高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)?？碱}型大通關(guān)（全國(guó)卷理數(shù)）

2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)?？碱}型大通關(guān)（全國(guó)卷理數(shù)）

解答題：概率與統(tǒng)計(jì)

L某中學(xué)一名數(shù)學(xué)老師對(duì)全班50名學(xué)生某次考試成績(jī)分男女生進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其中120分（含

120分）以上為優(yōu)秀，繪制了如下的兩個(gè)頻率分布直方圖:

1.根據(jù)以上兩個(gè)直方圖完成下面的2x2列聯(lián)表:

2.根據(jù)1中表格的數(shù)據(jù)計(jì)算,你有多大把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與性別之間有關(guān)系?

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910,828

2

P（K>k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

3.若從成績(jī)?cè)冢?30,140］的學(xué)生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率.

1.

成績(jī)優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)

性^|廣\

男生131023

女生72027

合計(jì)203050

2.由1中表格的數(shù)據(jù)知，K2?4,844.

因?yàn)镵?。4.844>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與性別之間有關(guān)系.

3.成績(jī)?cè)冢?30,140］的學(xué)生中男生有50x0.008x10=4人,女生有50x0.004x10=2人，從

6名學(xué)生中任取2人，共有=15種選法，若選取的都是男生，共有=6種選法;故所求事件

C23

的概率尸=1——9=—.

4

2.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企

業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表。

y的分組[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)

企業(yè)數(shù)22453147

（1）分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例；

（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)

值為代表）。（精確到0.01）附：774^8,602.

3.蘋果可按果徑M（最大橫切面直徑，單位：加利）分為五個(gè)等級(jí)：MN80時(shí)為1級(jí)，

754M<80時(shí)為2級(jí)，704M<75時(shí)為3級(jí)，654〃<70時(shí)為4級(jí)，A/<65時(shí)為5級(jí)，

不同果徑的蘋果，按照不同外觀指標(biāo)又分為特級(jí)果、一級(jí)果、二級(jí)果.某果園采摘蘋果10000

個(gè)，果徑M均在［60,85］內(nèi)，從中隨機(jī)抽取2000個(gè)蘋果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如圖1所示的

頻率分布直方圖，圖2為抽取的樣本中果徑在80以上的蘋果的等級(jí)分布統(tǒng)計(jì)圖.

圖2

（1）計(jì)算果徑的樣本平均數(shù)及中位數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替，結(jié)果精確到0.01）

（2）一采購(gòu)商對(duì)果徑在80以上的蘋果全部進(jìn)行收購(gòu)，收購(gòu)方案有兩種：①分級(jí)收購(gòu)：特級(jí)

果收購(gòu)價(jià)為12元/kg,一級(jí)果收購(gòu)價(jià)為10元/kg,二級(jí)果收購(gòu)價(jià)為9元/kg.②不分級(jí)收購(gòu):

全部按10元/kg收購(gòu)，以頻率估計(jì)概率，你認(rèn)為該果園種植戶應(yīng)該選擇哪種收購(gòu)方案?

4.某市為了了解今年高中畢業(yè)生的體能狀況，從本市某校高中畢業(yè)班中抽取一個(gè)班進(jìn)行鉛球

測(cè)試,成績(jī)?cè)?.0米(精確到0.1米)以上的為合格.把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成6組畫出頻率分

布直方圖的一部分(如圖)，已知從左到右前5個(gè)小組的頻率分別為0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6

小組的頻數(shù)是7.

頻率

(1)求這次鉛球測(cè)試成績(jī)合格的人數(shù)；

(2)若由直方圖來估計(jì)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，指出它在第幾組內(nèi),并說明理由；

(3)若參加此次測(cè)試的學(xué)生中，有9人的成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀,現(xiàn)在要從成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)選出2人

參加“畢業(yè)運(yùn)動(dòng)會(huì)”，己知。力的成績(jī)均為優(yōu)秀,求兩人至少有1人入選的概率.

5.已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24,16,16,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從

中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.

(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的

身體檢查.

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

②設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)

生的概率.

6.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行籃球三分球投籃比賽，甲每次投中的概率為工，乙每次投中的概率為

3

每人分別進(jìn)行三次投籃.

2

⑴記甲投中的次數(shù)為自，求J的分布列；

⑵求乙至多投中2次的概率.

7.某公司積極響應(yīng)習(xí)近平總書記關(guān)于共建學(xué)習(xí)型社會(huì)的號(hào)召，開展“學(xué)知識(shí)，促生產(chǎn)，增效

益”的主題學(xué)習(xí)活動(dòng).為進(jìn)一步提高管理效率，公司決定所有中層干部集中進(jìn)行“回爐”再學(xué)-管

理

業(yè)務(wù)專項(xiàng)培訓(xùn)，已知公司中層干部共有13名（其中女性5名），初、中級(jí)職稱的人數(shù)比例如

等高條形圖所示.

6

5

(

IKR4

x

3

OBEa

Q2

中職稱

234516

立培人叫

（1）若公司從中級(jí)職稱的中層干部中隨機(jī)安排3人作為培訓(xùn)班的牽頭人，設(shè)其中女性人數(shù)為

4求隨機(jī)變量4的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，參加某項(xiàng)管理業(yè)務(wù)培訓(xùn)所需總費(fèi)用y萬元）與參培人數(shù)

X之間存在線性相關(guān)關(guān)系，試根據(jù)回歸方程估計(jì)該公司所有中層干部都參加此項(xiàng)業(yè)務(wù)培訓(xùn)

所需要的總費(fèi)用.

參考公式：

可.祖％-y）

回歸方程9=以+a,b=J----------------.

i=l

8.某面包店推出一款新面包，每個(gè)面包的成本價(jià)為4元,售價(jià)為10元，該款面包當(dāng)天只出一爐

（一爐至少15個(gè)，至多30個(gè)），當(dāng)天如果沒有售完，剩余的面包以每個(gè)2元的價(jià)格處理掉.為了確

定這一爐面包的個(gè)數(shù)，該店記錄了這款新面包最近30天的日需求量（單位：個(gè)）,整理得下表：

日需求量1518212427

頻數(shù)108732

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，頻數(shù)y與日需求量x（單位：個(gè)）線性相關(guān)，求y關(guān)于x的線性回歸

方程；

（2）以30天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率.若該店這款新面包出爐的個(gè)數(shù)

為24,記當(dāng)日這款新面包獲得的總利潤(rùn)為X（單位：元）.

⑴若日需求量為15個(gè)，求X；

（ii）求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

nn

E(^-^)(x-y)

A-際A

相關(guān)公式:6=-------------------=號(hào)-------,a=y-bx

之(土一可2之X；一位2

/=1/=1

答案以及解析

1.答案：1.

成績(jī)

性別、優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)

男生131023

女生7.2027

總計(jì)203050

2.由1中表格的數(shù)據(jù)知，K2a4.844.

因?yàn)镵2?4.844>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與性別之間有關(guān)系.

3.成績(jī)?cè)冢?30,140］的學(xué)生中男生有50x0.008x10=4人,女生有50x0.004x10=2人，從6

名學(xué)生中任取2人，共有屋=15種選法，若選取的都是男生，共有=6種選法;故所求事件

C23

的概率尸=1—_^=-.

晨5

2.答案：（1）根據(jù)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于4。%的

企業(yè)頻率為粽31

產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)頻率為2高=。。2。

用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)

值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為2%。

-1

(2)y=—(-0.10x2+0.10x24+0.30x53+0.50x14+0.70x7)=0.30,

心焉以卜一x2+(-0.20)2X24+02X53+0.202xl4+0.402x7]

1j=］

=0.0296,5=70,0296=0.02x^/74?0.170所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差

的估計(jì)值分別為30%,17%。

3.答案：解：（1）果徑的樣本平均數(shù)為:

x=62.5x5x0.03+67.5x5x0.05+72.5x5x0.06+77.5x5x0.04+82.5x5x0.02=71.75.

因?yàn)槌槿〉臉颖局?，果徑在[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85]的頻率分別為0.15,

0.25,0.3,0.2,0.1,

所以樣本的中位數(shù)為70+；X5P7L67.

I13

(2)由圖2可知，果徑在80以上的蘋果中，特級(jí)果、一級(jí)果、二級(jí)果所占比例約3，]，1，

113

所以按方案一進(jìn)行收購(gòu)，貝Hkg的收購(gòu)價(jià)XalZxg+lOxg+gx布

故果園種植戶應(yīng)選擇第一種收購(gòu)方案.

4.答案：1.第6小組的頻率為I_(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14

所以此次測(cè)試總?cè)藬?shù)為二=50,

0.14

所以第4、5、6組成績(jī)均合格，人數(shù)為(0.28+0.30+0.14)x50=36(人)

2.直方圖中中位數(shù)兩側(cè)的面積相等，即頻率相等，前三組的頻率和為0.28,前四組的頻率和為

0.56,

二中位數(shù)位于第4組內(nèi)；

3.設(shè)成績(jī)優(yōu)秀的9人分別為。,仇。,46,九8，八人,則選出的2人所有可能的情況為

ab,ac,ad,ae,erf,ag,ah,ak;be,bd,be,bf,bg,bh,bk;cd,ce,cf,eg,ch,ck;de,df,dg,dh,dk;

ef,eg,eh,ek,、于g,fh,fk;gh,gk;hk.共36種，其中a,b至少有1人入選的情況有15種。

a,b兩人至少有1人入選的概率為P="=9.

3612

5.答案：(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3:2:2,

由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3

人，2人，2人.

⑵①隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.

p(X=0,1,2,3).

C7

所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

112184

P

35353535

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望口X）=0x」+lxU+2x"+3x3=U.

353535357

②設(shè)事件8為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C

為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人"，則A=3uC,且8

與C互斥.由①知,P（B）=P（X=2）,P（C）=P（X=1）,故

P（A）=P（BuC）=P（X=2）+P（X=l）=1.

所以，事件A發(fā)生的概率為9.

7

6.答案：（1）4的可能取值為0,1,2,3.

4的分布列為

0123

8421

P

279927

（2）乙至多投中2次的對(duì)立事件為乙3次全部投中，則乙至多投中2次的概率為

7.答案：解：（1）由已知，在公司中層干部13人中，女性有5人，其中初級(jí)職稱有5x60%=3

人，中級(jí)職稱有5x40%=2人.

男性有13-5=8人，其中初、中級(jí)職稱均為8*50%=4人.

c3x4+2x41

故所求概率P=-—=-;

?41./L.r^-..—7x(1+7)-2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.930.1

(2)由散點(diǎn)圖知，x=J7=4,y=---------------------------------------------=—=4.3

之(無，一尤『=9+4+1+0+1+4+9=28,

i=l

7

-x)(y,.-y)=-3x(-1.4)-2x(-1)-lx(-0.7)+0x0.1+1x0.5+2x0.9+3x1.6=14.

i=l

14

/.b——=0.5,<7=y,bx=4.3—0.5x4=2.3.

28

貝Uy=0.5x+2.3.

取九=13,得y=8.8(萬元).

故該公司所有中層干部都參加此項(xiàng)業(yè)務(wù)培訓(xùn)所需要的總費(fèi)用約為8