2022-2023學年八年級數(shù)學上學期復習集訓：一元二次方程之五大易錯類型（原卷版+解析）

專題06易錯易混集訓：一元二次方程之五大易錯類型

?。贺巍究键c導航】

目錄

【典型例題】...........................................................................1

【易錯類型一利用方程的定義求待定系數(shù)時忽略“aWO”】.....................................1

【易錯類型二利用方程的解求待定系數(shù)時忽略，力0”】.......................................2

【易錯類型三利用判別式求字母的值或取值范圍時忽略“aWO”】...............................3

【易錯類型四利用根與系數(shù)關系求值時忽略“△=（）”]........................................4

【易錯類型五與幾何圖形結合時取舍不當或考慮不全】........................................5

【典型例題】

【易錯類型一利用方程的定義求待定系數(shù)時忽略“aWO”

例題：（2023春?山東泰安?八年級?？茧A段練習）關于x的方程（m-1）無族+、2〃a-3=0是一元二次方程，則

m的值是（）

A.0B.-1C.1D.±1

【變式訓練】

1.（2022秋?海南省直轄縣級單位?九年級?？茧A段練習）方程（切-2）/+3〃-4=0是關于x的一元二次方

程，則（）

A.m=±2B.m=2C.m=—2D.m±2

2.（2022秋?四川達州?九年級?？计谀┤絷P于x的方程（加+2）/-2+6彳-9=0是一元二次方程.則加的值

為（）

A.m^—2B.m=±2C.m=—2D.m=2

3.（2022秋?新疆烏魯木齊?九年級?？计谀┤魳瞬粏?2x-l=0是關于尤的一元二次方程，則m的值

是.

4.（2022秋?新疆烏魯木齊?九年級烏魯木齊市第九中學?？计谀┮阎匠蹋ǒ?2時物-*-9=0,當〃』

時，是關于X的一元二次方程.

5.（2023秋?湖南湘西九年級統(tǒng)考期末）已知：（W-1），刊+6x-l=0是關于x的一元二次方程，則

m=

【易錯類型二利用方程的解求待定系數(shù)時忽略

例題：（2023?全國?九年級假期作業(yè)）關于x的一元二次方程（利-1）尤?+2x+|川-1=0,常數(shù)項為0,則加的

值等于（）

A.1B.—1C.1或一1D.0

【變式訓練】

1.（2023?山東泰安?新泰市實驗中學?？家荒＃╆P于x的一元二次方程（a-l）%2-尤+/-1=0的一個根為0,

則實數(shù)。的值是（）

A.1B.—1C.0D.±1

2.（2023春?浙江?八年級期中）若關于x的一元二次方程（。-1）￡+*-4+1=0有一個根為0,則。的值等

于（）

A.-1B.0C.1D.1或者-1

3.（2023春?北京東城?八年級北京市第一六六中學?？计谥校┤絷P于x的一元二次方程

（〃z+2）尤2+4》+（〃，_4）=0有一個根為0,則實數(shù)機的值為（）

A.2B.-2C.-2或2D.-1或0

1.（2023秋?遼寧丹東?九年級統(tǒng)考期末）若關于x的一元二次方程（加-2）尤?+3x+療-4=0有一個根為0,

則加=.

4.（2023?全國?九年級假期作業(yè)）若x=0是一元二次方程/+收不+〃-4=0的一個根，貝伊的值

是.

5.（2023春?北京西城?九年級北師大實驗中學?？茧A段練習）若關于x的一元二次方程（。+1）尤2-1工一。=。

有一個根是x=1,貝！I。=.

6.（2023秋?江蘇揚州?九年級?？计谀┤絷P于尤的一元二次方程（左-2）尤?+6尤-左2一左=。有一個根為1,則

k的值為.

7.（2022秋,新疆烏魯木齊?九年級?？茧A段練習）關于x的一元二次方程（租+1）尤2+5苫+■+機=0有一個根

為0,貝。根=.

【易錯類型三利用判別式求字母的值或取值范圍時忽略/。0”】

例題：（2023春?浙江金華?八年級統(tǒng)考期末）若關于x的一元二次方程日°一2丘+4=0有兩個相等的實數(shù)根，

則女的值為（）

A.0或48.4或8C.8D.4

【變式訓練】

1.（2023春?黑龍江大慶?九年級?？计谀┮阎匠袒?3）/+2%+1=0有兩個實數(shù)根，貝必的取值范圍是

（）

A.k<4B.k<4C.左<4且左w3D.左44且左w3

2.（2023?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程7nx2+2x+l=0有實數(shù)解，則根的取值范圍是（）

A.m>—1B.m￡1C.1且〃zw0D.〃?￡1且加片0

3.（2023?河南南陽?統(tǒng)考三模）若關于x的一元二次方程（1-左）d-5x+5=0有兩個不相等的實數(shù)根，則上

的值可以是（）

A,—B.1C.—1D.~

43

4.（2023春?山東泰安?八年級統(tǒng)考期末）關于x的一元二次方程（a+l）/-4x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，

則。的取值范圍是（）

A.且"一1B.o<3C.a<3且"一1D.a<3

5.（2023?湖北荊州?統(tǒng)考中考真題）已知關于尤的一元二次方程小-（2k+4）x+k-6=0有兩個不相等的實

數(shù)根.

⑴求左的取值范圍；

（2）當上=1時，用配方港解方程.

6.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）關于x的一元二次方程小L4無+3=0有實數(shù)根.

⑴求m的取值范圍；

⑵若m為正整數(shù)，求出此時方程的根.

7.（2023?全國?九年級假期作業(yè)）已知關于x的一元二次方程（小4）f-（2機-1）尤+機=0有兩個不相等的實數(shù)根.

⑴求的取值范圍；

⑵當加取滿足要求的最小正整數(shù)時，求方程的解.

【易錯類型四利用根與系數(shù)關系求值時忽略“△羊（）”】

例題：（2023春?安徽馬鞍山?八年級安徽省馬鞍山市第七中學?？计谀┤魴C、”是關于x的方程

d+（2左+3）x+左2=0的兩個不相等的實數(shù)根，且,+工=一1,則左的值為.

mn

【變式訓練】

1.（2023?全國,九年級專題練習）已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有兩個不相等的實數(shù)

根，且=2,則實數(shù).

2.（2023春?黑龍江大慶?八年級統(tǒng)考階段練習）已知關于x的方程/+2元+機=。有兩個不相等的實數(shù)根.

⑴求m的取值范圍.

⑵若兩個實數(shù)根分別是A，巧，且（占尤「1）2+2（占+三）=0,求相的值.

3.（2023春?安徽六安?八年級統(tǒng)考期末）已知關于尤的一元二次方程2/+以+加=0.

⑴若x=l是方程的一個根，求加的值和方程的另一根；

（2）若網、3是方程的兩個實數(shù)根，且滿足尤;+考+5尤1尤2*=。，求加的值.

【易錯類型五與幾何圖形結合時取舍不當或考慮不全】

例題：（2023?四川涼山?統(tǒng)考一模）已知等腰三角形A3C的一邊長。=6,另外兩邊的長6,c恰好是關于x的

一元二次方程尤0（3左+3）尤+9左=0的兩個根，則的周長為

【變式訓練】

1.（2023春?黑龍江大慶?八年級校聯(lián)考期中）方程f-9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰的長，則

這個三角形的周長是（）

A.12B.15C.12或15D.18或9

2.（2023春?重慶?九年級重慶八中?？茧A段練習）一個等腰的底邊為4,腰是方程好一5尤+6=0的一個根.則

這個等腰三角形的周長可能是（）

A.8B.10C.8或10D.9

3.（2023?安徽合肥??？家荒＃┑妊切蔚膬蛇呴L為方程/-4x+3=0的兩根，則這個等腰三角形的周長

為

4.（2023春?安徽合肥?八年級?？茧A段練習）已知關于x的一元二次方程皿2-（2加-3）x-5=0（〃件。）.

⑴求證：無論優(yōu)為何值，該一元二次方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

⑵若〃?=-2時，該一元二次方程的兩個根恰好是等腰三角形的兩邊，求等腰三角形的周長.

專題06易錯易混集訓：一元二次方程之五大易錯類型

?。贺巍究键c導航】

目錄

【典型例題】...........................................................................1

【易錯類型一利用方程的定義求待定系數(shù)時忽略.....................................1

【易錯類型二利用方程的解求待定系數(shù)時忽略，W0”】.......................................2

【易錯類型三利用判別式求字母的值或取值范圍時忽略“aWO”】...............................3

【易錯類型四利用根與系數(shù)關系求值時忽略“△?（）”]........................................4

【易錯類型五與幾何圖形結合時取舍不當或考慮不全】........................................5

*

【典型例題】

【易錯類型一利用方程的定義求待定系數(shù)時忽略，W0”】

例題：（2023春?山東泰安?八年級?？茧A段練習）關于x的方程-1）無族+、2〃a-3=0是一元二次方程，則

m的值是（）

A.0B.-1C.1D.±1

【答案】B

【分析】理解一元二次方程的定義，需要抓住兩個條件：①二次項系數(shù)不為0;②未知數(shù)的最高次數(shù)為2；

結合一元二次方程的定義，可以得到關于加的方程和不等式，求解即可得到小的值.

【詳解】解：???原方程是關于x的一元二次方程，

j/+1=2"

解得m=-1.

故選：B.

【點睛】本題考查一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2022秋?海南省直轄縣級單位?九年級?？茧A段練習）方程（機-2）/'1+3〃a-4=。是關于x的一元二次方

程，貝U（）

A.根=±2B.m=2C.m=—2D.m^±2

【答案】c

【分析】根據一元二次方程的定義，即含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次

方程，可得方程，解方程即可求解.

【詳解】解：???方程（加-2）/+3皿-4=0是關于X的一元二次方程，

m-2^0

?［帆=2

.\m=-2,

故選：C.

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握和運用一元二次方程的定義是解決本題的關鍵.

2.（2022秋?四川達州?九年級?？计谀┤絷P于x的方程（切+2）y-2+6彳-9=0是一元二次方程.則優(yōu)的值

為（）

A.m豐—2B.加=±2C.m=—2D.m=2

【答案】D

【分析】根據一元二次方程的概念得出關于m的方程，進而得出結果.

【詳解】解：回關于x的方程（加+2），-2+6尸9=0是一元二次方程

0m2—2=2?且〃z+2w0,

0m=2

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，理解一元二次方程的概念是解題的關鍵.

3.（2022秋?新疆烏魯木齊?九年級?？计谀┤舫郌問+2x-1=0是關于尤的一元二次方程，則相的值

是.

【答案】2

【分析】利用二次方程的定義列方程及不等式解題即可.

【詳解】解：由題意得：帆=2,m-l>0,

解得：m=2,

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查二次方程的定義及二次根式的非負性，能夠根據定義及性質列式是解題關鍵.

4.（2022秋?新疆烏魯木齊?九年級烏魯木齊市第九中學?？计谀┮阎匠蹋ú　?m））"-*-9=0,當加=

時，是關于x的一元二次方程.

【答案】-2

【分析】根據一元二次方程的定義可進行求解.

【詳解】解：回-2時留-x-9=0是一元二次方程，

同m|=2,機之_2mw0,

回根=一2.

故答案為-2.

【點睛】本題主要考查一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵.

5.（2023秋?湖南湘西?九年級統(tǒng)考期末）已知：（根-1）J'刊+6》-1=0是關于尤的一元二次方程，貝|

m-.

【答案】-3

【分析】根據一元二次方程的定義即得出帆+1|=2且m-1r0,解出機即可.

m-1w0

【詳解】根據一元二次方程的定義可得：1帆+1]=2，

解得：m=—3.

故答案為：-3.

【點睛】本題考查一元二次方程的定義.掌握一元二次方程必須滿足的兩個條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

二次項系數(shù)不為0是解題關鍵.

【易錯類型二利用方程的解求待定系數(shù)時忽略“aWO”

例題:（2023?全國?九年級假期作業(yè)）關于x的一元二次方程（%-l）d+2x+|相|-1=0,常數(shù)項為0,則用的

值等于（）

A.1B.-1C.1或一1D.0

【答案】B

【分析】根據一元二次方程的定義即可求得加的值.

【詳解】解：回關于尤的一元二次方程（加一1）爐+2%+|”-1=0,常數(shù)項為0,

回同-1=0,

回m=1或一1,

團關于X的方程（機-1）尤2+2尤+|洲-1=0是一元二次方程，

0m—1w0,

回機=-1；

故選B.

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，理解一元二次方程的定義是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023?山東泰安?新泰市實驗中學?？家荒＃╆P于尤的一元二次方程（。-1）爐-苫+/-1=0的一個根為0,

則實數(shù)。的值是（）

A.1B.-IC.0D.±1

【答案】B

【分析】根據一元二次方程解的定義得到"一1=0,再解關于a的方程，然后根據一元二次方程定義確定。

的值.

【詳解】解：把x=0代入一元二次方程（。一1）/一1=0

得6?-1=0,

解得q=1，%=T，

而a一1W0，

二。的值為-1,

故選：B.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的

解，也考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵是注意

2.（2023春?浙江?八年級期中）若關于x的一元二次方程（a-l）x2+x-/+i=o有一個根為0,則。的值等

于（）

A.-1B.0C.1D.1或者-1

【答案】A

【分析】根據一元二次方程根的定義以及一元二次方程的定義，將x=0代入方程可得-/+1=0,根據二次

項系數(shù)不為0,可得awl,進而即可求解.

【詳解】解：回關于尤的一元二次方程（。-1）/+了-/+1=。有一個根為0,

團—/+1=0,a—1。0,

團Q=-1,

故選A.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義以及一元二次方程的定義，解題的關鍵是注意二次項系數(shù)不能

等于①

3.（2023春?北京東城?八年級北京市第一六六中學?？计谥校┤絷P于了的一元二次方程

（〃z+2）尤?+4尤+（/-4）=0有一個根為0,則實數(shù)機的值為（）

A.2B.-2C.一2或2D.-1或0

【答案】A

【分析】根據一元二次方程的解的定義，即可求解.

【詳解】解：回一元二次方程（機+2）f+4x+（〃，-4）=。的一個根為0,

團將x=0代入（加+2）》2+4x+（z/r—4）=0,可得m2—4=0且MI+2/O,

解得：m=2.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的未知數(shù)的值是方程的

解是解題的關鍵.

1.（2023秋?遼寧丹東?九年級統(tǒng)考期末）若關于x的一元二次方程（m-2）d+3x+M-4=0有一個根為0,

則m=.

【答案】-2

【分析】把x=0代入方程（〃-2）爐+3龍+療一4=。，解方程即可求得加的值，且加一24,從而即可得到

答案.

【詳解】解：把x=0代入方程（根一2）/+3%+〃？-4=。得，

療一4=0,

解得：叫=2,m2=-l,

?/m—2^0,

mw2,

.\m=—2,

故答案為：-2.

【點睛】本題考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的解，解題時，注意關于工的一元二次方程

（m—2）無2+3x+療-4=0二次項系數(shù)不為零，即加—2/0.

4.（2023,全國,九年級假期作業(yè)）若x=0是一元二次方程Y+QTx+/-4=0的一個根，則6的值

是.

【答案】2

【分析】根據一元二次方程的解的定義，把x=0代入/+后小+戶一4=0得〃一4=0,然后解關于b的

方程即可.

【詳解】解：把x=0代入尤2+yjb-lx+。2-4=0得62一4=0,

解得6=±2,

vZ?-l>0,

:.b>\,

:.b=2.

故答案為：2

【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的

解，還考查了二次根式有意義的條件.

5.（2023春?北京西城?九年級北師大實驗中學?？茧A段練習）若關于尤的一元二次方程（4+1）--°2了一。=。

有一個根是x=l,則。=.

【答案】1

【分析】根據一元二次方程的定義可得aw-1,根據一元二次方程的解的定義將x=l代入原方程，得到關

于。的一元二次方程，解方程即可求解.

【詳解】解：回關于X的一元二次方程（4+1）犬=。有一個根是x=l,

回。+1—a=o且。彳―1,

解得：47=1,

故答案為：1.

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程的解的定義，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

6.（2023秋?江蘇揚州?九年級?？计谀┤絷P于x的一元二次方程（左-2）d+6x-公一左=。有一個根為1,則

k的值為.

【答案】-2

【分析】根據一元二次方程根的定義，將1代入關于尤的一元二次方程化-2）d+6x-父-無=0得到關于左

的方程求解，再根據一元二次方程定義確定人值即可得到答案.

【詳解】解：由題意得：

把lx=l代入方程（左一2）爐+6x—左2—左=0,得：

k-2+6-k2-k=0,

解得：k=±2,

4一2w0,

:.k手2

k=—2,

故答案為：-2.

【點睛】本題考查一元二次方程的定義及一元二次方程根的定義，熟練掌握相關概念是解決問題的關鍵.

7.（2022秋?新疆烏魯木齊?九年級?？茧A段練習）關于*的一元二次方程（利+1）/+5.》+/+%=0有一個根

為0,貝!P"=.

【答案】0

【分析】根據題意可知將x=0代入方程所得式子仍然成立，可得的值為0或-1,利用一元二次方程成立

的條件可知加W1，從而可得答案"7=0.

【詳解】解：把X=0代入方程可得/+〃,=0

=0或-1

方程是一元二次方程

〃2+1工0,即〃?學一1

.,.m=0

故答案為：m=Q

【點睛】此題考查一元二次方程的解的定義，需要注意一元二次方程成立的條件，將解代入方程并保證二

次項系數(shù)不等于0是解題的關鍵.

【易錯類型三利用判別式求字母的值或取值范圍時忽略“aWO”】

例題：（2023春?浙江金華?八年級統(tǒng)考期末）若關于x的一元二次方程日°-2丘+4=0有兩個相等的實數(shù)根，

貝IJ上的值為（）

A.0或48.4或8C.8D.4

【答案】D

【分析】若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則根的判別式An〃-dacnO,建立方程，求出值即可.

【詳解】解：團關于尤的一元二次方程依2-2履+4=0有兩個相等的實數(shù)根，

EA=Z>2-4ac=（-2^）2-4fcx4=0,

解得勺=4,k2=0（舍去）.

瞅的值為4,

故選：D.

【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式.一元二次方程加+bx+c=O（a豐0）的根與△=從一4世有如

下關系：（1）△>（）=方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=（）=方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）A<0o方

程沒有實數(shù)根.

【變式訓練】

1.（2023春?黑龍江大慶?九年級?？计谀┮阎匠袒?3）f+2*+1=0有兩個實數(shù)根，貝必的取值范圍是

（）

A.k<4B.k<4C.左<4且左w3D.ZW4且上w3

【答案】D

【分析】根據根的判別式和已知得出△20且左-3*0,求出解集即可.

【詳解】方程僅一3）f+2x+l=0有兩個實數(shù)根，則△對，且左一3/0,

BP22-4（A:-3）>0,k手3

解得：上W4且上片3,

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，能根據根的判別式得出關于上的不等式是解此題的

關鍵.

2.（2023?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程7nx2+2x+l=0有實數(shù)解，則根的取值范圍是（）

A.m>—1B.m￡1C.m>—1J!Lm0D.〃?￡1且〃件0

【答案】D

【分析】由于關于x的一元二次方程+2尤+1=0有實數(shù)根，根據一元二次方程根與系數(shù)的關系可知A*。,

且aHO,據此列不等式求解即可.

【詳解】解：由題意得，4-4m>0,且mwO,

解得，m￡1,且相片0.

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程加+云+。=0（"0）的根的判別式A=&2_4ac與根的關系，熟練掌握根

的判別式與根的關系式解答本題的關鍵.當A>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當A=0時，一

元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當△<（）時，一元二次方程沒有實數(shù)根.

3.（2023?河南南陽?統(tǒng)考三模）若關于x的一元二次方程（1-5x+5=0有兩個不相等的實數(shù)根，則上

的值可以是（）

A.—B.1C.—1D.—

43

【答案】D

【分析】根據方程的系數(shù)結合根的判別式△>（）,可得出關于左的一元一次不等式，結合二次項系數(shù)不等于

0,可得出左的取值范圍，對照四個選項即可得出結論.

【詳解】解：,??關于X的一元二次方程（1-左）尤2-5尤+5=0有兩個不相等的實數(shù)根，

A=（-5）2-4x（l-A）x5=5+20）t>0,

解得：k->--->

4

回1一左W0,

回憶>-,且左wl,

4

故選：D.

【點睛】本題主要考查了根的判別式，解題的關鍵是牢記"當A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

4.（2023春?山東泰安?八年級統(tǒng)考期末）關于x的一元二次方程（a+1）尤2_4x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,

則。的取值范圍是（）

A.且"一1B.a<3C.a<3且"一1D.a<3

【答案】C

【分析】根據根與系數(shù)關系及一元二次方程定義列式求解即可得到答案；

【詳解】解：團一元二次方程（。+1）爐-4x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，

<7+1^0

回I/、2/、，

（-4）-4x（a+l）xl>0

解得：a<3且aw-1,

故選C;

【點睛】本題考查根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根時

△=b2—4ac>0.

5.（2023?湖北荊州?統(tǒng)考中考真題）已知關于x的一元二次方程履2_（2%+4卜+%-6=0有兩個不相等的實

數(shù)根.

⑴求上的取值范圍；

⑵當左=1時,用鄴方渚解方程.

2

【答案】⑴左二且心0

（2）^=3+714,x2=3-^

【分析】（1）根據題意，可得（24+4）2-4人（左-6）>0,注意一元二次方程的系數(shù)問題，即可解答，

（2）將左=］代入履2—（2左+4）x+k—6=0,利用配方法解方程即可.

k^O

【詳解】⑴解：依題意得：■狹+4）“仕-6）=*16>。,

...2

解得上>-二且左w0；

（2）解：當左=1時，原方程變?yōu)椋簒2-6x-5=0,

則有：X2-6X+9=5+9,

.-.（X-3）2=14,

x—3=±V14;

，方程的根為菁=3+,x,=3-V14.

【點睛】本題考查了根據根的情況判斷參數(shù)，用配方法解一元二次方程，熟練利用配方法解一元二次方程

是解題的關鍵.

6.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）關于x的一元二次方程〃￡-4x+3=0有實數(shù)根.

⑴求力的取值范圍；

（2）若相為正整數(shù)，求出此時方程的根.

4

【答案】⑴〃叱］且mW0

（2）玉=1,X2~3

【分析】（1）由二次項系數(shù)非零及根的判別式△之0,可得出關于根的一元一次不等式組，解之即可得出機

的取值范圍；

（2）由（1）的結論，結合加為正整數(shù)，可得出機的值，再其代入原方程，解之即可得出結論.

【詳解】（1）解：團關于x的一元二次方程爾2_4x+3=0有實數(shù)根，

ww0

團I/'2,

A=（-4）-4xmx3>0

,，4

解得：根且相。0,

4

0m的取值范圍為加（耳且相；

4

（2）回加工§且加。0,且根為正整數(shù)，

回根=1,

回原方程為％2_4%+3=0，

即（元_3）（X_1）=0,

解得：王=1,工2=3.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的定義以及因式分解法解一元二次方程，解

題的關鍵是：（1）利用二次項系數(shù)非零及根的判別式△之0,找出關于根的一元一次不等式組；（2）代入相

的值，求出方程的解.

7.（2023?全國?九年級假期作業(yè)）已知關于工的一元二次方程（冽-4）/_（2%l）x+”=0有兩個不相等的實數(shù)根.

⑴求加的取值范圍；

⑵當機取滿足要求的最小正整數(shù)時，求方程的解.

【答案】（1）機>--!-且機工4

【分析】⑴根據方程有兩個不相等的實數(shù)根，貝怵的判另IJ式A=62-4ac=[-（2〃Ll）T-47M7"-4）>0,

且〃?_4工0,求出機的取值范圍即可；

（2）得到機的最小整數(shù)，利用公式法解一元二次方程即可.

【詳解】（1）,一0元二次方程（加-4）爐-（2加-l）x+冽=0有兩個不相等的實數(shù)根,

△=〃-4〃c=[―（2加—1）丁—4根（m-4）=>0,且加一4工0,

BP4m2-4m+1—4m2+16m>0>且加一4w0,

解得：m>一五且相w4；

（2）加滿足條件的最小正整數(shù)是機=1,

此時方程為一3%2一%+1=0,

「士屈）2_4X（_3）X11土瓦

X—2x（-3）-6

解得：玉=士姮，*=士姮?

66

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程

加+6x+c=0（"0）的根與判別式A=62_4ac,的關系是解答本題的關鍵.

【易錯類型四利用根與系數(shù)關系求值時忽略“△￡（）”】

例題：（2023春?安徽馬鞍山?八年級安徽省馬鞍山市第七中學?？计谀┤粜?、〃是關于x的方程

/+（2左+3）x+左2=0的兩個不相等的實數(shù)根，且工+工=一1,貝必的值為.

mn

【答案】3

【分析】根據根與系數(shù)的關系得至1]〃2+〃=一2左一3,mn=k2,再根據』+,=—1得至U人,一2%-3=0,解方程

mn

求出左的值，最后用根的判別式驗證是否符合題意即可.

【詳解】解：回m、W是關于X的方程尤?+（2上+3.+左2=0的兩個不相等的實數(shù)根，

0m+n=—2k—3,mn=k1,

AM+〃

團----=-1,BPm+n=—mn,

mn

團一（一2左—3）=,

團上2—2左—3=0,

解得左=3或左=—1,

又團方程有兩個不相等的實數(shù)根，

回A=（2左+3）2—4左2>0,

73

團人>——,

4

回左=3,

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根的判別式，解一元二次方程，熟知一元二次方

程的相關知識是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023?全國?九年級專題練習）已知關于x的一元二次方程/+2〃a+〃z+2=0有兩個不相等的實數(shù)

根，且玉+%+網-2=2,則實數(shù).

【答案】3

【分析】利用一元二次方程尤2+2〃忒+/一帆+2=0有兩個不相等的實數(shù)根求出機的取值范圍，由根與系數(shù)

關系得到玉+%=-2〃2,玉々=機2-"7+2,代入為+超+網?工2=2,解得"2的值，根據求得的力的取值范圍，

確定m的值即可.

【詳解】解：回關于尤的一■兀二次方程尤2+2〃猶+—根+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，

0A=（2:吟-4（蘇-m+2）=4m-8>0,

解得7”>2,

2

回玉+工2=-2m,xtx2=m-m+2,x{+x2+xt-x2=2.,

0—2m+m2—m+2—2>

解得加1=3,他=0（不合題意，舍去），

回機=3

故答案為：3

【點睛】此題考查一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)關系，熟練掌握根的判別式和根與系

數(shù)關系的內容是解題的關鍵.

2.（2023春?黑龍江大慶?八年級統(tǒng)考階段練習）已知關于x的方程f+2尤+m=0有兩個不相等的實數(shù)根.

⑴求m的取值范圍.

（2）若兩個實數(shù)根分別是4，々，且（占%-1）2+2（占+%）=0,求機的值.

【答案】（1）%<1

（2）m=—l

【分析】（1）根據題意可得A>0,繼而求得實數(shù)機的取值范圍；

（2）由方程的兩個實數(shù)根為々、巧，且片+石+（玉尤J=7,可得方程機2+2〃L3=0,解關于加的方程求得

答案.

【詳解】（1）解：?.?關于x的一元二次方程f+2x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根.

A=b2—4ac=22—4X1XZT?>0,

即機<1；

（2）解：由根與系數(shù)的關系可知：玉+無2=-2,Xl-x2=m,

2

1.,（x^x2-1）+2（玉+x2）=0,

.'.（m-l）2-4=0

m—l=±2,

解得：W=3或"2=-l,

而加<1,

，機的值為-1.

【點睛】此題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關系.注意A>0o方程有兩個不相等的實數(shù)根，若二次項

系數(shù)為1,常用以下關系：X],X?是方程無2+px+q=0的兩根時，xt+x2=-p,玉尤2=4.

3.（2023春?安徽六安?八年級統(tǒng)考期末）己知關于x的一元二次方程2/+4X+優(yōu)=0.

⑴若x=l是方程的一個根，求加的值和方程的另一根；

⑵若占、是方程的兩個實數(shù)根，且滿足考+君+5無F2-X；X；=0,求加的值.

【答案】（1）〃?的值為-6,另一個根為-3

⑵m的值為一2

【分析】（1）直接把x=l代入方程2Y+4元+機=0中，求出機的值，再根據根與系數(shù)的關系求出另一個根

即可；

（2）根據根與系數(shù)的關系得到%+無2=-2,網?尤2=5，再利用判別式求出加42,結合已知條件推出

22

（X1+X2）+3X1X2-（X1XJ=0,即（一2）2+3.￡-[1=0,解方程即可得到答案.

【詳解】（1）解：將x=l代入方程得，2xl2+4xl+m=0,

解得m=—6

4

設另一個根為巧，貝!]1+%=-5，

解得無2=-3

回機的值為-6,另一個根為-3；

4m

（2）解：由題意得：%+兀2=-]=一2,項，入2=萬，

同時滿足八之0即42-4x2m>0,

0m<2,

團了;+x；+5再％2-X1X2=0，

回（玉+%2）2+3%%2一（七％2）2=0

解得m=-2或相=8,

0m<2

團〃I二-2,

回加的值為一2.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關系，一元二次方程解的定義，解一元二

次方程等等，熟知一元二次方程的相關知識是解題的關鍵.

【易錯類型五與幾何圖形結合時取舍不當或考慮不全】

例題：（2023?四川涼山?統(tǒng)考一模）已知等腰三角形A3C的一邊長。=6,另外兩邊的長瓦。恰好是關于x的

一元二次方程（3左+3）尤+9左=0的兩個根，則AABC的周長為

【答案】15

【分析】分情況討論：若。作為腰，則方程的一個根為6,將6代入求出發(fā)的值，然后求出方程的解，得出

三角形的周長；將。作為底，則說明方程有兩個相等的實數(shù)根，則根據A=0求出左的值，然后將人的值代

入方程求出解，得出周長.

【詳解】若。=6為腰，則6、c中還有一腰，即6是方程/-（3左+3）尤+9左=。的一個根.

062-（3Z:+3）X6+9A:=O

解得：k=2

將％=2代入龍2-（3左+3）元+9左=0得：X2-9X+18=0

解得:.％=3,%=6,

此時能構成三角形，AABC的周長為：6+3+6=15

若。=6為底，則b=c,即方程有兩個相等的實根.

0A=[-（3^+3）]2-4X%=O

解得：kt=k2=1

將％=1代入尤2—（3左+3）x+9左=0得：X2-6X+9=0

解得：.Xl=x2=3,

回3+3=6

回此時不能構成三角形，不能計算周長

綜上可得：AABC的周長為15.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判別式等知識，按

若。是否為底邊分類討論和構成三角形的條件是解題的關鍵.特別注意驗證是否能構成三角形.

【變式訓練】

1.（2023春?黑龍江大慶?八年級校聯(lián)考期中）方程￡一9》+18=0的