2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.3函數(shù)的奇偶性與周期性知識(shí)點(diǎn)講解理科版含解析

函數(shù)的奇偶性與周期性【核心素養(yǎng)分析】1.結(jié)合詳細(xì)函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和探討函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)推斷、應(yīng)用簡潔函數(shù)的周期性.3.培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)?！局攸c(diǎn)學(xué)問梳理】學(xué)問點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)假如對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)隨意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)假如對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)隨意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱學(xué)問點(diǎn)二函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，假如存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：假如在周期函數(shù)f(x)的全部周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.【特殊提示】1.(1)假如一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么肯定有f(0)＝0.(2)假如函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.3.函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).4.對稱性的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(2)若對于R上的隨意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對稱.【典型題分析】高頻考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判定例1．【2024·全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)，則f(x)A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可解除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，解除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.【舉一反三】（2024·四川成都七中模擬）下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()A．y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) B．y＝x2＋e|x|C．y＝xcosx D．y＝ln|x|－sinx【答案】B【解析】對于選項(xiàng)A，易知y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))為非奇非偶函數(shù)；對于選項(xiàng)B，設(shè)f(x)＝x2＋e|x|，則f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|為偶函數(shù)；對于選項(xiàng)C，設(shè)f(x)＝xcosx，則f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，所以y＝xcosx為奇函數(shù)；對于選項(xiàng)D，設(shè)f(x)＝ln|x|－sinx，則f(2)＝ln2－sin2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sinx為非奇非偶函數(shù)，故選B.【方法技巧】推斷函數(shù)奇偶性的常用方法(1)定義法：確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，必需先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．若對稱，再化簡解析式后驗(yàn)證f(－x)＝±f(x)或其等價(jià)形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)圖象法：f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，f(x)為奇函數(shù)；f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，f(x)為偶函數(shù)。(3)性質(zhì)法：設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．【變式探究】【2024年高考浙江】函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[–π，π]上的圖象可能是【答案】A【解析】因?yàn)?，則，即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，據(jù)此可知選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；且時(shí)，，據(jù)此可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：A．高頻考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2．【2024·江蘇】已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，，則的值是．【答案】－4【解析】，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以。【舉一反三】(2024·全國卷Ⅱ)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，則a＝________.【答案】－3【解析】法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函數(shù)可知f(－x)＝－f(x)，∴x＞0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，則f(ln2)＝e－aln2＝8，∴－aln2＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.法二：由f(x)是奇函數(shù)可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln2)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,2)))＝－(－eeq\s\up5(alneq\f(1,2)))＝8，∴alneq\f(1,2)＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.【方法技巧】與函數(shù)奇偶性有關(guān)的問題及解題策略(1)求函數(shù)的值：利用奇偶性將待求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．(2)求函數(shù)解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．(3)求解析式中的參數(shù)值：在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，利用f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)，f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．對于在x＝0處有定義的奇函數(shù)f(x)，可考慮列等式f(0)＝0求解．【變式探究】（2024·黑龍江哈爾濱三中模擬）設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log21－x，x＜0，,gx＋1，x>0，))若f(x)是奇函數(shù)，則g(3)的值是()A．1 B．3C．－3 D．－1【答案】C【解析】∵函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log21－x，x＜0，,gx＋1，x>0，))f(x)是奇函數(shù)，∴f(－3)＝－f(3)，∴l(xiāng)og2(1＋3)＝－(g(3)＋1)，則g(3)＝－3.故選C.高頻考點(diǎn)三函數(shù)的周期性例3.(2024·全國Ⅱ卷)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿意f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50 B.0 C.2 D.50【答案】C【解析】方法一：∵f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.方法二：取一個(gè)符合題意的函數(shù)f(x)＝2sineq\f(πx,2)，則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列{f(n)}(n∈N*)是以4為周期的周期數(shù)列.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.【方法技巧】(1)求解與函數(shù)的周期性有關(guān)的問題，應(yīng)依據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．(2)周期函數(shù)的圖象具有周期性，假如發(fā)覺一個(gè)函數(shù)的圖象具有兩個(gè)對稱性(留意：對稱中心在平行于x軸的直線上，對稱軸平行于y軸)，那么這個(gè)函數(shù)肯定具有周期性．【變式探究】（2024·湖北武漢二中模擬）函數(shù)f(x)滿意f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0＜x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2＜x≤0，))則f(f(15))的值為________．【答案】eq\f(\r(2),2)【解析】由函數(shù)f(x)滿意f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函數(shù)f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，所以f(f(15))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).高頻考點(diǎn)四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4.（2024·上海市建平中學(xué)模擬）已知函數(shù).（1）若滿意為上奇函數(shù)且為上偶函數(shù)，求的值；（2）若函數(shù)滿意對恒成立，函數(shù)，求證：函數(shù)是周期函數(shù)，并寫出的一個(gè)正周期；（3）對于函數(shù)，，若對恒成立，則稱函數(shù)是“廣義周期函數(shù)”，是其一個(gè)廣義周期，若二次函數(shù)的廣義周期為（不恒成立），試?yán)脧V義周期函數(shù)定義證明：對隨意的，，成立的充要條件是.【答案】（1）0；（2）證明見解析，正周期為24；（3）證明見解析【解析】（1）因?yàn)闈M意為上奇函數(shù)，所以，所以，又因?yàn)闈M意為上偶函數(shù)，所以，所以，所以有，所以，所以，所以，所以的一個(gè)周期為，又因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以；?）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以是周期函?shù)，一個(gè)正周期為；（3）充分性：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以充分性滿意；必要性：因?yàn)槎魏瘮?shù)的廣義周期為，所以，所以，所以，又因?yàn)椴缓愠闪ⅲ?，所以，又因?yàn)?，所以，，由可知：，即，所以必要性滿意.所以：對隨意的，，成立的充要條件是.【方法技巧】（1）利用奇偶性以及對稱性去推斷函數(shù)的周期時(shí)：首先依據(jù)奇偶性以及對稱性寫出對應(yīng)的函數(shù)抽象表達(dá)形式，然后聯(lián)立兩個(gè)及兩個(gè)以上的等式得到形如的結(jié)構(gòu)即可求解出周期；（2）充分必要條件的證明：證明的時(shí)候分兩步走：<1>充分性證明，<2>必要性證明，缺一不行.【變式探究】（2024·江蘇省海安高級(jí)中學(xué)模擬）設(shè)常數(shù)，函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，推斷在上單調(diào)性，并加以證明；（2）當(dāng)時(shí)，探討的奇偶性，并說明理由；（3）當(dāng)時(shí)，若存在區(qū)間使得在上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）在上