第15講直線與圓的位置關(guān)系（3種題型）

第15講直線與圓的位置關(guān)系（3種題型）【知識梳理】一．圓的切線方程圓的切線方程一般是指與圓相切的直線方程，特點是與圓只有一個交點，且過圓心與切點的直線垂直切線．圓的切線方程的類型：（1）過圓上一點的切線方程：對于這種情況我們可以通過圓心與切點的連線垂直切線求出切線的斜率，繼而求出直線方程（2）過圓外一點的切線方程．這種情況可以先設直線的方程，然后聯(lián)立方程求出他們只有一個解（交點）時斜率的值，進而求出直線方程．二．直線與圓相交的性質(zhì)直線與圓的關(guān)系分為相交、相切、相離．判斷的方法就是看圓心到直線的距離和圓半徑誰大誰?。孩佼攬A心到直線的距離小于半徑時，直線與圓相交；②當圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切；③當圓心到直線的距離大于半徑時，直線與圓相離．三．直線與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系2．判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法直線Ax+By+C＝0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置關(guān)系的判斷方法：（1）幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關(guān)系判斷．圓心到直線的距離d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相離：d＞r（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式△判斷．由消元，得到一元二次方程的判別式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相離：△＜0．【考點剖析】一．圓的切線方程（共13小題）1．（2022秋?遼陽期末）已知圓C：x2+y2＝25與直線l：3x﹣4y+m＝0（m＞0）相切，則m＝（）A．15 B．5 C．20 D．25【分析】根據(jù)圓與直線相切的判定列式求解得出答案．【解答】解：易知C的圓心為原點O，設O到直線l的距離為d，因為圓C與直線l相切，則，解得m＝25．故選：D．【點評】本題主要考查圓的切線方程，屬于基礎題．2．（2022秋?華容縣期末）寫出一條與圓x2+y2＝1相切的直線l的方程y＝1（答案不唯一）．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線與圓相切的定義，即可求解．【解答】解：圓x2+y2＝1，圓心為（0，0），半徑為1，圓心（0，0）到直線y＝1的距離為1，故直線y＝1與圓x2+y2＝1相切．故答案為：y＝1（答案不唯一）．【點評】本題主要考查圓的切線方程，屬于基礎題．3．（2022秋?紅橋區(qū)期末）以點（1，2）為圓心，與直線5x﹣12y﹣7＝0有且只有一個公共點的圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．【分析】由直線與圓相切求出半徑，即可求解．【解答】解：以點（1，2）為圓心的圓與直線5x﹣12y﹣7＝0相切，所以半徑為，所以所求圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．故答案為：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．【點評】本題主要考查圓的方程的求解，屬于基礎題．4．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）若圓C1：x2+y2+2ax+a2﹣4＝0（a∈R）與圓C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0（b∈R）恰有三條切線，則a+b的最大值為（）A．﹣3 B．﹣3 C．3 D．3【分析】由題意可得兩圓相外切，根據(jù)兩圓的標準方程求出圓心和半徑，由＝3，得到a2+b2＝9，故滿足條件的點（a，b）在以原點為圓心，以3為半徑的圓上，法一：令a+b＝t，利用線性規(guī)劃求出t的最大值；法二、可令a＝3cosα，b＝3sinα（0≤α＜2π），運用兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：由題意可得，兩圓相外切，兩圓的標準方程分別為（x+a）2+y2＝4，x2+（y﹣b）2＝1，圓心分別為（﹣a，0），（0，b），半徑分別為2和1，故有＝3，∴a2+b2＝9，故滿足條件的點（a，b）在以原點為圓心，以3為半徑的圓上．法一、令a+b＝t，利用線性規(guī)劃求出t的最大值．如圖：可行域為圓a2+b2＝9，t＝a+b為目標函數(shù)，點A（﹣，﹣）和點B（，）為最優(yōu)解，故B（，）使a+b＝t取得最大值為3．法二、令a＝3cosα，b＝3sinα（0≤α＜2π），則a+b＝3cosα+3sinα＝3sin（α+），當sin（α+）＝1，即α＝時，可得a+b的最大值為3．故選：D．【點評】本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相外切的性質(zhì)，圓的標準方程的特征，簡單的線性規(guī)劃的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．5．（2022秋?光明區(qū)期末）過點P（﹣2，3）作圓E：x2+y2﹣4x+2y＝0的兩條切線，切點分別為M，N則直線MN的方程為4x﹣4y﹣7＝0．【分析】將圓的一般方程整理成標準方程，設M，N的坐標，可得在M，N處的切線方程，再由P點在切線上，可得MN的直線方程．【解答】解：圓E的標準方程為（x﹣2）2+（y+1）2＝5，設切點M（x1，y1），N（x2，y2），則切點所在的切線方程為：（x1﹣2）（x﹣2）+（y1+1）（y+1）＝5，（x2﹣2）（x﹣2）+（y2+1）（y+1）＝5，因為點P在切線上，所以（x1﹣2）（﹣2﹣2）+（y1+1）（3+1）＝5，即﹣4（x1﹣2）+4（y1+1）＝5，﹣4（x2﹣2）+4（y2+1）＝5，所以M，N在直線﹣4（x﹣2）+4（y+1）＝5上，即MN的直線方程為4x﹣4y﹣7＝0，故答案為：4x﹣4y﹣7＝0．【點評】本題考查圓的切線方程的求法及兩個切點所在直線方程的求法，屬于基礎題．6．（2022秋?包頭期末）在平面直角坐標系中，過P（﹣1，3）作圓O：x2+y2＝1的兩條切線，切點分別為A、B，則直線AB的方程為x﹣3y+1＝0．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可知P，A，B，O四點共圓，且OP為直徑，求出圓的方程，兩圓方程相減即可得公共弦所在直線方程．【解答】解：由切線的性質(zhì)可知，OA⊥PA，OB⊥PB，故P，A，B，O四點共圓，且OP為直徑，由OP中點為，，所以A，B在圓上，即x2+y2+x﹣3y＝0，兩圓方程相減可得，公共弦AB的方程為x﹣3y+1＝0．故答案為：x﹣3y+1＝0．【點評】本題主要考查了切線性質(zhì)的應用，還考查了相交圓的公共弦的求解，屬于基礎題．7．（2022秋?官渡區(qū)期末）圓（x﹣2）2+（y+1）2＝5在點（1，1）處的切線方程為x﹣2y+1＝0．【分析】求出圓的圓心，然后求解切線的斜率，即可得到切線方程．【解答】解：點（1，1）滿足圓的方程，點在圓上，圓的圓心（2，﹣1），所以由切線與切點和圓心連線垂直，可得切線的斜率為：﹣＝，所以切線方程為：y﹣1＝（x﹣1），可得x﹣2y+1＝0．故答案為：x﹣2y+1＝0．【點評】本題考查圓的切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是基礎題．8．（2022秋?阿拉善左旗校級期末）以點（﹣3，2）為圓心，且與直線3x﹣y+1＝0相切的圓的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+2）2＝10 B．（x+3）2+（y﹣2）2＝1 C．（x+3）2+（y﹣2）2＝10 D．（x﹣3）2+（y+2）2＝1【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求得圓的半徑，即可求得結(jié)果．【解答】解：因為點（﹣3，2）到直線3x﹣y+1＝0的距離是，所以圓的半徑為，所以圓的方程為（x+3）2+（y﹣2）2＝10．故選：C．【點評】本題主要考查圓的切線方程，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．9．（2022秋?商丘期末）已知圓M：（x+2）2+（y+1）2＝16，過點P（6，5）作圓M的一條切線，切點為N，則△PMN的面積為（）A． B． C．8 D．16【分析】畫出圖形，求出PM的長，就能求出PN的長，根據(jù)求解．【解答】解：因為圓M：（x+2）2+（y+1）2＝16的圓心M（﹣2，﹣1），半徑為4，因為PN是圓M：（x+2）2+（y+1）2＝16的切線，所以PN⊥MN，即△MNP是以N為直角的直角三角形，則，又因為，又因為MN＝4，所以，所以．故選：A．【點評】本題主要考查圓的切線方程，屬于中檔題．10．（2022秋?梅河口市校級期末）過直線4x+3y+10＝0上一點P作圓C：x2+y2﹣2x＝0的切線，切點為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為（）A． B． C． D．【分析】由切線性質(zhì)可得，由勾股定理表示出|PA|，進而得解．【解答】解：如圖，由切線性質(zhì)可知，PA⊥AC，PB⊥BC，△PAC≌△PBC，所以，圓的標準方程為（x﹣1）2+y2＝1，圓心為C（1，0），半徑為r＝1，則點C到直線距離，，要使最小，需使|PC|min＝d，故．故選：C．【點評】本題考查圓切線的性質(zhì)，屬于基礎題．11．（2022秋?陽泉期末）已知圓C經(jīng)過A（4，1），B（3，0）兩點，且圓心C在直線x+2y﹣3＝0上．（1）求經(jīng)過點A，并且在兩坐標軸上截距相等的直線方程；（2）求過點B的圓C的切線方程．【分析】（1）分別討論直線過原點和不過原點兩種情況，設出直線方程，代入點A（4，1）坐標，求解即可．（2）設圓心坐標C（3﹣2b，b），借助于r＝|AC|＝|BC|，解出C點坐標，利用直線BC和切線垂直求切線的斜率，進而寫出切線方程．【解答】解：（1）經(jīng)過點A，在兩坐標軸上的截距相等的直線，當直線過原點時，設直線的方程為y＝kx，代入點A（4，1）得4k＝1，，即，即直線的方程為x﹣4y＝0，當直線不過原點時，設直線的方程為x+y＝a，將點A（4，1）代入解得a＝5，即直線的方程為x+y﹣5＝0∴所求直線的方程為x﹣4y＝0或x+y﹣5＝0；（2）因圓心C在直線x+2y﹣3＝0上，則設圓心C（3﹣2b，b），又圓C經(jīng)過A（4，1），B（3，0）兩點，于是得圓C的半徑r＝|AC|＝|BC|，即有，解得b＝﹣1，圓心C（5，﹣1），∴，∴kl＝2，∴切線l的方程為y﹣0＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣6＝0．【點評】本題主要考查了直線方程與圓的方程的求解，屬于中檔題．12．（2022秋?吉林期末）過（3，1）做圓（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的兩條切線，與圓切AB兩點．（1）求切線方程；（2）求線段AB長度．【分析】（1）當切線斜率不存在時，方程為x＝3滿足條件；當切線斜率存在時，設切線方程為y﹣1＝k（x﹣3），化為一般方程，再由圓心到直線的距離等于半徑列式求解k，則切線方程可求；（2）在直角三角形AMC中，求出斜邊CM的高，乘以2得答案．【解答】解：（1）當切線斜率不存在時，方程為x＝3滿足條件；當切線斜率存在時，設切線方程為y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+1＝0，由，得，所求直線方程為y＝，故所求切線方程為x＝3或y＝；（2）如圖，在直角三角形AMC中，|AC|＝2，|AM|＝1，則斜邊CM的高為，∴．【點評】本題考查圓的切線方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應用，考查運算求解能力，是中檔題．13．（2022秋?濱海新區(qū)校級期末）已知圓C經(jīng)過A（3，0）和B（2，1）兩點，且圓心在x軸正半軸上．（1）求圓C的方程．（2）從點（3，2）向圓C作切線，求切線方程．【分析】（1）根據(jù)弦的中垂線過圓心，聯(lián)立過圓心的兩條直線方程可確定圓心坐標，即可求解；（2）根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑即可求解．【解答】解：（1）由題可知kAB＝，∴線段AB的中垂線的斜率等于1，又∵AB的中點為（，），∴線段AB的中垂線的直線方程為y﹣＝x﹣，即x﹣y﹣2＝0，取y＝0，得x＝2，∴圓心C（2，0），又∵半徑等于|AC|＝1，∴圓C的方程為（x﹣2）2+y2＝1；（2）設圓C的半徑為r，則r＝1，若直線的斜率不存在，∵直線過點（3，2），∴直線方程為x＝3，此時圓心C（2，0）到直線x＝3的距離d＝1＝r，滿足題意；若直線的斜率存在，設斜率為k，則切線方程為y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k＝0，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離d＝＝1，解得k＝，∴切線方程為x﹣y+2﹣＝0，即3x﹣4y﹣1＝0．∴切線方程為x＝3或3x﹣4y﹣1＝0．【點評】本題考查圓的標準方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，是中檔題．二．直線與圓相交的性質(zhì)（共6小題）14．（2022秋?西青區(qū)校級期末）圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的點到直線x+y﹣14＝0的最大距離與最小距離的差是（）A．36 B．18 C． D．【分析】先看直線與圓的位置關(guān)系，如果相切或相離最大距離與最小距離的差是直徑；相交時，圓心到直線的距離加上半徑為所求．【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0的圓心為（2，2），半徑為3，圓心到直線x+y﹣14＝0的距離為＞3，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是2R＝6，故選：D．【點評】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離，是基礎題．15．（2022秋?玉溪期末）過點（﹣1，0）的直線l與圓C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0相交于A，B兩點，弦AB長的最小值為（）A．1 B． C．2 D．【分析】判斷點（﹣1，0）在圓C內(nèi)，根據(jù)當l垂直于圓心與定點所在直線時，弦長|AB|最短，代入公式計算可得．【解答】解：∵圓C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，即：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，∴圓C的圓心C（1，﹣2），半徑為3，又∵（﹣1﹣1）2+（0+2）2＜9，∴點M（﹣1，0）在圓C內(nèi)，∴當l⊥CM時，弦長|AB|最短，又∵，∴．故選：C．【點評】本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題．16．（2023?紅橋區(qū)二模）已知直線x﹣y+8＝0和圓x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B兩點．若|AB|＝6，則r的值為5．【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心，由點到直線的距離公式可得圓心到直線x﹣y+8＝0的距離，結(jié)合直線與圓相交的性質(zhì)可得r2＝d2+（）2，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2＝r2的圓心為（0，0），半徑為r；則圓心到直線x﹣y+8＝0的距離d＝＝4，若|AB|＝6，則有r2＝d2+（）2＝16+9＝25，故r＝5；故答案為：5【點評】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，涉及弦長的計算，屬于基礎題．17．（2022秋?西青區(qū)期末）已知圓x2+y2﹣4x﹣6y＝0，則過點M（1，1）的最短弦所在的直線方程是x+2y﹣3＝0．【分析】由圓心與點M的連線與直線l垂直時，所截的弦長最短求解．【解答】解：根據(jù)題意：弦最短時，則圓心與點M的連線與直線l垂直，∴圓x2+y2﹣4x﹣6y＝0即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝13，圓心為：O（2，3），∴kl＝﹣＝﹣．由點斜式整理得直線方程為：x+2y﹣3＝0．故答案為：x+2y﹣3＝0．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，弦長問題及直線的斜率及方程形式，考查數(shù)學用幾何法解決直線與圓的能力，是基礎題．18．（2022秋?水磨溝區(qū)校級期末）已知點M（1，3），圓C：（x﹣2）2+（y+1）2＝4，l：x+y+4＝0．（1）若直線過點M，且被圓C截得的弦長為，求該直線的方程．（2）設P為已知直線l上的動點，過點P向圓C作一條切線，切點為Q，求|PQ|的最小值．【分析】（1）分兩類討論：①當直線斜率不存在時；②當直線斜率存在時，分別計算出對應的直線方程即可；（2）由題意可知當|PQ|最小時，CP連線與已知直線l垂直，于是計算出|CP|，進而得出|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由題意可知：圓C的圓心到直線的距離為＝1．①當直線斜率不存在時，圓C的圓心到直線距離為1，滿足題意；②當直線斜率存在時，設過M（1，3）的直線方程為：y﹣3＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+3＝0，則由點到直線距離公式列方程得：，解得．綜上，過M（1，3）的直線方程為x＝1或15x+8y﹣39＝0．（2）由題意可知當|PQ|最小時，CP連線與已知直線l垂直，所以|CP|＝＝，由勾股定理知：|PQ|＝＝＝，所以|PQ|的最小值為．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．19．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末）已知M（4，2）是直線l被橢圓x2+4y2＝36所截的弦AB的中點，其直線l的方程．【分析】設直線l的方程為y﹣2＝k（x﹣4），代入橢圓的方程化簡，由x1+x2＝＝8解得k值，即得直線l的方程．【解答】解：由題意得，斜率存在，設為k，則直線l的方程為y﹣2＝k（x﹣4），即kx﹣y+2﹣4k＝0，代入橢圓的方程化簡得：（1+4k2）x2+（16k﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20＝0，∴x1+x2＝＝8，解得：k＝﹣，則直線l的方程為x+2y﹣8＝0．【點評】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，線段的中點公式，得到（1+4k2）x2+（16k﹣32k2）x+64k2﹣64k﹣20＝0，是解題的關(guān)鍵．三．直線與圓的位置關(guān)系（共13小題）20．（2022秋?資陽期末）已知過原點的直線l與圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝36相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為（）A．6 B． C． D．【分析】判斷原點在圓內(nèi)，再運用過圓內(nèi)一定點的所有弦中最短的弦為過該定點且垂直于定點與圓心連線的弦可得結(jié)果．【解答】解：圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝36，則圓心C（3，4），半徑r＝6，∴，又∵（0﹣3）2+（0﹣4）2＜36，∴點（0，0）在圓C內(nèi)，∴．故選：D．【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎題．21．（2022秋?南陽期末）與圓（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相切，且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【分析】在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線，斜率為1或直線過原點，由直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，列出方程求解即可．【解答】解：圓（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4，圓心坐標為（3，2），半徑為r＝2，滿足題意的直線方程斜率可以為1，設直線方程為x﹣y＝a，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離d＝r，即，解得，∴此時滿足條件的直線有兩條：和；滿足題意的直線可以過原點時，直線傾斜角為90°時顯然不與圓相切，設直線方程為y＝kx，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離d＝r，即，解得k＝0或，其中k＝0時，直線為x軸，不合題意，故此時滿足條件的直線有一條：；綜上所述：滿足條件的直線有三條．故選：C．【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題．22．（2022秋?利通區(qū)校級期末）已知直線y＝kx+2與圓C：x2+y2＝2交于A，B兩點，且|AB|＝2，則k＝（）A． B． C． D．【分析】利用圓的弦長、弦心距、半徑之間的關(guān)系，以及點到直線的距離公式列方程求解即可．【解答】解：因為圓C：x2+y2＝2的圓心C（0，0），半徑，弦長|AB|＝2，所以C到直線y＝kx+2的距離，即，解得．故選：D．【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．23．（2022秋?欽州期末）已知圓O：x2+y2＝r2（r＞0）上有且只有兩個點到直線l：3x﹣4y﹣15＝0的距離為1，則圓O半徑r的取值范圍為（）A．（2，4） B．[2，4] C．（2，3] D．[3，4）【分析】求出到直線l的距離為1的點的軌跡，再根據(jù)給定條件，數(shù)形結(jié)合列出不等式求解作答．【解答】解：平面內(nèi)到直線l距離為1的點的軌跡是與直線l平行且距離為1的兩條直線l1，l2，設l1，l2的方程為3x﹣4y﹣m＝0（m≠15），則，解得m＝10或m＝20，即直線l1：3x﹣4y﹣10＝0，直線l2：3x﹣4y﹣20＝0，如圖，圓O：x2+y2＝r2（r＞0）上有且只有兩個點到直線l的距離為1，則圓O與l1相交，與l2相離，圓O的圓心O（0，0）到直線l1的距離，到直線l2的距離，所以圓O半徑r的取值范圍為2＜r＜4，即r∈（2，4）．故選：A．【點評】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬中檔題．24．（2022秋?潮陽區(qū)期末）已知圓C：x2+（y﹣1）2＝4，直線l：mx﹣y+1﹣m＝0．（1）求證：任意m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點；（2）當m＝2時，求直線l被圓C截得的弦長．【分析】（1）求含參直線l所恒過的定點，定點在圓的內(nèi)部，直線l與圓C總有兩個不同的交點；（2）求圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理求半弦長，再求出弦長．【解答】證明：（1）直線l：mx﹣y+1﹣m＝0恒過定點A（1，1），又12+（1﹣1）2＝1＜4，所以點A（1，1）在圓C：x2+（y﹣1）2＝4的內(nèi)部，所以直線l與圓C總有兩個不同的交點．（2）解：由題設，l：2x﹣y﹣1＝0，又圓C的圓心為（0，1），半徑為r＝2，所以（0，1）到直線l的距離，所以弦長為．即直線l被圓C截得的弦長．【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．25．（2022秋?金安區(qū)校級期末）已知圓C是圓C'：x2+y2﹣4x﹣8y+16＝0關(guān)于直線n：x+y﹣2＝0的對稱圓．（1）求圓C的方程；（2）求過點T（﹣4，3）與圓C相切的切線方程．【分析】（1）先利用對稱的特征設出所求圓的方程，根據(jù)點關(guān)于直線對稱的特點求出方程；（2）分斜率存在和不存在兩種情況，利用待定系數(shù)法，根據(jù)點到直線的距離等于半徑來求解．【解答】解：（1）由C'：x2+y2﹣4x﹣8y+16＝0可得：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝4．因為圓C是圓C'：x2+y2﹣4x﹣8y+16＝0關(guān)于直線n：x+y﹣2＝0的對稱圓，則可設C的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4，由題意可得，解得a＝﹣2，b＝0，所以圓C的方程為（x+2）2+y2＝4．（2）過點T（﹣4，3）與圓C相切的切線，當切線斜率不存在時，則切線方程為x＝﹣4，經(jīng)檢驗滿足題意；當切線斜率存在時，設切線方程為y﹣3＝k（x+4），由圓心到切線距離等于半徑可得，解得，即切線方程為5x+12y﹣16＝0，綜上，所求切線方程為5x+12y﹣16＝0或x＝﹣4．【點評】本題考查圓的方程的求解，直線與圓的位置關(guān)系，方程思想，屬中檔題．26．（2022秋?郴州期末）已知圓C過點M（﹣3，2），圓心C在直線x﹣y+3＝0上，且圓C與x軸相切．（1）求圓C的標準方程；（2）過點P（2，3）的直線l與圓C相交于A、B兩點，若△ABC為直角三角形，求直線l的方程．【分析】（1）待定系數(shù)法求圓的方程即可；（2）設l：y﹣3＝k（x﹣2），根據(jù)題意得到弦長，再結(jié)合垂徑定理和點線距離公式可求k的值，從而得到直線l的方程．【解答】解：（1）由題意，設圓心C（a，a+3），由于圓C與x軸相切，∴半徑r＝|a+3|，所以設圓C方程為（x﹣a）2+（y﹣a﹣3）2＝（a+3）2，又圓C過點M（﹣3，2），∴（﹣3﹣a）2+（2﹣a﹣3）2＝（a+3）2，解得a＝﹣1，∴圓C方程為（x+1）2+（y﹣2）2＝4．（2）由圓C方程易知直線l的斜率存在，故設l：y﹣3＝k（x﹣2），即l：kx﹣y+3﹣2k＝0，設C到l的距離為d，則，∵△ABC為直角三角形，∴，∴，∴或，故直線l得方程為x﹣y+1＝0或x+7y﹣23＝0．【點評】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應用，還考查了直線與圓相交性質(zhì)的應用，屬于中檔題．27．（2022秋?龍巖期末）已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過A（﹣1，1）和B（3，3）兩點．（1）求圓C的方程；（2）過點P（7，5）的直線m被圓C截得的弦長為6，求直線m的斜率．【分析】（1）設出圓的方程，代入已知點，列方程組求解即可；（2）設出直線方程，利用垂徑定理，列方程求出直線m的斜率．【解答】解：（1）由圓C的圓心在x軸上，設圓C的方程為x2+y2+Dx+F＝0，，解得，所以圓C的方程為x2+y2﹣4x﹣6＝0；（2）由（1）得圓C的標準方程為（x﹣2）2+y2＝10，圓心C（2，0），半徑，設直線m的斜率為k，則直線m的方程為y＝k（x﹣7）+5，即kx﹣y﹣7k+5＝0，直線m被圓C截得的弦長為6，則，解得或．【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．28．（2023春?靖江市校級月考）在平面直角坐標系xOy中，已知圓M的圓心在直線x﹣y+1＝0上，且與直線2x+y＝0相切于坐標原點．（1）求圓M的標準方程；（2）經(jīng)過點A（0，2）的直線l被圓M截得的弦長為，求直線l的方程．【分析】（1）設M（m，m+1），然后根據(jù)條件求出圓心，進而可得半徑，則圓M的標準方程可求；（2）檢驗直線l的斜率存在，設出直線方程，然后利用垂徑定理列方程求解．【解答】解：（1）∵圓M的圓心在直線x﹣y+1＝0上，設M（m，m+1），則，解得m＝﹣2，即M（﹣2，﹣1），∴圓的半徑為，∴圓M的標準方程為（x+2）2+（y+1）2＝5；（2）經(jīng)過點A（0，2）的直線l被圓M截得的弦長為，當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，此時直線l被圓M截得的弦長為，不符合題意，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0，∴，解得k＝1或，∴直線l的方程為x﹣y+2＝0或17x﹣7y+14＝0．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，屬中檔題．29．（2022秋?資陽期末）已知⊙O的圓心為坐標原點，⊙O上的點到直線的距離的最小值為1．（1）求⊙O的方程；（2）過點P（4，2）作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B．求直線AB的方程．【分析】（1）由點線距離根據(jù)條件建立等式，即可求得半徑，從而得到方程；（2）經(jīng)過切點A，B的直線可以看作是以OP為直徑的圓與⊙O的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個圓的方程，化簡得到直線方程．【解答】解：（1）由題，⊙O的圓心O（0，0）到直線距離為，設⊙O的半徑為r，則⊙O上的點到直線l距離的最小值為d﹣r＝2﹣r，由2﹣r＝1，解得r＝1，所以⊙O的方程為x2+y2＝1．（2）設切點A（x1，y1），B（x2，y2），經(jīng)過切點A，B的直線可以看作是以OP為直徑的圓與⊙O的公共弦所在的直線．以OP為直徑的圓的圓心為（2，1），又，則以OP為直徑的圓的半徑為，所以，以OP為直徑的圓的方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，即x2+y2﹣4x﹣2y＝0，與⊙O的方程x2+y2＝1聯(lián)立，得到4x+2y＝1，所以直線AB的方程為4x+2y＝1．【點評】本題考查圓的方程的求解，直線與圓的位置關(guān)系，兩圓公共弦直線的求解，屬中檔題．30．（2022秋?寧德期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣2，0），∠OAB＝∠ABC＝120°，|AB|＝2．（1）求直線BC的方程；（2）記△OAB的外接圓為圓M，求直線BC被圓M截得的弦長．【分析】（1）直線BC交x軸于D點，由題意可得△ABD為等邊三角形，故，可求直線BC的方程；（2）由可求△OAB的外接圓方程，幾何法求直線BC被圓M截得的弦長．【解答】解：（1）（如圖）直線BC交x軸于D點，△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝60°，所以∠BDA＝60°，故，所以，所以直線BC的方程為；（2）因為，，AB的中點為，所以AB的垂直平分線方程為：①，所以OA的垂直平分線方程為：x＝﹣1②，由①②得，圓心為，圓心到直線BC的距離，所以直線BC被圓M截得的弦長＝．【點評】本題考查直線方程的求解，圓的方程的求解，屬中檔題．31．（2022秋?舟山期末）已知點A（1，2），圓C：x2+y2+2mx+2y+2＝0．（1）若過點A可以做兩條圓的切線，求m的取值范圍；（2）當m＝﹣2時，過直線2x﹣y+3＝0上一點P作圓的兩條切線PM、PN，求四邊形PMCN面積的最小值．【分析】（1）利用點在圓外代入得到不等式，結(jié)合曲線方程表示圓即可解答；（2）首先得到，再根據(jù)點到直線的距離公式求出|CP|的最小值，最后得到四邊形面積的最小值．【解答】解：（1）由題意得A（1，2）在圓外，則1+4+2m+6＞0，即，又4m2+4﹣8＞0，即m＞1或m＜﹣1，所以或m＞1；故m的取值范圍為（，﹣1）∪（1，+∞）；（2）m＝﹣2時，圓方程為（x﹣2）2+（y+1）2＝3，則圓的半徑，圓心C（2，﹣1），∴直線方程為2x﹣y+3＝0，設圓心（2，﹣1）到直線2x﹣y+3＝0的距離為d，∴，【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．32．（2022秋?南陽期末）已知四個點：A（﹣2，0），B（6，0），C（﹣1，7），D（5，﹣1）．（1）從A，B，C，D四點中選3個點確定一個三角形，求出該三角形的外接圓M的方程；（2）過點E（3，1）作直線l交圓M于P，Q兩點，若|PQ|＝4，求直線l的方程．【分析】（1）利用圓的一般方程，待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)弦長公式求出直線l的距離為1，再根據(jù)點到直線距離公式求解．【解答】解：（1）設所求圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，（i）選A（﹣2，0），B（6，0），C（﹣1，7），則有，解得，所以所求圓方程為x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0；（ii）選A（﹣2，0），B（6，0），D（5，﹣1），則有，解得，所以所求圓方程為x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0；（iii）選A（﹣2，0），C（﹣1，7），D（5，﹣1），則有，解得，所以所求圓方程為x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0；（iiii）選B（6，0），C（﹣1，7），D（5，﹣1），則有，解得，所以所求圓方程為x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝0．（2）由（1）可知圓心為（2，3），半徑，設圓心（2，3）到直線l的距離為d，因為解得d＝1，若直線l的斜率不存在，則方程為x＝3，此時圓心到直線x＝3的距離為3﹣2＝1滿足題意；若直線l的斜率存在，則設方程為y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k＝0，因為圓心到直線的距離解得，所以直線l的方程為即3x+4y﹣13＝0．綜上直線l的方程為x＝3或3x+4y﹣13＝0．【點評】本題考查圓的的方程的求解，直線與圓的位置關(guān)系，方程思想，屬中檔題．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·福建廈門·高二廈門雙十中學?？茧A段練習）過直線上的一點作圓的兩條切線，，切點分別為，當直線，關(guān)于對稱時，線段的長為（

）A．4 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，觀察圖形可知圓心與點的連線垂直于直線，利用這一關(guān)系即可得到切線的長.【詳解】如圖所示，圓心為，連接，

因為直線，關(guān)于對稱，所以垂直于直線，故，而，所以.故選：C2．（2023秋·高二課時練習）從圓外一點向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)，結(jié)合二倍角公式即可求解.【詳解】由得，所以圓心為，半徑為，設切點分別為,連接,則為兩切線的夾角，由于,所以,由二倍角公式可得，故選:B

3．（2023秋·高二課時練習）為圓內(nèi)異于圓心的一點，則直線與該圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交【答案】C【分析】由題意可得，結(jié)合圓心到直線的距離判斷與半徑的大小關(guān)系，即得答案.【詳解】由題意知為圓內(nèi)異于圓心的一點，則，而圓：的圓心到直線的距離為，故直線與該圓的位置關(guān)系為相離，故選：C4．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）對于直線與圓的以下說法正確的有（

）A．過定點B．被截得的弦長最長時，C．與相切時，或D．與相切時，記兩種情形下的兩個切點分別為、，則【答案】A【分析】將直線的方程變形，求出直線所過定點的坐標，可判斷A選項；分析可知，當被截得的弦長最長時，直線過圓心，可求出的值，可判斷B選項；根據(jù)與相切求出的值，可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，將直線的方程變形為，由可得，所以，直線過定點，A對；對于B選項，被截得的弦長最長時，直線過圓心，則，解得，B錯；對于C選項，圓的圓心為，半徑為，當直線與相切時，則，解得，C錯；對于D選項，由C選項可知，直線與相切時只有一種情況，D錯.故選：A.5．（2023春·四川廣元·高二四川省劍閣中學校校考階段練習）已知圓，過點作圓的切線，則的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分斜率存在和斜率不存在兩種情況討論，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】將圓化為標準方程，則圓心，，當切線的斜率不存在時，切線的方程為，當切線的斜率存在時，設切線的方程為，即，由題意知，.解得.此時切線的方程為.綜上，切線的方程為或.故選：C.6．（2023春·江西撫州·高二臨川一中?？茧A段練習）已知圓的方程，過作直線與圓交于點，且關(guān)于直線對稱，則直線的斜率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直線、關(guān)于直線對稱，故兩直線斜率互為相反數(shù)，所以假設直線方程為：，與圓進行聯(lián)立可得點坐標，同理可得到點坐標，即得到答案【詳解】解：設，，易得在圓上，因為直線、關(guān)于直線對稱，故兩直線斜率互為相反數(shù)，設直線方程的斜率為，則直線斜率為，所以直線方程為：，整理得：，所以：，即：，，所以，同理，所以，故選：7．（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若直線與曲線恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得：為恒過定點的直線，曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，由此利用數(shù)形結(jié)合思想能求出的取值范圍．【詳解】根據(jù)題意得為恒過定點的直線，由曲線，可得，所以曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，如圖所示，

當直線與圓相切時，有，解得（舍去）或，把代入得，解得，因為直線與曲線恰有兩個公共點，由圖可得，即的取值范圍是．故選：B．8．（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）直線與曲線的交點個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)題意，由曲線表示一條直線與一個圓，然后分別聯(lián)立方程，即可得到交點個數(shù).【詳解】因為曲線就是或，表示一條直線與一個圓，聯(lián)立，解得，即直線與直線有一個交點；此時，沒有意義.聯(lián)立，解得或，所以直線與有兩個交點.所以直線與曲線的交點個數(shù)為2個.故選：B二、多選題9．（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知動直線與圓，則下列說法正確的是（

）A．直線過定點B．圓的圓心坐標為C．直線與圓的相交弦的最小值為D．直線與圓的相交弦的最大值為4【答案】ACD【分析】根據(jù)直線與圓的相關(guān)知識對各選項逐一判斷即可.【詳解】對于A，直線，即，令，得，即直線過定點，故A正確；對于B，圓，即，圓心坐標為，故B錯誤；對于C，因為，所以直線所過定點在圓的內(nèi)部，不妨設直線過定點為，當直線與圓的相交弦的最小時，與相交弦垂直，又因為，所以相交弦的最小為，故C正確；對于D，直線與圓的相交弦的最大值為圓直徑4，故D正確.故選：ACD10．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知圓，直線，則（

）A．直線與圓C相交B．直線過定點（2，1）C．圓C被y軸截得的弦長為D．圓C被直線截得的弦長最短時，直線的方程為x=1【答案】ACD【分析】先考慮直線過定點，再判斷該點在圓的內(nèi)部，故可判斷AB，利用弦長公式結(jié)合圓心到直線的距離可判斷D的正誤，在圓的方程中令后可求圓C被y軸截得的弦長，故可判斷B的正誤.【詳解】可整理為，令，則，故直線過定點，故B錯誤.因為，故定點在圓的內(nèi)部，故直線與圓C相交，故A正確.在圓的方程中令，則即，故圓C被y軸截得的弦長為，故C正確.因為直線過定點，該定點與圓心的距離為，故圓心到直線的距離，故圓C被直線截得的弦長為，當且僅當時等號成立，此時定點與圓心連線的斜率為0，該連線垂直于直線，故直線的方程為，故D正確.故選：ACD.11．（2023秋·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知圓，直線，下列結(jié)論正確的是（

）A．直線l恒過點B．若直線l平分圓C，則C．圓心C到直線l的距離的取值范圍為D．若直線l與圓C交于點A，B，則面積的最大值為【答案】AD【分析】根據(jù)直線過定點、直線和圓的位置關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】，令，得，即直線l恒過點，A正確．圓C化為標準方程得，所以圓心．因為直線l平分圓C，所以直線l過圓C的圓心，所以，解得，B錯誤．圓心C到直線l的距離的最大值為，最小值為0．因為直線l不能表示，所以圓心C到直線l的距離不能為2，故圓心C到直線l的距離的取值范圍為，C錯誤．設圓心C到直線l的距離為d，的面積為，當時，面積的最大值為，D正確．故選：AD12．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，已知圓，則下列說法正確的是（

）A．若，則點在圓外B．圓與軸相切C．若圓截軸所得弦長為，則D．點到圓上一點的最大距離和最小距離的乘積為【答案】AD【分析】利用點與圓的位置關(guān)系可判斷A選項；求出圓心到軸的距離，可判斷B選項；利用弦長的一半、弦心距以及圓的半徑三者滿足勾股定理求出的值，可判斷C選項；對原點在圓上、圓外進行分類討論，求出點到圓上一點的最大距離和最小距離，可判斷D選項.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，對于A選項，若，則有，即點在圓外，A對；對于B選項，因為圓心到軸的距離為，而與的大小關(guān)系不確定，所以，圓與軸不一定相切，B錯；對于C選項，若圓截軸所得弦長為，則，解得，C錯；對于D選項，當時，點在圓上，點到圓上一點的最大距離為，點到圓上一點的最小距離為，則；當時，則點在圓外，且，所以，點到圓上一點的最大距離為，最小距離為，則點到圓上一點的最大距離和最小距離的乘積為.綜上所述，點到圓上一點的最大距離和最小距離的乘積為，D對.故選：AD.三、填空題13．（2023秋·遼寧阜新·高二校考期末）圓與直線的位置關(guān)系為_____________.【答案】相交【分析】先求出直線所過的定點，然后通過判斷該點和圓的位置關(guān)系即可判斷直線和圓的位置關(guān)系.【詳解】由得，令得，即直線過定點由，故點在圓內(nèi)，所以圓與直線的位置關(guān)系為相交.故答案為：相交14．（2023春·湖南常德·高二臨澧縣第一中學?？奸_學考試）若直線將圓的周長分為2∶1兩部分，則直線的斜率為________.【答案】0或【分析】由直線的方程可知直線橫過點，由直線將圓的周長分為2:1的兩部分，則直線與圓相交的弦長對應的圓心角為，可求出圓心到直線的距離，從而求得直線斜率.【詳解】由直線，即，得到直線恒過點，又因為直線將圓的周長分為2:1的兩部分，則直線與圓相交的弦長對應的圓心角為，圓心到直線的距離為，設直線方程為：，即，由點到直線距離公式有：，則，解得或，故答案為：或.15．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知直線與曲線有兩個交點，則的取值范圍為______________．【答案】【分析】直線過定點，曲線表示以為圓心，2為半徑的上半圓，數(shù)形結(jié)合可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】直線，得，可知直線過定點，如圖，曲線表示以為圓心，2為半徑的上半圓．當直線與半圓相切時，，解得．曲線與軸負半軸交于點．因為直線與曲線有兩個交點，所以．故答案為：.

16．（2023春·上海浦東新·高二上海師大附中?？茧A段練習）對于圓上任意一點，的值與x、y無關(guān)，有下列結(jié)論中正確的命題是______（填寫相應的序號）.①點的軌跡是一個圓；②r不存在最小值；③當時，r有最大值；④當，時，.【答案】②③【分析】可以看作點到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無關(guān)，這個距離之和與點在圓上的位置無關(guān)，圓在兩直線內(nèi)部，則，的距離為，則，當時，軌跡是直線，判斷①②；當時，有最大值，可判斷③；當，時，根據(jù)，即，可求的范圍判斷④．【詳解】設，故可以看作點到直線與直線距離之和的倍，∵的取值與，無關(guān)，這個距離之和與點在圓上的位置無關(guān)，距離之和與在圓上的位置無關(guān)，故已知圓在平行線，之間，，的距離為，則，，故r不存在最小值，故②正確；當時，的軌跡是平行于，的直線，故①錯誤；當時，則，的距離為，，即，有最大值，故③正確；當，時，，即，解得或，，故④錯誤.故答案為：②③．四、解答題17．（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）已知圓經(jīng)過點和，且圓關(guān)于直線對稱．(1)求圓的方程；(2)過點作直線與圓相切，求直線的方程．【答案】(1)；(2)和.【分析】（1）由題意可知圓心為AB中垂線與的交點，計算圓心再求半徑，由圓的標準方程表示即可；（2）分類討論，設切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑計算即可.【詳解】（1）∵，，故AB的中點坐標為，，∴AB的垂直平分線為：，由解得圓心，半徑故圓的方程為；（2）若直線的斜率存在，方程可設為，即圓心到直線的距離為，解得，所求的一條切線為；當直線的斜率不存在時，圓心到的距離為4，即與圓相切，所以直線的方程為和．