2024年高考數(shù)學適應訓練試卷（新高考專用）（解析版）

2024年新試卷題型適應模擬訓練卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。

1.色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標，現(xiàn)抽檢一批產(chǎn)品測得如下數(shù)據(jù)：

色差X21232527

色度y15181920

已知該產(chǎn)品的色度y和色差》之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且9=O.8x+G,現(xiàn)有一對測量數(shù)據(jù)為（30,23.6）,則

該數(shù)據(jù)的殘差為（）

A.0.96B.-0.8C.0.8D.-0.96

【答案】C

-1—1

【詳解】解：依題意可得彳=^（21+23+25+27）=24,y=*（15+18+19+20）=18,所以18=0.8x24+2,

解得"-L2,所以亍=0.81.2,所以當x=30時9=0.8x30-1.2=22.8,所以該數(shù)據(jù)的殘差為

23.6-22.8=0.8；

故選：C

2.如圖，在AABC中，AB=3,AC=4,E是AC的中點，2麗=詼，則而?近的值為（）

【答案】C

【詳解】由題意可得：1而|=3,1正|=4,

^ADBE=(AB+JBC)(^AC-AB)=(AB+JAC-^AB)-(^AC-AB)

=|(AB+|AC)-(|AC-AB)

2―.21—.2210

=——(AB——AC)=——(9-4)=--

3433

故選：C

3.已知公差不為零的等差數(shù)列｛%｝滿足：%+/=20,且應是出與知的等比中項.設數(shù)歹！J｛2｝滿足

么=-^(”eN*),則數(shù)列出｝的前〃項和5“為()

anan+l

11<1)n

B.1+

2\2n+l)2n+l<2n+lJ2n+l

1,(1、I〃

2(1-2^+1J-2n-1D.1+=------

21I2n+l;12n-\

【答案】A

2q+9d=20[a,=1

“3+/=20則‘(％療解得"

【詳解】根據(jù)題意可得+4=(q+d)(q+13d)'=2所以?！?2〃-1,

。5~。2"14

1”1______

(2/I-1)(2M+1)，2〃-12n+l)

=—1-----------

212/7+1

n

2n+\

故選：A.

4.已知優(yōu)，”是兩條不同的直線，。，夕是兩個不同的平面，給出下列命題：

①若a〃￡,"ua,nu/3,則才||〃；②若，"||c,m||n,則川|a；③若機，〃是異面直線，則存在a,

"，使根ue,nu/,且tz〃夕；④若a,夕不垂直，則不存在mua,使機

其中正確的命題有.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【詳解】①由圖可知符合：a//13,mea,〃u〃，

但〃?，〃為異面直線，不平行，故①錯誤.

②由圖知符合：加IIa,m||n,

但wua,故②錯誤.

③根據(jù)條件：機，”是異面直線，則存在a,/3,使wiua,nu/3,可畫出c〃6,

如圖所示:,即存在a〃夕，故③正確.

④假設：mua,mVp,由平面與平面垂直的判定可得：a1/3,與已知矛盾，

故a,口不垂直，則不存在mua,使機_1_〃，④正確.

故選:B

5.苗族四月八日“姑娘節(jié)”是流傳于湖南省綏寧縣的民俗活動，國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.假設在即將舉辦

的“姑娘節(jié)”活動中，組委會原排定有8個歌舞，節(jié)目,現(xiàn)計劃增加2個“對唱”節(jié)目.若保持原來8個節(jié)目的相

對順序不變，則不同的排法種數(shù)為()

A.56B.90C.110D.132

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意分兩類，

第一種兩個“對唱”節(jié)目相鄰：C陽=9x2=18,

QXQ

第一種兩個“對唱”節(jié)目不相鄰：c＞；=—x2=72,

則不同的排法種數(shù)為18+72=90.

故選:B

6.若對函數(shù)〃x)=2x-sinx的圖象上任意一點處的切線乙，函數(shù)g(x)=+(m-2)x的圖象上總存在一點

處的切線4,使得則機的取值范圍是()

A.[-別B.因

C.(-1,0)D.(0,1)

【答案】D

【詳解】由"尤)=2x-sinx,得r(x)=2-cosxe[l,3],所以一；；一'---e=A,

由g(x)=%/+(m-2)x,得/(%)=m/+m-2,設該導函數(shù)值域為5,

(1)當機>0時，導函數(shù)單調(diào)遞增，gr(x)e(m-2,+oo),

由題意得七,土2,廣&)，(工2)=t/?，(電)=-予工??4口5

故加一2<-1,解得0<相<1；

(2)當mv0時，導函數(shù)單調(diào)遞減，g'(x)￡(-co,機-2),同理可得根-2>-與m<0矛盾，舍去;

(3)當機=0時，不符合題意.

綜上所述：加的取值范圍為(0,1).

故選：D.

7.已知單位向量1,5的夾角為8,且tan6=g,若向量/=百萬-3$,則網(wǎng)=

A.72B.73C.V26D.血或回

【答案】A

【詳解】由tan9=:，。為圓5的夾角，故。為銳角，所以求得cos0=2叵；

25

又因為|應「=(君/一35『=14一66萬0=14-6右同卡卜0$6=2

所以網(wǎng)=也.

故選：A.

8.阿基米德既是古希臘著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近”的方法得到橢圓的面積除以圓

22

周率乃等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C：宏+方=l(a>6>0)的左，右焦點分別是%尸2,

產(chǎn)是C上一點，歸耳|=3歸居HP*4,C的面積為12%，則C的標準方程為()

=1

2C。卜D.f4

A.—+=1B.—+y=l

36412

【答案】C

O1

【詳解】由橢圓的定義可知|母;|+|「閭=2。，又|班|=3|尸閭，所以|尸用=聲，|尸局=（.又居=7?r

寓閶2=|尸耳『+］尸閶2一2戶周.|尸閭cosN耳尸耳,所以4c2=#+#-#,所以°=君,

萬=J/-。？=/c.又橢圓的面積為12兀,所以余5=12萬

解得c?=7,a2=16,b2=9.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是（）

Cf

A."a為第一象限角”是“藍為第一象限角或第三象限角”的充分不必要條件

JT1

B.iia=—+2k7i,左eZ”是"sina=-"的充要條件

62

C.設加=“。=配±；,4￡2,,N="a=?,%￡Z,,則“夕￡”是"OcN”的充分不必要條件

A

D."sin，>0”是“tan—>0”的必要不充分條件

2

【答案】AC

【詳解】對于A,因為。為第一象限角，

71

所以2fai<a<—+2尿,keZ,

2

兀

貝ljE<a<一+kit,keZ,

4

當上為偶數(shù)時，a為第一象限角，

當上為奇數(shù)時，a為第三象限角，

所以充分性成立；

當。=：時，a為第一象限角，則2a=T，為第二象限角，

即必要性不成立，故A正確；

7T

對于B,當a=—+2%兀,左eZ時，

6

sina=1成立，則充分性成立；

2

17T、5兀

當sina=—時，a=—+2也或1=----卜2kn,k$Z,

266

故必要性不成立，則B錯誤;

71Q.：(43)兀

對于C,M=aa=kit土一，keZ\=<a,k\,

44

而N=jaa=w，kEZ1,

則MN,故則“d^M”是“6￡N”的充分不必要條件,故C正確；

對于D,當sin。>0時，2E<e<2E+jr?￡Z,

則E<g<fai+工，kEZ,

22

A

則tan；>0,故充分性成立，

2

當tan—〉0H寸，ku<—<ku—,k￡Z,

222

貝|J2kji<0<2hi+7i,kGZ,

貝ijsin"0成立，

A

所以“sin6>(T是的充要條件，故D錯誤，

故選：AC.

10.已知復數(shù)Z1=l+2i,復數(shù)Z滿足|z-zj=2,則()

A.Z]?Z[=5

B.A/5-2<|Z|<A/5+2

C.復數(shù)I在復平面內(nèi)所對應的點的坐標是(-L2)

D.復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應的點為Z(x,y),則(x_l)2+(y-2)2=2

【答案】AB

【詳解】由已知,=1—2i,其對應點坐標為(1,一2),C錯;Z/)=12+22=5,A正確；

由|z-zj=2知z對應的點在以4對應點為圓心，2為半徑的圓上，匕|=右，

因止匕6-2w|z|<正+2,B正確；4對應點坐標為(1,2),因此(x-l)2+(y-2)2=4,故D錯誤,

故選：AB.

11.已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)〃元)，其導函數(shù)為f(x),且/(O)=ejg]=l,函數(shù)y=/'與為奇

函數(shù)，當尤時，r(x)>/(X),貝u()

A./(l)=eB./(2)>e2

01

C.3X0GR,/(X0)<1D./(e)>/(-lnl.l)

【答案】ABD

【詳解】A項，在〃力中，/(O)=e,/^=l,函數(shù)尸尸1+J為奇函數(shù)，

所以函數(shù)y=/(x+￡j為偶函數(shù)，則=,

所以函數(shù)關(guān)于x=:對稱，

所以/(l)=/(O)=e,故A正確；

B項，令g(x)=與，

因為當x>g時((x)>〃x),

所以當時，g，(x)=7'(He：/")二=/⑺-"x)>0,函數(shù)g@)單調(diào)遞增,

2ee'v

所以g⑵=ghg(l)=*{=l,

所以〃2)>e2,B正確;

c項，當x>g時，g(x)=^>gQ^=^y=4>o>

所以尸(x)>〃x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,

所以當時，函數(shù)/(無)單調(diào)遞減，

則/⑺在x=p又得最小值為1,

所以不存在天€旦/(5)<1,C錯誤；

D項，由函數(shù)〃x)關(guān)于尤=：對稱，

當x>0時，令Mx)=e“—x,〃(%)=1—1>0,函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增，

y/z(x)=ex-x>/z(O)=e°-O=l,則e*>x+l,

所以e°」>l+0.1=l］，e01-1>l.l-^=0.6,

22

1Y

令夕(x)=ln(l+x)—%,夕'(％)=-----1=---------<0,

1+x1+x

所以函數(shù)。(%)單調(diào)遞減，^(x)=ln(l+x)-x<^(O)=ln(l+O)-O=O,

所以ln(l+x)<x,

所以lnl.l=ln(l+0.1)<0.1,1-(-lnl.l)<1+0.1=0.6,

所以e?！古cg的差大于3與-lnl.1的差，

因為函數(shù)/(X)關(guān)于尤=g對稱，當x>g時，函數(shù)/(無)單調(diào)遞增，

所以/(e°」)>/(-lnLl),D正確；

故選：ABD.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.^f{x|O<x<l}n{x|x2-2%+；M>O}=0,則實數(shù)機的一個取值為.

【答案】"7=0(答案不唯一)

【詳解】因為{彳1一2%+%>0}#0,

且當A=4—4/"<0時，即機￡1時，{x|0V尤V1}口{X/-2x+m>0}*0,

當A>0時，即R>1時，才有可能使得{xlOWxWWnix*-2尤+相>0}=0,

當Y一2x+m=0的兩根剛好是。,2時，即m=0,止匕時/一2x>0的解集為(f,0)U(2,收)剛好滿足

{x|0<x<\}H{x|x2-2x+m>O}=0,

所以加40,所以實數(shù)加的一個取值可以為帆=0.

故答案為：m=0

13.已知。為拋物線C儼=4x上的動點，動點M滿足到點4(2,0)的距離與到點尸(尸是C的焦點)的距

離之比為孝，則|。暇|+1。石的最小值是.

【答案】4-V2

由題意得歹(1,0),I。尸I等于點Q到準線x=-l的距離,

過點。作QS垂直準線于點S,則|Q典=|QS|,

22

.、J(x-2)+yJ22

設動點M(x,y),則可I-=*整理得(》-3)一+，=2,

22

所以點M的軌跡為以5(3,0)為圓心，半徑為后的圓，

所以|QM+|QF閆QB|-0+|QS|,所以當S,0,MB四點共線時，|。閭+|。司最小，

故(|QM+|QHL=1+3_0=4-點.

故答案為：4-^2.

14.如圖所示，在正方體48。-4耳￡。中，M是棱AA上一點，平面MBA與棱CG交于點M給出下面

幾個結(jié)論：

①四邊形M2NQ是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面與直線8月垂直；④任

意平面MBND、都與平面ACB1垂直.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①④

【詳解】對于①，因為平面九/2與棱CG交于點N,所以M,8,。,N四點共面,

在正方體ABCD-AAG"中，由平面2CC4〃平面ADD^,

又平面平面平面MBqn平面2CC4=2N,所以MDJ/BN,

同理可得N2〃MB,故四邊形MBNA一定是平行四邊形，故①正確

對于②，在正方體ABCD-4耳中，AiDl1面ABBiAi,

因為u面，所以AD-LBM,

若MBND,是正方形，有MD、IBM,MDt=BM,

若A，M不重合，則與A.矛盾，

若4,加重合，則不成立，故②錯誤；

對于③，因為平面MBNQ,3BR<90。,

若直線8片與平面MBNR垂直，則直線2月J.22,顯然矛盾，

所以平面M2NQ與直線8月不可能垂直，故③錯誤

對于④，因為2月，平面ABCD,ACu平面ABC。，所以

又BD_LAC,BB[cBD=B,BB],BDu平面BBQQ,所以AC_L平面B8QD,

又〃Bu平面8BQ。，所以RB_LAC,

同理：D^IAB,,又ACu平面AC4，AB]U平面ACB-ACnAB1=A,

所以28,平面ACB-因為08u平面MBNR,所以平面MBNR，平面4c遙，故④正確.

故答案為：①④.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知/(x)=V+以2+1,。eR.

2

(1)若/(*)在x=§處取極值，求/⑺在點(-。1)處切線方程；

(2)若函數(shù)/⑺在區(qū)間[0,1]最小值為一1,求a.

【答案】(1)y=x；(2)a=-3.

22

【詳解】解：(1)?.,/口)=3》(》+鼻。)，又Ax)在％=可處取極值，

DJ

%)=0得。=—1,

當a=-l時廣(x)=3x,-1］,函數(shù)在(-8,0)和||,+<|上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，滿足題意;

/.f(x)=x3-x2+l,切點為(L1),切線斜率為左=/'⑴=1

.../(X)在點(1,1)的切線方程為y=X

(2)???/'(x)=3x(x+?),令r(x)=。得x=0或一號

若則xe(?！?時尸(x)>0,/(x)在［0,1］為增函數(shù)

此時，(x).=/(0)=l>T舍去

32

若5，則—此時％三(。/)時/'(X)<o,/(尤)在［0,1］為減函數(shù)

a

fWmin=/(I)=2+?=-1,得a=-3￡(-8,-萬)滿足題意

若0〉a>—』，貝止匕時工￡(0,-2。)時r(x)<0,%￡(一絲」)時廣(%)>0

2333

/(X)在(0,母單調(diào)遞減，在(-年,1)單調(diào)遞增，

此時/(X)mM=/(-爭=?+1=-1解得。一^停貨(-|，。)舍去

綜合以上得a=-3

16.(15分)為參加涼山州第八屆“學憲法講憲法”演講比賽，某校組織選拔活動，通過兩輪比賽最終決定參

加州級比賽人選，已知甲同學晉級第二輪的概率為:，乙同學晉級第二輪的概率為機.若甲、乙能進入第

二輪，在第二輪比賽中甲、兩人能勝出的概率均為1.假設甲、乙第一輪是否晉級和在第二輪中能否勝出互

不影響.

(1)若甲、乙有且只有一人能晉級第二輪的概率為、，求加的值；

(2)在(1)的條件下，求甲、乙兩人中有且只有一人能參加州級比賽的概率.

、119

【答案】⑴產(chǎn)而

【詳解】(1)設事件A表示“甲在初賽中晉級”，事件B表示“乙在初賽中晉級”，

由題意可知，P(A豆uAB)=P(AB)+=；(1-%)+11-j加=卷，

解得根=；

(2)設事件C為“甲、乙兩人中有且只有一人能參加市級比賽”，。為“甲能參加市級比賽”，E為“乙能參加

市級比賽”,

111

則尸(。)—X—=—

339

尸

lx1-111-1x11=19

所以尸（0=+

912912108

JT

17.（15分）如圖‘在平行四邊形中,48=0,BC=2,ZABC=-,四邊形ACE尸為矩形，平面

ACEF±￥ffiABCD,Ab=1,點M在線段所上運動.

（1）當時，求點M的位置;

（2）在（1）的條件下，求平面MBC與平面ECO所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）點M為斯的中點⑵萼

JT

【詳解】（1）解：,?,A8=0，AD=BC=2,ZABC=~,

4

AC=\lAB2+BC2-2AB-BCcosZABC=近,

AB2+AC2=BC2,ZR4C=90°,:.AB±AC,又APJLAC,

又平面ACER_L平面ABC。，平面ACEFPl平面?WCD=AC,AFu平面AC。,

.,.鉆1.平面4￡儀）,

所以以AB,AC,AF為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

貝I]A(0,0,0),B(72,0,0),C(0,-J2,0),0(-^,-J2,0),E(0,72,1),F(0,0,1),

設M(0,y,l),噫獷-J2.

貝■二?&),W=(A/2,J-A/2,1)

-.■AE±DM,AE-DM=y/2(y->/2)+l=0,V=--—=-

2FE2

.,.當AELDM時，點M為E尸的中點.

（2）解：由（1）可得麗=（一行,#』），BC=（-72,72,0）

設平面MBC的一個法向量為沆=（尤1，%，4）,

L_「亞

m?BM=—12x、H----y,+z.=0-

則T2-11，?。?2,貝I]加=(2,2,夜)，

m-BC=-y/2xl+0yl=0

易知平面E8的一個法向量為元=(0,1,0),

c,,\m-n\2而

cos6=cos<m,n>=—1----=,_=---,

\m\-\n\14+4+25

,平面MBC與平面ECD所成銳二面角的余弦值為巫.

5

18.(17分)已知橢圓G：，■+y2=l(a>l)與拋物線C2：/=2px(p>。)在第一象限交于點。(4,五)，A,

5分別為G的左、右頂點.

⑴若x°=l,且橢圓G的焦距為2,求C?的準線方程；

（2）設點尸。,0）是G和C2的一個共同焦點，過點尸的一條直線/與G相交于C,。兩點，與C?相交于E,G

兩點，CD=AEG，若直線/的斜率為1,求九的值;

（3）設直線QA,直線。8分別與直線x=a+l交于N兩點，與AQAB的面積分別為S，邑，若空

?2

的最小值為%求點。的坐標.

【答案】（1）》=一：（2）2=±也（3）4

o6

【詳解】（1）由題意得2c=2,故c=l,則=解得4=2,

故橢圓G：—+/=1-

2

因為。（無2,%）在第一象限，X°=l,所以為=g,

所以Q,將其代入y2=2px（p>0）中，即2P=g,解得p=:,

故Cz的準線方程為x=Y，x=W；

2o

（2）由題意得。2-1=14=1,解得/=2,p=2,

2

故C|：[+y2=l,C2-.y=4x,

直線/的方程為y=xT,聯(lián)立C：L+/=1得，3X2-4X=0,

2

設。（藥,弘）,。（%2，%），則Xi+X2=g，%%=°，

故\CD\=Jl+1J（X[+0）2_4占/=A/2xJ=~~，

聯(lián)立kXT與C2：y2=4x得，X2-6X+1=0,

設雙玉,%）々優(yōu),%）,則%+匕=6,X3X4=1,

故忸G[=Jl+]J（%+xj--4X3X4=xJ36-4=8i

_.逑

若詼,兩方向相同，力=￡2=工=立，

EG86

若麗,而方向相反，2=-—,

6

\0/FJX

^~7D\^

所以4=+-^-;

6

(3)由A(—a,0),g(xe,ye]，”(a+1,%)三點共線，可得

YM丁。.,y(2—(2a+l),

o=，故加=

2a+1xQ+axQ4a

同理，由5g,0),Q[XQ^Q),N(a+1,%)三點共線，可得

yQ

yN=，

xQ-a

I

貝!J￡=5(>M-后卜(。+1-%0

v

2\^XQ+axQ-aJ

(x-a-l)ya(xQ-a-l)~yQ

=aQQ=--------------,

Q

XQ-a2、'O2~XQ

因為《+〃2其=",所以〃一《?=片區(qū),

所以S?兀-y)&a(q))2_他一々-1)

ayQ

又S?=—|AB|-yQ=yQa,

故縣=(尤叱力=2

—,

2

S2々2,a一《

因為演￡(0,a),令Q+1-XQ=/e(l,a+l),

貝IXQ=Q+1—1，

si(xQ-a-iy_______?_________________1__________

所以司―2()

a2T--r+2fl+2f-2fl-l（一2。_1）；+（2。+2）；-1

“?一

其中二1e

Q+1J

因為“>1,所以y=（-2a-l）g+（2a+2）：-1的開口向下,

2〃+2a+1

對稱軸為一2（-24-1）=罰,

Q+11a?+2。+1—2〃—1a?_

其中------=------------------------=------------------->0

2a+16/+1(2。+1)(〃+1)(2Q+1)(Q+1)

故當；=黑時，y=（-2a-l）J+（2a+2）f取得最大值,

212

Q+1

最大值為y=(-2a-l)+(2cl+2),---------1---------

2。+11172。+12Q+1

故］的最小值為&L

令”=：，解得。=2,負值舍去,

a4

,1a+13…/口5

故L-=7~~7=7'解得/=彳，

t2a+153

】054

x=Q+1一方=2+1—=—,

nQ33

又吃+a2y1=a2,故y°=g,

則點。的坐標為

19.（17分）已知有窮數(shù)列｛見｝的各項均不相等，將｛4｝的項從大到小重新排序后相應的項數(shù)構(gòu)成新數(shù)列｛%｝,

稱｛%｝為｛4｝的“序數(shù)列”.例如,數(shù)列生、的、%滿足4>%>出，則