高考數(shù)學復習：解三角形及其應用

專題08解三角形及其應用

（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）

維構建?耀精向紿

K正、余弦印與變形）

------(/-J+a2—2caco?8)

K內角和定理）-c2轆01正空定理麻三角形

轆02余型定穌三角形

Ytin(/f=?inC)健03判后匍杉的的形狀

壁04三匐秒的好的個數(shù)

凝三觸的面積及應用

_（o知識點一正、余弦定理及應用）05

■（三角形中的三角函數(shù)關至）-三。E三角二三廣室,

型解三角形中的星鰥圉礴

-（解三角形中的常用結論》07

轆08三角形的中緣型、角物線

睡09多三角腱甌形的解三匍K

a=iKOsC-cCOBB

&=ocosC-CCOBJ

c=bcGsA-acaB

踞角形RMEZffl＜三角形）---（」＞3€?心修疝」＞疝3）

■＜三角形常用面積公式）

在目標視線與水平視線所成的角中，目標視線在水平視

＜0^碇

域的叫做仰角，目斑螭私正現(xiàn)印的叫做侑角

壁01測嬖離問題

。知識點二解三角形的實際應用卜一筋番—從某點的§方向線蛔8W針方向到目標方向線之間密02測星角度問題

的夾角叫做方位角，方位角e的范圉是0Ye〈36（r,轆03測量角度問題

-方向角一舊成正南方向線與目標方向線所成的角，通常表達為北癰漏東㈣

口原盤點?查；層外與

知識點1正、余弦定理及應用

1、正、余弦定理與變形

定理正弦定理余弦定理

a2=b>2+c2—2/?ccosA；

a_____b_____c___

內容sinA-sinB-sinC~2Rb2=c2+a2—2cacosB；

c2=a2+b2—labelsC

及+。2—〃2

(l)〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；cosA-2bc；

(2)a:b:c=sinA:sin3：sinC；c2+a2-b2

變形cos8-2ac；

a-\~b-\-ca

("sinA+sin8+sinCsinA4Z2+Z?2~C2

cosC~2ab

【注意】若已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，可用正弦定理.在根據(jù)另一邊所對角的正弦值確定

角的值時，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意結合“大邊對大角，大角對大邊”及三角形內角

和定理去考慮問題.

2、解三角形中的常用結論

（1）三角形內角和定理：在△ABC中，A+B+C=TI；變形：或芋=尹,

（2）三角形中的三角函數(shù)關系

?ocA~\-BC三A+5C

①sin(A+3)=sinC；(2)cos(A+B)=-cosC；③sin-,-=cosy；④cos-?-=sin萬.

(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

(4)三角形中的大角對大邊：在△A3C中，A>B^a>b^sinA>sinB.

3、三角形常用面積公式

(1)S=/ha(ha表示邊〃上的高)；

(2)S=]〃Z?sinC=]〃csinB=]Z?csinA；

（3）S=%（a+6+c）（r為內切圓半徑）.

知識點2解三角形的實際應用

名稱意義圖形表示

/目標

在目標視線與水平視線所成的角中，目標/視線

鉛

仰角與俯角視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視垂角水平

線y角視線

、目標

線在水平視線下方的叫做俯角

視線

從某點的指北方向線起按順時針方向到北

435°東

方位角目標方向線之間的夾角叫做方位角，方位V

角。的范圍是0。*<360。

例：（1）北偏東a：（2）南偏西a：

正北或正南方向線與目標方向線所成的

方向角北f北f

銳角，通常表達為北（南）偏東（西）

【注意】（1）方位角和方向角本質上是一樣的，方向角是方位角的一種表達形式，是同一問題中對角的不

同描述.

（2）將三角形的解還原為實際問題時，要注意實際問題中的單位、近似值要求，同時還要注意所求的結果

是否符合實際情況.

X重點突破?春分?必檢

重難點01解三角形中的最值范圍問題

1、三角形中的最值、范圍問題的解題策略

（1）定基本量：根據(jù)題意或幾何圖形厘清三角形中邊、角的關系，利用正、余弦定理求出相關的邊、角

或邊角關系，并選擇相關的邊、角作為基本量，確定基本量的范圍.

（2）構建函數(shù)：根據(jù)正、余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用關于基本量的函數(shù)解析式表示.

（3）求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調性等求最值.

2、求解三角形中的最值、范圍問題的注意點

（1）涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進行求解，己知邊的范圍求角的

范圍時可以利用余弦定理進行轉化.

（2）注意題目中的隱含條件，如A+B+C』，0<A<7t,b-c<a<b+c,三角形中大邊對大角等.

類型1角或三角函數(shù)值的最值范圍

【典例1］（2324高三下?山西?模擬預測）鈍角AABC中，角A,8,C的對邊分別為“，6,。，若acos3=csinA,

則sinA+A/2sinB的最大值是.

【答案】|

4

［解析】因為acosB=csinA,由正弦定理得sinAcosB=sinCsinA,

irTL

又因為AE。兀），可得sinAwO,所以sinC=cos_B,貝UC=三—區(qū)或C=—+3.

22

當C=時，可得A=W，與“IBC是鈍角三角形矛盾，所以C=^+5,

.7C

0<A<—

2

由JT,貝！JA=j'r一23>0,可得7T

224

A+8+C=兀

所以sinA+V2sinB=sin+C）+^2sinB=cos2B+^2sinB

=-2sin2B+V2sinB+l=-2—+：,

所以當sinB=1^時，sinA+0sin5的最大值為g.

【典例2］（2324高三下?福建廈門?三模）記銳角AABC的內角A,5,C的對邊分別為若2cosc=改-:,

ab

則B的取值范圍是.

【答案】

【解析】因為2cosc=亞-￡,所以2"cosC=362—4,

ab

由余弦定理可得：248（：05。=/+廿-02,

可得〃=萬02,在銳角的。中，由余弦定理可得:

2ac4

a2+b2>c23c

因為，即'即所以

b1+C1>a2

3爰邛,所以正

所以cosB=—

4。4

類型2邊或周長的最值范圍

【典例1】（2324高三下.江蘇.月考）在"IBC中，內角A,B,C的對邊分別為a,6,c,已知。2一〃=℃

（1）若2=60。求C的大??；

b

（2）若AABC為銳角三角形，求一的取值范圍.

【答案】(1)90°；(2)(3,百)

【解析】(1)由題意，在AABC中，b1-a2=ac.,

由余弦定理得，a2+c2—lac-cosB=b1

??a2+c2—2tzc?,cosJ5—a?—etc，c—2acosB=a，

VA+B+C=180°,

sin(A+-2sinAcosB=sinA=^>cosAsinB-sinAcosB=sinA,

/.sin(B-A)=sinA,\B-A=A^B-A+A=TI(舍)，:.B=2A

VB=6Q°,,*.A=30°,/.C=180-A-B=90°.

(2)由題意及(1)得，在AABC中，B=2A,

△ABC為銳角三角形,

0<2A<I解得：棄人寸，

71

0<TC-A-2A<-

/.y/2<2cosA<@，

A

【典例2】（2324高三下?安徽淮北.二模）記AABC的內角AB,C的對邊分別為a,b,c,已知c-6=2csin2.

（1）試判斷AABC的形狀;

（2）若c=l,求AABC周長的最大值.

【答案】（1）AABC是直角三角形；（2）V2+1

【解析】⑴由—吟可得叫"’所以『詈*

1b匚匚2.b

---J所以cosA=一，

畤-等22cc

又由余弦定理得“+C2一七="可得"+k=°2,所以c=5，

2bcc2

所以AABC是直角三角形

（2）由（1）知，AABC是直角三角形，且c=l,可得a=sinA,b=cosA,

所以AABC周長為1+sinA+cosA=l+0sin[A+；）,

因為Aw[。,,），可符

所以，當A=?時，即A/WC為等腰直角三角形，周長有最大值為0+1.

類型3三角形面積的最值范圍

【典例1】（2324高三下?廣東茂名?一模）在AABC中，內角A,民C的對邊分別是a,b,c,且

Z?sin（B+C）=asin

（1）求8的大小;

（2）若。是AC邊的中點，且8￡>=2,求u1BC面積的最大值.

【答案】⑴B十⑵苧

【解析】（1）vA+B+C=7t,.,.sinA=sin（5+C）,bsinA=asin冗；=acos：,

D

由正弦定理可得sin3sinA=sinAcos—,

2

???sinB=2sin-cos-,/.2sin-cos-sinA=sinAcos-,

22222

A,BE(0,7i),sinA0,cos—^0,/.sin—=—,即0='，gpB=—；

222263

(2)依題意，S^ABC=.acsinB二ac,

|麗+喇=2即"麗+明=4,(而+珂=16,

即a2+c2+2QCXCOS§=16,

即，+4+QC=16N3QC,當且僅當Q=C=上叵時，等號成立，

3

即℃<乎，:.△ABC面積的最大值為Lgx」L速.

32323

【典例2】(2324高三下?湖北武漢?二模)在AABC中，角A民C的對邊分別為a*,c,已知

(2a-c\cosB-bcosC=0.

(1)求8；

(2)已知/?=百，求go+2c的最大值.

【答案】⑴5=5；⑵歷.

【解析】(1)V(26i-c)cosB-Z?cosC=0,

由正弦定理得(2sinA—sinC)cossinBcosC=0,

2cosBsinA-cosBsinC-sinBcosC=0,BP2cosBsinA=sinBcosC+cosBsinC,

所以2cos4sinA=sin(B+C)=sinA,

VAG(0,7i),...sinAwO,/.cosB=^,

71

V0<B<7T,AB=-;

a_c_b_V3_

(2)由正弦定理，得sinAsinCsinB^3，

~2

1c-44"?AA'\27r.|

—?+2c=sinA+4sinC=smA+4sin------A

2I3)

=sinA+26cosA+2sinA=3sinA+26cosA=\/21sin(A+0),

X'*'0<A<,。為銳角，，sin(A+0)的最大值為J萬，

ga+2c的最大值為01.

重難點02解三角形角平分線的應用

如圖，在AABC中，力。平分乙84C,角4、B,C所對的邊分別問a,b,c

(1)利用角度的倍數(shù)關系：^BAC=2乙BAD=2乙CAD

(2)內角平分線定理：4D為△力BC的內角NB4C的平分線，則第=箕

說明：三角形內角平分線性質定理將分對邊所成的線段比轉化為對應的兩邊之比，再結合抓星結構，就

可以轉化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運用向量知識解決起來都較為簡捷。

(3)等面積法：因為SAABD+SAACD=SAABC，所以jc,ADs譏曰+=jbcs譏4

.A

所以(6+c)4D=2兒cos-,整理的：4。=—爐(角平分線長公式)

2b+c

【典例1】(2324高三下?江西?模擬預測)在AABC中，內角AB,C所對的邊分別為a,6,c,其外接圓的半徑

為26,且反osC=“+與sinB.

3

(1)求角3；

(2)若N3的角平分線交AC于點。,8。=石，點E在線段AC上，EC=2EA,求的面積.

【答案】(1)B=與;(2)走.

32

【解析】(1)因為Z?cosC=a+4"CsinB,

3

由正弦定理可得sinBcosC=sinA+—sinCsinB,

3

XA=TI-(B+C),所以sinBcosC=sin(B+C)+#sinCsinB,

所以sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC+sinCsinB,

3

即sinCcosBH■—-sinCsinB=0,

3

,.,CG(0,K),故sinCwO,

c-DE

/.cosBH-----sinB-0,即tanB=—y/3,

3

0

又㈤，貝”=7T

(2)由(1)可知，B=—,又外接圓的半徑為26；

由正弦定理可知上=4石，所以6=46sin至=6,

sinB3

171

因為5。是/ABC的平分線，i^ZCBD=ZABD=-ZABC=-f

又BD=A/3，由S^ABC=S/CD+S4BD，

nJW—?csin-=—a-V3sin—+—<??\/3sin—,即ac=^(a+c).①

232323v7

27r

由余弦定理可知，b2=a2+c2-2accos—,BP(tz+c)2-ac=36.②

由①②可知〃=c=20.所以BD_LAC,

又?.?EC=2AE,則。石=1,

所以S=—x1x6=.

△oBzDzEc2Y2

【典例2】（2324高三下?河北滄州?模擬預測）在AASC中，角C的對邊分別為a,b,c,已知片=c（c+b）.

(1)求證：B+3C=n；

（2）若—ABC的角平分線交AC于點。，且a=12,6=7,求2。的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）4A/6.

【解析】(1)在AABC中，由余弦定理〃=<?+〃-2c6cosA及6=c(c+。)，

得。2-2McosA=Z?c,即b—2ccosA=c,

由正弦定理，得sinB-2sinCcosA=sinC,

gpsinC=sin(C+A)—2sinCcosA=sinAcosC—cosAsinC=sin(A—C),

由0<。<兀，得sin(A—C)=sinC>0,則0<A-C<A<TI,

因此C=A—C,即A=2C,則2c+5+。=兀，

所以5+3C=7r.

(2)由/=c(c+b),得122=C(C+7),由C>0,得C=9.

ABsinZADBsinZBDC_BC

在△ABD,△BCD中，由正弦定理,得ZR——

ADsinZABD~sinZCBD~~CD

912

則正萬=^—解得A￡>=3,從而Z）C=4,

又cosZADB+cosZCDB=0,

由余弦定理，得手+破-9：+42+30-12?=0,解得3。=4#,

2x3BD2x4BD

所以BD的長為4".

重難點03解三角形中線的應用

1、中線長定理：在A4BC中，AD是邊BC上的中線，貝ijAB?+AC?=20。2+人^）

【點睛】靈活運用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中

2、向量法：AD2=（b2+c2+2bccosA）

【點睛】適用于已知中線求面積（已知篙的值也適用）.

【典例1】（2324高三下?山西?三模）在AABC中，內角AB,C所對的邊分別為已知

27r

4=彳，/+。2=24448。的外接圓半徑尺=2道,。是邊47的中點，則30長為（）

A.72+1B.2百C.6亞D.721

【答案】D

【解析】由A=V，aA8C的外接圓半徑尺=2/，得a=2RsinA=2x2Gx也=6,

32

由片=廿+。2一2"cosA和/+c'=24得而=12,

又，，+；:24,解得b=c=25所以3=C=：（兀

be=122<3J6

因為“由。中，。是邊AC的中點，所以麗=:（而+前），

于是師|=gj例+硝2=g^BA2+21BA||BC|cosAABC+BC

=；42+6ca+a1=1112+舟2舟6+36=庖.故選：D.

【典例2】（2324高三下?黑龍江哈爾濱?三模）已知AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,"c,且。=若,2。邊

上中線AD長為1,則歷最大值為（）

77

A.-B.—C.6D.25/3

42

【答案】A

【解析】由題意得NAD3+NADC=7I,所以COSNAD3+COSNADC=0,

又。=上,且。是3c的中點，所以。B=DC="，

2

7,2

在△ABD中,cosZADB=AD2+BD2-C24

2ADBD

7一從

在A4DC中，c-3+―4

2ADCDF

-7

所以

cosZADC+cosZADB==0'

y/3V3

7‘當且僅當』邛取等號，故選:A

gpb22=-^2bc<b2+c2=

+c2f24

法技巧?逆賽學霸

一、利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實質是實現(xiàn)邊角的轉化，解題的思路是：

1、選定理.

（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；

（2）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊所對的角，利用正弦定理；

（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；

（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；

（5）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊，利用余弦定理；

2、巧轉化：化邊為角后一般要結合三角形的內角和定理與三角恒等變換進行轉化；若將條件轉化為邊之間

的關系，則式子一般比較復雜，要注意根據(jù)式子結構特征靈活化簡.

3、得結論：利用三角函數(shù)公式，結合三角形的有關性質（如大邊對大角，三角形的內角取值范圍等），并

注意利用數(shù)形結合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。

【典例1】（2324高三下?浙江金華.三模）在AABC中，角AdC的對邊分別為。，b,c.若〃=近，b=2,

A=60°,貝I"為（）

A.1B.2C.3D.1或3

【答案】C

b2+c2-a2

【解析】由余弦定理得cosA=

2bc

即22+/一（近），1,即C2-2C-3=0,解得C=3或C=T（舍）.故選：C.

2x2c2

【典例2】（2324高三下.江蘇.二模）設鈍角AASC三個內角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,若。=2,

Z?sinA=^3,c=3,貝！I.

【答案】V19

【解析】由余弦定理得，COSAJ°=4=^2,

2bc6b6b

而由人sinA=J§\得sinB=/^,

b

因為AABC是鈍角三角形，且c>。，故A為銳角，所以cosA=Jl-1,

f―3-b2+5碗,日千門

所rnr以|Jl-yy=——，解得62=7或。?=19,

Vb6b

當廿=7時，即〃=近，c>b>a,由大邊對大角得：最大角為C

cosC=--——=——/>0,故C為銳角，不符合題意；

Iba6x，7

當。2=19時，即6=M，b>c>a,由大邊對大角得：最大角為B,

cos.=c2+"2J9+4T9<O,故B是鈍角，符合題意.

2ca6x2

【典例3】（2324高三下?廣東江門?二模）尸是44BC內一點，ZABP=45°,ZPBC=ZPCB=ZACP=30°,

則tan/54P=（）

A.-B.-C.-D.；

3532

【答案】D

【解析】因為NABP=45。,/尸3C=N?C5=NACP=30。，

所以ABAC=180°-（45°+30°+30°+30。）=45°,

設NBAP=a,因為ZPBC=/PCB,所以BP=CP.

A

P

BC

APsin45°APsin30。

在AABRAACP中，由正弦定理可得”=-7,7^

D1olilIXsin（45°-cr）

sin45°_sin30°

則sina-sin（45°-a）'即sin45°sin（45°-a）=sin30°sina,

sma1上乙3c

即x（cosa-sina）=-sina斛得tan<7=-------=—.故選：D

222cosa2

二、判定三角形形狀的兩種常用途徑

1、角化邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷；

2、邊化角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷

【典例1】（2324高三下?湖南衡陽?模擬預測）在AABC中，角4昆C的對邊分別為6,c,若sin2A=sin2B,

則從1BC的形狀為.

【答案】等腰三角形或直角三角形.

【解析】因為sin24=sin25,可得2sinAcosA=2sinBcosB,

由正弦定理和余弦定理，可得2?？?廠—“一二26?"一+廠一」，

2bclac

21222222224224

整理得a{b+c-a）=Z7（a+c-^）,即ac-a-bc+b=0,

即可得（片一/標一心/卜。，

所以a=b或4+62=02,所以VRC是等腰三角形或直角三角形.

【典例2】（2324高三下?河北秦皇島?三模）在AABC中，內角A,B,C的對邊分別為。，b,。，且3=2C,

b=42a,貝!1（）

A.AABC為直角三角形B.AABC為銳角三角形

C.AABC為鈍角三角形D.AABC的形狀無法確定

【答案】A

【解析】由b=&a,可得sin3="J1sinA，

貝ljsin2C=A/^sin（兀-3。）=逝sin3C,

sin2C=5/2sin2CcosC+>/2cos2C-sinC，

2cosC=2V2cos2C+y/2（2cos2C-l）,

即4A/2COS2C-2COSC-72=0.

由5=2C>C,故C只能為銳角，可得cosC=4Z,

2

因為0<C<￡,所以C=￡,B=故選：A.

三、三角形的面積及應用

1、三角形面積公式的使用原則：對于面積公式S=56sinC=；acsin8=*csinA,一般是使用哪一個角就使

用哪一個公式；

2、與面積有關的問題：一般要用到正弦定理和余弦定理進行邊角互化；

3、三角形的周長問題：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=（a+b）22ab將問題轉化為求兩邊之和的問題。

【典例11（2324高三下.重慶.三模）（多選）在AABC中，角A,8,C的對邊為a/,c,若6=26,c=2,C=f,

則AABC的面積可以是（）

A.6B.3C.2A/3D.3#>

【答案】AC

【解析】由余弦定理得:片=<22+12-4V3<?cosy=4,

6

即a?—6〃一8=0,〃=2或4,故面積S=ga/?sinC=百或26.故選：AC.

【典例2】（2324高三下?福建莆田?三模）在AABC中，內角ABC的對邊分別為a也c,且

/?（cosC+l）=c（2-cosB）.

（1）證明：a+b=2c.

9，一.

（2）若a=6,cosC=~~,求aABC的面積.

16

【答案】（1）證明見解析；（2）”也或受正

416

【解析】（1）根據(jù)正弦定理知"（cosC+l）=c（2-cosB）=>sinBcosC+sinB=2sinC-sinCeosB,

整理得sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC=>sin（B+C）+sinB=2sinC,

因為A+3+C=7t,所以sinA=sin（3+C）=>sinA+sin3=2sinC,

由正弦定理可得a+b=2c；

（2）因為cosC=M，所以sinC=Jl-cos2c=m,

1616

97

由余弦定理可得，=/+廿一2必cosC,BPc2=36+b2-—b,

4

則4c2=144+4〃-276,

因為。=6,所以6+b=2c,所以36+12Z?+》2=公2,

貝！J144+4/—27Z?=36+126+/,即/―13b+36=0,解得6=4或b=9,

當b=4時，a=6,此時AABC的面積S=L〃OsinC=1x4x6x^^=,

22164

當b=9時，〃=6,此時AABC的面積S=LqbsinC=^x6x9x,近=135/7.

221616

所以AABC的面積為"丑或空夕.

416

四、利用正弦定理解三角形的外接圓

利用正弦定理：-^―=—也==2R可求解三角形外接圓的半徑。

sinAsinBsinC

若要求三角形外接圓半徑的范圍，一般將R用含角的式子表示，再通過三角函數(shù)的范圍來求半徑的范圍。

【典例1】（2324高三下?云南?月考）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,記"RC的面

積為S,已知（6+c）2-a?=4石s,b-2,c=3,求AABC外接圓半徑R與內切圓半徑r之比為（）

A7+3/D7+5近小6-幣66+3幣

9988

【答案】B

【解析】因為3+c）2-4=4百S,所以加+/-a2+?c=4/.；AsinA,

b1+C1-a11n;..

BnP------+1=A/3sinA,

2bc

由余弦定理，得代sinA-cosA=1,

2sin[Aq]=l,=

在三角形中Ae（O,兀），則A-或空（舍），故A=/

0003

由余弦定理，/=+/—2bccosA=4+9—2x2x3x—=7,所以〃=y/j,

Q=幣二2近n

由正弦定理，蓊飛-正,則氏=為，

因為工（Q+b+c）r=LbcsinA,

22

所以加sinA_2x3x5_3也,所以四==21處.故選：B.

5+

【典例2】（2324高三下?河南?模擬預測）在AABC中，角A氏。的對邊分別為久久。，且

ccosB+2acosA+ftcosC=0.

IT

（2）如圖所示，。為平面上一點，與AABC構成一個四邊形ABOC,>ZB￡>C=-,若c=26=2,求AD

的最大值.

【答案】（1）A=y;（2）用

【解析】（1）因為8OS5+2〃COsA+Z2cosc=0,

由正弦定理得，sinCcosB+2sinAcosA+sinBcosC=0,

所以2sinAcosA+sin（3+C）=0,

所以2sinAcosA+sinA=0,

因為sinAwO,所以cosA=—工，

2

因為人￡（0,兀），所以A=g.

（2）在AABC中,由余弦定理得'-=J。?+<2-2%OSA=J?+l，—2x2xlx=用,

27rjr

因為/BAC+/BDC=—+-=7i,

33

所以四邊形ABDC存在一個外接圓。，

…a出2而

所以圓。的直徑為“X一；i/一一^一丁，

sin——

3

因為ADV2R,即叵，當A。為圓。直徑時取等號，

3

故他的最大值為當.

五、利用解三角形解決測量距離問題

1、解決方法：選擇合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、

余弦定理求解。

2、求距離問題的注意事項

（1）選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，

則把未知量放在另一確定三角形中求解.有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程（組），解方程（組）得

出所要求的量.

（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.

【典例1】（2324高三下?吉林?二模）如圖，位于某海域A處的甲船獲悉，在其北偏東60。方向C處有一艘

漁船遇險后拋錨等待營救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東15。，且與甲船相距/nmile的B處的

乙船，已知遇險漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為（