工程數(shù)學(xué) - 第一章 函數(shù)

工程數(shù)學(xué)主

編

馬玉

高琰

盧靜函

數(shù)第一章目錄函數(shù)的概念01函數(shù)的性質(zhì)02初等函數(shù)03初步認(rèn)識(shí)MATLAB04CONTENTS行業(yè)PPT模板/hangye/第一節(jié)函數(shù)的概念010101一、函數(shù)的定義定義1.1.1設(shè)D是一個(gè)給定的非空數(shù)集,如果對(duì)于任意一個(gè)數(shù)x∈D,按照某一個(gè)對(duì)應(yīng)法則f,實(shí)數(shù)集中總有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng)f為D上x(chóng)到y(tǒng)的一個(gè)函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)y是x的函數(shù),記作

y=f(x),x∈D式中,x為自變量;y為因變量;D為函數(shù)的定義域.定義域D就是自變量x的取值范圍,也就是使函數(shù)y=f(x)有意義的數(shù)集.當(dāng)x取遍D中的一切數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)的全體所構(gòu)成的集合{yy=f(x),x∈D}稱(chēng)為函數(shù)的值域,一般用Rf或f(D)表示.注意:函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則稱(chēng)為函數(shù)的兩要素,兩個(gè)函數(shù)相同的充分必要條件是它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則均相同01二、函數(shù)的定義域與函數(shù)值

0101表示函數(shù)的方法主要有三種:列表法、圖像法和解析法.列表法是將自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表格來(lái)表示兩個(gè)變量函數(shù)關(guān)系的方法,如三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表等.圖像法是用圖像表示兩個(gè)變量x與y之間的函數(shù)關(guān)系的方法.如圖1-2表示的就是函數(shù)f(x)=x+1的圖像.三、函數(shù)的表示方法0101定義1.1.2對(duì)于這樣一個(gè)函數(shù)

y=f(x),x∈D,y∈Z若對(duì)于任意一個(gè)y∈Z,D中只有一個(gè)x值與之相對(duì)應(yīng),這就確定了一個(gè)以Z為定義域的函數(shù),這個(gè)函數(shù)就稱(chēng)為y=f(x)的反函數(shù),記作x=f-1(y),y∈Z.按照習(xí)慣記法,x作自變量,y作因變量,因此y=f(x)的反函數(shù)x=f-1(y)可以記作y=f-1(x),x∈Z.由反函數(shù)的定義知,反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域,反函數(shù)的值域?yàn)樵瘮?shù)的定義域.若函數(shù)y=f(x)具有反函數(shù),這就意味著,它的定義域D與值域Z之間按照對(duì)應(yīng)法則f建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,且反函數(shù)y=f-1(x)與y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng).四、反函數(shù)01第二節(jié)函數(shù)的性質(zhì)0202

定義1.2.1設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)不為零的數(shù)T,對(duì)于D內(nèi)任意的x,都有f(x+T)=f(x)成立,則稱(chēng)f(x)為周期函數(shù),稱(chēng)T為它的一個(gè)周期.

若T是函數(shù)的一個(gè)周期,則nT(n為非零整數(shù))也是它的周期.通常稱(chēng)周期中的最小正周期為周期函數(shù)的周期,顯然函數(shù)y=sinx和y=cosx的周期都是2π,函數(shù)y=tanx的周期是π.

注意:并非每個(gè)周期函數(shù)都有最小正周期.例如,常數(shù)函數(shù)為周期函數(shù),任意非零實(shí)數(shù)為其周期,無(wú)最小正周期.

例1.2.1設(shè)f(x)=cos(x-1),指出函數(shù)f(x)的周期.

解因?yàn)閒(x+2π)=cos(x+2π-1)=cos(x-1)=f(x),所以f(x)的周期為2π.一、周期性二、有界性02

定義1.2.2設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,數(shù)集X?D,若存在正數(shù)M,使得對(duì)任意的x∈X,都有f(x)≤M(可以沒(méi)有等號(hào)),則稱(chēng)f(x)是X上的有界函數(shù),否則稱(chēng)f(x)是X上的無(wú)界函數(shù).也就是說(shuō),如果對(duì)于任何正數(shù)M,總存在x1∈X,使得|f(x1)|>M,那么f(x)是X上的無(wú)界函數(shù).

從定義中我們可以看出,有界函數(shù)的圖像必介于兩條平行于x軸的直線y=M和y=-M之間.

例如,函數(shù)y=sinx在它的定義域(-∞,+∞)內(nèi)始終都有|sinx|≤1.于是根據(jù)有界函數(shù)的定義可知,函數(shù)y=sinx在它的定義域內(nèi)是一個(gè)有界函數(shù).三、單調(diào)性02

定義1.2.3設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上有定義,若對(duì)于D中的任意兩點(diǎn)x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),恒有

(1)f(x1)≤f(x2),則稱(chēng)函數(shù)f(x)在D上單調(diào)增加,稱(chēng)f(x)為D上的單調(diào)增函數(shù).區(qū)間D稱(chēng)為f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

(2)f(x1)≥f(x2),則稱(chēng)函數(shù)f(x)在D上單調(diào)減少,稱(chēng)f(x)為D上的單調(diào)減函數(shù).區(qū)間D稱(chēng)為f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

特別地,如果不等式f(x1)<f(x2)成立,則稱(chēng)f(x)為D上的嚴(yán)格增函數(shù).如果不等式f(x1)>f(x2)成立,則稱(chēng)f(x)為D上的嚴(yán)格減函數(shù).

例如,如圖1-4所示,函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(-∞,0]內(nèi)是單調(diào)減少的,在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)是單調(diào)增加的,在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)不是單調(diào)的.如圖1-5所示,函數(shù)f(x)=x3在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)是單調(diào)增加的.0202四、奇偶性第三節(jié)初等函數(shù)0303一、基本初等函數(shù)(一)常數(shù)函數(shù)y=C(C為常數(shù)),x∈(-∞,+∞)常數(shù)函數(shù)如圖1-6所示.(二)冪函數(shù)03(三)指數(shù)函數(shù)03(四)對(duì)數(shù)函數(shù)03(五)三角函數(shù)圖1-1303(六)反三角函數(shù)03

定義1.3.1已知兩個(gè)函數(shù)

y=f(u),u∈D1,y∈Z1

u=φ(x),x∈D2,u∈Z2

則函數(shù)y=f[φ(x)]是由函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)經(jīng)過(guò)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).其中,通常稱(chēng)f(u)為外層函數(shù),φ(x)為內(nèi)層函數(shù),u為中間變量.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成,也可以由多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成.

例如,函數(shù)y=ecosx是由y=f(u)=eu,u=φ(x)=cosx這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的.

復(fù)合函數(shù)是一個(gè)函數(shù),為了研究需要,今后經(jīng)常要將一個(gè)給定的函數(shù)看成由若干個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合而成的形式,從而將它分解為若干個(gè)基本初等函數(shù).二、復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)03第四節(jié)初步認(rèn)識(shí)MATLAB0404

20世紀(jì)70年代,美國(guó)新墨西哥大學(xué)的CleveMoler為了減輕學(xué)生編程的負(fù)擔(dān),用FORTRAN編寫(xiě)了MATLAB.1984年,MathWorks公司正式將MATLAB推向市場(chǎng).到20世紀(jì)90年代,MATLAB已成為國(guó)際上流行的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算軟件.

現(xiàn)在MATLAB是美國(guó)MathWorks公司旗下的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件,廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析、無(wú)線通信、深度學(xué)習(xí)、圖像處理與計(jì)算機(jī)視覺(jué)、信號(hào)處理、量化金融與風(fēng)險(xiǎn)管理、機(jī)器人、控制系統(tǒng)等領(lǐng)域.

MATLAB以矩陣作為數(shù)據(jù)操作的基本單位,提供了十分豐富的數(shù)值計(jì)算函數(shù)和強(qiáng)大的繪圖功能,而且簡(jiǎn)單易學(xué)、編程效率高.掌握MATLAB對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)模型的建立有很大的幫助.本書(shū)主要介紹MATLAB在數(shù)學(xué)中的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用.一、MATLAB簡(jiǎn)介04

變量和關(guān)鍵字是MATLAB編程中最基本的兩個(gè)概念,它們是構(gòu)成MATLAB表達(dá)式的常見(jiàn)元素.MATLAB變量是在程序運(yùn)行中值可以改變的量,變量由變量名來(lái)表示.

在MATLAB中有一類(lèi)特殊的變量,是由系統(tǒng)默認(rèn)給定符號(hào)來(lái)表示的.例如,pi,它代表圓周率π這個(gè)常數(shù),即3.1415926…,這類(lèi)變量類(lèi)似于C語(yǔ)言中的符號(hào)常量,有時(shí)又稱(chēng)為系統(tǒng)預(yù)定義的變量.

二、變量、常量與函數(shù)04

MATLAB算術(shù)運(yùn)算符包括:+加法;-減法;?乘法;/和\除法;^冪運(yùn)算;命令分隔符,逗號(hào)和;分號(hào).

關(guān)系運(yùn)算符是指兩數(shù)值或字符操作數(shù)之間的運(yùn)算符,這種運(yùn)算將根據(jù)兩操作數(shù)的關(guān)系產(chǎn)生結(jié)果true或false.MATLAB中的關(guān)系運(yùn)算符有6個(gè)

關(guān)系運(yùn)算符可以用來(lái)對(duì)兩個(gè)數(shù)值、兩個(gè)數(shù)組、兩個(gè)矩陣或兩個(gè)字符串等數(shù)據(jù)類(lèi)型進(jìn)行比較,同樣也可以進(jìn)行不同類(lèi)型的兩個(gè)數(shù)據(jù)之間的比較.比較的方式根據(jù)所比較的兩個(gè)數(shù)據(jù)類(lèi)型的不同而不同.關(guān)系運(yùn)算符通過(guò)比較對(duì)應(yīng)的元素,產(chǎn)生一個(gè)僅包含1和0的數(shù)值或矩陣.返回值是1表示比較結(jié)果是真,返回值是0表示比較結(jié)果是假.

邏輯運(yùn)算符是聯(lián)系一個(gè)或兩個(gè)邏輯操作數(shù)并能產(chǎn)生一個(gè)邏輯結(jié)果的運(yùn)算符.MATLAB支持4種邏輯運(yùn)算,分別是與、或、非、異或,其中:與、或和非運(yùn)算既可以使用邏輯運(yùn)算符,也可以使用邏輯運(yùn)算函數(shù);異或運(yùn)算只能使用邏輯運(yùn)算函數(shù)三、關(guān)系運(yùn)算04MATLAB可以進(jìn)行代數(shù)式的運(yùn)算,要先用符號(hào)對(duì)象來(lái)建立代數(shù)式.查找符號(hào)表達(dá)式中的符號(hào)變量:findsym(expr)%按字母順序列出符號(hào)表達(dá)式expr中的所有符號(hào)變量.findsym(expr,N)%按順序