第15講直線與圓的位置關(guān)系（3種題型）

第15講直線與圓的位置關(guān)系（3種題型）【知識梳理】一．圓的切線方程圓的切線方程一般是指與圓相切的直線方程，特點(diǎn)是與圓只有一個交點(diǎn)，且過圓心與切點(diǎn)的直線垂直切線．圓的切線方程的類型：（1）過圓上一點(diǎn)的切線方程：對于這種情況我們可以通過圓心與切點(diǎn)的連線垂直切線求出切線的斜率，繼而求出直線方程（2）過圓外一點(diǎn)的切線方程．這種情況可以先設(shè)直線的方程，然后聯(lián)立方程求出他們只有一個解（交點(diǎn)）時斜率的值，進(jìn)而求出直線方程．二．直線與圓相交的性質(zhì)直線與圓的關(guān)系分為相交、相切、相離．判斷的方法就是看圓心到直線的距離和圓半徑誰大誰?。孩佼?dāng)圓心到直線的距離小于半徑時，直線與圓相交；②當(dāng)圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切；③當(dāng)圓心到直線的距離大于半徑時，直線與圓相離．三．直線與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系2．判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法直線Ax+By+C＝0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置關(guān)系的判斷方法：（1）幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關(guān)系判斷．圓心到直線的距離d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相離：d＞r（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式△判斷．由消元，得到一元二次方程的判別式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相離：△＜0．【考點(diǎn)剖析】一．圓的切線方程（共13小題）1．（2022秋?遼陽期末）已知圓C：x2+y2＝25與直線l：3x﹣4y+m＝0（m＞0）相切，則m＝（）A．15 B．5 C．20 D．25【分析】根據(jù)圓與直線相切的判定列式求解得出答案．【解答】解：易知C的圓心為原點(diǎn)O，設(shè)O到直線l的距離為d，因?yàn)閳AC與直線l相切，則，解得m＝25．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查圓的切線方程，屬于基礎(chǔ)題．2．（2022秋?華容縣期末）寫出一條與圓x2+y2＝1相切的直線l的方程y＝1（答案不唯一）．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線與圓相切的定義，即可求解．【解答】解：圓x2+y2＝1，圓心為（0，0），半徑為1，圓心（0，0）到直線y＝1的距離為1，故直線y＝1與圓x2+y2＝1相切．故答案為：y＝1（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題主要考查圓的切線方程，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022秋?紅橋區(qū)期末）以點(diǎn)（1，2）為圓心，與直線5x﹣12y﹣7＝0有且只有一個公共點(diǎn)的圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．【分析】由直線與圓相切求出半徑，即可求解．【解答】解：以點(diǎn)（1，2）為圓心的圓與直線5x﹣12y﹣7＝0相切，所以半徑為，所以所求圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．故答案為：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．【點(diǎn)評】本題主要考查圓的方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．4．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）若圓C1：x2+y2+2ax+a2﹣4＝0（a∈R）與圓C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0（b∈R）恰有三條切線，則a+b的最大值為（）A．﹣3 B．﹣3 C．3 D．3【分析】由題意可得兩圓相外切，根據(jù)兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑，由＝3，得到a2+b2＝9，故滿足條件的點(diǎn)（a，b）在以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓上，法一：令a+b＝t，利用線性規(guī)劃求出t的最大值；法二、可令a＝3cosα，b＝3sinα（0≤α＜2π），運(yùn)用兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：由題意可得，兩圓相外切，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為（x+a）2+y2＝4，x2+（y﹣b）2＝1，圓心分別為（﹣a，0），（0，b），半徑分別為2和1，故有＝3，∴a2+b2＝9，故滿足條件的點(diǎn)（a，b）在以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓上．法一、令a+b＝t，利用線性規(guī)劃求出t的最大值．如圖：可行域?yàn)閳Aa2+b2＝9，t＝a+b為目標(biāo)函數(shù)，點(diǎn)A（﹣，﹣）和點(diǎn)B（，）為最優(yōu)解，故B（，）使a+b＝t取得最大值為3．法二、令a＝3cosα，b＝3sinα（0≤α＜2π），則a+b＝3cosα+3sinα＝3sin（α+），當(dāng)sin（α+）＝1，即α＝時，可得a+b的最大值為3．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相外切的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，簡單的線性規(guī)劃的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．5．（2022秋?光明區(qū)期末）過點(diǎn)P（﹣2，3）作圓E：x2+y2﹣4x+2y＝0的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N則直線MN的方程為4x﹣4y﹣7＝0．【分析】將圓的一般方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)M，N的坐標(biāo)，可得在M，N處的切線方程，再由P點(diǎn)在切線上，可得MN的直線方程．【解答】解：圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣2）2+（y+1）2＝5，設(shè)切點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），則切點(diǎn)所在的切線方程為：（x1﹣2）（x﹣2）+（y1+1）（y+1）＝5，（x2﹣2）（x﹣2）+（y2+1）（y+1）＝5，因?yàn)辄c(diǎn)P在切線上，所以（x1﹣2）（﹣2﹣2）+（y1+1）（3+1）＝5，即﹣4（x1﹣2）+4（y1+1）＝5，﹣4（x2﹣2）+4（y2+1）＝5，所以M，N在直線﹣4（x﹣2）+4（y+1）＝5上，即MN的直線方程為4x﹣4y﹣7＝0，故答案為：4x﹣4y﹣7＝0．【點(diǎn)評】本題考查圓的切線方程的求法及兩個切點(diǎn)所在直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．6．（2022秋?包頭期末）在平面直角坐標(biāo)系中，過P（﹣1，3）作圓O：x2+y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB的方程為x﹣3y+1＝0．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可知P，A，B，O四點(diǎn)共圓，且OP為直徑，求出圓的方程，兩圓方程相減即可得公共弦所在直線方程．【解答】解：由切線的性質(zhì)可知，OA⊥PA，OB⊥PB，故P，A，B，O四點(diǎn)共圓，且OP為直徑，由OP中點(diǎn)為，，所以A，B在圓上，即x2+y2+x﹣3y＝0，兩圓方程相減可得，公共弦AB的方程為x﹣3y+1＝0．故答案為：x﹣3y+1＝0．【點(diǎn)評】本題主要考查了切線性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了相交圓的公共弦的求解，屬于基礎(chǔ)題．7．（2022秋?官渡區(qū)期末）圓（x﹣2）2+（y+1）2＝5在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為x﹣2y+1＝0．【分析】求出圓的圓心，然后求解切線的斜率，即可得到切線方程．【解答】解：點(diǎn)（1，1）滿足圓的方程，點(diǎn)在圓上，圓的圓心（2，﹣1），所以由切線與切點(diǎn)和圓心連線垂直，可得切線的斜率為：﹣＝，所以切線方程為：y﹣1＝（x﹣1），可得x﹣2y+1＝0．故答案為：x﹣2y+1＝0．【點(diǎn)評】本題考查圓的切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．8．（2022秋?阿拉善左旗校級期末）以點(diǎn)（﹣3，2）為圓心，且與直線3x﹣y+1＝0相切的圓的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+2）2＝10 B．（x+3）2+（y﹣2）2＝1 C．（x+3）2+（y﹣2）2＝10 D．（x﹣3）2+（y+2）2＝1【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求得圓的半徑，即可求得結(jié)果．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)（﹣3，2）到直線3x﹣y+1＝0的距離是，所以圓的半徑為，所以圓的方程為（x+3）2+（y﹣2）2＝10．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查圓的切線方程，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．9．（2022秋?商丘期末）已知圓M：（x+2）2+（y+1）2＝16，過點(diǎn)P（6，5）作圓M的一條切線，切點(diǎn)為N，則△PMN的面積為（）A． B． C．8 D．16【分析】畫出圖形，求出PM的長，就能求出PN的長，根據(jù)求解．【解答】解：因?yàn)閳AM：（x+2）2+（y+1）2＝16的圓心M（﹣2，﹣1），半徑為4，因?yàn)镻N是圓M：（x+2）2+（y+1）2＝16的切線，所以PN⊥MN，即△MNP是以N為直角的直角三角形，則，又因?yàn)?，又因?yàn)镸N＝4，所以，所以．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查圓的切線方程，屬于中檔題．10．（2022秋?梅河口市校級期末）過直線4x+3y+10＝0上一點(diǎn)P作圓C：x2+y2﹣2x＝0的切線，切點(diǎn)為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為（）A． B． C． D．【分析】由切線性質(zhì)可得，由勾股定理表示出|PA|，進(jìn)而得解．【解答】解：如圖，由切線性質(zhì)可知，PA⊥AC，PB⊥BC，△PAC≌△PBC，所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+y2＝1，圓心為C（1，0），半徑為r＝1，則點(diǎn)C到直線距離，，要使最小，需使|PC|min＝d，故．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查圓切線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．11．（2022秋?陽泉期末）已知圓C經(jīng)過A（4，1），B（3，0）兩點(diǎn)，且圓心C在直線x+2y﹣3＝0上．（1）求經(jīng)過點(diǎn)A，并且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程；（2）求過點(diǎn)B的圓C的切線方程．【分析】（1）分別討論直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況，設(shè)出直線方程，代入點(diǎn)A（4，1）坐標(biāo)，求解即可．（2）設(shè)圓心坐標(biāo)C（3﹣2b，b），借助于r＝|AC|＝|BC|，解出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線BC和切線垂直求切線的斜率，進(jìn)而寫出切線方程．【解答】解：（1）經(jīng)過點(diǎn)A，在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線，當(dāng)直線過原點(diǎn)時，設(shè)直線的方程為y＝kx，代入點(diǎn)A（4，1）得4k＝1，，即，即直線的方程為x﹣4y＝0，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線的方程為x+y＝a，將點(diǎn)A（4，1）代入解得a＝5，即直線的方程為x+y﹣5＝0∴所求直線的方程為x﹣4y＝0或x+y﹣5＝0；（2）因圓心C在直線x+2y﹣3＝0上，則設(shè)圓心C（3﹣2b，b），又圓C經(jīng)過A（4，1），B（3，0）兩點(diǎn)，于是得圓C的半徑r＝|AC|＝|BC|，即有，解得b＝﹣1，圓心C（5，﹣1），∴，∴kl＝2，∴切線l的方程為y﹣0＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣6＝0．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線方程與圓的方程的求解，屬于中檔題．12．（2022秋?吉林期末）過（3，1）做圓（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的兩條切線，與圓切AB兩點(diǎn)．（1）求切線方程；（2）求線段AB長度．【分析】（1）當(dāng)切線斜率不存在時，方程為x＝3滿足條件；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y﹣1＝k（x﹣3），化為一般方程，再由圓心到直線的距離等于半徑列式求解k，則切線方程可求；（2）在直角三角形AMC中，求出斜邊CM的高，乘以2得答案．【解答】解：（1）當(dāng)切線斜率不存在時，方程為x＝3滿足條件；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+1＝0，由，得，所求直線方程為y＝，故所求切線方程為x＝3或y＝；（2）如圖，在直角三角形AMC中，|AC|＝2，|AM|＝1，則斜邊CM的高為，∴．【點(diǎn)評】本題考查圓的切線方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．13．（2022秋?濱海新區(qū)校級期末）已知圓C經(jīng)過A（3，0）和B（2，1）兩點(diǎn)，且圓心在x軸正半軸上．（1）求圓C的方程．（2）從點(diǎn)（3，2）向圓C作切線，求切線方程．【分析】（1）根據(jù)弦的中垂線過圓心，聯(lián)立過圓心的兩條直線方程可確定圓心坐標(biāo)，即可求解；（2）根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑即可求解．【解答】解：（1）由題可知kAB＝，∴線段AB的中垂線的斜率等于1，又∵AB的中點(diǎn)為（，），∴線段AB的中垂線的直線方程為y﹣＝x﹣，即x﹣y﹣2＝0，取y＝0，得x＝2，∴圓心C（2，0），又∵半徑等于|AC|＝1，∴圓C的方程為（x﹣2）2+y2＝1；（2）設(shè)圓C的半徑為r，則r＝1，若直線的斜率不存在，∵直線過點(diǎn)（3，2），∴直線方程為x＝3，此時圓心C（2，0）到直線x＝3的距離d＝1＝r，滿足題意；若直線的斜率存在，設(shè)斜率為k，則切線方程為y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k＝0，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離d＝＝1，解得k＝，∴切線方程為x﹣y+2﹣＝0，即3x﹣4y﹣1＝0．∴切線方程為x＝3或3x﹣4y﹣1＝0．【點(diǎn)評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，是中檔題．二．直線與圓相交的性質(zhì)（共6小題）14．（2022秋?西青區(qū)校級期末）圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的點(diǎn)到直線x+y﹣14＝0的最大距離與最小距離的差是（）A．36 B．18 C． D．【分析】先看直線與圓的位置關(guān)系，如果相切或相離最大距離與最小距離的差是直徑；相交時，圓心到直線的距離加上半徑為所求．【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0的圓心為（2，2），半徑為3，圓心到直線x+y﹣14＝0的距離為＞3，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是2R＝6，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，是基礎(chǔ)題．15．（2022秋?玉溪期末）過點(diǎn)（﹣1，0）的直線l與圓C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB長的最小值為（）A．1 B． C．2 D．【分析】判斷點(diǎn)（﹣1，0）在圓C內(nèi)，根據(jù)當(dāng)l垂直于圓心與定點(diǎn)所在直線時，弦長|AB|最短，代入公式計(jì)算可得．【解答】解：∵圓C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，即：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，∴圓C的圓心C（1，﹣2），半徑為3，又∵（﹣1﹣1）2+（0+2）2＜9，∴點(diǎn)M（﹣1，0）在圓C內(nèi)，∴當(dāng)l⊥CM時，弦長|AB|最短，又∵，∴．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．16．（2023?紅橋區(qū)二模）已知直線x﹣y+8＝0和圓x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝6，則r的值為5．【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心，由點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線x﹣y+8＝0的距離，結(jié)合直線與圓相交的性質(zhì)可得r2＝d2+（）2，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2＝r2的圓心為（0，0），半徑為r；則圓心到直線x﹣y+8＝0的距離d＝＝4，若|AB|＝6，則有r2＝d2+（）2＝16+9＝25，故r＝5；故答案為：5【點(diǎn)評】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，涉及弦長的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．17．（2022秋?西青區(qū)期末）已知圓x2+y2﹣4x﹣6y＝0，則過點(diǎn)M（1，1）的最短弦所在的直線方程是x+2y﹣3＝0．【分析】由圓心與點(diǎn)M的連線與直線l垂直時，所截的弦長最短求解．【解答】解：根據(jù)題意：弦最短時，則圓心與點(diǎn)M的連線與直線l垂直，∴圓x2+y2﹣4x﹣6y＝0即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝13，圓心為：O（2，3），∴kl＝﹣＝﹣．由點(diǎn)斜式整理得直線方程為：x+2y﹣3＝0．故答案為：x+2y﹣3＝0．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，弦長問題及直線的斜率及方程形式，考查數(shù)學(xué)用幾何法解決直線與圓的能力，是基礎(chǔ)題．18．（2022秋?水磨溝區(qū)校級期末）已知點(diǎn)M（1，3），圓C：（x﹣2）2+（y+1）2＝4，l：x+y+4＝0．（1）若直線過點(diǎn)M，且被圓C截得的弦長為，求該直線的方程．（2）設(shè)P為已知直線l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C作一條切線，切點(diǎn)為Q，求|PQ|的最小值．【分析】（1）分兩類討論：①當(dāng)直線斜率不存在時；②當(dāng)直線斜率存在時，分別計(jì)算出對應(yīng)的直線方程即可；（2）由題意可知當(dāng)|PQ|最小時，CP連線與已知直線l垂直，于是計(jì)算出|CP|，進(jìn)而得出|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由題意可知：圓C的圓心到直線的距離為＝1．①當(dāng)直線斜率不存在時，圓C的圓心到直線距離為1，滿足題意；②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)過M（1，3）的直線方程為：y﹣3＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+3＝0，則由點(diǎn)到直線距離公式列方程得：，解得．綜上，過M（1，3）的直線方程為x＝1或15x+8y﹣39＝0．（2）由題意可知當(dāng)|PQ|最小時，CP連線與已知直線l垂直，所以|CP|＝＝，由勾股定理知：|PQ|＝＝＝，所以|PQ|的最小值為．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．19．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末）已知M（4，2）是直線l被橢圓x2+4y2＝36所截的弦AB的中點(diǎn)，其直線l的方程．【分析】設(shè)直線l的方程為y﹣2＝k（x﹣4），代入橢圓的方程化簡，由x1+x2＝＝8解得k值，即得直線l的方程．【解答】解：由題意得，斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y﹣2＝k（x﹣4），即kx﹣y+2﹣4k＝0，代入橢圓的方程化簡得：（1+4k2）x2+（16k﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20＝0，∴x1+x2＝＝8，解得：k＝﹣，則直線l的方程為x+2y﹣8＝0．【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，線段的中點(diǎn)公式，得到（1+4k2）x2+（16k﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20＝0，是解題的關(guān)鍵．三．直線與圓的位置關(guān)系（共13小題）20．（2022秋?資陽期末）已知過原點(diǎn)的直線l與圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝36相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為（）A．6 B． C． D．【分析】判斷原點(diǎn)在圓內(nèi)，再運(yùn)用過圓內(nèi)一定點(diǎn)的所有弦中最短的弦為過該定點(diǎn)且垂直于定點(diǎn)與圓心連線的弦可得結(jié)果．【解答】解：圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝36，則圓心C（3，4），半徑r＝6，∴，又∵（0﹣3）2+（0﹣4）2＜36，∴點(diǎn)（0，0）在圓C內(nèi)，∴．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．21．（2022秋?南陽期末）與圓（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相切，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【分析】在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線，斜率為1或直線過原點(diǎn)，由直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，列出方程求解即可．【解答】解：圓（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4，圓心坐標(biāo)為（3，2），半徑為r＝2，滿足題意的直線方程斜率可以為1，設(shè)直線方程為x﹣y＝a，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離d＝r，即，解得，∴此時滿足條件的直線有兩條：和；滿足題意的直線可以過原點(diǎn)時，直線傾斜角為90°時顯然不與圓相切，設(shè)直線方程為y＝kx，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離d＝r，即，解得k＝0或，其中k＝0時，直線為x軸，不合題意，故此時滿足條件的直線有一條：；綜上所述：滿足條件的直線有三條．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．22．（2022秋?利通區(qū)校級期末）已知直線y＝kx+2與圓C：x2+y2＝2交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，則k＝（）A． B． C． D．【分析】利用圓的弦長、弦心距、半徑之間的關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解即可．【解答】解：因?yàn)閳AC：x2+y2＝2的圓心C（0，0），半徑，弦長|AB|＝2，所以C到直線y＝kx+2的距離，即，解得．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．23．（2022秋?欽州期末）已知圓O：x2+y2＝r2（r＞0）上有且只有兩個點(diǎn)到直線l：3x﹣4y﹣15＝0的距離為1，則圓O半徑r的取值范圍為（）A．（2，4） B．[2，4] C．（2，3] D．[3，4）【分析】求出到直線l的距離為1的點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)給定條件，數(shù)形結(jié)合列出不等式求解作答．【解答】解：平面內(nèi)到直線l距離為1的點(diǎn)的軌跡是與直線l平行且距離為1的兩條直線l1，l2，設(shè)l1，l2的方程為3x﹣4y﹣m＝0（m≠15），則，解得m＝10或m＝20，即直線l1：3x﹣4y﹣10＝0，直線l2：3x﹣4y﹣20＝0，如圖，圓O：x2+y2＝r2（r＞0）上有且只有兩個點(diǎn)到直線l的距離為1，則圓O與l1相交，與l2相離，圓O的圓心O（0，0）到直線l1的距離，到直線l2的距離，所以圓O半徑r的取值范圍為2＜r＜4，即r∈（2，4）．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬中檔題．24．（2022秋?潮陽區(qū)期末）已知圓C：x2+（y﹣1）2＝4，直線l：mx﹣y+1﹣m＝0．（1）求證：任意m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點(diǎn)；（2）當(dāng)m＝2時，求直線l被圓C截得的弦長．【分析】（1）求含參直線l所恒過的定點(diǎn)，定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，直線l與圓C總有兩個不同的交點(diǎn)；（2）求圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理求半弦長，再求出弦長．【解答】證明：（1）直線l：mx﹣y+1﹣m＝0恒過定點(diǎn)A（1，1），又12+（1﹣1）2＝1＜4，所以點(diǎn)A（1，1）在圓C：x2+（y﹣1）2＝4的內(nèi)部，所以直線l與圓C總有兩個不同的交點(diǎn)．（2）解：由題設(shè)，l：2x﹣y﹣1＝0，又圓C的圓心為（0，1），半徑為r＝2，所以（0，1）到直線l的距離，所以弦長為．即直線l被圓C截得的弦長．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．25．（2022秋?金安區(qū)校級期末）已知圓C是圓C'：x2+y2﹣4x﹣8y+16＝0關(guān)于直線n：x+y﹣2＝0的對稱圓．（1）求圓C的方程；（2）求過點(diǎn)T（﹣4，3）與圓C相切的切線方程．【分析】（1）先利用對稱的特征設(shè)出所求圓的方程，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的特點(diǎn)求出方程；（2）分斜率存在和不存在兩種情況，利用待定系數(shù)法，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑來求解．【解答】解：（1）由C'：x2+y2﹣4x﹣8y+16＝0可得：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝4．因?yàn)閳AC是圓C'：x2+y2﹣4x﹣8y+16＝0關(guān)于直線n：x+y﹣2＝0的對稱圓，則可設(shè)C的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4，由題意可得，解得a＝﹣2，b＝0，所以圓C的方程為（x+2）2+y2＝4．（2）過點(diǎn)T（﹣4，3）與圓C相切的切線，當(dāng)切線斜率不存在時，則切線方程為x＝﹣4，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y﹣3＝k（x+4），由圓心到切線距離等于半徑可得，解得，即切線方程為5x+12y﹣16＝0，綜上，所求切線方程為5x+12y﹣16＝0或x＝﹣4．【點(diǎn)評】本題考查圓的方程的求解，直線與圓的位置關(guān)系，方程思想，屬中檔題．26．（2022秋?郴州期末）已知圓C過點(diǎn)M（﹣3，2），圓心C在直線x﹣y+3＝0上，且圓C與x軸相切．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)P（2，3）的直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若△ABC為直角三角形，求直線l的方程．【分析】（1）待定系數(shù)法求圓的方程即可；（2）設(shè)l：y﹣3＝k（x﹣2），根據(jù)題意得到弦長，再結(jié)合垂徑定理和點(diǎn)線距離公式可求k的值，從而得到直線l的方程．【解答】解：（1）由題意，設(shè)圓心C（a，a+3），由于圓C與x軸相切，∴半徑r＝|a+3|，所以設(shè)圓C方程為（x﹣a）2+（y﹣a﹣3）2＝（a+3）2，又圓C過點(diǎn)M（﹣3，2），∴（﹣3﹣a）2+（2﹣a﹣3）2＝（a+3）2，解得a＝﹣1，∴圓C方程為（x+1）2+（y﹣2）2＝4．（2）由圓C方程易知直線l的斜率存在，故設(shè)l：y﹣3＝k（x﹣2），即l：kx﹣y+3﹣2k＝0，設(shè)C到l的距離為d，則，∵△ABC為直角三角形，∴，∴，∴或，故直線l得方程為x﹣y+1＝0或x+7y﹣23＝0．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，還考查了直線與圓相交性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．27．（2022秋?龍巖期末）已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過A（﹣1，1）和B（3，3）兩點(diǎn)．（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)P（7，5）的直線m被圓C截得的弦長為6，求直線m的斜率．【分析】（1）設(shè)出圓的方程，代入已知點(diǎn)，列方程組求解即可；（2）設(shè)出直線方程，利用垂徑定理，列方程求出直線m的斜率．【解答】解：（1）由圓C的圓心在x軸上，設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+F＝0，，解得，所以圓C的方程為x2+y2﹣4x﹣6＝0；（2）由（1）得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣2）2+y2＝10，圓心C（2，0），半徑，設(shè)直線m的斜率為k，則直線m的方程為y＝k（x﹣7）+5，即kx﹣y﹣7k+5＝0，直線m被圓C截得的弦長為6，則，解得或．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．28．（2023春?靖江市校級月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的圓心在直線x﹣y+1＝0上，且與直線2x+y＝0相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)A（0，2）的直線l被圓M截得的弦長為，求直線l的方程．【分析】（1）設(shè)M（m，m+1），然后根據(jù)條件求出圓心，進(jìn)而可得半徑，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（2）檢驗(yàn)直線l的斜率存在，設(shè)出直線方程，然后利用垂徑定理列方程求解．【解答】解：（1）∵圓M的圓心在直線x﹣y+1＝0上，設(shè)M（m，m+1），則，解得m＝﹣2，即M（﹣2，﹣1），∴圓的半徑為，∴圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）2+（y+1）2＝5；（2）經(jīng)過點(diǎn)A（0，2）的直線l被圓M截得的弦長為，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，此時直線l被圓M截得的弦長為，不符合題意，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0，∴，解得k＝1或，∴直線l的方程為x﹣y+2＝0或17x﹣7y+14＝0．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．29．（2022秋?資陽期末）已知⊙O的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為1．（1）求⊙O的方程；（2）過點(diǎn)P（4，2）作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．求直線AB的方程．【分析】（1）由點(diǎn)線距離根據(jù)條件建立等式，即可求得半徑，從而得到方程；（2）經(jīng)過切點(diǎn)A，B的直線可以看作是以O(shè)P為直徑的圓與⊙O的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個圓的方程，化簡得到直線方程．【解答】解：（1）由題，⊙O的圓心O（0，0）到直線距離為，設(shè)⊙O的半徑為r，則⊙O上的點(diǎn)到直線l距離的最小值為d﹣r＝2﹣r，由2﹣r＝1，解得r＝1，所以⊙O的方程為x2+y2＝1．（2）設(shè)切點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），經(jīng)過切點(diǎn)A，B的直線可以看作是以O(shè)P為直徑的圓與⊙O的公共弦所在的直線．以O(shè)P為直徑的圓的圓心為（2，1），又，則以O(shè)P為直徑的圓的半徑為，所以，以O(shè)P為直徑的圓的方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，即x2+y2﹣4x﹣2y＝0，與⊙O的方程x2+y2＝1聯(lián)立，得到4x+2y＝1，所以直線AB的方程為4x+2y＝1．【點(diǎn)評】本題考查圓的方程的求解，直線與圓的位置關(guān)系，兩圓公共弦直線的求解，屬中檔題．30．（2022秋?寧德期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣2，0），∠OAB＝∠ABC＝120°，|AB|＝2．（1）求直線BC的方程；（2）記△OAB的外接圓為圓M，求直線BC被圓M截得的弦長．【分析】（1）直線BC交x軸于D點(diǎn)，由題意可得△ABD為等邊三角形，故，可求直線BC的方程；（2）由可求△OAB的外接圓方程，幾何法求直線BC被圓M截得的弦長．【解答】解：（1）（如圖）直線BC交x軸于D點(diǎn)，△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝60°，所以∠BDA＝60°，故，所以，所以直線BC的方程為；（2）因?yàn)?，，AB的中點(diǎn)為，所以AB的垂直平分線方程為：①，所以O(shè)A的垂直平分線方程為：x＝﹣1②，由①②得，圓心為，圓心到直線BC的距離，所以直線BC被圓M截得的弦長＝．【點(diǎn)評】本題考查直線方程的求解，圓的方程的求解，屬中檔題．31．（2022秋?舟山期末）已知點(diǎn)A（1，2），圓C：x2+y2+2mx+2y+2＝0．（1）若過點(diǎn)A可以做兩條圓的切線，求m的取值范圍；（2）當(dāng)m＝﹣2時，過直線2x﹣y+3＝0上一點(diǎn)P作圓的兩條切線PM、PN，求四邊形PMCN面積的最小值．【分析】（1）利用點(diǎn)在圓外代入得到不等式，結(jié)合曲線方程表示圓即可解答；（2）首先得到，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出|CP|的最小值，最后得到四邊形面積的最小值．【解答】解：（1）由題意得A（1，2）在圓外，則1+4+2m+6＞0，即，又4m2+4﹣8＞0，即m＞1或m＜﹣1，所以或m＞1；故m的取值范圍為（，﹣1）∪（1，+∞）；（2）m＝﹣2時，圓方程為（x﹣2）2+（y+1）2＝3，則圓的半徑，圓心C（2，﹣1），∴直線方程為2x﹣y+3＝0，設(shè)圓心（2，﹣1）到直線2x﹣y+3＝0的距離為d，∴，【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．32．（2022秋?南陽期末）已知四個點(diǎn)：A（﹣2，0），B（6，0），C（﹣1，7），D（5，﹣1）．（1）從A，B，C，D四點(diǎn)中選3個點(diǎn)確定一個三角形，求出該三角形的外接圓M的方程；（2）過點(diǎn)E（3，1）作直線l交圓M于P，Q兩點(diǎn)，若|PQ|＝4，求直線l的方程．【分析】（1）利用圓的一般方程，待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)弦長公式求出直線l的距離為1，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求解．【解答】解：（1）設(shè)所求圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，（i）選A（﹣2，0），B（6，0），C（﹣1，7），則有，解得，所以所求圓方程為x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0；（ii）選A（﹣2，0），B（6，0），D（5，﹣1），則有，解得，所以所求圓方程為x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0；（iii）選A（﹣2，0），C（﹣1，7），D（5，﹣1），則有，解得，所以所求圓方程為x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0；（iiii）選B（6，0），C（﹣1，7），D（5，﹣1），則有，解得，所以所求圓方程為x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0．（2）由（1）可知圓心為（2，3），半徑，設(shè)圓心（2，3）到直線l的距離為d，因?yàn)榻獾胐＝1，若直線l的斜率不存在，則方程為x＝3，此時圓心到直線x＝3的距離為3﹣2＝1滿足題意；若直線l的斜率存在，則設(shè)方程為y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k＝0，因?yàn)閳A心到直線的距離解得，所以直線l的方程為即3x+4y﹣13＝0．綜上直線l的方程為x＝3或3x+4y﹣13＝0．【點(diǎn)評】本題考查圓的的方程的求解，直線與圓的位置關(guān)系，方程思想，屬中檔題．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·福建廈門·高二廈門雙十中學(xué)校考階段練習(xí)）過直線上的一點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，當(dāng)直線，關(guān)于對稱時，線段的長為（

）A．4 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，觀察圖形可知圓心與點(diǎn)的連線垂直于直線，利用這一關(guān)系即可得到切線的長.【詳解】如圖所示，圓心為，連接，

因?yàn)橹本€，關(guān)于對稱，所以垂直于直線，故，而，所以.故選：C2．（2023秋·高二課時練習(xí)）從圓外一點(diǎn)向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)，結(jié)合二倍角公式即可求解.【詳解】由得，所以圓心為，半徑為，設(shè)切點(diǎn)分別為,連接,則為兩切線的夾角，由于,所以,由二倍角公式可得，故選:B

3．（2023秋·高二課時練習(xí)）為圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交【答案】C【分析】由題意可得，結(jié)合圓心到直線的距離判斷與半徑的大小關(guān)系，即得答案.【詳解】由題意知為圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則，而圓：的圓心到直線的距離為，故直線與該圓的位置關(guān)系為相離，故選：C4．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）對于直線與圓的以下說法正確的有（

）A．過定點(diǎn)B．被截得的弦長最長時，C．與相切時，或D．與相切時，記兩種情形下的兩個切點(diǎn)分別為、，則【答案】A【分析】將直線的方程變形，求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷A選項(xiàng)；分析可知，當(dāng)被截得的弦長最長時，直線過圓心，可求出的值，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)與相切求出的值，可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，將直線的方程變形為，由可得，所以，直線過定點(diǎn)，A對；對于B選項(xiàng)，被截得的弦長最長時，直線過圓心，則，解得，B錯；對于C選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為，當(dāng)直線與相切時，則，解得，C錯；對于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，直線與相切時只有一種情況，D錯.故選：A.5．（2023春·四川廣元·高二四川省劍閣中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知圓，過點(diǎn)作圓的切線，則的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分斜率存在和斜率不存在兩種情況討論，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則圓心，，當(dāng)切線的斜率不存在時，切線的方程為，當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為，即，由題意知，.解得.此時切線的方程為.綜上，切線的方程為或.故選：C.6．（2023春·江西撫州·高二臨川一中?？茧A段練習(xí)）已知圓的方程，過作直線與圓交于點(diǎn)，且關(guān)于直線對稱，則直線的斜率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直線、關(guān)于直線對稱，故兩直線斜率互為相反數(shù)，所以假設(shè)直線方程為：，與圓進(jìn)行聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得到點(diǎn)坐標(biāo)，即得到答案【詳解】解：設(shè)，，易得在圓上，因?yàn)橹本€、關(guān)于直線對稱，故兩直線斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線方程的斜率為，則直線斜率為，所以直線方程為：，整理得：，所以：，即：，，所以，同理，所以，故選：7．（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若直線與曲線恰有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得：為恒過定點(diǎn)的直線，曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，由此利用數(shù)形結(jié)合思想能求出的取值范圍．【詳解】根據(jù)題意得為恒過定點(diǎn)的直線，由曲線，可得，所以曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，如圖所示，

當(dāng)直線與圓相切時，有，解得（舍去）或，把代入得，解得，因?yàn)橹本€與曲線恰有兩個公共點(diǎn)，由圖可得，即的取值范圍是．故選：B．8．（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)題意，由曲線表示一條直線與一個圓，然后分別聯(lián)立方程，即可得到交點(diǎn)個數(shù).【詳解】因?yàn)榍€就是或，表示一條直線與一個圓，聯(lián)立，解得，即直線與直線有一個交點(diǎn)；此時，沒有意義.聯(lián)立，解得或，所以直線與有兩個交點(diǎn).所以直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)為2個.故選：B二、多選題9．（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知動直線與圓，則下列說法正確的是（

）A．直線過定點(diǎn)B．圓的圓心坐標(biāo)為C．直線與圓的相交弦的最小值為D．直線與圓的相交弦的最大值為4【答案】ACD【分析】根據(jù)直線與圓的相關(guān)知識對各選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對于A，直線，即，令，得，即直線過定點(diǎn)，故A正確；對于B，圓，即，圓心坐標(biāo)為，故B錯誤；對于C，因?yàn)?，所以直線所過定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，不妨設(shè)直線過定點(diǎn)為，當(dāng)直線與圓的相交弦的最小時，與相交弦垂直，又因?yàn)?，所以相交弦的最小為，故C正確；對于D，直線與圓的相交弦的最大值為圓直徑4，故D正確.故選：ACD10．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知圓，直線，則（

）A．直線與圓C相交B．直線過定點(diǎn)（2，1）C．圓C被y軸截得的弦長為D．圓C被直線截得的弦長最短時，直線的方程為x=1【答案】ACD【分析】先考慮直線過定點(diǎn)，再判斷該點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故可判斷AB，利用弦長公式結(jié)合圓心到直線的距離可判斷D的正誤，在圓的方程中令后可求圓C被y軸截得的弦長，故可判斷B的正誤.【詳解】可整理為，令，則，故直線過定點(diǎn)，故B錯誤.因?yàn)?，故定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故直線與圓C相交，故A正確.在圓的方程中令，則即，故圓C被y軸截得的弦長為，故C正確.因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，該定點(diǎn)與圓心的距離為，故圓心到直線的距離，故圓C被直線截得的弦長為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時定點(diǎn)與圓心連線的斜率為0，該連線垂直于直線，故直線的方程為，故D正確.故選：ACD.11．（2023秋·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知圓，直線，下列結(jié)論正確的是（

）A．直線l恒過點(diǎn)B．若直線l平分圓C，則C．圓心C到直線l的距離的取值范圍為D．若直線l與圓C交于點(diǎn)A，B，則面積的最大值為【答案】AD【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)、直線和圓的位置關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，令，得，即直線l恒過點(diǎn)，A正確．圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以圓心．因?yàn)橹本€l平分圓C，所以直線l過圓C的圓心，所以，解得，B錯誤．圓心C到直線l的距離的最大值為，最小值為0．因?yàn)橹本€l不能表示，所以圓心C到直線l的距離不能為2，故圓心C到直線l的距離的取值范圍為，C錯誤．設(shè)圓心C到直線l的距離為d，的面積為，當(dāng)時，面積的最大值為，D正確．故選：AD12．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，則下列說法正確的是（

）A．若，則點(diǎn)在圓外B．圓與軸相切C．若圓截軸所得弦長為，則D．點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離和最小距離的乘積為【答案】AD【分析】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；求出圓心到軸的距離，可判斷B選項(xiàng)；利用弦長的一半、弦心距以及圓的半徑三者滿足勾股定理求出的值，可判斷C選項(xiàng)；對原點(diǎn)在圓上、圓外進(jìn)行分類討論，求出點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離和最小距離，可判斷D選項(xiàng).【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，對于A選項(xiàng)，若，則有，即點(diǎn)在圓外，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)閳A心到軸的距離為，而與的大小關(guān)系不確定，所以，圓與軸不一定相切，B錯；對于C選項(xiàng)，若圓截軸所得弦長為，則，解得，C錯；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離為，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最小距離為，則；當(dāng)時，則點(diǎn)在圓外，且，所以，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離為，最小距離為，則點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離和最小距離的乘積為.綜上所述，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大距離和最小距離的乘積為，D對.故選：AD.三、填空題13．（2023秋·遼寧阜新·高二?？计谀﹫A與直線的位置關(guān)系為_____________.【答案】相交【分析】先求出直線所過的定點(diǎn)，然后通過判斷該點(diǎn)和圓的位置關(guān)系即可判斷直線和圓的位置關(guān)系.【詳解】由得，令得，即直線過定點(diǎn)由，故點(diǎn)在圓內(nèi)，所以圓與直線的位置關(guān)系為相交.故答案為：相交14．（2023春·湖南常德·高二臨澧縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若直線將圓的周長分為2∶1兩部分，則直線的斜率為________.【答案】0或【分析】由直線的方程可知直線橫過點(diǎn)，由直線將圓的周長分為2:1的兩部分，則直線與圓相交的弦長對應(yīng)的圓心角為，可求出圓心到直線的距離，從而求得直線斜率.【詳解】由直線，即，得到直線恒過點(diǎn)，又因?yàn)橹本€將圓的周長分為2:1的兩部分，則直線與圓相交的弦長對應(yīng)的圓心角為，圓心到直線的距離為，設(shè)直線方程為：，即，由點(diǎn)到直線距離公式有：，則，解得或，故答案為：或.15．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知直線與曲線有兩個交點(diǎn)，則的取值范圍為______________．【答案】【分析】直線過定點(diǎn)，曲線表示以為圓心，2為半徑的上半圓，數(shù)形結(jié)合可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】直線，得，可知直線過定點(diǎn)，如圖，曲線表示以為圓心，2為半徑的上半圓．當(dāng)直線與半圓相切時，，解得．曲線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)．因?yàn)橹本€與曲線有兩個交點(diǎn)，所以．故答案為：.

16．（2023春·上海浦東新·高二上海師大附中?？茧A段練習(xí)）對于圓上任意一點(diǎn)，的值與x、y無關(guān)，有下列結(jié)論中正確的命題是______（填寫相應(yīng)的序號）.①點(diǎn)的軌跡是一個圓；②r不存在最小值；③當(dāng)時，r有最大值；④當(dāng)，時，.【答案】②③【分析】可以看作點(diǎn)到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無關(guān)，這個距離之和與點(diǎn)在圓上的位置無關(guān)，圓在兩直線內(nèi)部，則，的距離為，則，當(dāng)時，軌跡是直線，判斷①②；當(dāng)時，有最大值，可判斷③；當(dāng)，時，根據(jù)，即，可求的范圍判斷④．【詳解】設(shè)，故可以看作點(diǎn)到直線與直線距離之和的倍，∵的取值與，無關(guān)，這個距離之和與點(diǎn)在圓上的位置無關(guān)，距離之和與在圓上的位置無關(guān)，故已知圓在平行線，之間，，的距離為，則，，故r不存在最小值，故②正確；當(dāng)時，的軌跡是平行于，的直線，故①錯誤；當(dāng)時，則，的距離為，，即，有最大值，故③正確；當(dāng)，時，，即，解得或，，故④錯誤.故答案為：②③．四、解答題17．（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓關(guān)于直線對稱．(1)求圓的方程；(2)過點(diǎn)作直線與圓相切，求直線的方程．【答案】(1)；(2)和.【分析】（1）由題意可知圓心為AB中垂線與的交點(diǎn)，計(jì)算圓心再求半徑，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示即可；（2）分類討論，設(shè)切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑計(jì)算即可.【詳解】（1）∵，，故AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴AB的垂直平分線為：，由解得圓心，半徑故圓的方程為；（2）若直線的斜率存在，方程可設(shè)為，即圓心到直線的距離為，解得，所求的一條切線為；當(dāng)直線的斜率不存在時，圓心到的距離為4，即與圓相切，所以直線的方程為和．