高考數學二輪復習講義：截面問題（學生版+解析）

培優(yōu)點14截面問題

【方法總結】

用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個幾何體的截面，利用平面的性

質確定截面形狀是解決截面問題的關鍵.

【典例】1(1)如圖,在正方體ABCD-ABCD中,E,F,G分別在AB,BC,DDi上，求作過

E,F,G三點的截面.

(2)如圖，在正方體ABCD—ABCD中，點E,F分別是棱BBBQ的中點，點G是棱3C的中

點，則過線段AG且平行于平面&EF的截面圖形為()

D.G

AB

A.矩形

B.三角形

C.正方形

D.等腰梯形

【典例】2(1)(2018?全國I)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角

都相等，則a截此正方體所得截面面積的最大值為()

A.平B.平C坪D,f

⑵如圖，在三棱錐O-ABC中，三條棱0A,OB,0C兩兩垂直，且0A>0B>0C,分別經過三條

棱OA,OB,OC作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為Si,S2,S3,則Si,S2,S3的

大小關系為

【拓展訓練】

1.平面a過正方體ABCDAiBiCiDi的頂點A,a〃平面CBD,aC平面ABCD=m,an平面ABBA

=n,則m,n所成角的正弦值為（）

A.22C-3D，3

2.如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下

的幾何體體積的比為.

3.（多選）如圖，正方體ABCD—AiBCDi的棱長為1,P為BC的中點，Q為線段CG上的動點,

過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是（）

A.當（KCQ4時，S為四邊形

B.當CQ=；時，S為等腰梯形

31

C.當CQ=I時，S與CD的交點R滿足QR=g

3

D.當1〈CQ〈1時，S為六邊形

4.P,Q,R三點分別在直四棱柱AG的棱BBi,CQ和DD上，試畫出過P,Q,R三點的截面作

法.

培優(yōu)點14截面問題

【方法總結】

用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個幾何體的截面，利用平面的性

質確定截面形狀是解決截面問題的關鍵.

【典例】1(1)如圖，在正方體ABCD—ABCD中，E,F,G分別在AB,BC,DDi上,求作過

E,F,G三點的截面.

【解析】作法：①在底面AC內，過E,F作直線EF,分別與DA,DC的延長線交于L,M.

②在側面AiD內，連接LG交AAi于K.

③在側面DC內,連接GM交CCi于H.

④連接KE,FH.則五邊形EFHGK即為所求的截面.

(2)如圖，在正方體ABCD—ABCD中，點E,F分別是棱BBBC的中點，點G是棱C￡的中

點，則過線段AG且平行于平面4EF的截面圖形為()

A.矩形

B.三角形

C.正方形

D.等腰梯形

【答案】D

【解析】取BC的中點H,連接AH,GH,AD”DG

由題意得GH〃EF,AH/ZAiF,

又GHC平面AiEF,EFu平面AiEF,

；.GH〃平面AiEF,同理AH〃平面AiEF,

又GHClAH=H,GH,AHu平面AHGD”

平面AHGDi〃平面AiEF,

故過線段AG且與平面AiEF平行的截面圖形為四邊形AHGDu顯然為等腰梯形.

【典例】2（1）（2018?全國I）已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角

都相等，則a截此正方體所得截面面積的最大值為（）

A.平B.平C邛D.f

【答案】A

【解析】如圖所示，在正方體ABCD—AiBCDi中，平面ABD與棱AiA,AB,AD所成的角

都相等，又正方體的其余棱都分別與AAA島，AD平行，故正方體ABCD-ABCD的每條棱

所在直線與平面ABD所成的角都相等.取棱AB,BBi,BC,CiDi,DDi,AD的中點E,F,G,

H,M,N,則正六邊形EFGHMN所在平面與平面ABD平行且面積最大，此截面面積為S正六邊形EFGHMN

=6X；X乎X*sin60°.故選A.

⑵如圖，在三棱錐0—ABC中，三條棱0A,OB,0C兩兩垂直，且0A〉0B>0C,分別經過三條

棱0A,OB,0C作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為Si,Sz,S3,則Si,S2,小的

大小關系為

【答案】S3<S2<S1

【解析】由題意知OA,OB,0C兩兩垂直，可將其放置在以0為頂點的長方體中，設三邊

OA,OB,0C分別為a,b,c,且a>b>c,利用等體積法易得

2222

Si=^a^/b+c,S2=~bAya+c,

22

S3=^c^/a+b,

?__]/2i2I22\]/i22i122\

..Si—S=—(ab十ac)—77(0a十bc)

21616

=-^c2(a2—b2),

10

又a>b,.'.S?—Sl>0,即SDSz,

同理，平方后作差可得，S2>S3,

?F⑤<S1.

【方法總結】

確定截面的主要依據有

(1)平面的四個公理及推論.

(2)直線和平面平行的判定和性質.

(3)兩個平面平行的性質.

(4)球的截面的性質.

【拓展訓練】

1.平面a過正方體ABCDABCD的頂點A,a〃平面CBD,aC平面ABCD=m,aCl平面ABBA

=n,則m,n所成角的正弦值為（）

1

V3V2V3

22C3-

D.3

【答案】A

【解析】如圖所示，設平面CBDA平面ABCD=nu,

：a力平面CBD,.,.mi/7m,

又：平面ABCD〃平面AIBICIDL平面CBiDiA平面AiB￡iDi=BiDi,

.".BiDi/Zmi,.'.BiDi//m,同理可得CDi〃n.

故m,n所成角的大小與BD,CD1所成角的大小相等，即NCDB的大小.

ji\[3

而B￡=BD=CDi（均為面對角線），；./CDB=g,得sin/CDB=[-,故選A.

2.如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下

的幾何體體積的比為.

【答案】1：47

【解析】設長方體的相鄰三條棱長分別為a,b,c,它截出棱錐的體積Vi=1x|x|ax|b

11,，八147

X-c=—abc,剩下的幾何體的體積V2=abc—/abc=nabc,所以Vi:V2=l：47.

3.（多選）如圖，正方體ABCD—ABCD的棱長為1,P為BC的中點，Q為線段C3上的動點,

過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是（）

A.當O〈CQ<1時，S為四邊形

B.當CQ=：時，S為等腰梯形

31

C.當CQ=a時，S與CD的交點R滿足QR=§

3

D.當a〈CQ〈l時，S為六邊形

【答案】ABC

【解析】當Q為中點，即CQ=；時，截面APQDi為等腰梯形，故B正確;

當O〈CQ〈；時，只需在DDi上取點M使PQ〃AM,即可得截面APQM為四邊形，故A正確;

3

當CQ=1時，如圖，延長AP交DC于M,連接MQ,并延長交CD于R,交DDi于N,

333

丁CQ=1,DN=[X2=],

1

D1N--

DN3

.DiR_X12

'.而=5??DiR=§DM=g,

.*.CiR=1,故C正確;

3

當W<CQ〈1時，在上圖中只需將Q上移，此時截面形狀仍是APQRT,為五邊形，故