2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列中的綜合問題（學(xué)生版）

考點(diǎn)38數(shù)列中的綜合問題（2種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合

提升練+拓展沖刺練）

D1【考試提醒】

數(shù)列的綜合運(yùn)算問題以及數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識(shí)的交匯問題，是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)

容.一般圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)命題，涉及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和

公式等

唱【核心題型】

題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運(yùn)算

數(shù)列的綜合問題常將等差、等比數(shù)列結(jié)合，兩者相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，解答這類問題的方

法：尋找通項(xiàng)公式，利用性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

【例題1】（2023?湖北荊門?模擬預(yù)測(cè)）血藥濃度檢測(cè)可使給藥方案?jìng)€(gè)體化，從而達(dá)到臨床用

藥的安全、有效、合理.某醫(yī)學(xué)研究所研制的某種新藥進(jìn)入了臨床試驗(yàn)階段，經(jīng)檢測(cè)，當(dāng)患

者/給藥3小時(shí)的時(shí)候血藥濃度達(dá)到峰值，此后每經(jīng)過2小時(shí)檢測(cè)一次，每次檢測(cè)血藥濃

度降低到上一次檢測(cè)血藥濃度的40%,當(dāng)血藥濃度為峰值的1.024%時(shí)，給藥時(shí)間為（）

A.11小時(shí)B.13小時(shí)C.17小時(shí)D.19小時(shí)

【變式1】（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知集合N=｛x|x=2%AeN*｝,

8=｛x|x=3也，七eN*｝,將413中所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列｛?！埃?設(shè)數(shù)列

｛%｝的前"項(xiàng)和為S,，若冊(cè)=27,則加的值等于—，$5。的值為一.

【變式2】（2024?四川綿陽(yáng)?三模）已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列｛g｝滿足：％,出嗎+1成等比數(shù)

列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列也｝滿足：。也+。也t+…+岫=邛T，求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和T?.

【變式3】(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，且

ax=bx=a2-b2=a3-b3=l.

⑴求｛%｝與｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)｛%｝的前”項(xiàng)和為s,，求證：(51?+1+an+1)bn=Sn+lbn+1-Snbn-

題型二數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問題

(1)數(shù)列與不等式的綜合問題及求解策略

①判斷數(shù)列問題的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的

單調(diào)性比較大小.

②以數(shù)列為載體，考查不等式恒成立的問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值.

③考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題，此類問題一般采用放縮法進(jìn)行證明，有時(shí)也可通過構(gòu)

造函數(shù)進(jìn)行證明.

(2)數(shù)列與函數(shù)交匯問題的主要類型及求解策略

①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題.

②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式、

求和方法等對(duì)式子化簡(jiǎn)變形

命題點(diǎn)1數(shù)列與不等式的交匯

【例題2】(2024,重慶?三模)數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為Sn^2an-3n+4,若

4g"+3)-3〃+2>0對(duì)任意“eN*恒成立，則實(shí)數(shù)幾的取值范圍為()

A.B.(1,+℃)C.D.(2,+co)

【變式1](2024,江蘇蘇州?三模)已知函數(shù)N*.

①當(dāng)a=2時(shí)，6“=1+工，記也｝前〃項(xiàng)積為7；,若加>7；恒成立，整數(shù)加的最小值

是；

②對(duì)所有"都有對(duì)421成立，則。的最小值是.

【變式2](2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝滿足％+々+?+…+%=2〃(”eN*).

23幾、7

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列也｝滿足6'=務(wù).

①求數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和小

②若不等式(-1)"2<7],+會(huì)對(duì)任意neN,恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【變式3】(2024?遼寧?二模)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,公差為力且qd/0.若等

差數(shù)列｛2｝,滿足”=妥.

(1)求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式;

(2)若1記數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為北，且北>",求"的最大值.

命題點(diǎn)2數(shù)列與函數(shù)的交匯

【例題3】(2024?福建莆田三模)已知定義在(0,+◎上的函數(shù)/(x)滿足/(x+l)=2〃x)+l,

且/'（1）=1,則〃10。）=（）

A.2100-1B.2100+1C.2101-1D.2101+1

【變式1】(2024?廣西來賓?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)+-2|+|〃-3|+…+5為

正整數(shù))的最小值為.

【變式2](2024?浙江紹興,三模)已知函數(shù)〃無)=6sin7u+cosxr(xeR)的所有正零點(diǎn)構(gòu)成

遞增數(shù)列｛%｝(〃eN*).

⑴求函數(shù)〃x)的周期和最大值；

⑵求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式冊(cè)及前〃項(xiàng)和s,.

【變式3](2024,上海?模擬預(yù)測(cè))已知〃x)=gx2+g無，數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S",點(diǎn)

eN*)均在函數(shù)y=/(x)的圖象上.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若g(x)=/7,令〃，=g［羲］(〃eN*),求數(shù)列上｝的前2024項(xiàng)和&2〃

II4\乙U4JJ

D【課后強(qiáng)化】

【基礎(chǔ)保分練】

一、單選題

1.2024?山西陽(yáng)泉三模)已知等差數(shù)列｛%｝中，%是函數(shù)〃x)=sin(2x-多的一個(gè)極大值點(diǎn),

則tan(%+%)的值為()

A."B.&C.±V3D.-V3

3

2.(2020?遼寧遼陽(yáng)?二模)已知等差數(shù)列｛%｝的公差為2,前〃項(xiàng)和為S“，且耳，邑，$4成

等比數(shù)列.令，,則數(shù)列也｝的前50項(xiàng)和乙。=()

anan+\

,504910050

A.—B.—C.D.

5150101101

3.(2024?山東?二模)歐拉函數(shù)°(#("eN*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)”，且與"互質(zhì)

72n

的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如。(4)=2.已知2=*西，〃eN*,(是數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和，若

(<“恒成立，則M的最小值為()

37

A.-B.1C.-D.2

46

4.(2024?福建泉州?二模)在等比數(shù)列｛%｝中，4M5是函數(shù)/a)=Y-10x+Hn(3x)的兩個(gè)

極值點(diǎn)，若w%=2缶3-2,則%的值為()

A.-4B.-5C.4D.5

二、多選題

5.(2024?云南?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：

/(x+j)+/(x-j)=2/(x)/(j),且〃2)=-1,則下列說法中正確的是()

A.是偶函數(shù)

B./(x)關(guān)于點(diǎn)(2,-1)對(duì)稱

C.設(shè)數(shù)列｛?！埃凉M足?！?/(〃)，則｛《｝的前2024項(xiàng)和為0

D-111)可以是3

6.(2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于正整數(shù)〃，夕(〃)是小于或等于"的正整數(shù)中與〃互質(zhì)的數(shù)的

數(shù)目.函數(shù)夕(〃)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如。(9)=6(1,2,4,5,7,8與9

互質(zhì))，則()

A.若〃為質(zhì)數(shù)，貝1］夕(力)=〃一1B.數(shù)列加(〃)｝單調(diào)遞增

數(shù)歹！］｛夕（）｝為等比數(shù)列

C.數(shù)列的最大值為1D.3"

三、填空題

7.（2021?江西?模擬預(yù)測(cè)）己知公差不為0的等差數(shù)列｛g｝的部分項(xiàng)氣，ak2,%……構(gòu)成

等比數(shù)列｛%｝,且勺=1,e=2,%=5,貝必“=.

8.（2023?陜西寶雞?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)。、b、c、d成等差數(shù)列，且函數(shù)了=ln（x+2）-x

在X=b時(shí)取到極大值C,則a+d=.

9.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝滿足ln%M=a“+l,函數(shù)=鼻在x=/

處取得最大值，若卜％=（1+。2）%,貝崎+。2=

四、解答題

10.（2023?全國(guó),模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為s,，q+出+3%=25,且

%+2,a4,%—2成等比數(shù)歹|J.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)6“=a」后^,求數(shù)列也｝的前?項(xiàng)和T“.

11.（2024?浙江?二模）歐拉函數(shù)°G0（〃eN*）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)〃且與"互素

的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：。⑴=1,。（4）=2,0⑻=4,數(shù)列｛%｝滿足a“=e（2"X"eN）

（1）求生,a2,%，并求數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式；

"l°g?a2”

(2)記2=(T)',求數(shù)列｛a｝的前〃和

【綜合提升練】

一、單選題

1.（2024?遼寧?二模）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為邑，點(diǎn)（％尺）（〃eN*）在函數(shù)

/（*）=4（'2+&+（7（4凡。€1<）的圖象上，則（）

A.C°=lB.若/=0,貝！jm/eN*,使S”最大

C.若4>0,則m%eN*,使S“最大D.若/<0,則加°eN*,使S“最大

2.（2022高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且出?設(shè)函數(shù)

/（x）=sin2x+2cos21,記”=/（?！埃瑒t數(shù)列｛%｝的前13項(xiàng)和為（）

,13兀=

A.-----B.7兀C.7D.13

2

3.（23-24高三下?重慶?階段練習(xí)）定義：滿足&隹:&包=q（q為常數(shù)，〃eN*）的數(shù)列

%an

（??）稱為二階等比數(shù)列，q為二階公比.已知二階等比數(shù)列I%｝的二階公比為

行嗎=1,%=0,則使得%>2024成立的最小正整數(shù)〃為（）

A.7B.8C.9D.10

4.2024,江蘇徐州?一模）已知數(shù)歹U｛%｝的前〃項(xiàng)和為',且3S"=24+1,〃eN*.若跖22024,

則正整數(shù)人的最小值為（）

A.11B.12C.13D.14

77r

5.（23-24高三上?山西運(yùn)城,期末）已知等差數(shù)列｛%｝中，％=正，設(shè)函數(shù)

/（x）=cos4Jc-sin4x-25/3sinxcosx-l,記/=〃％）,則數(shù)列｛州｝的前17項(xiàng)和為（）

A.-51B.-48C.-17D.0

6.（2024?安徽池州?二模）對(duì)于數(shù)列｛&｝,若點(diǎn)（力,。“）都在函數(shù)>=4'的圖象上，其中q>0

且qwl,貝是"｛%｝為遞增數(shù)歹『’的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

7.(2024?上海奉賢?三模)若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S.,關(guān)于正整數(shù)”的方程記

為F,命題P：對(duì)于任意的awR,存在等差數(shù)列｛%｝使得尸有解；命題9：對(duì)于任意的

aeR,存在等比數(shù)列也“｝使得尸有解；則下列說法中正確的是()

A.命題P為真命題，命題9為假命題；B.命題P為假命題，命題9為真命題；

C.命題？為假命題，命題9為假命題；D.命題。為真命題，命題9為真命題；

8.(2024?青海?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足

/(X+J)=/(X)/(J；)-2/(X)-2/(J)+6,/(1)=4,則/⑴+〃2)+…+/(99)=()

A.2"+198B.2"+196C.2100+198D.2100+196

二、多選題

9.(2024?貴州?三模)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X)滿足

〃x+H=〃x)+〃H+x/+盯2j，(x)為〃X)的導(dǎo)函數(shù)，且廣⑴=2,則()

A./(0)=0

B./(x)為奇函數(shù)

C./(-2)=7

D.設(shè)，=/'(〃)(〃eN*),貝晌024=2023x2025+2

10.(2024?河南?三模)將函數(shù)/3=5出15：-^｝0>0戶>0)的零點(diǎn)按照從小到大的順序

排列，得到數(shù)列｛%｝,且％=§,則()

A.0=2B.〃x)在(1,2)上先增后減

C.D.｛%｝的前"項(xiàng)和為

36

1L(2022,海南?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于無窮數(shù)列｛。“｝,給出如下三個(gè)性質(zhì)：①％<0；

②V〃,seN*,%>%+4；③V〃eN*,小eN*,定義：同時(shí)滿足性質(zhì)①和②

的數(shù)列｛??)為"s數(shù)列",同時(shí)滿足性質(zhì)①和③的數(shù)列｛%｝為"/數(shù)列"，則下列說法正確的是

()

A.若%=2〃-3,則｛%｝為"s數(shù)歹

B.若%=-*,則｛%｝為數(shù)列"

C.若｛%｝為"s數(shù)列"，則｛%｝為數(shù)列"

D.若等比數(shù)列｛a,,｝為"t數(shù)歹！J",則｛%｝為"s數(shù)列"

三、填空題

12.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且％=,“+[_],數(shù)列也｝的

前〃項(xiàng)和為5,且(24-1)5,=*,則滿足1“的正整數(shù)〃的最小值為.

13.(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))函數(shù)滿足/(〃+1)=]+；⑺，/⑴=；(〃eN*).若不

等式|/(“+1)-〃")歸"對(duì)任意的”恒成立，則”的最小值是.

14.(23-24高三上?河北邢臺(tái)?開學(xué)考試)函數(shù)”x)=x2-x+a的最小值是：，數(shù)列｛%｝滿足

??+1=/(??)，卬=1,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是.

四、解答題

15.(2024?上海虹口?二模)己知等差數(shù)列｛?！埃凉M足g=5,a9+~l=2a6.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛"｝前”項(xiàng)和為"，且”=囁*,若￡>432,求正整數(shù)加的最小值.

16.(2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為邑，且S“=g+-k

(1)證明：數(shù)列｛0｝是等差數(shù)列；

1,

—,n-

S1

⑵數(shù)列｛*｝的每一項(xiàng)均為正數(shù)，"=〃],數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為北，當(dāng)

T；之1012時(shí),求〃的最小值.

17.（2024,四川成都?三模）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S",3,=4a“-2.

⑴證明：數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)函數(shù)=f｛瓦-的導(dǎo)函數(shù)為了'（X）,數(shù)列也｝滿足或=/（%），求數(shù)列他,｝的

前〃項(xiàng)和&

18.（23-24高三下?河北衡水?期中）已知數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為S“，>S?=2a?-l,（n>l）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

1111c

(2)求證：—+—+—+—<2.

5%5~

19.（2024?湖南衡陽(yáng)?三模）已知正項(xiàng)數(shù)列｛“"｝的前”項(xiàng)和為S，首項(xiàng)為=1.

（1）若a；=45“-2%-1,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若函數(shù)/（X）=2e*+x,正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足：??+1=/（??）（?eN,）.

（i）證明：

<ii）證明：（1+T^T）（1+T^T）（1+^T）…（1+T^T）（我（"N2,〃eN*）.

【拓展沖刺練】

一、單選題

L2023?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)〃x）=2x+l,數(shù)列｛%｝,｛4｝滿足%=7?（"）,〃"）=”,

則出二（）

A.b]B.b9C.bnD.九

2.（23-24高三上?廣東揭陽(yáng)?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝中，％=?，設(shè)函數(shù)

O

/（x）=^4cos21-2^sinx+cos2x+2,記》,=/（%）,則數(shù)列｛紇｝的前13項(xiàng)和為（）

A.7B.13C.20D.26

3.（2022高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛。,,｝滿足%=45,3a用=凡-1,則滿足不等式

的人的值為（）

A.4B.5C.6D.7

4.（23-24高三上?四川?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足％=-1,且%M=a“+（-2）向，若使不

等式舊花彳成立的％,有且只有三項(xiàng)，則2的取值范圍為（）

11351335

A.T'T.B.§包

11百

C.353JD.3'3J

二、多選題

5.（23-24高三下?河北?開學(xué)考試）歐拉函數(shù)9（冷（〃€w）是數(shù)論中的一個(gè)基本概念，夕（〃）

的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)〃，且與，互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（只有公因數(shù)1的兩個(gè)正整

數(shù)互質(zhì)，且1與所有正整數(shù)（包括1本身）互質(zhì)），例如夕⑻=4,因?yàn)?,3,5,7均與8

互質(zhì)，貝。（）

A.夕（4）.夕（6）=夕（10）B.數(shù)列0（2”）單調(diào)遞增

3

C.9（100）=40D.數(shù)列的前“項(xiàng)和小于］

6.2022?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝,對(duì)任意的正整數(shù)機(jī)、"都有2aBi+"％,+%，

則下列結(jié)論可能成立的是（）