人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)學(xué)案：1 1 1 第2課時(shí) 共線向量與共面向量

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE1第2課時(shí)共線向量與共面向量學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解向量共線、向量共面的定義.2.掌握向量共線的充要條件和向量共面的充要條件，會(huì)證明空間三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面．導(dǎo)語我們知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移動(dòng)，平面內(nèi)兩個(gè)向量若方向相同或相反，就說它們是共線的，那么在空間內(nèi)向量共線又是怎么回事呢？今天我們就來探究一下．一、空間向量共線的充要條件問題1平面向量共線的充要條件是什么？它適用于空間向量嗎？〖提示〗對(duì)任意兩個(gè)平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，由于空間向量共線的定義與平面向量相同，因此也適用于空間向量．知識(shí)梳理1．對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.2.如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，可知eq\o(OP,\s\up6(→))＝λa，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量，直線l上任意一點(diǎn)都可以由直線l上的一點(diǎn)和它的方向向量表示．注意點(diǎn)：(1)直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定．(2)向量a，b共線時(shí)，表示向量a，b的兩條有向線段不一定在同一條直線上．例1如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，則eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))是否共線？解方法一∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).①又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，②①＋②得2eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))共線．方法二∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(CE,\s\up6(→)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(CE,\s\up6(→))，即eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(CE,\s\up6(→))共線．反思感悟向量共線的判定及應(yīng)用(1)判斷或證明兩向量a，b(b≠0)共線，就是尋找實(shí)數(shù)λ，使a＝λb成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡(jiǎn)或用同一組向量表達(dá)．(2)判斷或證明空間中的三點(diǎn)(如P，A，B)共線的方法：是否存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→)).跟蹤訓(xùn)練1(1)已知A，B，C三點(diǎn)共線，O為直線外空間任意一點(diǎn)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，則m＋n＝________.〖答案〗1〖解析〗由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1.(2)如圖所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點(diǎn)，且eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→)).求證：四邊形EFGH是梯形．證明∵E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(CG,\s\up6(→))－\f(3,2)\o(CF,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)(eq\o(CG,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up6(→))，∴eq\o(EH,\s\up6(→))∥eq\o(FG,\s\up6(→))且|eq\o(EH,\s\up6(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(FG,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(FG,\s\up6(→))|.又F不在直線EH上，∴四邊形EFGH是梯形．二、空間向量共面的充要條件問題2空間任意兩個(gè)向量是共面向量，則空間任意三個(gè)向量是否共面？〖提示〗不一定，如圖所示，空間中的三個(gè)向量不共面．問題3對(duì)兩個(gè)不共線的空間向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系？反過來，向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系時(shí)，p＝xa＋yb?〖提示〗向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.知識(shí)梳理1．向量與平面平行：如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.2．共面向量定義平行于同一個(gè)平面的向量三個(gè)向量共面的充要條件向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)使p＝xa＋yb問題4對(duì)于不共線的三點(diǎn)A，B，C和平面ABC外的一點(diǎn)O，空間一點(diǎn)P滿足關(guān)系式eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是什么？〖提示〗x＋y＋z＝1.證明如下：(1)充分性∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))可變形為eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－y－z)eq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝y(tǒng)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋z(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→))，∴點(diǎn)P與A，B，C共面．(2)必要性∵點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，不共線的三點(diǎn)A，B，C，∴存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(m，n)使eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝m(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋n(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－m－n)eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，又∵點(diǎn)O在平面ABC外，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共面，∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1.例2(1)(多選)對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，能得到P，A，B，C四點(diǎn)共面的是()A.eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))〖答案〗BC〖解析〗方法一A選項(xiàng)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，不能轉(zhuǎn)化成eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))的形式，所以A不正確；B選項(xiàng)，∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，∴3eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))，∴P，A，B，C共面．故B正確；C選項(xiàng)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,8)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up6(→)).∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up6(→))，由共面的充要條件知P，A，B，C四點(diǎn)共面，故C選項(xiàng)正確．D選項(xiàng)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，無法轉(zhuǎn)化成eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))的形式，所以D項(xiàng)不正確．方法二點(diǎn)P與A，B，C共面時(shí)，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，都有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1，可判斷出只有選項(xiàng)B，C符合要求．(2)(鏈接教材P5例1)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，N∈AC，且AN∶NC＝2，求證：A1，B，N，M四點(diǎn)共面．證明設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則eq\o(A1B,\s\up6(→))＝b－a，∵M(jìn)為線段DD1的中點(diǎn)，∴eq\o(A1M,\s\up6(→))＝c－eq\f(1,2)a，又∵AN∶NC＝2，∴eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(b＋c)，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(b＋c)－a＝eq\f(2,3)(b－a)＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(1,2)a))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1M,\s\up6(→))，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))，eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(A1M,\s\up6(→))為共面向量．又∵三向量有相同的起點(diǎn)A1，∴A1，B，N，M四點(diǎn)共面．反思感悟解決向量共面的策略(1)若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．(2)證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)不共線的向量來表示．跟蹤訓(xùn)練2已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)BD∥平面EFGH.證明如圖，連接EG，BG.(1)因?yàn)閑q\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由向量共面的充要條件知向量eq\o(EG,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(EH,\s\up6(→))共面，即E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)閑q\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.1．知識(shí)清單：(1)空間向量共線的充要條件，直線的方向向量．(2)空間向量共面的充要條件．(3)三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面的證明方法．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、類比．3．常見誤區(qū)：混淆向量共線與線段共線、點(diǎn)共線．1．對(duì)于空間的任意三個(gè)向量a，b,2a－b，它們一定是()A．共面向量B．共線向量C．不共面向量D．既不共線也不共面的向量〖答案〗A〖解析〗由向量共面定理可知，三個(gè)向量a，b,2a－b為共面向量．2．(多選)下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq