專題15 排列組合（6大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)）（新高考專用）含答案及解析

專題15排列組合易錯點一：相鄰與不相鄰問題處理方法不當(dāng)致誤（相鄰問題）相鄰問題技巧總結(jié)相鄰問題1、思路：對于相鄰問題，一般采用“捆綁法”解決，即將相鄰的元素看做是一個整體，在于其他元素放在一起考慮.如果設(shè)計到順序，則還應(yīng)考慮相鄰元素的順序問題，再與其他元素放在一起進(jìn)行計算.2、解題步驟：第一步：把相鄰元素看作一個整體（捆綁法），求出排列種數(shù)第二步：求出其余元素的排列種數(shù)第三步：求出總的排列種數(shù)易錯提醒：排列組合實際問題主要有相鄰問題和不相鄰問題。（1）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）；（2）不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）；例、現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相鄰的排法有（）A．種B．種C．種D．種變式1：加工某種產(chǎn)品需要5道工序，分別為A，B，C，D，E，其中工序A，B必須相鄰，工序C，D不能相鄰，那么有（

）種加工方法．A．24 B．32 C．48 D．64變式2：中國航天工業(yè)迅速發(fā)展，取得了輝煌的成就，使我國躋身世界航天大國的行列.

中國的目標(biāo)是到2030年成為主要的太空大國.它通過訪問月球，發(fā)射火星探測器以及建造自己的空間站，擴(kuò)大了太空計劃.在航天員進(jìn)行的一項太空實驗中，要先后實施個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實施時必須相鄰，請問實驗順序的編排方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種變式3：為推動黨史學(xué)習(xí)教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團(tuán)日這五種活動分5個階段安排，以推動黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會、主題團(tuán)日這兩個階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（

）A．10種 B．12種 C．16種 D．24種1．2023年杭州亞運(yùn)會期間，甲、乙、丙3名運(yùn)動員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（

）A．1120 B．7200 C．8640 D．144002．六名同學(xué)暑期相約去都江堰采風(fēng)觀景，結(jié)束后六名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（

）A．48種 B．72種 C．120種 D．144種3．把二項式的所有展開項重新排列，記有理項都相鄰的概率為，有理項兩兩不相鄰的概率為，則（

）A．5 B． C．4 D．4．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，滿足A，B相鄰，C，D不相鄰的不同站法的種數(shù)為（

）A．48 B．96 C．144 D．2885．2023年5月21日，中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國隊，實現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種6．為配合垃圾分類在學(xué)校的全面展開，某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識比賽活動.高一?高二?高三年級分別有1名?2名?3名同學(xué)獲一等獎.若將上述獲一等獎的6名同學(xué)排成一排合影，要求同年級同學(xué)排在一起，則不同的排法共有（

）A．18種 B．36種 C．72種 D．144種7．甲、乙兩個家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中甲家庭有2個大人和2個小孩，乙家庭有2個大人和3個小孩，他們9人在景區(qū)門口站成一排照相，要求每個家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的種數(shù)為（

）A．144 B．864 C．1728 D．28808．某駕校6名學(xué)員站成一排拍照留念，要求學(xué)員A和B不相鄰，則不同的排法共有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種9．某高鐵動車檢修基地庫房內(nèi)有共5條并行的停車軌道線，每條軌道線只能停一列車，現(xiàn)有動車、高鐵共五列車入庫檢修，若已知兩列動車安排在相鄰軌道，則動車停放在道的概率為（

）A． B． C． D．10．班長邀請四位同學(xué)參加圓桌會議．如圖，班長坐在⑤號座位，四位同學(xué)隨機(jī)坐在①②③④四個座位，則兩位同學(xué)座位相鄰的概率是（）

A． B．C． D．11．將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有（

）A．4種 B．8種 C．12種 D．48種12．5名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須排在一起的不同排法有（

）A．70種 B．72種 C．36種 D．12種13．現(xiàn)有2名男生和3名女生，在下列不同條件下進(jìn)行排列，則（

）A．排成前后兩排，前排3人后排2人的排法共有120種B．全體排成一排，女生必須站在一起的排法共有36種C．全體排成一排，男生互不相鄰的排法共有72種D．全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾的排法共有72種14．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（

）A．若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種B．若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種D．如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種15．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排進(jìn)行列隊訓(xùn)練，則（

）A．甲乙不相鄰的不同排法有48種B．甲乙中間恰排一個人的不同排法有36種C．甲乙不排在兩端的不同排法有36種D．甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有20種16．某學(xué)校舉行校園歌手大賽，共有4名男生，3名女生參加，組委會對他們的出場順序進(jìn)行安排，則下列說法正確的是（

）A．若3個女生不相鄰，則有144種不同的出場順序B．若女生甲在女生乙的前面，則有2520種不同的出場順序C．若4位男生相鄰，則有576種不同的出場順序D．若學(xué)生的節(jié)目順序已確定，再增加兩個教師節(jié)目，共有72種不同的出場順序17．某校高二年級安排甲?乙?丙三名同學(xué)到A，B，C，D，E五個社區(qū)進(jìn)行暑期社會實踐活動，每名同學(xué)只能選擇一個社區(qū)進(jìn)行實踐活動，且多名同學(xué)可以選擇同一個社區(qū)進(jìn)行實踐活動，則下列說法正確的有（

）A．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種B．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有50種C．如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種D．如果甲?乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種18．在樹人中學(xué)舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎.現(xiàn)將獲得一等獎的學(xué)生排成一排合影，則（

）A．3名男生排在一起，有6種不同排法 B．2名女生排在一起，有48種不同排法C．3名男生均不相鄰，有12種不同排法 D．女生不站在兩端，有108種不同排法19．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（

）A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有40種20．(多選)把5件不同產(chǎn)品A，B，C，D，E擺成一排，則（

）A．A與B相鄰有48種擺法B．A與C相鄰有48種擺法C．A，B相鄰又A，C相鄰，有12種擺法D．A與B相鄰，且A與C不相鄰有24種擺法21．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念．要求老師必須站在正中間，且甲同學(xué)不與老師相鄰，則不同的站法種數(shù)為（

）A． B． C． D．易錯點二：“捆綁法”中忽略了“內(nèi)部排列”或“整體列”（不相鄰問題）不相鄰問題技巧總結(jié)1.思路：對于不相鄰問題一般采用“插空法”解決，即先將無要求的元素進(jìn)行全排列，然后將要求不相鄰的元素插入到已排列的元素之間，最后進(jìn)行計算即可2.解題步驟：①先考慮不受限制的元素的排列種數(shù)②再將不相鄰的元素插入到已排列元素的空當(dāng)種（插空法），求出排列種數(shù)③求出總的排列種數(shù)易錯提醒：處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法”，即把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個元素，然后與其余元素全排列，最后“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列．處理不相鄰問題的基本方法是“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后把有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間．但應(yīng)該注意插入的元素之間如果也有順序，應(yīng)先進(jìn)行排列．例、有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法的總數(shù)．（1）全體排成一行，其中男、女生各站在一起；（2）全體排成一行，其中男生必須排在一起．變式1：為推動黨史學(xué)習(xí)教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團(tuán)日這五種活動分5個階段安排，以推動黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會、主題團(tuán)日這兩個階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（

）A．10種 B．12種 C．16種 D．24種變式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．變式3：某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排，則舞臺站位時男女間隔的不同排法共有（

）A．12種 B．24種 C．72種 D．120種1．4名男生和3名女生排隊（排成一排）照相，下列說法正確的是（

）A．若女生必須站在一起，那么一共有種排法B．若女生互不相鄰，那么一共有種排法C．若甲不站最中間，那么一共有種排法D．若甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有種排法2．某校文藝匯演共6個節(jié)目，其中歌唱類節(jié)目3個，舞蹈類節(jié)目2個，語言類節(jié)目1個，則下列說法正確的是（

）A．若以歌唱類節(jié)目開場，則有360種不同的出場順序B．若舞蹈類節(jié)目相鄰，則有120種出場順序C．若舞蹈類節(jié)目不相鄰，則有240種不同的出場順序D．從中挑選2個不同類型的節(jié)目參加市藝術(shù)節(jié)，則有11種不同的選法3．現(xiàn)將把椅子排成一排，位同學(xué)隨機(jī)就座，則下列說法中正確的是（

）A．個空位全都相鄰的坐法有種B．個空位中只有個相鄰的坐法有種C．個空位均不相鄰的坐法有種D．4個空位中至多有個相鄰的坐法有種4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說法正確的是（

）．A．若五位同學(xué)排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種B．若五位同學(xué)排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．若甲、乙、丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊，則不同的排法有20種D．若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每個社區(qū)至少一位同學(xué)，則不同的分配方案有36種5．現(xiàn)將9把椅子排成一排，5位同學(xué)隨機(jī)就座，則下列說法中正確的是（

）A．4個空位全都相鄰的坐法有720種B．4個空位中只有3個相鄰的坐法有1800種C．4個空位均不相鄰的坐法有1800種D．4個空位中至多有2個相鄰的坐法有9000種6．現(xiàn)有3位歌手和4名粉絲站成一排，要求任意兩位歌手都不相鄰，則不同的排法種數(shù)可以表示為（

）A． B．C． D．7．為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法正確的是（

）A．某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B．課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法D．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法8．有甲、乙、丙等6名同學(xué)，則說法正確的是（

）A．6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480B．6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，則不同的站法種數(shù)為240C．6名同學(xué)平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個工廠都有人），則有90種不同的安排方法D．6名同學(xué)分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種9．有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說法正確的是（

）A．若五位同學(xué)排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種B．若五位同學(xué)排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．若甲乙丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊，則不同的排法有20種D．若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每個社區(qū)至少一位同學(xué)，則不同的分配方案有72種10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法種數(shù)是（

）A．36 B．72 C．81 D．14411．杭州第19屆亞運(yùn)會火炬9月14日在浙江臺州傳遞，火炬?zhèn)鬟f路線以“和合臺州活力城市”為主題，全長8公里．從和合公園出發(fā)，途經(jīng)臺州市圖書館、文化館、體育中心等地標(biāo)建筑．假設(shè)某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（

）A．288種 B．360種 C．480種 D．504種12．，，，，五名學(xué)生按任意次序站成一排，其中和不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（

）A．72 B．36 C．18 D．6413．某選拔性考試需要考查4個學(xué)科（語文、數(shù)學(xué)、物理、政治），則這4個學(xué)科不同的考試順序中物理考試與數(shù)學(xué)考試不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．14．現(xiàn)有4男3女共7個人排成一排照相，其中三個女生不全相鄰的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．15．黃金分割最早見于古希臘和古埃及.黃金分割又稱黃金率、中外比，即把一條線段分成長短不等的，兩段，使得長線段與原線段的比等于短線段與長線段的比，即，其比值約為0.618339….小王酷愛數(shù)學(xué)，他選了其中的6，1，8，3，3，9這六個數(shù)字組成了手機(jī)開機(jī)密碼，如果兩個3不相鄰，則小王可以設(shè)置的不同密碼個數(shù)為（

）A．180 B．210 C．240 D．360易錯點三：忽視排列數(shù)、組合數(shù)公式的隱含條件（排列組合綜合）1．兩個重要公式(1)排列數(shù)公式．(2)組合數(shù)公式2、要點：一般用于計算，而和一般用于證明、解方程（不等式）.重點：三個重要性質(zhì)和定理組合數(shù)性質(zhì)（1）對稱性：；組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.從個不同的元素中任取個元素后只剩下個元素了，則從個不同的元素中任取個元素與從個不同的元素中任取個元素是等效的.則，故.等式特點：等號兩邊組合數(shù)的下標(biāo)相同，上標(biāo)之和等于下標(biāo).應(yīng)用：①簡化計算，當(dāng)時，通常將計算轉(zhuǎn)化為計算，如②列等式：由，可得或，如，則或故或.；組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.對于某一元素，只存在著取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有種，如果不取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有，根據(jù)分類加法原理：.等式特點：下標(biāo)相同而上標(biāo)相差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與較大的相同的一個組合數(shù).應(yīng)用：恒等變形常見的組合恒等式：，，，.（3）.重點：三個重要性質(zhì)和定理組合數(shù)性質(zhì)（1）對稱性：；組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.從個不同的元素中任取個元素后只剩下個元素了，則從個不同的元素中任取個元素與從個不同的元素中任取個元素是等效的.則，故.等式特點：等號兩邊組合數(shù)的下標(biāo)相同，上標(biāo)之和等于下標(biāo).應(yīng)用：①簡化計算，當(dāng)時，通常將計算轉(zhuǎn)化為計算，如②列等式：由，可得或，如，則或故或.；組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.對于某一元素，只存在著取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有種，如果不取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有，根據(jù)分類加法原理：.等式特點：下標(biāo)相同而上標(biāo)相差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與較大的相同的一個組合數(shù).應(yīng)用：恒等變形常見的組合恒等式：，，，.（3）.易錯提醒：解排列、組合的綜合問題要注意以下幾點（1）元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題．（2）對于有限多個限制條件的復(fù)雜問題，應(yīng)認(rèn)真分析每個限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合的綜合問題的一般方法．例、解不等式.變式1．若，則n的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10變式2．計算＋＋＋＋的值為（

）A． B．C．－1 D．－1變式3．若整數(shù)滿足，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．1或31．可表示為（）A． B．C． D．2．已知，則（

）A．6 B．7 C．8 D．93．！除以2019的余數(shù)為（

）A．1 B．2018 C．2017 D．前三個答案都不對4．甲，乙，丙3位同學(xué)從即將開設(shè)的4門校本課程中任選一門參加，則他們參加的校本課程各不相同的概率為（

）A． B． C． D．5．若，則n等（

）A．8 B．4 C．3或4 D．5或66．若，則正整數(shù)（

）A．7 B．8 C．9 D．107．一條鐵路有n個車站，為適應(yīng)客運(yùn)需要，新增了m個車站，且知，客運(yùn)車票增加了62種，則現(xiàn)在車站的個數(shù)為（

）A．15 B．16 C．17 D．188．不等式的解集為（

）A．{2，8} B．{2，6}C．{7，12} D．{8}9．若，則.10．已知，求x的值．11．解關(guān)于正整數(shù)x的不等式．12．解關(guān)于正整數(shù)n的方程：．13．已知，且.求的值.14．（1）解不等式．（2）若，求正整數(shù)n．15．（1）若，則x=.（2）不等式的解集為.易錯點四：實際問題不清楚導(dǎo)致計算重復(fù)或者遺漏致誤（加法與乘法原理）正難則反問題技巧總結(jié)正難則反排除處理：對于正面不好解決的排列、組合問題，考慮反面(取補(bǔ)集的思想)，一般在題目中有字眼“至多、至少”等體現(xiàn)。正規(guī)方法：限制（定位）問題優(yōu)先處理：某個（幾個）元素要排在指定位置，可先排這個（幾個）元素，再排其它元素，或某個（幾個）位置要求排指定元素，可先排這個（幾個）位置，再排其它位置。（即可從限制元素或限制位置兩方面去考慮。）。秒殺方法：對立事件處理+韋恩圖解釋模型：7個同學(xué)站隊，要求甲同學(xué)不站在排首，乙同學(xué)不站在排尾，求站隊的總方案數(shù).破解：①全部方案：,②其中不合理的方案則種方案.解釋：易錯提醒：排列、組合問題由于其思想方法獨(dú)特，計算量龐大，對結(jié)果的檢驗困難，所以我們在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素原則、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向．同時，解答組合問題必須心思細(xì)膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題．例、有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從這20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法有多少種？變式1：四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面點，不同取法有種。變式2：從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有()A.70種B.80種C.100種D.140種變式3：定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項，其中項為0，項為1,且對任意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)。若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個B.16C.14個D.12個1．高考期間，為保證考生能夠順利進(jìn)入考點，交管部門將5名交警分配到該考點周邊三個不同路口疏導(dǎo)交通，每個路口至少1人，至多2人，則不同的分配方染共有（

）A．60種 B．90種 C．125種 D．150種2．某日，甲、乙、丙三個單位被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗，每家醫(yī)院每日至多接待兩個單位.已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的概率為（

）A． B． C． D．3．將3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，則不同的分法種數(shù)是（

）A． B．120 C．240 D．7204．用數(shù)字3，6，9組成四位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)，且數(shù)字3至多出現(xiàn)一次，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為（

）A．81 B．48 C．36 D．245．從4名優(yōu)秀學(xué)生中選拔參加池州一中數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三學(xué)科培優(yōu)研討會，要求每名學(xué)生至多被一學(xué)科選中，則每學(xué)科至少要選用一名學(xué)生的情況有（

）種A．24 B．36 C．48 D．606．將5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球，至多2個球，則不同的放法種數(shù)有（）A．30種 B．90種 C．180種 D．270種7．哈六中高一學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，現(xiàn)在從中任選人，要求這三人不能是同一個班級的學(xué)生，且在三班至多選人，不同的選取法的種數(shù)為A． B． C． D．8．下列說法正確的是（

）A．4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每人報一項，共有81種報名方法B．4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每項限報一人，且每人至多報一項，共有24種報名方法C．4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項冠軍，共有64種可能的結(jié)果D．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為12個9．如圖，線路從到之間有五個連接點，若連接點斷開，可能導(dǎo)致線路不通，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)之間線路不通，則下列判斷正確的是（

）A．至多三個斷點的有種 B．至多三個斷點的有種C．共有種 D．共有種10．某班有5名同學(xué)報名參加校運(yùn)會的四個比賽項目，計算在下列情況下各有多少種不同的報名方法.（1）每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限；（2）每項限報一人，每項都有人報名，且每人至多參加一項；（3）每人限報一項，人人參加了項目，且每個項目均有人參加.11．已知8件不同的產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)對它們一一進(jìn)行測試，直至找到所有次品．（1）若在第5次測試時找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試方法？（2）若至多測試5次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試方法？12．杭州亞運(yùn)會啟動志愿者招募工作，甲、乙等6人報名參加了A、B、C三個項目的志愿者工作，因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項目，若甲不能參加A、B項目，乙不能參加B、C項目，那么共有種不同的選拔志愿者的方案.（用數(shù)字作答）13．某校在高二年級開設(shè)選修課，其中數(shù)學(xué)選修課開四個班.選課結(jié)束后，有四名同學(xué)要求改修數(shù)學(xué)，但每班至多可再接收2名同學(xué)，那么不同的分配方案有（用數(shù)字作答）14．某單位有A、B、C、D四個科室，為實現(xiàn)減負(fù)增效，每科室抽調(diào)2人，去參加再就業(yè)培訓(xùn)，培訓(xùn)后這8人中有2人返回原單位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，問共有種不同的安排方法？易錯點五：均勻分組與不均勻分組混淆致誤（相同元素與不同元素分配問題）不同元素分組分配問題技巧總結(jié)分組問題與分配問題Ⅰ：將個不同元素按照某些條件分成組，稱為分組問題.分組問題共分為3類：不平均分組、平均分組、部分平均分組.將個不同元素按照某些條件分配給個不同的對象，稱為分配問題.分配問題共分為2類：定額分配、隨機(jī)分配.區(qū)別：分組問題是組與組之間只要元素個數(shù)相同，是不區(qū)分的.而分配問題即使兩組元素個數(shù)相同，但因?qū)ο蟛煌匀皇强蓞^(qū)分的，對于分配問題必須先分組后分配.Ⅱ：分組問題的常見形式及快速處理方法①非均勻不編號分組：個不同元素分成組，每組元素數(shù)目均不相等，且不考慮各組間的順序，不管是否分完，其分法種數(shù)為：如：6個不同的球分為3組，且每組數(shù)目不同，有多少種情況？②均勻不編號分組：將個不同元素分成不編號的組，假定其中組元素個數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號分組的分法種數(shù)）.如果再有組均勻分組，應(yīng)再除以.除的原因為：如：123456平均分成3組，可能是也可能是或者是等，一共有種不同的組別，但這些組都是一樣的，所以除以.如：兩兩一組，分兩組，若直接用種，但列舉出來的分別為、、再往下列舉就已經(jīng)重復(fù)了.如：、、.如：6個不同的球分為3組，且每組數(shù)目相同，有多少種情況？.③非均勻編號分組：將個不同元素分成組，各組元素數(shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號分組的分法種數(shù)）④均勻編號分組：將個不同元素分成組，各組元素數(shù)目均相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號分組的分法種數(shù)）.易錯提醒：均勻分組和部分均勻分組在計數(shù)過程中易出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象，注意計算公式的應(yīng)用．重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以．例、將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個人，每人至少一本的不同分法共有______種．（用數(shù)字作答）變式1：12名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有()種。A.B.3C.D.變式2：將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()A.12種B.10種C.9種D.8種變式3：某校安排5個班到4個工廠進(jìn)行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有種。（用數(shù)字作答）1．第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日在杭州開幕，因工作需要，還需招募少量志愿者．甲、乙等4人報名參加了“蓮花”、“泳鏡”、“玉琮”三個場館的各一個項目的志愿者工作，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項目．若甲不能參加“蓮花”場館的項目，則不同的選擇方案共有（

）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種2．從2個不同的紅球、2個不同的黃球、2個不同的藍(lán)球共六個球中任取2個，放入紅、黃、藍(lán)色的三個袋子中，每個袋子至多放入一個球，且球色與袋色不同，那么不同的放法有（

）A．42種 B．36種 C．72種 D．46種3．陽春三月，草長鶯飛，三個家庭的3位媽媽和1位爸爸帶著3位女寶寶和2位男寶寶共9人踏春.在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進(jìn)，寶寶不排最前面也不排最后面，為了方便照顧孩子，每兩位大人之間至多排2位寶寶，由于男寶寶喜歡打鬧，由這位爸爸照看且排在2位男寶寶之間.則不同的排法種數(shù)為（

）A．216 B．288C．432 D．5124．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有（

）A．20種 B．30種 C．50種 D．60種5．杭州亞運(yùn)會啟動志愿者招募工作，甲?乙等6人報名參加了??三個項目的志愿者工作，因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項目，若甲不能參加?項目，乙不能參加?項目，那么共有（

）種不同的選拔志愿者的方案.A．36 B．40 C．48 D．526．現(xiàn)有甲?乙?丙3位同學(xué)在周一至周五參加某項公益勞動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲同學(xué)安排在另外兩位前面，則不同的安排總數(shù)為（

）A．10 B．20 C．40 D．607．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（）A．20種 B．30種 C．40種 D．60種8．甲、乙、丙3位教師安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，則恰好甲安排在另外兩位教師前面值班的概率是A． B． C． D．9．從2個不同的紅球，2個不同的黃球，2個不同的藍(lán)球共6個球中任取2個，放入紅、黃、藍(lán)色的三個袋子中，每個袋子至多放入1個球，且球色與袋色不同，則不同的放法有種．10．將2枚白棋和2枚黑棋放入一個的棋盤中，使得棋盤的每個方格內(nèi)至多放入一枚棋子，且相同顏色的棋子既不在同一行，也不在同一列，如果我們只區(qū)分顏色而不區(qū)分同種顏色的棋子，則不同放法的種數(shù)為．11．現(xiàn)有紅、黃、白三種顏色的小球（形狀、大小完全相同）5個，每種顏色至多2個小球，若將這5個小球排成一排，要求中間位置不放白球，且同種顏色的小球不相鄰，則共有種排法．12．把座位編號為1，2，3，4，5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為(用數(shù)字作答)．13．全運(yùn)會啟動志愿者招募工作，甲、乙等6人報名參加、、三個項目的志愿者工作．因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加1個項目，若甲不能參加、項目，乙不能參加、項目，那么共有多少種不同的選拔志愿者的方案？14．某電影院一排有10個座位，現(xiàn)有4名觀眾就座.（1）若4名觀眾必須相鄰，則不同的坐法有多少種？（2）若4名觀眾中恰有兩人相鄰，則不同的坐法有多少種？（3）若4名觀眾兩兩不相鄰，且要求每人左右兩邊至多只有2個空位，則不同的坐法有多少種？15．將四個編號為1,2,3,4的小球放入四個編號為1,2,3,4的盒子中.(1)有多少種放法?(2)若每盒至多一球,則有多少種放法?(3)若恰好有一個空盒,則有多少種放法?(4)若每個盒內(nèi)放一個球,并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同,則有多少種放法?易錯點六：由于重復(fù)計數(shù)致錯（可重復(fù)與限制問題）可重復(fù)問題總原則：可重復(fù)問題方冪處理(乘法原理）Ⅰ：解決排列組合綜合問題的一般過程（1）認(rèn)真審題，確定要做什么事；（2）確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進(jìn)行，弄清楚分多少類及多少步；（3）確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個元素；（4）解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．Ⅱ：數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論．Ⅲ：定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．易錯提醒：解排列組合的應(yīng)用題，要注意：由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗證，因此在檢查結(jié)果時，應(yīng)著重檢查所設(shè)計的解決問題的方案是否完備，有無重復(fù)或遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看是否相同．在對排列組合問題分類時，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)．例、從1，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到的不同值的個數(shù)是（）A．9 B．10 C．18 D．20變式1.有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為()A.B.C.D.變式2.4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為()A.B.C.D.變式3.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，下圖就是一重卦，在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有個陽爻的概率是()A.B.C.D.1．2023年6月25日19時，隨著最后一場比賽終場哨聲響起，歷時17天的．2023年涼山州首屆“火洛杯”禁毒防艾男子籃球聯(lián)賽決賽冠軍爭奪賽在涼山民族體育館內(nèi)圓滿閉幕，為進(jìn)一步展現(xiàn)涼山男兒的精神風(fēng)貌主辦方設(shè)置一場扣籃表演，分別由西昌市、冕寧縣、布拖縣、昭覺縣4個代表隊每隊各派1名球員參加扣籃表演，則西昌代表隊隊員扣籃表演不在第一位且不在最后一位的概率為（

）A． B． C． D．2．“繽紛藝術(shù)節(jié)”是西大附中的一個特色，學(xué)生們可以盡情地發(fā)揮自己的才能，某班的五個節(jié)目（甲?乙?丙?丁?戊）進(jìn)入了初試環(huán)節(jié)，現(xiàn)對這五個節(jié)目的出場順序進(jìn)行排序，其中甲不能第一個出場，乙不能第三個出場，則一共有（

）種不同的出場順序.A．72 B．78 C．96 D．1203．將甲、乙、丙、丁四名志愿者隨機(jī)分配到A，B，C，D四個社區(qū)做環(huán)保宣傳，每個志愿者只能去其中一個社區(qū)且每個社區(qū)只能安排一名志愿者，則甲不被分到A社區(qū)的概率是（

）A． B． C． D．4．某班準(zhǔn)備利用班會的時間舉行一場小型的文娛活動，準(zhǔn)備表演3個歌唱類節(jié)目和2個語言類節(jié)目，現(xiàn)要排出一個節(jié)目單，若前2個節(jié)目中必須要有語言類節(jié)目，則不同的排法有種．5．某醫(yī)院選派甲、乙等4名醫(yī)生到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)義診，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少有一人，每名醫(yī)生只能去一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，且甲、乙不在同一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的選派方法有種．6．首個全國生態(tài)主場日活動于2023.8.15在浙江湖州舉行，推動能耗雙控轉(zhuǎn)向碳排放雙控．有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6項議程在該天舉行，每個議程有半天會期．現(xiàn)在有甲、乙、丙三個會議廳可以利用，每個會議廳每半天只能容納一個議程．若要求A，B兩議程不能同時在上午舉行，而C議程只能在下午舉行，則不同的安排方案一共有種．（用數(shù)字作答）7．填空：（1）甲、乙、丙3名同學(xué)選修興趣課程，從5門課程中，甲選修2門，乙選修4門，丙選修3門，則不同的選修方案共有種．（2）H城市某段時間內(nèi)發(fā)放的汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數(shù)字組成，其中4個數(shù)字互不相同，這樣的牌照號碼共有種．（3）4名教師分配到3所學(xué)校任教，每所學(xué)校至少1名教師，則不同的分配方案共有種．（4）五人并排站成一排，甲、乙必須相鄰且甲在乙的左邊，則不同的站法共有種．（5）要排出某班一天中語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育和藝術(shù)6門課各一節(jié)的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語課不排在第6節(jié)，則不同的排法共有種．8．某公司為員工制訂了一項旅游計劃，從7個旅游城市中選擇5個進(jìn)行游覽，如果M，N為必選城市，并且在游覽過程中必須按先M后N的次序，則不同的游覽線路有多少種？9．用可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？其中能被5整除的五位數(shù)有多少個？10．某單位安排7位工作人員在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日，共有多少種不同的安排方法？

專題15排列組合易錯點一：相鄰與不相鄰問題處理方法不當(dāng)致誤（相鄰問題）相鄰問題技巧總結(jié)相鄰問題1、思路：對于相鄰問題，一般采用“捆綁法”解決，即將相鄰的元素看做是一個整體，在于其他元素放在一起考慮.如果設(shè)計到順序，則還應(yīng)考慮相鄰元素的順序問題，再與其他元素放在一起進(jìn)行計算.2、解題步驟：第一步：把相鄰元素看作一個整體（捆綁法），求出排列種數(shù)第二步：求出其余元素的排列種數(shù)第三步：求出總的排列種數(shù)易錯提醒：排列組合實際問題主要有相鄰問題和不相鄰問題。（1）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）；（2）不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）；例、現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相鄰的排法有（）A．種B．種C．種D．種易錯分析：本題易出現(xiàn)的錯誤是把“甲、乙、丙3人不能相鄰”理解為“甲、乙、丙3人互不相鄰”的情況，使結(jié)果中遺漏甲、乙、丙3人中有兩人相鄰的情況．正解：在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙3人不相鄰的方法數(shù)，即，故選B．易錯警示：處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法”，即把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個元素，然后與其余元素全排列，最后“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列．處理不相鄰問題的基本方法是“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后把有限制條件的元素變式1：加工某種產(chǎn)品需要5道工序，分別為A，B，C，D，E，其中工序A，B必須相鄰，工序C，D不能相鄰，那么有（

）種加工方法．A．24 B．32 C．48 D．64解：工序A，B必須相鄰，可看作一個整體，工序C，D不能相鄰，所以先對AB，E工序進(jìn)行排序，有種方法，AB內(nèi)部排序，有種方法，排好之后有三個空可以把工序C，D插入，共種情況，所以一共有種可能性故選：A變式2：中國航天工業(yè)迅速發(fā)展，取得了輝煌的成就，使我國躋身世界航天大國的行列.

中國的目標(biāo)是到2030年成為主要的太空大國.它通過訪問月球，發(fā)射火星探測器以及建造自己的空間站，擴(kuò)大了太空計劃.在航天員進(jìn)行的一項太空實驗中，要先后實施個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實施時必須相鄰，請問實驗順序的編排方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種解：首先將程序B和C捆綁在一起，再和除程序A之外的3個程序進(jìn)行全排列，最后將程序A排在第一步或最后一步，根據(jù)分步計數(shù)原理可得種.故選：C變式3：為推動黨史學(xué)習(xí)教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團(tuán)日這五種活動分5個階段安排，以推動黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會、主題團(tuán)日這兩個階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（

）A．10種 B．12種 C．16種 D．24種解：如果中心組學(xué)習(xí)在第一階段，主題班會、主題團(tuán)日在第二、三階段，則其它活動有2種方法；主題班會、主題團(tuán)日在第三、四階段，則其它活動有1種方法；主題班會、主題團(tuán)日在第四、五階段，則其它活動有1種方法，則此時共有種方法；如果中心組學(xué)習(xí)在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個階段有種方法.綜合得不同的安排方案共有10種.故選:A1．2023年杭州亞運(yùn)會期間，甲、乙、丙3名運(yùn)動員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（

）A．1120 B．7200 C．8640 D．14400【答案】B【分析】相鄰問題用捆綁法看成一個整體，丙不排在兩端可先排好其他人后再排丙.【詳解】甲與乙相鄰有種不同的排法，將甲與乙看作是一個整體，與除丙外的5人排好，有種不同的排法，再將丙排入隔開的不在兩端的5個空中，有種不同的排法，所以共有種不同的排法．故選：B.2．六名同學(xué)暑期相約去都江堰采風(fēng)觀景，結(jié)束后六名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（

）A．48種 B．72種 C．120種 D．144種【答案】D【分析】甲和乙相鄰利用捆綁法，丙和丁不相鄰用插空法，即先捆甲和乙，再與丙和丁外的兩人共“3人”排列，再插空排丙和丁.【詳解】甲和乙相鄰，捆綁在一起有種，再與丙和丁外的兩人排列有種，再排丙和丁有種，故共有種排法.故選：D.3．把二項式的所有展開項重新排列，記有理項都相鄰的概率為，有理項兩兩不相鄰的概率為，則（

）A．5 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)二項式的展開公式可得有5項有理項，4項無理項，從而可得、的值，再代入求解即可得答案.【詳解】解：，其中，，當(dāng)時為有理項，故有5項有理項，4項無理項，故，，故.故選:A．4．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，滿足A，B相鄰，C，D不相鄰的不同站法的種數(shù)為（

）A．48 B．96 C．144 D．288【答案】C【分析】根據(jù)相鄰捆綁法和不相鄰問題插空法即可由排列數(shù)計算求解.【詳解】由于A，B相鄰，所以先將A,B看作一個整體捆綁起來與E,F進(jìn)行全排列，然后將C，D插入到已排好隊的兩兩之間以及首尾的空隙中即可，故共有,故選：C5．2023年5月21日，中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國隊，實現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種【答案】C【分析】分別計算丙站在左端時和丙不站在左端時的情況，即可得到答案.【詳解】當(dāng)丙站在左端時，甲、丙必須相鄰，其余人全排列，有種站法；當(dāng)丙不站在左端時，從丁、戊兩人選一人站左邊，再將甲、丙捆綁，與余下的兩人全排，有種站法，所以一共有種不同的站法．故選：C6．為配合垃圾分類在學(xué)校的全面展開，某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識比賽活動.高一?高二?高三年級分別有1名?2名?3名同學(xué)獲一等獎.若將上述獲一等獎的6名同學(xué)排成一排合影，要求同年級同學(xué)排在一起，則不同的排法共有（

）A．18種 B．36種 C．72種 D．144種【答案】C【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁法即可由全排列求解.【詳解】由題意可得，故選:C7．甲、乙兩個家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中甲家庭有2個大人和2個小孩，乙家庭有2個大人和3個小孩，他們9人在景區(qū)門口站成一排照相，要求每個家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的種數(shù)為（

）A．144 B．864 C．1728 D．2880【答案】C【分析】利用捆綁以及插空法求得正確答案.【詳解】甲家庭的站法有種，乙家庭的站法有種，最后將兩個家庭的整體全排列，有種站法，則所有不同站法的種數(shù)為．故選：C8．某駕校6名學(xué)員站成一排拍照留念，要求學(xué)員A和B不相鄰，則不同的排法共有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種【答案】D【分析】正難則反，首先我們可以求出6名學(xué)員隨機(jī)站成一排的全排列數(shù)即，然后求學(xué)員A和B相鄰的排列數(shù)，兩數(shù)相減即可.【詳解】一方面：若要求學(xué)員A和B相鄰，則可以將學(xué)員A和B捆綁作為一個“元素”，此時一共有個元素，但注意到學(xué)員A和B可以互換位置，所以學(xué)員A和B相鄰一共有種排法.另一方面：6名學(xué)員隨機(jī)站成一排的全排列數(shù)為種排法.結(jié)合以上兩方面：學(xué)員A和B不相鄰的不同的排法共有種排法.故選：D.9．某高鐵動車檢修基地庫房內(nèi)有共5條并行的停車軌道線，每條軌道線只能停一列車，現(xiàn)有動車、高鐵共五列車入庫檢修，若已知兩列動車安排在相鄰軌道，則動車停放在道的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件概型以及排列數(shù)的計算求得正確答案.【詳解】記“兩動車相鄰”，“動車停在道”，則.故選：C10．班長邀請四位同學(xué)參加圓桌會議．如圖，班長坐在⑤號座位，四位同學(xué)隨機(jī)坐在①②③④四個座位，則兩位同學(xué)座位相鄰的概率是（）

A． B．C． D．【答案】A【分析】先計算出四位同學(xué)參加圓桌會議的情況數(shù)，再計算出兩位同學(xué)座位相鄰的情況，從而計算出概率.【詳解】四位同學(xué)參加圓桌會議，共有種情況，其中兩位同學(xué)可坐在①②，②③，③④三個位置，并可進(jìn)行互換位置，有種情況，兩位同學(xué)坐在其余兩個位置，且可互換，有種情況，故兩位同學(xué)座位相鄰的情況有種情況，所以兩位同學(xué)座位相鄰的概率為.故選：A11．將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有（

）A．4種 B．8種 C．12種 D．48種【答案】B【分析】根據(jù)分步乘法原理結(jié)合排列數(shù)求解即可.【詳解】先讓甲站好中間位置，再讓2名女生相鄰有兩種選法，最后再排剩余的2名男生，根據(jù)分步乘法原理得，有種不同的排法.故選：B12．5名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須排在一起的不同排法有（

）A．70種 B．72種 C．36種 D．12種【答案】C【分析】相鄰問題用捆綁法即可得解.【詳解】甲、乙、丙先排好后視為一個整體與其他2個同學(xué)進(jìn)行排列，則共有種排法.故選：C13．現(xiàn)有2名男生和3名女生，在下列不同條件下進(jìn)行排列，則（

）A．排成前后兩排，前排3人后排2人的排法共有120種B．全體排成一排，女生必須站在一起的排法共有36種C．全體排成一排，男生互不相鄰的排法共有72種D．全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾的排法共有72種【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，利用排列數(shù)公式，以及捆綁法、插空法，以及分類討論，結(jié)合分類計數(shù)原理，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意知，現(xiàn)有2名男生和3名女生，對于A中，排成前后兩排，前排3人后排2人，則有種排法，所以A正確；對于B中，全體排成一排，女生必須站在一起，則有種排法，所以B正確；對于C中，全體排成一排，男生互不相鄰，則有種排法，所以C正確；對于D中，全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾可分為兩類：（1）當(dāng)甲站在中間的三個位置中的一個位置時，有種排法，此時乙有種排法，共有種排法；（2）當(dāng)甲站在排尾時，甲只有一種排法，此時乙有種排法，共有種排法，綜上可得，共有種不同的排法，所以D錯誤.故選：ABC.14．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（

）A．若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種B．若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種D．如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種【答案】BD【分析】A選項，定序問題采用倍縮法進(jìn)行求解；B選項，采用插空法進(jìn)行求解；C選項，分兩種情況，若最左端排乙，最左端不排乙，分別求出兩種情況下的排法，相加即可；D選項，使用捆綁法進(jìn)行求解；【詳解】對于A，甲乙丙按從左到右的順序排列的排列有種情況，故A錯誤；對于B，先安排丙，丁，戊三人，有種情況，再將甲乙兩人插空，則有種情況，故甲乙不相鄰的排法種數(shù)為種情況，故B正確；對于C，若最左端排乙，此時其余四人可進(jìn)行全排列，故有種；若最左端不排乙，則最左端只能從丙，丁，戊選出1人，又乙不能在最右端，則有種情況，則共有種站法，故C錯誤；對于D，將甲與乙捆綁，看做一個整體且固定順序，再與其他三人站成一排，故有種，故D正確；故選：BD15．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排進(jìn)行列隊訓(xùn)練，則（

）A．甲乙不相鄰的不同排法有48種B．甲乙中間恰排一個人的不同排法有36種C．甲乙不排在兩端的不同排法有36種D．甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有20種【答案】BCD【分析】根據(jù)排列和組合的定義、結(jié)合捆綁法逐一判斷即可.【詳解】A：甲乙不相鄰的不同排法有種，所以本選項不正確；B：甲乙中間恰排一個人的不同排法有種，所以本選項正確；C：甲乙不排在兩端的不同排法有種，所以本選項正確；D：甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有種，所以本選項正確.故選：BCD16．某學(xué)校舉行校園歌手大賽，共有4名男生，3名女生參加，組委會對他們的出場順序進(jìn)行安排，則下列說法正確的是（

）A．若3個女生不相鄰，則有144種不同的出場順序B．若女生甲在女生乙的前面，則有2520種不同的出場順序C．若4位男生相鄰，則有576種不同的出場順序D．若學(xué)生的節(jié)目順序已確定，再增加兩個教師節(jié)目，共有72種不同的出場順序【答案】BCD【分析】選項A采用“插空法”，先排4名男生，形成5個空檔，將3名女生插入其中，由此可得；選項B由女生甲在女生乙的前面與女生甲在女生乙的后面各占一半，結(jié)合4男3女的全排列求解即可；選項C先將4位男生捆綁作為一個整體進(jìn)行全排列，然后3位女生和這個整體全排列可得；選項D采用“插空法”，分兩次插入老師節(jié)目即可.【詳解】若3個女生不相鄰，則有種不同的出場順序，A錯誤；若女生甲在女生乙的前面，則有種不同的出場順序，B正確；若4位男生相鄰，則有種不同的出場順序，C正確；若學(xué)生的節(jié)目順序確定，再增加兩個教師節(jié)目，可分為兩步，第一步，原7個學(xué)生節(jié)目形成8個空，插入1個教師節(jié)目，有8種情況；第二步，原7個學(xué)生節(jié)目和剛插入的1個教師節(jié)目形成9個空，再插入1個教師節(jié)目，有9種情況，所以這兩位教師共有種不同的出場順序，D正確.故選：BCD.17．某校高二年級安排甲?乙?丙三名同學(xué)到A，B，C，D，E五個社區(qū)進(jìn)行暑期社會實踐活動，每名同學(xué)只能選擇一個社區(qū)進(jìn)行實踐活動，且多名同學(xué)可以選擇同一個社區(qū)進(jìn)行實踐活動，則下列說法正確的有（

）A．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種B．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有50種C．如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種D．如果甲?乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種【答案】AC【分析】對于A，根據(jù)社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，由甲?乙?丙三名同學(xué)都有5種選擇減去有4種選擇求解；對于B，根據(jù)同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，有乙丙都有5種選擇求解；對于C，根據(jù)三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同求解；對于D，由甲?乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，捆綁再選擇求解；【詳解】對于A，如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有（種），故A正確；對于B，如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有（種），故B錯誤；對于C，如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有（種），故C正確；對于D，甲?乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，第一步，將甲?乙視作一個整體，第二步，兩個整體挑選社區(qū)，則不同的安排方法共有（種），故D錯誤.故選：AC.18．在樹人中學(xué)舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎.現(xiàn)將獲得一等獎的學(xué)生排成一排合影，則（

）A．3名男生排在一起，有6種不同排法 B．2名女生排在一起，有48種不同排法C．3名男生均不相鄰，有12種不同排法 D．女生不站在兩端，有108種不同排法【答案】BC【分析】利用捆綁法可判斷A、B；利用插空法可判斷C；利用分步計數(shù)法可判斷D.【詳解】解：由題意得：對于選項A：3名男生排在一起，先讓3個男生全排后再作為一個整體和2個女生做一個全排，共有種，A錯誤；對于選項B：2名女生排在一起，先讓2個女生全排后再作為一個整體和3個男生做一個全排，共有種，B正確；對于選項C：3名男生均不相鄰，先讓3個男生全排后，中間留出兩個空位讓女生進(jìn)行插空，共有種，C正確；對于選項D：女生不站在兩端，先從三個男生種選出兩個進(jìn)行全排后放在兩端，共有種，然后將剩下的3人進(jìn)行全排后放中間，共有種，D錯誤.故選：BC19．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（

）A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有40種【答案】ABC【分析】A選項，使用捆綁法進(jìn)行求解；B選項，分兩種情況，最左端排甲和最左端排乙，分別求出兩種情況下的排法，相加即可；C選項，采用插空法進(jìn)行求解；D選項，定序問題采用倍縮法進(jìn)行求解.【詳解】A選項，將甲與乙捆綁，看做一個整體，與其他三人站成一排，故有種，A正確；B選項，若最左端排甲，此時其余四人可進(jìn)行全排列，故有種，若最左端排乙，則最右端只能從丙，丁，戊選出1人，其余三人與三個位置進(jìn)行全排列，故有種選擇，綜上：最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有種，B正確；C選項，先安排丙，丁，戊三人，有種情況，再將甲乙兩人插空，則有種情況，故甲乙不相鄰的排法種數(shù)為種情況，C正確；D選項，甲乙丙按從左到右的順序排列的排列有種情況，D錯誤.故選：ABC20．(多選)把5件不同產(chǎn)品A，B，C，D，E擺成一排，則（

）A．A與B相鄰有48種擺法B．A與C相鄰有48種擺法C．A，B相鄰又A，C相鄰，有12種擺法D．A與B相鄰，且A與C不相鄰有24種擺法【答案】ABC【分析】逐個分析每個選項正確與否即可【詳解】對于A選項：產(chǎn)品A與B相鄰，把作為一個元素有種方法，而A，B可交換位置，所以有種擺法.故A選項符合題意.對于B選項：同A選項一樣分析可知產(chǎn)品A與C相鄰也有48種擺法.故B選項符合題意.對于C選項:當(dāng)相鄰又滿足相鄰，首先將產(chǎn)品捆綁起來作為一個元素并把產(chǎn)品放在產(chǎn)品與之間，注意到產(chǎn)品與可互換位置，所以首先排列有種擺法，把組成的整體作為一個元素和剩下的兩個元素進(jìn)行排列，又有種擺法，所以A，B相鄰又A，C相鄰，有種擺法.故C選項符合題意.對于D選項：由A選項可知A與B相鄰有48種擺法，由C選項可知A，B相鄰又A，C相鄰有12種擺法，因此A與B相鄰，且A與C不相鄰有種擺法.故D選項不符合題意.故選：ABC.21．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念．要求老師必須站在正中間，且甲同學(xué)不與老師相鄰，則不同的站法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)排列組合，結(jié)合相鄰問題，即可求解.【詳解】（方法1：間接法）：四名同學(xué)全排再去掉甲與老師相鄰的情況為．（方法2：直接法）：特殊元素優(yōu)先安排，先讓老師站在正中間，甲同學(xué)從兩端中任選一個位置，有種站法，其余三名學(xué)生任意排列有種排法，則不同站法共有N＝N1×N2＝2×6＝12（種）．或者，四名同學(xué)全排時，甲同學(xué)與老師相鄰與甲同學(xué)與老師不相鄰各占，故有．故選:BCD．易錯點二：“捆綁法”中忽略了“內(nèi)部排列”或“整體列”（不相鄰問題）不相鄰問題技巧總結(jié)1.思路：對于不相鄰問題一般采用“插空法”解決，即先將無要求的元素進(jìn)行全排列，然后將要求不相鄰的元素插入到已排列的元素之間，最后進(jìn)行計算即可2.解題步驟：①先考慮不受限制的元素的排列種數(shù)②再將不相鄰的元素插入到已排列元素的空當(dāng)種（插空法），求出排列種數(shù)③求出總的排列種數(shù)易錯提醒：處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法”，即把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個元素，然后與其余元素全排列，最后“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列．處理不相鄰問題的基本方法是“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后把有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間．但應(yīng)該注意插入的元素之間如果也有順序，應(yīng)先進(jìn)行排列．例、有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法的總數(shù)．（1）全體排成一行，其中男、女生各站在一起；（2）全體排成一行，其中男生必須排在一起．錯解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一個整體，分別全排列，所以共有種排法；（2）將男生看成一個整體，與女生進(jìn)行全排列即可，所以共有種排法．錯因分析：解決此類問題時將“在一起”的進(jìn)行“捆綁”，與其他元素進(jìn)行排列即可．錯解中（1）忽略了將男女生所看成的兩個整體進(jìn)行排列，即忽略了“整體排列”；（2）忽略了將男生進(jìn)行排列，即忽略了“內(nèi)部排列”．正解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一個整體，分別全排列，最后兩個整體全排列①，所以共有種排法；（2）將男生看成一個整體，先進(jìn)行內(nèi)部排列，再與女生進(jìn)行全排列即可②，所以共有種排法．變式1：為推動黨史學(xué)習(xí)教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團(tuán)日這五種活動分5個階段安排，以推動黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會、主題團(tuán)日這兩個階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（

）A．10種 B．12種 C．16種 D．24種解：如果中心組學(xué)習(xí)在第一階段，主題班會、主題團(tuán)日在第二、三階段，則其它活動有2種方法；主題班會、主題團(tuán)日在第三、四階段，則其它活動有1種方法；主題班會、主題團(tuán)日在第四、五階段，則其它活動有1種方法，則此時共有種方法；如果中心組學(xué)習(xí)在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個階段有種方法.綜合得不同的安排方案共有10種.故選:A變式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．解：甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行有種方法，甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起，再與戊進(jìn)行排列，然后丙、丁從3個空中選2個空插入，則共有種方法，所以甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為，故選：A變式3：某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排，則舞臺站位時男女間隔的不同排法共有（

）A．12種 B．24種 C．72種 D．120種解：先排列2名男生共有種排法，再將3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有種排法，所以舞臺站位時男女間隔的不同排法共有種排法，故選：A.1．4名男生和3名女生排隊（排成一排）照相，下列說法正確的是（

）A．若女生必須站在一起，那么一共有種排法B．若女生互不相鄰，那么一共有種排法C．若甲不站最中間，那么一共有種排法D．若甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有種排法【答案】AC【分析】分別利用捆綁法、插空法、優(yōu)先安排特殊元素法、間接法依次求解.【詳解】選項,利用捆綁法，將3名女生看成一個整體，其排列方式有種，加上4名男生一共有5個個體，則有種排列方式，則由乘法原理可知一共有種排法，故正確；選項,利用插空法，4名男生排成一排形成5個空，其排列方式有種，再將3名女生插入空中，有種排列方式，則由乘法原理可知一共有種排法，故不正確；選項,利用優(yōu)先安排特殊元素法，甲不站最中間,甲先從除中間之外的6個位置選一個，其選擇方式有種，再將剩余的6人全排列，有種排列方式，則由乘法原理可知一共有種排法，故正確；選項,利用間接法，3人站成一排共有種排法，若甲站最左邊有種排法，乙站最右邊有種排法，甲站最左邊且乙站最右邊有種排法，所以甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有種排法，故不正確；故選：AC.2．某校文藝匯演共6個節(jié)目，其中歌唱類節(jié)目3個，舞蹈類節(jié)目2個，語言類節(jié)目1個，則下列說法正確的是（

）A．若以歌唱類節(jié)目開場，則有360種不同的出場順序B．若舞蹈類節(jié)目相鄰，則有120種出場順序C．若舞蹈類節(jié)目不相鄰，則有240種不同的出場順序D．從中挑選2個不同類型的節(jié)目參加市藝術(shù)節(jié)，則有11種不同的選法【答案】AD【分析】根據(jù)全排列、捆綁法、插空法，結(jié)合分步與分類計數(shù)原理依次分析選項，即可判斷.【詳解】A：從3個歌唱節(jié)目選1個作為開場，有種方法，后面的5個節(jié)目全排列，所以符合題意的方法共有種，故A正確；B：將2個舞蹈節(jié)目捆綁在一起，有種方法，再與其余4個節(jié)目全排列，所以符合題意的方法共有，故B錯誤；C：除了2個舞蹈節(jié)目以外的4個節(jié)目全排列，有種，再由4個節(jié)目組成的5個空插入2個舞蹈節(jié)目，所以符合題意的方法有種，故C錯誤；D：符合題意的情況可能是1個歌唱1個舞蹈、1個歌唱1個語言、1個舞蹈1個語言，所以不同的選法共種，故D正確.故選：AD.3．現(xiàn)將把椅子排成一排，位同學(xué)隨機(jī)就座，則下列說法中正確的是（

）A．個空位全都相鄰的坐法有種B．個空位中只有個相鄰的坐法有種C．個空位均不相鄰的坐法有種D．4個空位中至多有個相鄰的坐法有種【答案】AC【分析】對于A，用捆綁法即可；對于B，先用捆綁法再用插空法即可；對于C，用插空法即可；對于D，用插空法的同時注意分類即可.【詳解】對于A，將四個空位當(dāng)成一個整體，全部的坐法：種，故A對；對于B，先排4個學(xué)生，然后將三個相鄰的空位當(dāng)成一個整體，和另一個空位插入5個學(xué)生中有種方法，所以一共有種，故B錯；對于C，先排4個學(xué)生，4個空位是一樣的，然后將4個空位插入4個學(xué)生形成的個空位中有種，所以一共有，故C對；對于D，至多有2個相鄰即都不相鄰或者有兩個相鄰，由C可知都不相鄰的有120種，空位兩個兩個相鄰的有：，空位只有兩個相鄰的有，所以一共有種，故D錯；故選：AC.4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說法正確的是（

）．A．若五位同學(xué)排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種B．若五位同學(xué)排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．若甲、乙、丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊，則不同的排法有20種D．若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每個社區(qū)至少一位同學(xué)，則不同的分配方案有36種【答案】BCD【分析】根據(jù)相關(guān)的計數(shù)原理逐項分析.【詳解】對于A，將甲乙捆綁有種方法，若戊在丙丁之間有排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有種方法；若丙丁相鄰，戊在左右兩邊有種排法，但甲乙必須插在丙丁之間，一共有種排法，所以總的排法有，故A錯誤；對于B，若甲在最左端，有種排法，若乙在最左端，先排甲有種排法，再排剩下的3人有，所以總共有種排法，正確；對于C，先將甲乙丙按照從左至右排好，采用插空法，先插丁有種，再插戊有種，總共有種，正確；對于D，先分組，將甲乙丙丁分成3組有種分法，再將分好的3組安排在3個社區(qū)有種方法，共有種方法，正確；故選：BCD.5．現(xiàn)將9把椅子排成一排，5位同學(xué)隨機(jī)就座，則下列說法中正確的是（

）A．4個空位全都相鄰的坐法有720種B．4個空位中只有3個相鄰的坐法有1800種C．4個空位均不相鄰的坐法有1800種D．4個空位中至多有2個相鄰的坐法有9000種【答案】AC【分析】對于A，用捆綁法即可;對于B，先用捆綁法再用插空法即可；對于C，用插空法即可；對于D，用插空法的同時注意分類即可.【詳解】對于A,將四個空位當(dāng)成一個整體，全部的坐法：，故A對；對于B，先排5個學(xué)生，然后將三個相鄰的空位當(dāng)成一個整體，和另一個空位插入5個學(xué)生中有中方法，所以一共有種，故B錯；對于C，先排5個學(xué)生，4個空位是一樣的，然后將4個空位插入5個學(xué)生中有種，所以一共有，故C對；對于D，至多有2個相鄰即都不相鄰或者有兩個相鄰，由C可知都不相鄰的有1800種，空位兩個兩個相鄰的有：，空位只有兩個相鄰的有，所以一共有種，故D錯；故選：AC6．現(xiàn)有3位歌手和4名粉絲站成一排，要求任意兩位歌手都不相鄰，則不同的排法種數(shù)可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】第一種排法：先排4名粉絲，然后利用插空法將歌手排好；第二種排法：先計算3位歌手和2位歌手站一起的排法，然后利用總排法去掉前面兩種不滿足題意的排法即可【詳解】第一種排法：分2步進(jìn)行：①將4名粉絲站成一排，有種排法；②4人排好后，有5個空位可選，在其中任選3個，安排三名歌手，有種情況．則有種排法，第二種排法：先計算3位歌手站一起，此時3位歌手看做一個整體，有種排法，再計算恰好有2位歌手站一起，此時2位歌手看做一個整體，與另外一個歌手不相鄰，有種排法，則歌手不相鄰有種排法．故選：CD7．為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法正確的是（

）A．某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B．課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法D．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件利用組合知識可以判斷A正確；不相鄰問題利用插空法可以判斷B錯誤；相鄰問題利用捆綁法可以判斷C正確；利用特殊位置法可以判斷D正確.【詳解】對于A，從六門課程中選兩門的不同選法有種，A正確；對于B，先排“禮”、“御”、“書”、“數(shù)”，再用插空法排“樂”“射”，不同排法共有種，B錯誤；對于C，“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，可將“御”“書”“數(shù)”視為一個元素，不同排法共有種，C正確；對于D，從中間四周中任取一周排“禮”，再排其它五門體驗課程共有種，D正確.故選：ACD.8．有甲、乙、丙等6名同學(xué)，則說