基于GGB軟件技術(shù)的可視化高中數(shù)學(xué)課堂構(gòu)建

摘要：教育數(shù)字化時代背景下，隨著新課程改革的不斷推進，教師將信息技術(shù)廣泛應(yīng)用于教育教學(xué)當(dāng)中，可以促進學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)。特別是在高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，對GeoGebra（以下簡稱“GGB”）軟件的良好應(yīng)用，可以提高教學(xué)效率。GGB軟件有助于教師完成可視化的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，創(chuàng)新數(shù)學(xué)課程的教學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：GeoGebra；高中數(shù)學(xué)；可視化課堂GGB軟件是一款動態(tài)的教學(xué)軟件，在繪圖時涵蓋了點、直線、線段、多邊形、向量、圓錐曲線和函數(shù)等基本元素，這些繪圖元素均可在創(chuàng)建后直接在屏幕上或者使用命令動態(tài)改變。與傳統(tǒng)的幾何畫板相比，GGB軟件可完成幾何畫板的一切相關(guān)功能，并且非常顯著地簡化了操作過程，即可將教師難以口頭表達或板書不易展現(xiàn)的抽象知識動態(tài)展現(xiàn)給學(xué)生，充分提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率。一、以GGB軟件促進統(tǒng)計的可視化教學(xué)（一）隨機數(shù)表法的前期準備在人教B版高中數(shù)學(xué)教材必修二“數(shù)據(jù)的收集”一課中，列舉了常見的簡單隨機抽樣方法：抽簽法、隨機數(shù)表法。對于隨機數(shù)表法，學(xué)生只能通過教材第60頁的隨機數(shù)表進行簡單地了解和使用，這一過程其實是比較抽象的，而通過GGB軟件直接生成隨機數(shù)，學(xué)生在具體實踐中可以感受到數(shù)據(jù)的沖擊及數(shù)字化的魅力。教材提供了“在Excel中多次使用RANDBETWEEN函數(shù)，從1，2，……，90中抽出5個數(shù)”的例子（見教材60頁），運用類比的方法，GGB軟件也可以生成均勻分布隨機數(shù)、泊松分布隨機數(shù)、正態(tài)分布隨機數(shù)等，學(xué)生在實踐中可以感受大數(shù)據(jù)時代信息技術(shù)功能的強大?！景咐弧繋煟海ㄑ菔静僮鱃GB軟件）請大家生成一組從1到100、樣本數(shù)量為10的均勻分布隨機數(shù)。生：利用GGB軟件，只要確定好想選擇的隨機數(shù)類別、起始數(shù)、終值數(shù)、樣本數(shù)量，就能隨機生成數(shù)據(jù)，每按一次“回車鍵”，數(shù)據(jù)就會改變一次，并且這些數(shù)據(jù)都是沒有規(guī)律的。師：大家結(jié)合生活中的實例想一想，生成的隨機數(shù)能為我們提供什么樣的便利呢？生：比如，我們班級想通過抽簽的方式，從42人中派20人參與問卷調(diào)查，為了保證數(shù)據(jù)的公平性，可以全班同學(xué)的學(xué)號為序，生成42個隨機數(shù)，從大到小排列，選取前20名或后20名。（二）數(shù)字特征的處理《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下通稱“新課標”）要求，學(xué)生掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、最值、標準差、方差、極差等數(shù)據(jù)的數(shù)字特征。大部分學(xué)生對于計算步驟沒有過多的疑惑，而教材中的例題、教輔中的練習(xí)和測試中的題目，通常不會在計算量上增加難度。這就意味著，在脫離了初等教育的高等數(shù)學(xué)統(tǒng)計學(xué)的研究中，學(xué)生有必要掌握利用計算機處理數(shù)據(jù)的能力。在數(shù)據(jù)的處理過程中，大部分學(xué)生目前可以在Excel中使用相應(yīng)的函數(shù)求出最值、平均值等數(shù)字特征，而GGB軟件的表格區(qū)也可實現(xiàn)類似的功能，只是函數(shù)名稱不一致，教材中對同一組數(shù)據(jù)：18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5，分別在Excel和GGB軟件中進行了處理（見教材67頁），給學(xué)生以直觀的感受。【案例二】對于圖1中生成的10個隨機數(shù)，學(xué)生可利用GGB軟件中的函數(shù)進行數(shù)據(jù)處理。由于學(xué)生對Excel的使用相對嫻熟，所以在使用GGB軟件進行操作時會相對輕松。（三）數(shù)據(jù)的直觀表示在統(tǒng)計的課堂教學(xué)中，根據(jù)數(shù)據(jù)分析的需求，學(xué)生應(yīng)當(dāng)會選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表描述和表達數(shù)據(jù)，并從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征，估計總體的統(tǒng)計規(guī)律，最終解決相應(yīng)的實際問題。在以往的教學(xué)過程中，統(tǒng)計的教學(xué)活動幾乎都是通過典型案例進行的，如果學(xué)生能有機會經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程，逐漸理解數(shù)據(jù)分析的思路，學(xué)會如何處理典型案例，并在此過程中學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析的方法，運用所學(xué)知識和方法解決實際問題，那么在未來面對樣本量較大的數(shù)據(jù)時，學(xué)生就能通過認知能力的提升，自主培養(yǎng)解決實際問題的能力。因此，新課標鼓勵學(xué)生盡可能運用計算器、計算機進行模擬活動、處理數(shù)據(jù)，更好地體會概率的意義和統(tǒng)計思想。借助計算機軟件，教師可以快捷地做出有關(guān)統(tǒng)計圖表，如教材第71頁，在Excel中輸入有關(guān)數(shù)據(jù)后，就可以用有關(guān)作圖命令畫出柱形圖（條形圖），而且可以方便地改變呈現(xiàn)形式。在GGB軟件中，利用表格區(qū)輸入數(shù)據(jù)，然后利用“單變量分析”，可以得到數(shù)據(jù)的直方圖等信息，而且各種參數(shù)都可以自行設(shè)定?！狙菔疽弧坑捎陬l率分布直方圖的繪制較為繁瑣，所以由學(xué)生提供繪制思路，教師提供軟件的操作步驟，師生共同繪制出教材第72頁“情景與問題”中案例對應(yīng)的直方圖（見圖2）。（四）一元線性回歸模型在教材選擇性必修二中，對變量之間的相關(guān)關(guān)系、回歸直線方程及其性質(zhì)、相關(guān)系數(shù)、非線性回歸進行了要求。新課標要求結(jié)合實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系，通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性；結(jié)合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法，會使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件。線性回歸模型對于大部分學(xué)生來說陌生且不易接受。教師可以在課堂上演示如何在GGB軟件中作出線性回歸模型，有條件或有需求的學(xué)生可以在此基礎(chǔ)上自主研究。【演示二】冬日里，隨著氣溫的逐漸降低，茶館的生意日益火爆。某茶館為了解茶水銷售量與最低氣溫之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計并制作了某六天的茶水銷售量（單位：杯）與當(dāng)天最低氣溫（單位：℃）的對照表（見表1）。1.分析茶水銷售量與最低氣溫之間是否有關(guān)系，如果有，是什么關(guān)系？2.若某一天最低氣溫為-5℃，能否估計這天茶館賣出茶水的杯數(shù)？步驟一：繪制散點圖。啟動GGB軟件后，在表格區(qū)輸入表1中的“最低氣溫”“茶水銷售量”及對應(yīng)數(shù)量。接著，框選數(shù)據(jù)，通過右鍵彈出對話框，選擇對話框中的“創(chuàng)建”—“點列”欄目，繪圖區(qū)內(nèi)生成數(shù)據(jù)散點圖。步驟二：建立一次函數(shù)模型。散點圖生成后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察其特征，回顧已掌握的函數(shù)圖象，學(xué)生以小組為單位，猜想并嘗試建立回歸模型。大部分學(xué)生都能得出“散點圖分布在一條直線附近”的結(jié)論，也會有一部分學(xué)生猜想二次函數(shù)、冪函數(shù)的情況。這時，教師要及時給予表揚，引導(dǎo)學(xué)生先嘗試建立一次函數(shù)回歸模型，并將其他情況作為拓展任務(wù)，暫不展開。首先，教師指導(dǎo)學(xué)生在指令欄里輸入“多項式擬合”，根據(jù)指令提示，在繪圖區(qū)中生成一次函數(shù)圖象f（x）。同時，在代數(shù)區(qū)內(nèi)顯示函數(shù)f（x）=-1.71x+58.86。在計算機生成一次回歸函數(shù)后，教師引導(dǎo)學(xué)生回歸直線的數(shù)學(xué)定義：用直線方程近似表示的相關(guān)關(guān)系叫作線性關(guān)系，這條直線稱為回歸直線。學(xué)生回答出計算機生成的回歸系數(shù)為“a=1.71，b=58.86”。步驟三：一次函數(shù)模型“殘差”分析環(huán)節(jié)。教師在指令區(qū)內(nèi)輸入“殘差圖”，根據(jù)指令提示，在繪圖區(qū)內(nèi)呈現(xiàn)出一次函數(shù)模型的殘差圖。在殘差圖的直觀演示下，教師引導(dǎo)學(xué)生將“殘差”與方差進行對比，促進學(xué)生對“殘差”這一概念的理解。然后，教師再借助殘差圖，簡要介紹“殘差”的平方和表達式以及求解回歸系數(shù)的最小二乘法。最后，給出一元回歸直線的系數(shù)計算公式。二、以GGB軟件促進概率的可視化教學(xué)（一）二項分布通過“拋硬幣”的實例和對伯努利試驗的理解，教材引出了二項分布即n次獨立重復(fù)試驗及其數(shù)字特征，新課標要求學(xué)生能解決關(guān)于二項分布的簡單實際問題。教材第74頁引用了“將一枚均勻的硬幣拋100次，求出正好出現(xiàn)50次正面的概率”的案例，若設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為X，則X服從參數(shù)為100，0.5的二項分布，即X～B（100，0.5），因此所求概率為：P（X=50）=[C50100]×0.550×（1-0.5）50=[C50100]×0.5100。手動算出這個概率的小數(shù)形式并不容易，教材介紹了在Excel中解決此問題的方法，而GGB軟件也可以達到這個效果?！狙菔救扛鶕?jù)圖3的步驟進行演示，得到表格和頻率分布直方圖（見下頁圖4）。（二）超幾何分布同二項分布的概率值一樣，超幾何分布的概率值也可以用GGB求出，這對于解決二項分布和超幾何分布簡單的實際問題有很大的助力?！景咐拷?jīng)歷二項分布的實踐，超幾何分布操作會更順利，學(xué)生基本可以自行解決（見下頁圖5）。三、以GGB軟件促進可視化教學(xué)時需要注意的事項（一）熟練應(yīng)用信息技術(shù)，提高課堂效率教學(xué)中的重要目標之一是讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計的過程。為了提高課堂效率和質(zhì)量，同時避免手動畫圖帶來的誤差，教師利用GGB軟件展現(xiàn)作圖，直觀地為學(xué)生提供了有理有據(jù)的圖表，進而引導(dǎo)和指導(dǎo)學(xué)生親自動手實踐，提升了課堂的趣味性和教學(xué)效果，也有助于數(shù)據(jù)的分析。（二）合理利用信息技術(shù)，提高課堂質(zhì)量尋找教學(xué)與信息技術(shù)融合的內(nèi)容和方式之一是教師深入研究教學(xué)重難點。高中數(shù)學(xué)教材中經(jīng)常會蘊藏如轉(zhuǎn)化、逼近、數(shù)形結(jié)合等豐富多樣的數(shù)學(xué)理念與思維模式。教師要深入研究教材和教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計的全部課程內(nèi)容均應(yīng)符合數(shù)學(xué)本質(zhì)，要對蘊藏其中的數(shù)學(xué)理念與思維過程加以展示；要使信息技術(shù)用得有效，能夠讓學(xué)生更深刻地理解知識的本質(zhì)，這樣才能達到融合的目的。教師在演示的時候要提醒學(xué)生關(guān)注知識本身，而不是追求圖形的絢麗多彩或表面的場景變化，這就需要教師預(yù)設(shè)課堂情境，提前思考相關(guān)情況，并在課上通過語言去引導(dǎo)學(xué)生，從而達到真正提高課堂質(zhì)量的目的。（三）深入發(fā)掘信息技術(shù)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)價值數(shù)學(xué)具有多方面價值，它是科學(xué)的、實用的、文化的、思想的，教師在教學(xué)中融入信息技術(shù)時不能僅局限于教材中的知識點，而是要深入挖掘數(shù)學(xué)知識中存在的各個方面的價值，并將其生動地展現(xiàn)給學(xué)生。GGB軟件因在數(shù)學(xué)教學(xué)中的準確周密、省時美觀、參數(shù)交互等特點，以及置入的動畫動態(tài)繪圖系統(tǒng)，便于學(xué)生對抽象化的數(shù)學(xué)知識點進行直觀地學(xué)習(xí)，養(yǎng)成圖形思維，提升數(shù)形結(jié)合的水平。GGB軟件支撐下的數(shù)學(xué)課堂能夠發(fā)