2024年秋季人教版七年級數(shù)學(xué)講義

第1講數(shù)軸

【知識要點】

1、有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示出來，但數(shù)軸上不是所有的點都表示有理數(shù)，比如萬；

2、互為相反數(shù)的兩點在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱；

3、點A（。）與B（6）的中點表示的數(shù)為"2。

2

1、在數(shù)軸上，到表示數(shù)-3的點距離為2個單位長度的點表示的數(shù)是o

2、在數(shù)軸上，-5與-8之間的距離是0

3、有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則,+4-2卜-4化簡的結(jié)果為（）。

A、b-3ciB、—2a-b_______I_______II___________

b0a

C、2a+bD、—ci—b

4、已知有理數(shù)應(yīng)伉。在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，其中仇。在數(shù)軸上的對應(yīng)點關(guān)于原點對稱,

化簡：|。|1a+c]—21c—Z?|o

cba

5、有理數(shù)a,4c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：,+耳_0_1卜|”,一|1一小

......A

baOcl

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6、有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子同+同+,+4+口-c|化簡結(jié)果為()。

2a+3b-cB>3b-cC、b+cD>c-b

——????A

-laO1bc

7、如圖，有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置大致如下：

acOb

(1)比較大?。篵c,-ab；

(2)去絕對值符號：-c|=\a-b\=__；

(3)化簡：|/J—c|—|(z-Z>|—|tz+c|(>

8、(雅禮2023年秋期中)已知有理數(shù)a,6,c在數(shù)軸上的位置如圖所示。

(1)判斷正負：用“〉”或填空：

c-b0；a-b0；c-a0。

(2)化簡：|c-6|+1a-b||c-a|。

9、(師大附中梅溪湖2023年秋期中)如圖，數(shù)軸上的三點A,B,C分別表示有理數(shù)a,仇c,

Ac0d1a

(1)b-a0,a-c0,b+c0(用“或"="填空)；

(2)化簡：—a|—|a-c|+|b+c|0

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10、結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)探究：①數(shù)軸上表示5和2的兩點之間的距離是；

②數(shù)軸上表示-2和-6的兩點之間的距離是；

③數(shù)軸上表示-4和3的兩點之間的距離是；

(2)歸納：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)機和數(shù)〃兩點之間的距離等于|加-四。

(3)應(yīng)用：①如果表示數(shù)。和3兩點之間的距離是7,則可記為：3|=7,那么。=o

②如果數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-4和3之間，求|a+4|+|a-3］的值。

-5-4-3-2-1012345>

③當。取何值時，|a+4|+|a-l|+|a-3］的值最小，最小值是多少？請說明理由。

-5-4-3-2-1012345J

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【思考題】

1、（長郡2023年秋期中）【知識背景】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與

形完美地結(jié)合，這種解決問題的思想叫做數(shù)形結(jié)合思想。

研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：

①若數(shù)軸上點A,點B表示的數(shù)分別為°力，若A,B位置不確定時，則A,B兩點之間的距

離為伍―刈，若點A在B的右側(cè)，即a〉b,則A,B兩點之間的距離為a-b；

②線段AB的中點表示的數(shù)為巴吆；

2

③點A向右運動機個單位長度（加〉0）后，點A表示的數(shù)為加，點A向左運動機個單位

長度（掰〉0）后，點A表示的數(shù)為機。

同學(xué)們可以在數(shù)軸上取點驗證上述規(guī)律，并完成下列問題：

【問題情境】如圖，在數(shù)軸上點A表示數(shù)-3,點B表示數(shù)1,點C表示數(shù)9,點A,點B和

點C分別以每秒2個單位長度，1個單位長度和4個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左運動，設(shè)運

動時間為/秒?！?）。

-11-10-^9-8-7-6-5-4-3-2-10I~234567891011*

（1）請利用上述結(jié)論，結(jié)合數(shù)軸，完成下列問題：AB表示點A到點B之間的距離，運動之前，

AB的距離為,A點與C點的中點為D,則點D表示的數(shù)為,運動/秒后，點A表

示的數(shù)為（用含/的式子表示）；

（2）若/秒鐘后，ABC三點中恰有一個點為另外兩點的中點，求才的值；

（3）當點C在點B右側(cè)時，是否存在常數(shù)根，使加8C-248的值為定值？若存在，求出機的

值；若不存在，請說明理由。

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2、如圖，數(shù)軸上有兩點A,B,對應(yīng)的數(shù)分別為-4,2,點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為

Xo

（1）若點P到點A,點B的距離相等，求點P對應(yīng)的x的值；

（2）數(shù)軸上是否存在點P,使得點P到點A,點B的距離之和為8?若存在，請求出x的值；

若不存在，請說明理由；

（3）點A,點B分別以2個單位長度/分，1個單位長度/分的速度向右運動，同時點P以2.5

個單位長度/分的速度從0點向左運動，當遇到A時，點P立即以同樣的速度向右運動，并不停往

返于點A與點B之間，當點A與點B重合時，A,B,P同時停止運動，求此時點P所經(jīng)過的總路

程是多少？

A8

▲上，?▲上.▲上.上

4<4?30I23456

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3、(青竹湖湘一2023年秋期中)我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入

微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了很多重要的規(guī)律。例如：數(shù)軸

上點A,點B表示的數(shù)分別為。力，則A,B兩點之間的距離48=|。-刈。如圖，數(shù)軸上點A表

示的數(shù)為-1,點B表示的數(shù)為3。

[illA,0.1]B,]」,

-5-4-3-2-1012345

(1)線段AB的長度是,設(shè)點P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x,若|x-3|=5,則x=；

(2)若點P表示的數(shù)是-4,將點P以每秒2個單位長度的速度向右移動，當經(jīng)過多少秒時，

點P到點A,點B的距離之和是8?

(3)若點A以每秒3個單位長度的速度運動，同時點B以每秒1個單位長度的速度運動，A

和B的運動方向不限，當點A與點B之間的距離為3個單位長度時，求點B所對應(yīng)的數(shù)是多少？

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4、如圖，點A,B,C在數(shù)軸上表示的數(shù)a,4。滿足(b+2)2+(c—24)2=0,且多項式

，+3爐_ax3y+個2—1是關(guān)于的五次四項式。

(1)a=，b=，c=；

(2)點P是數(shù)軸上AC兩點間的一個點，當P點滿足PC-2Pz=12時，求P點對應(yīng)的數(shù)；

(3)若動點M,N分別從點A,C同時出發(fā)向右運動，點M,N的速度為2個單位長度/秒和4

4

個單位長度/秒，點Q到M,N兩點的距離相等，點M在從點A運動到點O的過程中，NB--QO

的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請說明理由。

ill1.

AR0C

111Q.

AWOC

備用圖

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5、（雅禮2023年秋期中）如圖所示，點A,B,C,D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為見仇c,d,其

中。是最大的負整數(shù)，4c滿足S—9y+|c—12|=0,且3C=CD。

(1)a=，d=，線段8c=

（2）若點A以每秒3個單位長度的速度向左運動，同時點C以每秒5個單位長度的速度向左

運動，設(shè)運動的時間為/秒，當A,C兩點之間的距離為11個單位長度時，求運動時間/的值；

（3）若線段AB和CD同時開始向右運動，且線段AB的速度小于線段CD的速度，在點A和

點C之間有一點M,始終滿足ZM=CM,在點B和點D之間有一點N,始終滿足5N=DN,

此時線段MN為定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由。

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6、（長郡2022年秋期中）已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為-1,5。

?I??[1???a

-5-4-3-2-1012345

（1）請在數(shù)軸上標出點A和點B；

（2）若P、Q兩點分別從A、B兩點同時出發(fā)，沿著數(shù)軸向右運動，其中點P的速度是每秒2

個單位長度，點Q的速度是每秒1個單位長度，運動時間為/秒。

①若/秒后點P追上點Q，貝心=秒；

②當點P追上點Q后，點P立即返回，當/=秒時，點P與點B之間的距離為兩個單

位長度；

（3）若數(shù)軸上有一點M對應(yīng)的數(shù)為-5,且點C從點M出發(fā)后以每秒3個單位長度的速度沿

著數(shù)軸向右運動，運動時間為/秒，若點A與點C之間的距離表示為AC,點B與點C之間的距離

表示為BC,當ZC+8C取最小值時，求/的取值范圍，并寫出NC+5C的最小值。

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7、已知數(shù)軸上有A、B、C三個點，分別表示有理數(shù)-24、-10、10,動點P從A出發(fā)，以每

秒1個單位的速度向終點C移動，設(shè)移動時間為/秒。

(1)用含力的代數(shù)式表示P到點A和點C的距離：

PA=,PC=；

(2)當點P運動到B點時，點Q從A點出發(fā)，以每秒3個單位的速度向C點運動，Q點到達C

點后，再立即以同樣的速度返回，運動到終點A。在點Q開始運動后，P、Q兩點之間的距離能否

為2個單位？如果能，請求出此時點P表示的數(shù)；如果不能，請說明理由。

ABC

????A

-24-10010

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8、背景知識：數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合。研究數(shù)軸

我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點A,點B表示的數(shù)分別為。力，則A,B兩點之間的距離

AB=\a-b\,線段AB的中點表示的數(shù)為老。如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為-2,點B表示的

數(shù)為8。

請解決下列問題：

(1)填空：A,B兩點間的距離46=,線段AB的中點表示的數(shù)為；

(2)若M為該數(shù)軸上的一點，且滿足MN+"3=12,求點M表示的數(shù)；

(3)若點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向終點B勻速運動，同時點Q從

點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動，Q到達A點后，再立即以同樣的速度返回B

點，當點P到達終點后，P,Q兩點都停止運動，設(shè)運動時間為/秒(/〉0),當/為何值時，P,Q

兩點間的距離為4。

——--------------------------------------------

-208-208

備用圖

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9、（北雅2023年秋月考）閱讀理解：A,B,C為數(shù)軸上三點，若點C到點A的距離是點C到

點B的距離的3倍，我們稱點C是（4臺）的“雅點”；若點C到點B的距離是點C到點A的距離的

3倍，我們稱點C是（B,A）的“雅點”。

知識運用：若已知數(shù)軸上點A表示數(shù)-2,點B表示數(shù)10。

（1）若點C表示數(shù)14,則點B是的“雅點”；

（2）若點C在點A的左側(cè)且點A是（C,5）的“雅點”，求點C表示的數(shù)；

（3）若點C在點A,B之間，且其中一個點恰好是另兩個點的“雅點”，求點C表示的數(shù)。

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10、（長沙市一中2022年秋期中）如圖，在數(shù)軸上點A表示數(shù)。，點B表示數(shù)6,點C表示數(shù)

c,6是最小的正整數(shù)，且凡4C滿足（c—5）2+|4+切=0。

----1---1'----A

AB--C

（1）點P為一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x,若P4=2PC,求x的值；

（2）點A,B,C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時點B

和點C分別以每秒2個單位長度和每秒5個單位長度的速度向右運動，設(shè)運動時間為4秒。請問在

運動過程中，BC-4B的值是否隨著時間"的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其

值；

（3）在（2）的條件下，若點C運動2秒后掉頭向左繼續(xù)運動，速度不變；A,B保持原來運

動方向，速度不變繼續(xù)運動，設(shè)繼續(xù)運動時間為右秒，請問在運動過程中，是否存在某個時刻，A,

B,C中某一點是另外兩點的中點？如果有，請求出右的值；如果沒有，請說明理由。

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【課后練習】

1、在數(shù)軸上表示數(shù)。的點到原點的距離為3,則a-3=。

2、在數(shù)軸上，與表示-2和表示4的點的距離相等的點表示的數(shù)是。

3、是有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，把a,-a,4-b按照從小到大的順序

排列，正確的是（）。

A、-a<-b<b<aB、-b<-a<b<a???、

b0a

C、-a<b<-b<aD、-a<a<-b<b

4、（長沙市一中2023年秋期中）規(guī)定：［x］表示不超過x的最大整數(shù)，例如［0.6］=0,

［-4.7］=-50則［-6.2］和［3.9］所表示的點在數(shù)軸上的距離為（）。

A、4B、9C、10D、11

5、已知數(shù)d4c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|。+勿-|。-切的結(jié)果是（）。

―I______________I______I____________I________>

ca0b

A、a+bB、c-aC、a+cD、a+2b-c

6、數(shù)a,6在數(shù)軸上的位置如圖所示，則|a+b|—|a—b|=（）。

、、—2b

A-2aB____1il.l、

C、2aD、0a°b

7、已知有理數(shù)a,仇c在數(shù)軸上的對應(yīng)的位置如下圖所示，則|c-l|+|a-d+|a-4化簡后的結(jié)

果是（）o

A>b-1B、2a—b-1----->

-1cOab

C、1+2Q—b—2cD、1—2c+b

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第2講絕對值

1、絕對值等于5的整數(shù)有個；絕對值小于5的整數(shù)有個。

2、若x為有理數(shù)，則|x|-x表示的數(shù)是（）。

A、正數(shù)B、非正數(shù)C、負數(shù)D、非負數(shù)

3、已知|2x—3|=1,則x的值為=

4、若|x-y|+（》-3）2=0,求2x+y的值是□

5、已知同=一a,則化簡|a-所得的結(jié)果為（）。

A、—1B、1C、2d—3D、3—2。

6、已知14x<5,化簡：|l-x|+|x-5|o

7、同學(xué)們，我們都知道|5-2|表示5與2的差的絕對值，實際上也可以理解為5與2兩數(shù)在

數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離；|5+2|表示5與-2的差的絕對值，實際上也可以理解為5與-2

兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離。試探索：

（1）|-4+6|=，|-2-4|=；

（2）若數(shù)軸上表示數(shù)。的點位于-4與6之間，求|a+4|+|a-6］的值。

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8、若。＞0,貝！J____；若。＜0，則忖=_____

\a\a

9、若孫〉0,則區(qū)+.+聞的值為()o

xyxy

A、3或1B、-1或0C、3或一1D、-3或1

10、(廣益2023年秋月考)。,“。是有理數(shù)且。兒＜0,則回+回+?的值是()o

abc

A、一3B-13或一1C、一3或1D、一3或一1

n、(師大附中2023年秋月考)規(guī)定：/(x)=|x-2|,g(y)=|y+l|。例如：/(一5)=|—5—2|,

g(-6)=|-6+l|,下列結(jié)論中：①若/(x)+g(y)=0，則_/=一1；②若—l＜x＜2,則

f(x)-g(y)=-2x+3；③當x=2時，5—7(x)有最大值5；@式子/。一1)+8(》+1)的最小值

是5,以上結(jié)論正確的個數(shù)為()□

A、1個B、2個C、3個D、4個

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x,x>0

12、(北雅2023年秋月考)閱讀下列材料：|刈=0,%=0即當x<0時，—=-lo

IXI-x

-x,x<0

解決下列問題:

(1)已知。力是有理數(shù)，當abwO時，求&+-2的值；

\a\\b\

nhc

(2)已知。，仇c是有理數(shù)，當仍cwO時，求旦+二+上的值；

\a\\b\|c|

(3)已知。，“。是有理數(shù)，a+b+c=O,abc<0,求匕上+”上工2的值。

\a\\b\|c|

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13、閱讀下列材料并解決相關(guān)問題：

>0)

我們知道國=0(x=0),現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式

<0)

卜+1|+,一2|時，可令x+l=0和工一2=0,分另U求得x=—1,x=2(稱一1,2分另U為卜+1|與年一2|的

零點值)，在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值x=-l和x=2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不易遺漏的如下3種

情況：

(1)當時，原式=-(工+1)-(工-2)=-21+1

(2)當-lWx<2時，原式=x+l-(x-2)=3

(3)當x22時，原式=x+l+x-2=2x-l

—2,x+1(x<—1)

綜上所述，原式=3(-lWx<2)

2x-l(x>2)

通過閱讀上面的文字，請你解決下列的問題：

(1)分別求出k+2|和卜-4|的零點值；(2)化簡代數(shù)式：,+2|+W-4|。

14、化簡：|3x-2|+|2x+3]

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15、閱讀下列材料：我們知道|x|的幾何意義是在數(shù)軸上表示數(shù)x的點與原點的距離，即

|x|=|x-O|,也就是說|x|是在數(shù)軸上表示數(shù)x與表示0的兩點之間的距離，這個結(jié)論可以推廣為

IX]-》2]表示在數(shù)軸上表示數(shù)占，%的兩點之間的距離。

例如：①已知|x—2|=3,求x的值。

解：在數(shù)軸上與2的距離為3的點對應(yīng)的數(shù)為5和-1,即x的值為5和-1。

②求式子|x+11+|x-2|的最小值，并寫出此時x的取值范圍。

解：在數(shù)軸上與-1和2兩數(shù)所表示的點的距離之和最小為3,此時x的取值范圍是

-l<x<2o

試問：(1)已知：|x+3|=4,則x的值為；

(2)式子|x+2|+|x-4|的最小值是,此時x的取值范圍是；

(3)化簡：—3]—+

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【思考題】

1、有理數(shù)。和b分別對應(yīng)數(shù)軸上的點A和點B,定義四伍力)=與為數(shù)a力的中點數(shù)，定

義。伍力)=|a-切為點A和點B之間的距離，其中|a-切表示數(shù)a力的差的絕對值。例如：數(shù)-1

和3的中點數(shù)是拉(-1,3)=二號=1,數(shù)軸上表示數(shù)-1和3的點之間的距離是

￡)(-1,3)=|-l-3|=4o

請閱讀以上材料，解決以下問題：

(1)M(2,4)=,￡>(2,4)=；

(2)已知6,x)+Q(6,8)=5,求。(x,9)的值；

Y—1

(3)當。(―2,7)+。(4,》)=13時，求〃(三一,6)的值。

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【課后練習】

1、-三3的相反數(shù)是，侄擻是,絕對值是=

5—

2、若|a|=-。，則有理數(shù)。在數(shù)軸上的對應(yīng)點一定在（）□

A、原點左側(cè)B、原點或原點左側(cè)

C、原點右側(cè)D、原點或原點右側(cè)

3、若—3|=5,則％=o

4、如果|x—3|+（y+4）2=0,則/=。

5、若|"31+@+2）2=0,則（4+6嚴4=（）。

A、1B、-1C、0D、±1

6、下列代數(shù)式中，值一定是正數(shù)的是（）=

A、x~B、|x—11C、2—x2D、x"+1

7、如果。是不等于。的有理數(shù)，那么佇回化簡的結(jié)果是（）。

2a

A、0或1B、0或一1C、0D、1

8、若。力都是非零的有理數(shù)，則式子4+2的所有可能的值共有（）。

0Ml

A、1個B、2個C、3個D、4個

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9、（長沙市一中2023年秋期中）已知實數(shù)4c的大小關(guān)系如圖，下列說法：①abc<0；②

a+b—5c<0；③2|a-b|〉|b-c|1a-c|；④若x為數(shù)軸上任意一點，則|a-x|+|b-x|的最

小值為。+6,其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）。

I11I?

bOac

A、1個B、2個C、3個D、4個

10、規(guī)定:f(x)=\x-2\,g(y)=\y+3\.例如：/(-4)=|-4-21，g(—4)=|-4+3］。下

列結(jié)論中：①若/(x)+g(y)=0,則2x—3y=13；②若x<—3,則/(x)+g(x)=—1—2x；③能

使/(x)=g(x)成立的x的值不存在；④式子/(x-l)+g(x+D的最小值是7。其中正確的所有結(jié)

論是()o

A、①②③B、①②④C、①③④D、②③④

11、化簡：(1)|2x-l|-|x-2|(2)|x+5|+|2x-3|

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第3講有理數(shù)

1、計算下列各題:

(1)12-(-18)+(-9)-15(2)(+12)-(-18)+(-7)-(+15)

2

----1-------)4-(-----(4)-81X(|)-(+|)-(-16)

123236

4

(5)-22x7-(-3)x6+5(6)-1+|3-5|-16-(-2)X1

211

(7)(-2)2+(-1-3)-?(——)+——x(-24)(8)-529-[-4+(1-0.2X-)-(-2)]

,3,1

(10)(-5)3x(--)+32(-22)x(-1-)

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2、小亮的媽媽每天早上要送新鮮的蔬菜到市場去賣，下表是上周送出去的20筐新鮮蔬菜的質(zhì)

量記錄，每筐以25千克為標準質(zhì)量。求上周送出的20筐新鮮蔬菜的總質(zhì)量。

筐數(shù)253424

與標準質(zhì)量比較(千克)-0.8+0.6-0.5+0.4+0.5-0.3

3、超市新進了10箱橙子，每箱標準重量為50千克，到貨后超市復(fù)秤結(jié)果如下(超市標準重量

的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負數(shù))：+0.5,+0.3,-0.9,+0.1,+0.4,-0.2,-0.7,+0.8,

+0.3,+0.10那么超市購進的橙子共多少千克？

4、為喜迎祖國60周年華誕，某巡警騎摩托車在天安門前的東西大街上巡邏，某天他從天安門出

發(fā)，晚上留在A處，規(guī)定向東方向為正，當天他的行駛記錄如下(單位：千米)：+10,-8,+7,

-15,+6,-14,+4,-2?

(1)A處在天安門的何方？相距多少千米？

(2)若摩托車耗油0.05升/千米，問這一天摩托車共耗油多少升？

(3)在這一天中，該巡警與天安門相距最遠時是多少千米？

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5、(北雅2023年秋月考)已知：-^―=1--111111

1x222^3-2-3

將以上三個等式兩邊分別相加得：-----1-----1----=1---1-----1----=1—=—

1x22x33x42233444

111

(1)計算:---------1-----------1-----------1-…+

1x22x33x42022x2023

(2)計算:U3+3^5+5^7+",+2021x2023

6、(博才2023年秋期中)如果有理數(shù)a,6滿足2|+(1-bp=0,貝。

1111士二

------1------------------------1--------------------------F...H------------------------------------的值為

ab(a+l)(Z)+l)(a+2)(b+2)(a+2021)(6+2021)

7、已知：有理數(shù)a力滿足關(guān)系|a—1|+(2—6)2=0.

(1)填空：a=,b=(直接填空，以下第2問要寫必要過程)；

(2)求---1-----------1------------1-..H-----------------的值o

ab(a+l)(Z)+l)(a+2)3+2)(a+2010)(6+2010)

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【思考題】

1、(長沙市一中2022年秋期中)小明是一個聰明而又富有想象力的孩子，學(xué)習了有理數(shù)的乘方

后，他就琢磨著使用乘方這一數(shù)學(xué)知識，腦洞大開地定義出“有理數(shù)的除方”概念。于是規(guī)定：若干

個相同有理數(shù)(均不能為0)的除法運算叫做除方。例如：2+2+2,(—3)+(—3)+(—3)+(—3)等，

類比有理數(shù)的乘方。小明把2千2+2記作g(3,2),(―3)十(―3)十(―3)十(-3)記作g(4,-3)。

(1)直接寫出計算結(jié)果：g(5,-1)=,g(4,3)=;

(2)關(guān)于“有理數(shù)的除方”，下列說法正確的是(填序號)。

①g(5,3)=g(3,5)；②g(3,a)=—w0)；

a

③對于任意正整數(shù)〃，都有g(shù)(〃,-1)=-1；

④對于任意正整數(shù)〃，都有g(shù)(2",a)〉0(a<0)。

(3)小明深入思考后發(fā)現(xiàn)：“除方”運算能夠轉(zhuǎn)化成乘方運算，且結(jié)果可以寫出幕的形式：

g(n,a)=a+a+a++l+"-2)=(-r2(〃為正整數(shù)，aw。，n>2)

a

請利用推導(dǎo)公式計算：g(4,3)xg(5,1)xg(6,-1)xg(7,-2)。

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【課后練習】

1、如果ab=O,則一定有()o

A、a=Z?=0B>a,A至少有一個0C、a=0D、a/最多有一個0

2、下列說法中正確的是()o

A、0是最小的有理數(shù)B、一個有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)

C、分數(shù)不是有理數(shù)D、沒有最大的負數(shù)

3、下列說法中正確的是()=

A、正數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)

B、有理數(shù)是指整數(shù)、分數(shù)、正有理數(shù)、負有理數(shù)和0五類

C、一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)D、整數(shù)包括正整數(shù)和負整數(shù)

4、用四舍五入法將數(shù)0.618精確到百分位的結(jié)果是()。

A、0.6B、0.60C、0.61D、0.62

5、計算下列各題：

(1)4+(—2)3x5—(—028)+4(2)(-1)3-(l-1)^3x[2-(-3)2]

,1,153

(3)—22x(—5)+8+(—2)2(4)(--+---)x24(要求用簡便方法運算)

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6、已知a,6互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，制的相反數(shù)是工的倒數(shù)，求蘇-24+”2的值。

2m

7、在一列數(shù)%,%，生…中，已知％=-；，從第二個數(shù)起，每個數(shù)都等于“1與它前面的那個數(shù)

的差的倒數(shù)”。

（1）求。2，。3，。4的值；（2）根據(jù)以上計算結(jié)果，求出0，。2007的值。

8、光明奶粉每袋標準質(zhì)量是454克，在質(zhì)量檢測中，超出標準質(zhì)量記為正，若質(zhì)量低于標準質(zhì)

量3克或3克以上，則這代奶粉視為不合格產(chǎn)品?，F(xiàn)在抽取10袋樣品進行質(zhì)量檢測，結(jié)果如下（單

位：克）：

袋號12345678910

記作-20+1-4-3-2+2+3-5-3

（1）這10袋奶粉中，不合格袋號是。

（2）質(zhì)量最多的是哪袋？它的實際質(zhì)量是多少？（3）這10袋奶粉的總質(zhì)量是多少？

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9、小蟲從點0出發(fā)，在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程

記為負數(shù)，爬行的各段路程（單位：厘米）依次為：-5、-3、+10、-6、-8、+12、-10o

問：（1）小蟲最后能否回到出發(fā)點O?

（2）在爬行過程中，如果每爬行1厘米，獎勵2粒芝麻，則小蟲一共可以得到多少粒芝麻？

（3）小蟲離開出發(fā)點0的最遠距離是多少？

10、某天長沙市交警大隊的一輛警車在東西方向的街上巡邏，警車從交警大樓的A處出發(fā)，規(guī)

定向東為正，當天行駛記錄如下（單位：千米）：+10、-9、+7、-15、+6、-5、+4、-2o

（1）最后警車是否回到交警大樓A處？若沒有，在交警大樓A處何方？距交警大樓A處多遠？

（2）警車行駛1千米耗油0.2升，油箱有油10升，夠不夠？若不夠，途中還需補充多少升油？

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第4講單項式與多項式

一、單項式

1、單項式-也二的系數(shù)是，次數(shù)是。

4一

47rx2

2、單項式"X：的系數(shù)是，次數(shù)是o

9

二、多項式

1、多項式3/一5/+1的次數(shù)是,常數(shù)項是o

2、多項式2—（中2_4x3y是次項式。

3、對于多項式3*-公丫與+2盯2一13,請寫出它的最高次項為

4、-ax+labx4-4ax3y2一$是___次___項式，把它按x的降暴排列是

5、已知2f+3y+7的值是8,則4f+6y+9的值為（）。（整體代換）

A、1B、2C、11D、不能確定

4

6、若式子3/—4x+6的值是9,則/—x+16的值是________。

3—

7、已知代數(shù)式2x+7的值為3,則代數(shù)式3——6X+7的值為。

2.,

8、已知加—〃二—，則7—3加+3〃的值為（）。

3

「2A

A、9B、5C、7—D、6—

33

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9、(雅禮2023年秋期中)理解與思考：“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的一種重要思想方法，它

在多項式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛。

例如：如果2*+3x=l,求代數(shù)式21+3x+2022的值。

我們可以將2/+3%作為一個整體代入：

2x2+3x+2022=(2x2+3x)+2022=1+2022=2023

請仿照上面的解題方法，完成下面的問題：

(1)如果2/+3x=—1,求代數(shù)式2/+3x+2025的值