北京市朝陽區(qū)2024-2025學年高三上學期期中檢測數(shù)學試卷 含解析

北京市朝陽區(qū)2024~2025學年度第一學期期中質(zhì)量檢測高三數(shù)學試卷2024.11（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.設(shè)集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運算即可得答案.【詳解】因為集合，集合，所以.故選：A2.若函數(shù)在處取得最小值，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】因為，所以用基本不等式求得最小值，并找到最小值點為，得出結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，當且僅當，即時取等號，∴最小值點，即.故選；C3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)，即可逐一判斷.【詳解】對于A，函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，不具備奇偶性，故A錯誤；對于B，函數(shù)的定義域為，由于為偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，函數(shù)，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，函數(shù)的定義域為，由，故函數(shù)為奇函數(shù)，因為，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.4.如圖，在中，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的線性關(guān)系即可得到結(jié)果.【詳解】∵，，∴，，∴，故AB選項錯誤；∴，故C選項正確，D選項錯誤.故選：C5.已知單位向量，滿足，設(shè)向量，則向量與向量夾角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先算出，，再利用向量夾角公式即可得到答案【詳解】解：，，所以，故選：C.6.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下的問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”.由此推算，在這5天中，織布超過1尺的天數(shù)共有（）A.1天 B.2天 C.3天 D.4天【答案】B【解析】【分析】設(shè)這女子每天分別織布尺，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比．利用等比數(shù)列的通項公式及其前項和公式即可得出．【詳解】設(shè)這女子每天分別織布尺，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比．則，解得．數(shù)列的通項公式為，，當時，則，當時，則，故超過1尺的天數(shù)共有2天.故選：B．7.已知均為第二象限角，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性、平方關(guān)系，并根據(jù)充分、必要條件的知識判斷即可.【詳解】由題意，若，因為均為第二象限角，所以，所以，即，所以，且均為第二象限角，所以，所以，即充分性成立.若，因為均為第二象限角，所以，即，所以，即，因為均為第二象限角，所以，所以，故必要性成立,所以“”是“”的充要條件.故選：C.8.已知函數(shù)若直線與函數(shù)的圖象有且只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通過導(dǎo)數(shù)求出直線與分段函數(shù)各段相切對應(yīng)的值，并結(jié)合圖象即可求解.【詳解】當時，函數(shù)，則，令，解得，故直線與相切，即.當時，函數(shù)，則，令，解得，故直線與相切，即.如圖所示，當或時，直線與分段函數(shù)有且僅有一個公共點.故實數(shù)的取值范圍為或.故選：B.9.在三棱錐中，棱，，兩兩垂直，點在底面內(nèi)，已知點到，，所在直線的距離分別為1，2，2，則線段的長為（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】由棱，，兩兩垂直建立空間直角坐標系，設(shè)點坐標，分別表示出到三條軸的距離，然后得出OP的值.【詳解】如圖，棱，，兩兩垂直，可以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.設(shè)，由題意可得：，∴，∴，故選：A10.數(shù)學家康托爾創(chuàng)立了集合論，集合論的產(chǎn)生豐富了現(xiàn)代計數(shù)方法.記為集合的元素個數(shù)，為集合的子集個數(shù)，若集合滿足：①，；②，則的最大值是（）A.99 B. C. D.96【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)元素個數(shù)得到子集個數(shù)，即，分析出，即可求解.【詳解】設(shè)，則，即，所以,若,則，即左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，不成立，若，則，即左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，不成立，所以,即，因為，且滿足，所以包含了的個元素外，還包含個屬于而不屬于的元素，當時，則,如，符合題意.當時，則,如，符合題意.所以的最大值為，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查交集與并集的混合運算，及集合的元素個數(shù)與集合子集間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵由已知條件求，再分和討論，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，難度較大.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.復(fù)數(shù)__________．【答案】;【解析】【詳解】，故答案為12.在中，已知，則__________；________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因為，，又，故；.故答案為：；.13.已知數(shù)列的前n項和為（A，B為常數(shù)），寫出一個有序數(shù)對________，使得數(shù)列是遞增數(shù)列.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的前n項和與數(shù)列通項的關(guān)系根據(jù)相減法即可得的通項，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可得的范圍，從而可得有序數(shù)對的取值.【詳解】數(shù)列的前n項和為,當時，，所以，即，當時，符合上式，綜上，，若數(shù)列遞增數(shù)列，則，即，故符合的有序數(shù)對可以為.故答案為：（答案不唯一）.14.某種滅活疫苗的有效保存時間（單位：）與儲藏的溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（為常數(shù)，其中）.已知該疫苗在0℃時的有效保存時間是1440h，在5℃時的有效保存時間是360h，則該疫苗在10℃時的有效保存時間是________h.【答案】90【解析】【分析】根據(jù)已知的函數(shù)模型以及已知數(shù)據(jù)，通過待定系數(shù)法即可求得結(jié)果.【詳解】由題意，，解得，當時，，故該疫苗在時的有效保存時間是小時.故答案為：.15.對于無窮數(shù)列，若存在常數(shù)，使得對任意的，都有不等式成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì).給出下列四個結(jié)論：①存在公差不為的等差數(shù)列具有性質(zhì)；②以為首項，為公比的等比數(shù)列具有性質(zhì)；③若由數(shù)列的前項和構(gòu)成的數(shù)列具有性質(zhì)，則數(shù)列也具有性質(zhì)；④若數(shù)列和均具有性質(zhì)，則數(shù)列也具有性質(zhì).其中所有正確結(jié)論序號是________.【答案】②③④【解析】【分析】對于①，可使用反證法證明①錯誤；對于②，取，并驗證an具有性質(zhì)即可；對于③和④，結(jié)合已知條件取適當?shù)某?shù)，并驗證相應(yīng)的數(shù)列具有性質(zhì)即可.【詳解】對于①，假設(shè)存在公差為的等差數(shù)列an具有性質(zhì)，則存在常數(shù)，使得對任意，都有不等式成立.則對任意的，都有，但這對大于的正整數(shù)顯然不成立，矛盾，故①錯誤；對于②，設(shè)an是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，.所以正實數(shù)滿足對任意的，都有.故②正確；對于③，若由數(shù)列an的前項和構(gòu)成的數(shù)列具有性質(zhì)，則存在常數(shù)，使得對任意的，都有不等式成立.從而正實數(shù)滿足對任意的，都有.故③正確；對于④，若數(shù)列an和bn均具有性質(zhì)，存在常數(shù)，使得對任意的，都有不等式成立；也存在常數(shù)，使得對任意的，都有不等式成立.從而正實數(shù)滿足對任意的，都有.故④正確.故答案為：②③④【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于理解性質(zhì)的定義，只有理解了定義，方可解決相應(yīng)的問題.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，.（1）求的值；（2）若，，求b及的面積.【答案】（1）2（2），【解析】【分析】（1）結(jié)合正弦定理邊化角化簡已知等式，再根據(jù)三角形中角度關(guān)系與正弦函數(shù)取值即可得結(jié)論；（2）結(jié)合余弦定理求得關(guān)系，從而可得大小，再根據(jù)面積公式求解即可得答案.【小問1詳解】因為，有正弦定理得，所以，由，得，又因為，所以，所以，由正弦定理可得；【小問2詳解】因為，，所以由余弦定理得，又由（1）可知，，所以，整理得，即，所以，所以，所以面積為.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，.（1）求證：平面PAD；（2）求平面與平面PCD的夾角的余弦值；（3）記平面與平面PCD的交線為l.試判斷直線AB與l的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3），理由見解析【解析】【分析】（1）由線面垂直可得，由根據(jù)線線平行與線線垂直可得，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證所求；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算求解平面PAB與平面PCD的法向量，再根據(jù)面面夾角余弦公式求解即可得答案；（3）根據(jù)線面平行判定定理得平面PCD，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可得結(jié)論.【小問1詳解】因為平面ABCD，平面ABCD，所以，又因為，，所以，又因為平面PAD，所以平面PAD.【小問2詳解】由（1）可知，，，，如圖所示，以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz，則，，，，則，，設(shè)平面PAB的一個法向量為，由得所以，令，則，又因為平面PCD，所以是平面PCD的一個法向量.設(shè)平面PAB與平面PCD的夾角為θ，則.【小問3詳解】直線.理由如下：因為，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，又因為平面PAB，平面平面，所以.18.已知函數(shù).（1）若，求的最小值；（2）若存在極小值，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，得，求導(dǎo)并利用導(dǎo)函數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最值；（2）先求導(dǎo)數(shù)，分類討論和時函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)有極小值求解的取值范圍.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，當時，，時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以當時，取得最小值.【小問2詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.（1）當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以無極值.（2）當時，令，得.當變化時，與的變化情況如下表：x-0+↘極小值↗由上表知，當時，取得極小值綜上，的取值范圍為.19.設(shè)函數(shù).（1）若，，求的值；（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是函數(shù)的圖象的對稱軸，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求ω，φ的值.條件①：當時，取到最小值；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）代入?yún)?shù)值得到函數(shù)關(guān)系，求函數(shù)值；（2）先由三角恒等變換化簡三角函數(shù)，選擇條件①由函數(shù)圖像的性質(zhì)得到兩條對稱軸即可求出周期，從而解出的值，代入函數(shù)值求得的值；選擇條件③由函數(shù)圖像的性質(zhì)得到兩條對稱軸即可求出周期，從而解出的值，代入函數(shù)值求得的值；選擇條件②不能求出參數(shù)值，故不能選條件②.【小問1詳解】由，，得.則；【小問2詳解】，，.選擇條件①：因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是函數(shù)的圖象的對稱軸，又當時，取到最小值，所以，故.因為，所以.所以，.又因為，所以，得.又因為，所以.選擇條件③：因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是函數(shù)的圖象的對稱軸，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故.因為，所以.所以，.又因為，所以，得.又因為，所以.選擇條件②不能求出參數(shù)值，故不能選條件②.20.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）討論在區(qū)間上的零點個數(shù)；（3）若，其中，求證：.【答案】（1）（2）1（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求切點坐標與切線斜率，再根據(jù)直線的點斜式方程化簡轉(zhuǎn)化可得所求；（2）分當和兩段分別確定函數(shù)的單調(diào)性與取值情況，從而判斷每段函數(shù)零點個數(shù)，從而得結(jié)論；（3）設(shè)，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性與取值情況，從而可得結(jié)論.【小問1詳解】由，得且，所以，所以曲線在處的切線方程為：，即.【小問2詳解】①當時，，，所以.所以在區(qū)間上無零點；②當時，，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，所以在區(qū)間上僅有一個零點，綜上，在區(qū)間上的零點個數(shù)為1.【小問3詳解】設(shè)，即，所以，設(shè)，，因為時，，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.故，所以.因為，所以，又，所以.21.若有窮正整數(shù)數(shù)列A：，，，…，滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列A為T數(shù)列：①；②對任意的，都存在正整數(shù)，使得.（1）判斷數(shù)列A：1，1，1，3，3，5和數(shù)列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否為T數(shù)列，說明理由；（2）已知數(shù)列A：，，，…，是T數(shù)列.（i）證明：對任意的，與不能同時成立；（ii）若n為奇數(shù)，求的最大值.【答案】（1）數(shù)列A不是T數(shù)列，理由見解析（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)T數(shù)列的定義分別驗證條件①②即可判斷數(shù)是否為T數(shù)列；（2）（i）利用反證法假設(shè)存在，使得，分別根據(jù)條件①②驗證假設(shè)，即可得結(jié)論；（ii）由條件①②可得，根據(jù)數(shù)列不等式以及數(shù)列求和即可得結(jié)論.【小問1詳解】數(shù)列A不是T數(shù)列，理由如下：對于數(shù)列A，因為，，且對任意的正整數(shù)，有，所以數(shù)列A不滿足性質(zhì)②，所以數(shù)列A不是T數(shù)列；數(shù)列B是