2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)三視圖和直觀圖教師文檔教案文北師大版

PAGE第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第119頁[基礎(chǔ)梳理]1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面相互平行且相等多邊形相互平行側(cè)棱平行且相等相交于一點，但不肯定相等延長線交于一點側(cè)面形態(tài)平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線相互平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形全等的圓側(cè)面綻開圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄営洖椋簷M同豎半，平行性不變．3．三視圖(1)幾何體的三視圖包括主視圖、左視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方視察幾何體畫出的輪廓線．(2)三視圖的畫法①基本要求：長對正，高平齊，寬相等．②畫法規(guī)則：主左一樣高，主俯一樣長，左俯一樣寬；看到的線畫實線，看不到的線畫虛線．1．依據(jù)斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖，S原圖＝2eq\r(2)S直觀圖．2．球心到截面的距離d＝eq\r(R2－r2)(其中R為球的半徑，r為截面半徑)．[四基自測]1．(基礎(chǔ)點：三視圖的畫法規(guī)則)若一個三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個三棱柱的高和底面邊長分別為()A．2，2eq\r(3) B．2eq\r(2)，2C．4，2 D．2，4答案：D2．(易錯點：三視圖的識別)將正方體(如圖(1)所示)截去兩個三棱錐，得到如圖(2)所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為()答案：B3.(基礎(chǔ)點：直觀圖的畫法規(guī)則)如圖，在直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2cm，則在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO為________，面積為________cm2.答案：矩形8授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第120頁考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征[例](1)下列結(jié)論正確的是()A．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺B．六條棱長均相等的四面體是正四面體C．有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱D．一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺[解析]∵這條腰必需是垂直于兩底的腰，∴A錯；斜四棱柱也可能有兩個側(cè)面是矩形，∴C錯；必需用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以得到一個圓錐和一個圓臺，D錯．故選B.[答案]B(2)下列結(jié)論正確的是()A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點與底面圓周上的隨意一點的連線都是母線[解析]A錯誤．如圖(1)所示，由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．圖(1)B錯誤．如圖(2)，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，所得的幾何體都不是圓錐．圖(2)C錯誤．若六棱錐的全部棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必定要大于底面邊長．D正確．[答案]D(3)給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③存在每個面都是直角三角形的四面體；④棱臺的側(cè)棱延長后交于一點．其中正確命題的序號是________．[解析]①不正確，依據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不肯定全等；②正確，兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；③正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形；④正確，由棱臺的概念可知．故答案為②③④[答案]②③④[破題技法]解空間幾何體概念辨析問題的常用方法提示：(1)直棱柱的側(cè)棱垂直于底面，正棱柱是底面為正多邊形的直棱柱，易忽視正棱柱首先是直棱柱．(2)臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一點．考點二空間幾何體的直觀圖[例](1)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形[解析]在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2cm，∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(（4\r(2)）2＋22)＝6(cm)，∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形，故選C.[答案]C(2)直觀圖為如圖所示的一個邊長為1cm的正方形，則原圖形的周長為________cm.[解析]將直觀圖還原為平面圖形，如圖．可知還原后的圖形中OB＝2eq\r(2)，AB＝eq\r(12＋（2\r(2)）2)＝3，于是周長為2×3＋2×1＝8(cm)．[答案]8(3)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________．[解析]如圖，∵OE＝eq\r(（\r(2)）2－12)＝1，∴O′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4).∴直觀圖A′B′C′D′的面積為S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).[答案]eq\f(\r(2),2)[破題技法]1.用斜二測畫法畫直觀圖的技巧：在原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點，作出在直觀圖中的相應(yīng)點后，用平滑的曲線連接而畫出．2．斜二測畫法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角變更，,與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?圖形變更.))“三不變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不變更，,與x，z軸平行的線段的長度不變更，,相對位置不變更.))考點三空間幾何體的三視圖挖掘1已知幾何體形態(tài)，識別幾何體的三視圖/自主練透[例1](1)(2024·高考全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()[解析]由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.[答案]A(2)(2024·惠州調(diào)研)如圖所示，將圖①中的正方體截去兩個三棱錐，得到圖②中的幾何體，則該幾何體的左視圖為()[解析]從幾何體的左面看，AD1在視線范圍內(nèi)，畫實線，C1F[答案]B[破題技法]由幾何體的直觀圖求三視圖．應(yīng)留意主視圖、左視圖和俯視圖的視察方向，留意看到的部分用實線表示，不能看到的部分用虛線表示．還原幾何體形態(tài)時不要忽視空間幾何體的三視圖中的虛線．挖掘2由空間幾何體的三視圖還原直觀圖/自主練透[例2](1)(2024·高考全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A．10 B．12C．14 D．16[解析]由題意，得該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和一個三棱柱構(gòu)成的，如圖，則該幾何體各面內(nèi)只有兩個相同的梯形，則這兩個梯形的面積之和為2×(2＋4)×2×eq\f(1,2)＝12，故選B.[答案]B(2)(2024·南平質(zhì)檢)圖中網(wǎng)格的各小格是單位正方形，粗線構(gòu)成的上下兩個圖形分別是正三棱錐與圓臺組合體的主視圖和俯視圖，那么該組合體的左視圖的面積為()A．6＋eq\r(3) B．eq\f(15,2)C．6＋eq\f(3\r(3),4) D．8eq\r(3)[解析]由三視圖還原可得原圖形為一個圓臺上面放了一個正三棱錐，所以左視圖下面圓臺是一個等腰梯形，面積為S1＝eq\f(（2＋4）×2,2)＝6，上面是一個三角形，面積為S2＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×2＝eq\f(3,2)，所以左視圖的面積為S＝S1＋S2＝eq\f(15,2)，故選B.[答案]B[破題技法]由三視圖還原幾何體的方法：挖掘3由空間幾何體的部分視圖畫出剩余部分視圖/自主練透[例3](2024·石家莊質(zhì)檢)一個三棱錐的主視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的左視圖可能為()[解析]由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，故選D.[答案]D[破題技法]由幾何體的部分視圖畫出剩余的視圖，先依據(jù)已知的一部分視圖，還原、推想直觀圖的可能形式，從而得到未知視圖的可能形式．考點四三視圖中的最值問題[例]某幾何體的一條棱長為eq\r(7)，在該幾何體的主視圖中，這條棱的投影是長為eq\r(6)的線段，在該幾何體的左視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a＋b的最大值為()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．4 D．2eq\r(5)[解析]將此幾何體中棱長為eq\r(7)的棱抽離出來，構(gòu)造一個以它為體對角線的長方體，如圖所示，則此長方體的面對角線分別為a，b，eq\r(6).設(shè)長方體的長、寬、高分別為x，y，z，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝b2，,y2＋z2＝a2，,z2＋x2＝6，,x2＋y2＋z2＝7，))消去x，y，z，得a2＋b2＝8，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝16，則a＋b≤4.故選C.[答案]C[破題技法]1.三視圖中的最值問題通常有兩種破解策略：(1)利用函數(shù)思想求解，即在解答時通過設(shè)出變量，利用函數(shù)與方程思想得到方程或函數(shù)解析式，運(yùn)用解方程或函數(shù)求最值的方法解答此類問題；(2)借助幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征求解，即仔細(xì)分析圖形，確定取最值時的相應(yīng)點、線段或角，再借助幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行計算求解．2．留意補(bǔ)形的策略在三視圖問題中的應(yīng)用，本例若是僅考慮符合題意的幾何體的形態(tài)，便極易陷入苦思而不得的泥沼．現(xiàn)考慮長方體模型，因為長方體的體對角線的三視圖即為長方體的三條面對角線，從而得到本題的簡易解法．(2024·高考全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點M在主視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上