2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.2.1充分條件與必要條件1.2.2充要條件課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版選修2-1

PAGE第一章常用邏輯用語[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．設(shè)p：x<3，q：－1<x<3，則p是q成立的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件解析：因?yàn)?－1,3)(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分條件．答案：C2．設(shè)a∈R，則a>1是eq\f(1,a)<1的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：a>1?eq\f(1,a)<1，而當(dāng)eq\f(1,a)<1，例如a＝－1，也有eq\f(1,a)＝－1<1，但是不能推出a>1.答案：A3．下面四個(gè)條件中，使a>b成立的充分不必要的條件是()A．a(chǎn)>b＋1 B．a(chǎn)>b－1C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3解析：A項(xiàng)：若a>b＋1，則必有a>b，反之，當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，滿意a>b，但不能推出a>b＋1，故a>b＋1是a>b成立的充分而不必要條件；B項(xiàng)：當(dāng)a＝b＝1時(shí)，滿意a>b－1，不能推出a>b；C項(xiàng)：當(dāng)a＝－2，b＝1時(shí)，滿意a2>b2，但a>b不成立；D項(xiàng)：a>b是a3>b3的充分必要條件．綜上所述答案選A.答案：A4．對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：由a＋b＝0知a與b互為相反向量，從而a∥b，充分性成立；由a∥b得a＝λb(λ∈R)，當(dāng)λ≠－1時(shí)，a＋b≠0，∴必要性不成立．答案：A5．已知a，b是實(shí)數(shù)，則“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab>0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：因?yàn)閨a＋b|＝|a|＋|b|?a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2?|ab|＝ab?ab≥0，而由ab≥0不能推出ab>0，由ab>0能推出ab≥0，所以由|a＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab>0，由ab>0能推出|a＋b|＝|a|＋|b|，故選B.答案：B6．設(shè)φ∈R，則“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)為偶函數(shù)”解析：φ＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx是偶函數(shù)，而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函數(shù)時(shí)，φ＝kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函數(shù)f(x)＝cos(x＋φ)為偶函數(shù)”的充分不必要條件．答案：充分不必要7．條件p：1－x<0，條件q：x>a，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________．解析：p：x>1，若p是q的充分不必要條件，則p?q，但q?/p，也就是說，p對(duì)應(yīng)集合是q對(duì)應(yīng)集合的真子集，所以a<1.答案：(－∞，1)8．假如命題“若A，則B”的否命題是真命題，而它的逆否命題是假命題，則A是B的________條件．解析：因?yàn)槟娣衩}為假，所以原命題為假，即A?/B.又因否命題為真，所以逆命題為真，即B?A，所以A是B的必要不充分條件．答案：必要不充分9．推斷下列各題中，p是q的什么條件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y(tǒng)；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四邊形的對(duì)角線相互平分，q：四邊形是矩形；(4)p：圓x2＋y2＝r2(r>0)與直線ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.解析：(1)∵|x|＝|y|x＝y(tǒng)，但x＝y(tǒng)?|x|＝|y|，∴p是q的必要不充分條件．(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，∴p是q的既不充分也不必要條件．(3)∵四邊形的對(duì)角線相互平分四邊形是矩形，四邊形是矩形?四邊形的對(duì)角線相互平分，∴p是q的必要不充分條件．(4)若圓x2＋y2＝r2(r>0)與直線ax＋by＋c＝0相切，則圓心(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離等于r，即r＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))，∴c2＝(a2＋b2)r2；反過來，若c2＝(a2＋b2)r2，則eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝r成立，說明圓x2＋y2＝r2(r>0)的圓心(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離等于r，即圓x2＋y2＝r2(r>0)與直線ax＋by＋c＝0相切，故p是q的充要條件．10．已知p：eq\f(1,2)≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分條件是q，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：q是p的必要不充分條件，則qp，p?q.∵p：eq\f(1,2)≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥1,a<\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>1,a≤\f(1,2)))，即0≤a≤eq\f(1,2).∴滿意條件的a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).[B組實(shí)力提升]11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，則“a≤b”是“sinA≤sinB”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，故a≤b?2RsinA≤2RsinB?sinA≤sinB.答案：A12．設(shè)a，b∈R，則“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：設(shè)f(x)＝x|x|，由f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，知f(x)為奇函數(shù)．又當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增，所以a>b?f(a)>f(b)，即a>b?a|a|>b|b|.故“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要條件．答案：C13．關(guān)于x的不等式ax2＋2ax＋1>0的解集是實(shí)數(shù)集R的充要條件是________．解析：因?yàn)閍x2＋2ax＋1>0的解集是實(shí)數(shù)集R，所以①a＝0，則1>0恒成立；②a≠0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))?0<a<1，由①②得0≤a<1.即ax2＋2ax＋1>0的解集是實(shí)數(shù)集R?0≤a<1.答案：[0,1)14．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d>0”是“S4＋S6>2S5”解析：若S4＋S6>2S5，則S4＋S4＋a5＋a6>S4＋a5＋S4＋a5，∴a6>a5，∴d>0，必要性成立；若d>0，則a6>a5，∴S4＋S6>2S5，充分性成立．故“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要條件．答案：充要15．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3－x＋22－x)的定義域?yàn)锳，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定義域?yàn)锽.(1)求A；(2)記p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：(1)要使f(x)有意義，則3－(x＋2)(2－x)≥0，化簡整理得(x＋1)(x－1)≥0，解得x≤－1或x≥1，∴A＝{x|x≤－1或x≥1}．(2)要使g(x)有意義，則(x－a－1)(2a－x即(x－a－1)(x－2a)<0，又∵a<1，∴a＋1>2a，∴B＝{x|2a<x<a＋1}．∵p是q的必要不充分條件，∴BA，∴2a≥1或a＋1≤－1，解得eq\f(1,2)≤a<1或a≤－2.∴a的取值范圍為(－∞，－2]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).16．求證：關(guān)于x的一元二次不等式ax2－ax＋1>0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件是0<a<4.證明：①必要性：若ax2－ax＋1>0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，由二次函數(shù)性質(zhì)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a2－