由題可得-1和9是方程a/-x-c=0的兩個根，且a<0,

則y=cN—x—a=—%2—x+2=—(x+2)(x—1),

則函數(shù)圖象開口向下，與x軸交于(-2,0),(1,0).

故選：C.

【變式5-3](2024高一?全國?專題練習(xí))不等式a/-6x+c>0的解集為-2<x<l},則函數(shù)y=ax2+bx+c

【解題思路】根據(jù)題意，可得方程a--bx+c=0的兩個根為刀=-2和x=l,且a<0,結(jié)合二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系得到a、6、c的關(guān)系，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【解答過程】根據(jù)題意，+c>。的解集為{x|—2<x<1},則方程a/-bx+c=0的兩個根為久=一2

和x=l,且a<0.

'-2+1=2_

則有(-2)x1=?變形可得唐三，

、a<0

2

故函數(shù)y=aX2+i)x+c=ax-ax-2a=a(x-2)(x+1)是開口向下的二次函數(shù)，且與x軸的交點坐標(biāo)為

(一1,0)和(2,0).

對照四個選項，只有C符合.

故選：C.

【題型6二次函數(shù)的最值問題】

【例6】(23-24高二下?天津河西?期末)下面關(guān)于函數(shù)/(尤)=/+3%+4的說法正確的是()

A./3)>0恒成立B./(X)最大值是5

C.f(x)與y軸無交點D.f(x)沒有最小值

【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷各選項.

【解答過程】函數(shù)/(X)=