2024-2025學(xué)年廣西高三（上）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含答案）

2024-2025學(xué)年廣西名校高三（上）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（9月份）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.設(shè)集合4={1,2a+1},B={3,a-1,3a-2},若4=B,貝b=（）

A.-2B.-1C.1D.3

2.若復(fù)數(shù)z是方程%2一4%+5=0的一個根，則團(tuán)=（）

A.3B.73C.5D.近

3.在平行四邊形中，AB=3,AD=四,乙4=45。,DE=2EC,貝?麻.戰(zhàn)=()

3

A.1B.|C.2D.3

4.已知sin(g+a)=3s譏d—a),則cos2a=()

44

4334

A--5B-5C5D5

5.設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的前ri項(xiàng)和為%，a2+a5=I，a3+a6-則=()

A.苧B.63C.尹D.31

4Z

1

e+2

-4---3

6.已矢口Qeog=log52,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

7.已知點(diǎn)P在拋物線M：y2=4x±,過點(diǎn)P作圓C：（X-2）2+y2=i的切線，若切線長為2，7,則點(diǎn)P到

M的準(zhǔn)線的距離為（）

A.5B.<29C.6D.\A30

8.根據(jù)公式sin3a=3sina—4sin3a,sinl。。的值所在的區(qū)間是（）

11111111

A?G，d)B.(肅)C.(-a)D,(-,-)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.某品牌新能源汽車2024年上半年的銷量如下表：

月份t12345

銷量y（萬輛）11.712.413.813.214.6

根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）

A.銷量的極差為3.6B.銷量的平均數(shù)為13.5

C.銷量的第40百分位數(shù)為13.8D.銷量的中位數(shù)為13.2

10.已知函數(shù)/(X)=COS(3X-，)(3>0),則下列說法中正確的是()

A.當(dāng)3=2時，-兀是f(x)的一個周期

B.將f(x)的圖象向右平移著個單位后，得到函數(shù)g(x)的圖象，若或久)是奇函數(shù)，則3的最小值為2

C.若存在孫冷e［-］,月014久2)，使得/01)=f3)=W，則3的取值范圍是［10,+8)

oO(A)L

D.存在3,使得f(x)在［-也芻上單調(diào)遞減

11.已知雙曲線C：/一［=1的左、右焦點(diǎn)分別為6、F2,過點(diǎn)尸2且傾斜角為a的直線/與雙曲線的右支交

于4、B兩點(diǎn)(力在第一象限)，則下列說法中正確的是()

A.雙曲線C的虛軸長為，G

n7T.,2兀

B.§<aV—

C.△力的周長的最小值為16

D.當(dāng)tana=-相時，△傷心的內(nèi)切圓面積為:

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)/(久)=sin2x+3x+L且/(a)=4,則/(-a)=.

13.將一個底面半徑為2,高為門的圓柱形鐵塊熔鑄成一個實(shí)心鐵球，則該實(shí)心鐵球的表面積為.

14.已知有4,B兩個盒子，其中4盒中有3個黑球和3個白球，B盒中有3個黑球和2個白球，這些球除顏色外

完全相同.甲從力盒，乙從B盒各隨機(jī)抽取一個球，若兩球同色，則甲勝，并將取出的2個球全部放入力盒

中，若兩球不同色，則乙勝，并將取出的2個球全部放入8盒中.按上述方法重復(fù)操作兩次后，2盒中有8個

球的概率是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

記△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S,已知4s=，3(爐—a?-c2).

(1)求NB的大??；

(2)若E是4C的中點(diǎn)，S.AB1BE,求BE.

16.(本小題15分)

某高新技術(shù)企業(yè)新研發(fā)出了一種產(chǎn)品，該產(chǎn)品由三個電子元件組裝而成，這三個電子元件在生產(chǎn)過程中的

次品率均為9.組裝過程中不會造成電子元件的損壞，當(dāng)且僅當(dāng)三個電子元件都不是次品時，產(chǎn)品能正常工

O

作，否則該產(chǎn)品為次品.

(1)設(shè)一件產(chǎn)品中所含電子元件為次品的個數(shù)為X,求X的分布列和期望；

(2)設(shè)4="任取一件產(chǎn)品為次品”，B="該產(chǎn)品僅有一個電子元件是次品”，求P(B|4)；

(3)安排質(zhì)檢員對這批產(chǎn)品進(jìn)行逐一檢查，確保沒有次品流入市場.現(xiàn)有兩種方案，

方案一：安排三個質(zhì)檢員先行檢測這三個元件，次品不進(jìn)入組裝生產(chǎn)線；

方案二：安排一個質(zhì)檢員檢測成品，若發(fā)現(xiàn)次品，則進(jìn)行電子元件的更換，保證產(chǎn)品能正常工作.更換電子

元件的費(fèi)用為15元/個.

已知每位質(zhì)檢員的月工資為3000元，該企業(yè)每月生產(chǎn)該產(chǎn)品800件，請從企業(yè)獲益的角度考慮，應(yīng)該選擇

哪種方案？

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PBD1底面4BCD,PB=PD=2,底面4BCD是邊長為，2的正方形.

(1)求證：PA=PC；

(2)E是棱24上一點(diǎn)，若4C與平面BDE所成角為60。，求四棱錐E—ABCD的體積.

18.(本小題17分)

橢圓冬+/=l(a>b>0)的離心率為宇過點(diǎn)P(a,b)的直線Z與橢圓E交于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線1過坐

標(biāo)原點(diǎn)。時，\MN\=2".

(1)求橢圓E的方程.

(2)設(shè)48分別是橢圓E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的平行線分別與直線4B,N8交于C,。兩點(diǎn).試探

究D,C,M三點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否構(gòu)成等差數(shù)列，并說明理由.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/'(x)=Inx+2-l(aGR),且無軸是曲線y=f(x)的切線，

(1)求/(x)的最小值；

111

(2)證明：率+市+…+萬〈仇25EN*)；

⑶設(shè)尸(%)=券一m》—zn/(g)(ni>2),F(l)=F(n)(n>1),證明：對任意工€(1,九］,(m-l)/nx>x-

1.

參考答案

1.C

2.0

3.2

4.C

5.C

6.A

7.C

8.F

9.4B

1Q.ABC

11.BCD

12.-2

13.12兀

14”

70

15.解:(1)由4s=6(/_。2-2),

可得4x|acsinB=V_3(/?2—a2—c2),

由余弦定理，可得sinB=-4~3COSB,

即力cm3=-V-3,又BE(0,7i),

所以"手

(2)因?yàn)锳BIBE,所以Z718E=90。，NEBC=30。，

因?yàn)镋是4C中點(diǎn)，所以SA"E=SABEC，

即9c?BE=卜a?BE-s出30°,即a=2c,

代入爐=a2+c2-2accosB,B=y-,b=y/~7,

解得c=1,所以BE=VAE2-AB2=亨.

16.解：(1)根據(jù)題意可得X的所有可能取值為0,1,2,3,

易知P(X=0)=(1—=需，p(x=I)=程(1—$2X上=P(X=2)=C^l-i)1X2=21

-512’

P(X=3)=(款=為

所以X的分布列如下:

X0123

343147211

p

512512512512

1923

可得期望值為E(X)=0x+1x+2x+3x=

5128

,,2421AQ147

(2)由(1)可知PQ4)=1一號|=貴，P(XB)=

147

則P(B|A)=^=遙147

169；

V}512

(3)若采用方案一，則每月支出總費(fèi)用為匕=3x3000=9000元,

若采用方案二,

由(1)可知平均每個產(chǎn)品需更換的電子元件個數(shù)E(X)

則每月生產(chǎn)的800件產(chǎn)品平均需更換800E(X)=300個，

每月更換電子元件的總費(fèi)用為300x15=4500元，

則每月支出總費(fèi)用為％=1x3000+4500=7500元；

顯然匕<匕，

所以從企業(yè)獲益的角度考慮，應(yīng)該選擇方案二.

17.(1)證明：設(shè)4C與BD相交于點(diǎn)。，連接OP,

因?yàn)榈酌?BCD是邊長為，2的正方形，

所以2C1BD,且點(diǎn)。既是4C的中點(diǎn)，也是8。的中點(diǎn)，

又平面PBD1底面ABCD,^PBDO^ABCD=BD,ACu平面

ABCD,

所以AC1平面PBD,

因?yàn)椤u平面P8D,所以AC1OP,

又點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

所以P4=PC.

(2)解：因?yàn)镻B=PD,。是BD的中點(diǎn)，所以BD1OP,

結(jié)合(1)可得，。4,OB,OP兩兩垂直，

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則1(1,0,0),C(—1,0,0),5(0,1,0),D(0,-l,0),P(0,0,C),

所以方=(2,0,0)，DB=(0,2,0),PA=(1,0,-73).

設(shè)而=APA=(A,0,-73A).AG[0,1],

則屁=DP+PE(0,1,<3)+(A,0,-73A)=(4,1,<3-,

設(shè)平面BDE的法向量為元=(x,y,z),貝?,絲=2"°「l，

(n-DEAx+y+(/3-<3A)z=0

取X=6(4—1)，則y=0，z=A,所以元=(6(4-1),0,4)，

因?yàn)锳C與平面BOE所成角為60。，

一、.\CA-n\2/3(l-A).,no731

>==

所以ms(瓦"I=WW2XJ3X)W=力解得"4

所以兩=：可，

所以四棱錐E-ABCD的體積U="PTBCD=|x|xOPxS正方形的。=’x守x門X(加=今

18.解：(1)由題意得e=￡=]1-：=竿,所以"爭，

當(dāng)過點(diǎn)P(a,b)的直線/過坐標(biāo)原點(diǎn)。時，直線斜率為2=

則此時直線，的方程為y=1x,設(shè)直線/與橢圓E交點(diǎn)MQo，yo)，

不妨取沏>°，貝1JN(fo,-%))，且犯=30①，

因?yàn)閨MN|=2=,所以據(jù)+犬=5②，

由①②可得%o=苧，>0=苧，”(當(dāng)，苧)，

f2_J_

所明產(chǎn)+12b2=1，解得「二：,

la=3

”2

故橢圓E的方程為卷+f=1.

(2)D,C,M三點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成等差數(shù)列，理由如下：

不妨設(shè)直線MN的方程為x=my+n,M。[％),N(x2,y2)(y1Hl,y2豐1),

因?yàn)橹本€MN經(jīng)過點(diǎn)P(3,l),所以zn+九=3,

x=my+n

2

x2入，消去工并整理得（血2+9）y2+2nmy+九2-9=0,

{y+y-1

—2mmn2-9

由韋達(dá)定理得yi+y=

27n2+9'丫1丫27n2+9,

所以急+/=畸需早

2my1y2^-(n—rri)(<y1+y2)—2n

，1及一(%+丫2)+1

rn^—9,z-、—2mn

2m?—、F(n—m)?—□n2n

-mz+9mz+9

n^—9—2mn?

7712+9m2+9

_—18(m+n)_久

—2-=-b，

(m+n)

因?yàn)锽,D,N三點(diǎn)共線，所以上=鼻,

y2T力-i

y「i=以一力_OT=i,

XQ孫一%B3—03

即已+/=一6卷=2?己,

則第1+xD=2xc,

故Q,C,M三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

19.(1)解：由/(%)=m%+2-1(。eR)得廣(x)=(一黃，

因切線方程為y=0,令/'(")=：—/=。，得％=。，故可知切點(diǎn)為(a0)，

所以/(。)=Ina+——1=0,得Q=1,

故/(%)=.%+：-1,r(%)=)一>=妥，

當(dāng)%e(0,1)時，f(x)<o,/(%)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)工￡(1,+8)時，/(%)>0,/(%)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，

故/(%)的最小值為/(I)=0.

(2)證明：由(1)可知/(%)=)％+§—1之0,故"％之三士故ln(x+l)N*^

1

令x=，，neN*,則1叫+1)2點(diǎn)=擊，即In(軍)2擊，即ln(n+1)一"n2擊，

n

111

故+n+i++石<ln(n+1)—Inn+ln(n+2)—ln(n+1)4----Fln(n+n)—ln(n+n—1),

即:T---zH—+<ln(2