2024年中考數(shù)學壓軸題預測及答案解析

急點研究

專題熱度★★★★★

1.綜合與實踐

2.閱讀與理解

命題熱點

3.函數(shù)與圖象

4.幾何圖形綜合

熱門方法建立數(shù)學模型、方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結合思想

熱點題型解答題

急醫(yī)焚戚

熱點1綜合與實踐

名師點撥

善于將函數(shù)問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數(shù)的知識，注

意挖掘題目中的隱含條件.

；題目①（2023秋?北流市期末）綜合與實踐

【問題背景】以函數(shù)的角度來看待和解決問題.

（1）通過觀察以下一位數(shù)的積：1X9,2X8,…，8X2,9X1.其中每個式子中的兩數(shù)之和為10,推測在這些

式子中，乘積最大的算式是_5X5_.（只需填符合的算式，不需要算出結果）

（2）通過觀察以下兩位數(shù)的積：11X19,12x18,???,18x12,19x11.其中每個式子中的兩數(shù)之和為30,推測

在這些式子中，乘積最大的算式是.（只需填符合的算式，不需要算出結果）

【初步探討】以問題（2）為例，設第一個數(shù)為，,寫出你對問題（2）的猜想（包括條件和結論）.嘗試用二次函數(shù)

的知識證明你對問題⑵的猜想.

【實踐應用】（3）物理電路理論知識中有以下幾個結論：串聯(lián)電路的總電阻等于各串聯(lián)電阻之和；并聯(lián)電路總

電阻的倒數(shù)等于各并聯(lián)電阻的倒數(shù)之和；電壓一定的情況下，電流與電阻成反比關系.在如圖1所示的電路

中，R產(chǎn)2Q,R2=3。,滑動變阻器的最大電阻R3=5Q,其等效電路圖如圖2所示，其中Rap+Rbp=凡,在滑片

從a端滑到b端的過程中，設上冷土。,請你結合電路知識以及函數(shù)知識來說明，當兩支路的電阻相等時，電流

表示數(shù)最小，并求出電流表示數(shù)的最小值.

圖1圖2

【答案】【問題背景】（1）5x5;（2）15x15;

【初步探討】猜想：若兩數(shù)和為30,當這兩數(shù)相等時，它們的乘積最大,證明見解答；

【實踐應用】（3）24.

【分析】【問題背景】（1）、（2）由題意計算最大值，即可求解；

【初步探討】設第一個數(shù)為①，則另一個數(shù)為30—名，它們的積為沙,則有9=力（30—2）=—3—15）2+225,即可

求解；

【實踐應用】（3）設五吵=/。，則五加=（5-;r）Q,0W/W5,設總電流為/,由分式的性質可知，若分子為不變的

正數(shù)，則分母最大時，分式最小，進而求解.

【解答】解:【問題背景】（1）5x5=25為最大，

故答案為：5X5;

（2）15X15=225為最大,

故答案為：15X15;

【初步探討】猜想：若兩數(shù)和為30,當這兩數(shù)相等時，它們的乘積最大.

證明：設第一個數(shù)為2，則另一個數(shù)為30—2，它們的積為y,

則有夕=工（30—⑼=—（①一15）2+225,

則拋物線開口向下，

當±=15時，V取最大值，為225,

此時這兩數(shù)分別為15及30—15=15,兩數(shù)相等，

當這兩數(shù)相等時，它們的乘積最大；

【實踐應用】（3）設Rap=ccQ,則（5—rc）Q,0WrcW5,設總電流為/，則

1=旦=5（1+1』?（'+—1—）=_____50______,

7?總\Ri+RapRz+Rbp）2+x3+5—力,（2+力）（8—力）

由分式的性質可知，若分子為不變的正數(shù)，則分母最大時，分式最小.

設W=（2+%）（8—x）――（x—3）2+25.

??,-1V0,則拋物線W開口向下，且04力45,

.?.當2=3時，W取最大值為25,此時/取最小值為翌=2（4）,兩支路電阻分別為2+3=5（。）和8—3=5

（。），兩支路電阻相等，

/.當兩支路的電阻相等時，電流表示數(shù)最小，最小值為24.

題目區(qū)（2024?青山湖區(qū)模擬）綜合與實踐

問題提出

某興趣小組開規(guī)綜合實放活動：在正方形ABCD中，BC=4,動點P以每秒1個單位的速度從B點出發(fā)勻速

運動，到達點。時停止，作4P的垂線交CD于連接⑷W,設點P的運動時間為1的面積為

S,探究S與t的關系.

初步感知

（1）如圖1,當點P由B點向。點運動時，

①當t=3s時，CM——-y—,S—；

②經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關于力的二次函數(shù)，請寫出S關于t的函數(shù)解析式為;自變量取值范圍為

（2）根據(jù)所給的已知，完成列表中的填空，并在圖3的坐標系中繪制出函數(shù)的圖象;

t01234

s88

延伸探究

⑶①當1=時，S=7；

②當^ABP的面積為S的一半時,求t的值.

S

8P-n-T-n--,

IIIII

7卜：葉-：一；

6?r~??—??

5卜：寸-：-；

4|????

3卜：U-：-；

2?r-??—??

1卜

I_1_:_!_!_>

01234t

圖3

【答案】⑴①多號；

②S=9-2%+8,0W1W4；

⑵見解析；

⑶①2±方；

②6—2V5.

［分析】⑴①證明^ABP?APCM，可得CM=■，則。河=子■，利用三角形的面積公式即可求解；

②由題意得PC=4一方,根據(jù)相似三角形的性質可得CM="/,則DM=4-CM=~彳+16，利用三角

形的面積公式即可求解；

⑵根據(jù)S關于力的函數(shù)解析式計算力=1,2,3時S的值，可完成列表中的填空，繪制出函數(shù)的圖象；

⑶①S=7時，求出符合題意力的值即可；

②根據(jù)AABP的面積為S的一半以及三角形的面積公式建立方程，求出力的值即可.

【解答】解：⑴①當力=3時，BP=3,CF=4-3=1,

又???四邊形ABCD是正方形，

??.ZB=ZC=90°,AD=CD=4,

???

AP.LPMf

：./APB+4JPM=APMC+ZCPM=90°,

???/APB=/PMC,

：.\ABP?\PCM,

.PC=CM

??布一談‘

.1_CM

CM=1網(wǎng)ZW=學

/ttAAZW的面積S=9人。?ZW=/x4x苧=獸,

故答案為：,，粵；

②當點P由點B運動到點。時，BP=t,

AABP八PCM,

.PCCM由4TCM

.?近=赤,即==丁，

3

???CM=

4

f2—4/+16

??.DM=4-CM=i:,

4

??.Rt'ADM的面積S=^AD?DM=-1-x4x4力+16-^-f2-2t+8（04±&4）,

4

故答案為：S=-2t+8,04力<4;

（2）力=1時，5=]—2+8=6.5"=2時，5=2—4+8=6,-3時，S=^-6+8=6.5,完成列表中的填

空如下,

t01234

s86.566.58

在圖3的坐標系中繪制出函數(shù)的圖象；

⑶①???S=7,

yt2-2t+8=7,解得i=2±V2,

故答案為：2士2；

②當點P由點。運動到點B時，CP=t,

：.S4ABP=yAB-BP=yx4t=2t,

^ABP的面積為S的一半

/.2t=-1-t2-2t+8,解得t=6+2a

v0<i<4,

：.t=6—2A/5.圖3

1題目區(qū)（2024?青秀區(qū)校級開學）綜合與實踐

一個數(shù)學興趣小組在上綜合與實踐課時發(fā)現(xiàn):在大自然里,存在很多數(shù)學的奧秘，一片美麗的心形葉子、剛生

長出的幼苗的部分輪廓線，可以近似的看作由拋物線的一部分沿直線折疊而成，如圖1與圖2所示.

圖2

是二次函數(shù)沙=mx2-4：mx-20m+5圖象的一部分,且過原點，求這個拋物線的表達式及頂點D的坐標.

【問題探究】如圖3，心形葉片的對稱軸直線y^x+2與坐標軸交于4B兩點，直線2=6分別交拋物線和直

線48于點E,F,點、E、的是葉片上的一對對稱點，EE交直線AB于點G.求葉片此處的寬度碰7的長.

【拓展應用】興趣小組同學在觀察某種幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線也可以看作是二次函數(shù)？/

=機22—4小7-20館+5圖象的一部分，如圖4,幼苗葉片下方輪廓線正好對應【問題發(fā)現(xiàn)】中的二次函數(shù).若

直線PD與水平線的夾角為45°,三天后,點D長到與點P同一水平位置的點D'時，葉尖Q落在射線OP上

(如圖5所示).求此時一片幼苗葉子的長度.

【答案】【問題發(fā)現(xiàn)】y—■^-x2—x;Z)(2,—1);

【問題探究】52；

【拓展應用】3弱.

【分析】【問題發(fā)現(xiàn)】二次函數(shù)沙=m;/—4館2—20m+5過原點，則一20m+5=0,即可求解；

【問題探究】點E、?關于直線AF對稱，求出點￡7(1,8),即可求解；

【拓展應用】求出點。(2,3),得到拋物線的表達式為：？/=4/—弓2+學,進而求解.

■LNOO

【解答】解：【問題發(fā)現(xiàn)】，??二次函數(shù)g=mx2—4mx—20m+5過原點，

.,.—20m+5=0,

解得:m=

則拋物線的表達式為：y=,

4

則點0(2,—1);

【問題探究】當力=6時，g=勿=3,即點石(6,3),

當力=6時，g=6+2=8,即點F(6,8),

則EF=8—3=5,

過點石作力軸的平行線交4R于點T,連接：

則點石、0關于直線AF對稱，

則點石'(1,8),

則EEf=7(6-1)2+(8-3)2=5V2;

【拓展應用】在。。上取點過點M作A4N〃沙軸交拋物線于點N,交過點O與力軸的平行線于點過點

N作NS上QD，于點、S,

由拋物線的表達式知,點￡)(2,-1),

??,直線PO與水平線的夾角為45°,則直線PO的表達式為：沙=一力+1,

聯(lián)立y=二/一力和y——X+1得：-^-x2—x——X+1,

???

解得：力二-2,即點P（—2,3）,

則點D（2,3）,

將點的坐標代入g=mx2—4ma;—20m+5得：3=4m—8m—20m+5,

解得：771二擊，

則拋物線的表達式為：y=^—x2―1~力+羋，

由點P的坐標得,直線。P的表達式為：g=—|女，

聯(lián)立上述兩式得：-^-rr2-■/]+￥"=一~

解得：x=-4或一10（舍去）,

即點Q（—4,6）,

由點Q、D'的坐標得，DQ=3V^,yQD'——3：+4,

即葉子的長度為3〃^.

【題目|4）（2024?興化市開學）綜合與實踐：

問題情境

小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價格新購進了某種盆栽花卉,為了確定售價，小瑩幫媽媽調查了附近A,

B,C,D,E五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價，與日銷售量夕情況,記錄如下：

售價（元/盆）日銷售量（盆）

A2050

B3030

C1854

D2246

E2638

數(shù)據(jù)整理：

（1）請將以上調查數(shù)據(jù)按照一定順序重新整理,填寫在下表中：

售價（元/盆）18

日銷售量（盆）

模型建立

（2）分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，探究出日銷售量y與售價。之間的關系式.

拓廣應用

（3）根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中.

①要想每天獲得400元的利潤,應如何定價？

②售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤？

【答案】⑴18,54;20,50;22,46;26,38;30,30;

（2）y=-2x+90;

⑶①要想每天獲得400元的利潤,定價為25元或35元；

②售價定為30元時，每天能夠獲得最大利潤450元.

【分析】（1）根據(jù)銷售單價從小到大排列即可；

（2）用待定系數(shù)法求出日銷售量"與售價，之間的關系即可；???

（3）①根據(jù)每天獲得400元的利潤，列出一元二次方程,解方程即可；

②設每天獲得的利潤為伊元，依據(jù)題意得趾=-23—30）2+450,依據(jù)一元二次方程的性質分析即可.

【解答】解：（1）根據(jù)銷售單價從小到大排列得下表：

售價（元/盆）1820222630

日銷售量（盆）5450463830

故答案為:18,54;20,50;22,46;26,38;30,30;

（2）觀察表格可知銷售量是售價的一次函數(shù)；

設銷售量為沙盆，售價為c元，y=for+6,

把（用54），（2。，5。）代入得:｛黑::設，

解得小竟，

y——2x+90;

（3）①V每天獲得400元的利潤，

A（c—15）（—2c+90）=400,

解得x—25或C=35,

要想每天獲得400元的利潤，定價為25元或35元；

②設每天獲得的利潤為每元.

根據(jù)題意得：wQ-15）（—2/+90）=—2a?+120a:-1350=-2（2-30）2+450,

?：-2<0,

：.當劣=30時，加取最大值450,

.?.售價定為30元時，每天能夠獲得最大利潤450元.

〔題目〔5〕（2023秋?慶云縣期末）綜合與實踐

如圖1,某興趣小組計劃開墾一個面積為8m2的矩形地塊ABCD種植農(nóng)作物,地塊一邊靠墻（墻足夠長），另外

三邊用木欄圍住，木欄總長為am2.

【問題提出】

小組同學提出這樣一個問題:若a=10a,能否圍出矩形地塊？

【問題探究】

小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個問題：

設4B為力m,BC為nrn.由矩形地塊面積為8m2,得到力夕=8,滿足條件的（力,g）可看成是反比例函數(shù)g=

-的圖象在第一象限內點的坐標;木欄總長為10m,得到2a:+V=10,滿足條件的e，y）可看成一次函數(shù)y=

X

-2,+10的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的（⑨妨就可以看成兩個函數(shù)圖象交點的坐

標.

如圖2,反比例函數(shù)夕=3（2>0）的圖象與直線2。+10的交點坐標為（1,8）和_（4,2）_,因止匕，木欄

x

總長為10m時，能圍出矩形地塊，分別為：AB=1M，8m；或AB=m,BC—m.

（1）根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空.

【類比探究】

（2）若a=6m,能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法說明理由.

【問題解決】

（3）求當木欄總長a為多少時？面積為8m2的矩形地塊ABCD滿足AB=BC.???

勿卜

\y-(a;)O

\

\\

\\

\a

\

A

十\

O1

圖1圖2

【答案】（1）（4,2）;4;2;

（2）不能圍出，理由見解析；

（3）當木欄總長a為時，面積為8M2的矩形地塊4BCD滿足=

【分析】⑴觀察圖象或聯(lián)立解方程組得到另一個交點坐標為（4,2）;

（2）觀察圖象得到L與函數(shù)沙=卷圖象沒有交點，所以不能圍出；

（3）根據(jù)題意列方程，解方程即可得到結論.

x

【解答】解：⑴將反比例函數(shù)y=2與直線l1:y=—2x+10聯(lián)立得

x[y=—2x+10

~~——2x+10,

x

rc2-5rc+4=0,

???力尸1,x2—4,

???另一個交點坐標為（4,2）,

*/AB為xm,BC為ym,

：.AB=4,BC=2.

故答案為：（4⑵；4;2;

（2）不能圍出；

理由：0=—26+6的圖象，如答案圖中，2所示：

不能圍出面積為8m2的矩形;

(3)?/AB=BC,

：-x=y9

/.3x—a,

：.a=6A/2（負值舍去）,

???當木欄總長Q為6V2m時，面積為8m2的矩形地塊ABCD滿足AB=.

熱點2閱讀與理解

名師點撥

結合實際問題來解決，生活中的一些數(shù)學常識要了解._________________________________

題目0（2024-高平市一模）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務.

數(shù)學對物理學的發(fā)展起著重要的作用，物理學也對數(shù)學的發(fā)展起著重要的作用，莫爾

斯所說:“數(shù)學是數(shù)學,物理是物理，但物理可以通過數(shù)學的抽象而受益,而數(shù)學則可以

通過物理的見識而受益

以下是數(shù)學中常見的一個問題：

若a+b=2,則而的最大值是多少？

設a=1+z,&=1—2，貝！Jab=（1+2）（1—Z）=1—x2=—x2+l.

以下是物理中的一個問題：

物理學中的電路分為串聯(lián)電路和并聯(lián)電路；已知電路中有大小分別為晶和晶的兩個電

阻，串聯(lián)電路的電阻公式為7?=a+總，并聯(lián)電路的電阻公式為1=《+/?在某一段

電路上測得兩個電阻的和為15H2,若根據(jù)實際需要把這兩個電阻并聯(lián)在一起，則并聯(lián)

后總電阻的最大值是多少？

任務：

（1）按照上面的解題思路，完成數(shù)學問題的剩余部分.

⑵若a,6兩數(shù)的和為定值，則a,b滿足_a=b—時，ab的值最大.

（3）解決這個物理問題主要體現(xiàn)的數(shù)學思想是.（填序號即可）

A.統(tǒng)計思想B.分類思想C.模型思想

（4）物理問題中并聯(lián)后總電阻的最大值是______kQ.

【答案】（1）1;（2%=6;（3）。；（4）號.

（分析］（1）利用題干中的方法和非負數(shù)的意義解答即可；

⑵利用（1）的結論解答即可；

（3）利用數(shù)學模型的思想解答即可；

（4）利用（2）的結論列式解答即可.

【解答】解：（1）設a=l+/,b=l—力，???

則ab=（1+力）（1—力）=1—ru2=—T2+1,

V-x2<0,

當力=0時，即Q=b=1時，ab取得最大值為1.

⑵由⑴知：若Q+b=2,則a=b=1時，ab取得最大值.

若Q,b兩數(shù)的和為定值，則a,b滿足a=b時，ab的值最大.

故答案為:a=b;

（3）??,解決這個物理問題主要體現(xiàn)的數(shù)學思想是利用題干中提供的數(shù)學模型解答,

???解決這個物理問題主要體現(xiàn)的數(shù)學思想是模型思想，

故選：C.

（4）V7?1+凡=15k。,

???品與凡的和為定值，

由⑵知：當R產(chǎn)&=擇。時，R1-凡的值最大.

1

R品+此，

1

HR1-\-R2

R1R2'

.R=R1R2

一一8+凡，

15x15

R的最大值=2]52=.

故答案為：學.

4

[題目可（2024?曲阜市校級一模）閱讀新知

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)

列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（qR0）.

即：在數(shù)列電……,…，源5為正整數(shù)）中，若些=q,%=q,…,則數(shù)列的……,…，a”（n為正整數(shù)）叫

Q1電

做等比數(shù)列.其中5叫數(shù)列的首項，az叫第二項，…，冊叫第九項，q叫做數(shù)列的公比.

例如:數(shù)列1,2,4,8,16,…是等比數(shù)列，公比g=2.

計算:求等比數(shù)列1,3,32,33,…，3期的和.

解:令S=1+3+3?+3'+…+3必，則3s=3+32+33+34+?-?+3100+3101.

3101-1

因此3S—S=3i°i—1.所以S=

2

3101-1

即1+3+3?+33+…+3i°°=

2

學以致用

（1）選擇題：下列數(shù)列屬于等比數(shù)列的是

A.1,2,3,4,5

B.2,6,18,21,63

C.56,28,14,7,3.5

D.-11,22,-33,44,-55

（2）填空題：已知數(shù)列alta2,a3,…，a”是公比為4的等比數(shù)列，若它的首項a產(chǎn)3,則它的第八項an等于.

⑶解答題：求等比數(shù)列1,5,52,53,…前2024項的和.

【答案】⑴C;

（2）3x4n-1;???

r2024_-i

（3）即前2024項的和是a~.

【分析】（1）根據(jù)題意和等比數(shù)歹”的定義，可以判斷哪個選項中的數(shù)列是等比數(shù)列;

（2）根據(jù)題意，可以寫出所給數(shù)列第八項時的值；

（3）仿照題目的例子，可以求得前2024項的和.

【解答】解：（1）由題意可得，

故選項A中的數(shù)列不是等比數(shù)列：

與片整,故選項B中的數(shù)列不是等比數(shù)列；

2lo

5628=工，故選項。中的數(shù)列是等比數(shù)列;

281473.5

22豐?。?故選項D中的數(shù)列不是等比數(shù)列;

-11

故答案為：。；

（2）,/數(shù)列卬02,a3,…，0n是公比為4的等比數(shù)列，它的首項的=3,

-1

它的第九項an—q"T=3x4",

故答案為：3X4"』

⑶設S=l+5+5?+53+?■?+52023,

則5S=5+52+53+■■?+52023,

5S-S=52O24-1,

4s=5*1,

52024—1

s=

4

即前2024項的和是」

;題目0（2023-大同模擬）⑴計算:（—5）2—1—3|+（-2）3-（i）|-3|+（—2戶信廠

2

（2）下面是小明化簡分式x—1的過程,請認真閱讀并完成相應任務:

x~11x"—2a;+1

解:原式=2x—1…第一步

（x+1）（a;—1）（a;-1）2

21…第二步

（劣+1）（2一1）X—1

2x+1…第三步

（劣+1）（劣-1）3+1）（力-1）

2—2+1…第四步

3+1）（2；—1）

3—x…第五步

3+1）（X—1）

【任務一】填空：

①以上化簡步驟中，第一步變形使用的方法是因式分解；

②第步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是

③第步開始出現(xiàn)錯誤.

【任務二】請直接寫出正確的化簡結果:.

【答案】⑴—12;⑵【任務一】①因式分解;②三;分式的基本性質；③四；【任務二】——二

【分析】（1）利用有理數(shù)的乘方法則，絕對值的意義和負整數(shù)指數(shù)賽的意義化簡運算即可；

（2）利用分式的加減混合運算的法則解答即可.???

【解答】解：（1）原式=25—3—8—1+4—9

=29-21

=8;

（2）【任務一】填空：

①以上化簡步驟中，第一步變形使用的方法是因式分解；

②第三步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質；

③第四步開始出現(xiàn)錯誤.

故答案為：①因式分解;②三；分式的基本性質；③四；

【任務二】：原式=-——3——r-廠1

（力+1）（4—1）（T—1）2

=______2___________

（力+1）（力-1）x-1

=2力+1

（力+1）（冗—1）（力+1）（x—1）

2-x-l

（力+1）（力-1）

_1一/

（力+1）（%—1）

=]

x+1*

題目可（2023?微山縣一模）閱讀材料:一般地，若Q，=N（Q>0,aW1）,則/叫做以a為底N的對數(shù)，記作：x—

log*.比如指數(shù)式24=16可以轉化為4=log216,對數(shù)式2=log525可以轉化為52=25.我們根據(jù)對數(shù)的定

義可得到對數(shù)的一個性質：loga（A/?N）=logaM+loga7V（a>0,aW1,M>QfN>0）；理由如下：設logJW=

n1n1

logaN=72,則M—N=a,M-N=aT-a=a",由對數(shù)的定義得m+幾=loga（M-7V）.又,.,?n+

n=loga7W+logJV,??.loga（M?N）=logaM+logJV.

解決問題：⑴將指數(shù)43=64轉化為對數(shù)式_3=log464_；

⑵證明log號=logaM-loga7V（a>0,aW1,M>Q,N>0）；

拓展運用：（3）計算：logs?+log36—log34.

【答案】⑴3=log464;（2）見解析；（3）1.

【分析】（1）根據(jù)新定義公式計算即可.

（2）仿照乘法的證明去解答即可.

（3）根據(jù)公式依次計算即可.

【解答】解：⑴根據(jù)題意，得3=log464,

故答案為：3=log464.

n

（2）設logaM=m,logaN=n,則M=N=a,

/.果=a"=小-",由對數(shù)的定義得m—n=log。格）.

又;171—71=logaM-logaN,

log。（詈）=logaM-logaN.

（3）log32+log36-log34

=log3（2X6）-log34

=log312-log34

=log33

1.??

:題目w](2023.平頂山模擬)閱讀材料：北師大版七年級下冊教材24頁為大家介紹了楊輝三角.

楊輝三角

如果將(a+&)"(n為非負整數(shù))的展開式的每一項按字母a的次數(shù)由大到小排列，就可以得到下

面的等式：

(a+by=l,它只有一項,系數(shù)為1;

(a+b)i=a+b,它有兩項，系數(shù)分別為1,1;

(a+?2=/+2而+凡它有三項，系數(shù)分別為1,2,1;

(a+b)3=a3+3a2b+3加+凡它有四項，系數(shù)分別為1,3,3,1;

將上述每個式子的各項系數(shù)排成該表.

觀察該表,可以發(fā)現(xiàn)每一行的首末都是1,并且下一行的數(shù)比上一行多1個，中間各數(shù)都寫在上

一行兩數(shù)的中間，且等于它們的和.按照這個規(guī)律可以將這個表繼續(xù)往下寫.

該表在我國宋朝數(shù)學家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，而他是摘錄自北宋時期

數(shù)學家賈憲著的《開方作法本源》中的“開方作法本源圖”，因而人們把這個表叫做楊輝三角或

賈憲三角，在歐洲這個表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡(aPascal,1623-一1662)是1654年發(fā)現(xiàn)

這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.

(1)應用規(guī)律：

①直接寫出(a+b『的展開式，(a+b)4=_a4+4a3b+6a2/+4ab3+b4_；

②(a+b)6的展開式中共有項，所有項的系數(shù)和為;

(2)代數(shù)推理：

已知m為整數(shù),求證：(m+3>—(m,-3產(chǎn)能被18整除.

【答案】⑴①a"+dcA+6a2b2+4而3+牝②7,64；

(2)見解析.

【分析】(1)直接利用已知式子中系數(shù)變化規(guī)律進而得出答案；

(2)直接利用已知式子中系數(shù)變化規(guī)律進而得出答案.

【解答】(1)解:根據(jù)規(guī)律得：

①(a+b)4=a4+4a3&+6a2fe2+4ab3+64;

6542332456

②V(a+3a+6ab+15a6+20ab+15a&+6afe+fe,

/.(a+b)6的展開式中共有7項，所有項的系數(shù)和為1+6+15+20+15+6+1=64;

故答案為：①a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，②7,64;

⑵證明：I,(a+b)3—a3+3a2b+3ab2+b3,

(m+3)3—(77i—3)3

=(m3+9m2+27m+27)—(m3—9m2+27m—27)

=m3+9m2+27m+27—m3+9m2—27m+27

=18m2+54

(?7l+3)3—(772—3)3能被18整除.

熱點3函數(shù)與圖象

名師點撥

（1）將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關

鍵是善于將函數(shù)問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數(shù)的知識，

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

（2）從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型.關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直

角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值

范圍要使實際問題有意義._________________________________________________________________

蜃目回（2024-潼南區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx—2與c軸交于點4（4,0）和點B（

—1,0）,與軸交于點。，連接AC、

（1）求拋物線的表達式.

（2）如圖1,點P是直線AC下方拋物線上的一動點，過點P作直線PD〃人。交2軸于點。，過點P作PE±

于點E,求出等PE+AD的最大值及此時點P的坐標.

（3）如圖2,在（2）的條件下，連接OP交AC于點Q,將原拋物線沿射線CA方向平移方個單位得到新拋物

線％在新拋物線％上存在一點朋■，使/OQC-請直接寫出所有符合條件的點”的橫坐

（2）空PE+AD的最大值為6,此時點P的坐標為（2,-3）.

（3）所有符合條件的點M的橫坐標為或41±Vl009,

【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；

（2）運用待定系數(shù)法可得直線AC的解析式為g=十/一2,過點P作PF〃沙軸交AC于F,過點A作AG〃"

軸交RD于G,設P&—2）,則網(wǎng)號力一2），可證得^PFE?△力。。，求得PE=-yt2+2i）=

Zv0乙

t,再證得ADGA?^ACO，可得AD=-廿+此再運用二次函數(shù)的性質即可求得答案;

⑶將原拋物線沿射線CA方向平移，^個單位，即向右平移2個單位，向上平移1個單位得到新拋物線陰，可

得新拋物線抓的解析式為小=[2一日—2『一名+1=y-x2—+4,過點。作QJ〃c軸交沙軸于J,過

2'2，322???

點P作PS，/軸于S,根據(jù)三角函數(shù)定義可得tan/AMC=tan/POS=%=^1,過點。作的垂線，在

該垂線上分別截取CL=CT,使*=tanZLAC=曰或星=tan/7AC=1■，分別過點L、T作夕軸的垂

JT.ONJT.O/

線，垂足分別為K、N,再證得NCLK?^ACO,可得LK=-1oC=3,CK=^-OA=6,即L(-3,4)，再利用待

定系數(shù)法求得直線AL、4r的解析式，聯(lián)立方程組求解即可求得答案.

【解答】解：(1)拋物線y=ax2+bx—2與力軸交于點4(4,0)和點B(—1,0),

.116Q+4b-2=0

A[a-b-2=0，

解得：2

1b0=——2

.，.拋物線的表達式為y=-^-x2——2.

⑵在g=-2中，令±=。,得夕=-2,

AC(O,-2),

設直線4。的解析式為y=far+c,把解(4,0)、。(0,—2)代入，

f4%+c=0

嘰=—2，

解得：卜=上,

[c=-2

直線AC的解析式為?/=一2,

在AtAACO中，04=4,00=2,

AC=VOA2+OC2=V42+22=2A/5,

如圖1,過點P作P尸〃沙軸交入。于F,過點人作AG〃夕軸交P。于G,

則NPFE=NACO,

設P(t4t?―*—2),則2),

?-PF=-2)=十+2t,

?：PE±AC,

：./PEF=/AOC=90°,

:.XPFE八ACO,

.PE_PF

"~OA~~KC

■■-PE=^-PF=^

??,AGIIPF,ACIIPD.

???四邊形AGPF是平行四邊形,ZADG=ZOACf圖1

：.AG=PFf

???ND4G=NAOC=90°,

：.^DGA-^ACOf

.ADAG日口AD—與-+2力

,,市二收即

AD——/+4/；,???

：.^-PE+AD=

.十。,

當t=2時，乎PE+AD取得最大值，最大值為6,此時點P的坐標為（2,—3）.

⑶由y=~^x--x—2=/I2—冬，可得原拋物線的頂點為1_25

O2，__8~

將原拋物線沿射線C4方向平移0個單位，即向右平移2個單位，向上平移1個單位得到新拋物線功,

/.新拋物線yi的解析式為m=，L年-2廠2育25+1=I，2一會+4，

8

如圖2,過點Q作QJ〃x軸交g軸于J,過點F作PS_L力軸于S,

則/CQJ=/CAO,AOQJ=APOS,OS=2,PS=3,

tanZBCO==J,tanZCAO==-y,

???/BCO=/CAO,

ABCO=ACQJ,

?：AOQC-AOQJ=ACQJ,AOQC-AMAC=ABCO,

ZOQJ=AMAC,

??.ZMAC=APOS,

/.tanZTWAC=tan/POS=,

過點。作4。的垂線，在該垂線上分別截取CL=CT,使會=tanZLAC=曰或%=tanZTAC=得,

JT.O/AC//

分別過點L、T作g軸的垂線，垂足分別為K、N,

???Z.ACO+ALCK=AACO+ACAO=90°,

???ALCK=Z.CAOf

???ACKL=AAOC=9Q°,

：.ACLK?NACO,

.LK=CK=CL=3

**OC-OA-AC-T,

.-.LK=yOC=3,CK=^OA=6,

?e?1/(-3,4),

設直線AL的解析式為g=阮力+仇,把乙(一3,4),4(4,0)代入,

—3fci+bi=4

得

4自+匕產(chǎn)0'

k1=一年

解得：＜

???直線AL的解析式為y=一夕+牛,

—

聯(lián)立方程組得

y—/力2—~^x+4

整理得7/—4&+24=0,

.予=-4-1--±---7-1-0--0-9--

一14

同理可得T(3,-8)，直線4r的解析式為g=8%-32,

16

y=8x—32

聯(lián)立方程組得

y—562—+4'

整理得/-23c+72=0,

._23+V241

"X~2'

綜上所述，所有符合條件的點”的橫坐標為吟西或產(chǎn)普

題目叵（2024-渠縣校級一模）在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+^-x+c與g軸交于點。，與c軸

O

交于A、B兩點（點A在點B的左側），其中A（-V3,0），tanZACO=卒.

O

⑴求拋物線的解析式；

（2）如圖1,點。為直線BC上方拋物線上一點，連接40、BC交于點E,連接記ABDE的面積為Si，

△ABE的面積為S2,求善的最大值；

（3）如圖2,將拋物線沿射線CB方向平移，點。平移至。處，且O。=OC,動點”在平移后拋物線的對稱軸

上，當ACBM為以CB為腰的等腰三角形時,請直接寫出點河的坐標.

圖1圖2

【分析】（1）先由銳角三角函數(shù)的定義求得。的坐標，將點A、C的坐標代入拋物線的解析式求解即可；

（2）過。作。G_L/軸于點G,交BC于F,過人作4K_Lrc軸交BC延長線于K