專題08立體幾何中線段與面積等求解問題（第三篇）

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第三篇立體幾何專題08立體幾何中線段與面積等求解問題類型對應典例線段求解問題典例1面積求解問題典例2點到面的距離求解問題典例3【典例1】【四川省宜賓市2019屆高三上學期第一次診斷測試】在如圖所示的幾何體中，已知，平面ABC，，，若M是BC的中點，且，平面PAB．求線段PQ的長度；求三棱錐的體積V．【思路引導】取AB的中點N，連接MN，PN，推導出四邊形PQMN為平行四邊形，由此能求出線段PQ的長度．取AC的中點H，連接QH，推導出四邊形PQHA為平行四邊形，由此能求出三棱錐的體積．解：取AB的中點N，連接MN，PN，，且，，、Q、M、N確定平面，平面PAB，且平面平面，又平面，，四邊形PQMN為平行四邊形，．解：取AC的中點H，連接QH，，且PQ=AH=2，四邊形PQHA為平行四邊形，，平面ABC，平面ABC，，，三棱錐的體積：．【典例2】【山東、湖北部分重點中學2020屆模擬】如圖，五邊形中，四邊形為長方形，三角形為邊長為2的正三角形，將三角形沿折起，使得點在平面上的射影恰好在上.（1）當時，證明：平面平面；（2）當時，求四棱錐的側面積.【思路引導】（Ⅰ）作，垂足為，平面，可得，在中，.平面，由面面垂直的判定定理可得結果；(Ⅱ)可證明四個側面有一個正三角形，一個等腰三角形，兩個全等的直角三角形，分別求出特殊三角形的面積，然后求和即可.試題解析：（Ⅰ）作，垂足為，依題意得平面，，又，平面，.利用勾股定理得，同理可得.在中，平面，又平面，所以平面平面.(Ⅱ)由（Ⅰ）中可知，同理，，則由勾股定理可得，，中，，所以邊上高，，，所以四棱錐的側面積.【典例3】【河南省焦作市2019屆高三年級第四次模擬考試】如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，底面，，點在線段上，平面平面.（1）請指出點的位置，并給出證明；（2）若，求點到平面的距離.【思路引導】(1)取中點為，的中點為，連接，，,通過幾何關系得到四邊形為平行四邊形所以，再證，進而得到線面垂直，面面垂直；（2）由（1）可知，點到平面的距離為，由得到相應的點面距離.【詳解】（1）點為線段的中點.證明如下：取中點為，的中點為，連接，，.所以，，所以四邊形為平行四邊形.所以.因為，，所以.又因為平面，平面，所以.又，所以平面.所以平面，而平面，所以平面平面.（2）由，得.由（1）可知，點到平面的距離為.而的面積，，等腰底邊上的高為.記點到平面的距離為，由，得，即點到平面的距離為.【針對訓練】1.【2020屆北京市房山區(qū)高三模擬】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1（Ⅰ）求證：A1D∥平面（Ⅱ）求直線CC1與平面（Ⅲ）線段BC上是否存在點F，使平面DA1C1與平面A【思路引導】（1）要證明線面平行，需要在平面BCC1B1中找出一條直線平行于A1D.連結B1C，∵三棱柱ABC-A1B∴A1B1//CD且A1B1=CD,∴四邊形A1B1CD為平行四邊形，A1D//B1C,∵B1C?平面BCC1B1，A1D?平面BCC1B1,∴A1D//平面BCC1B1.（2）建立空間直角坐標系，設平面DA1C1的法向量為n=(x,y,z)，利用n?A1D=0,n?A1C1=0.即x-2z=0y=0，令z=1，則y=0∴線段BC上不存在點F，使平面DA1C1試題解析：（1）連結B1C，∵三棱柱ABC-A1B由平行四邊形ABCD得CD//AB∴A1B1//∴四邊形A1B1CD∵B1C?平面BCC1B∴A1D//平面（2）由∠ACB=90°，四邊形ABCD為平行四邊形得AC⊥AD，A如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A-xyz，則C(0,1,0)，D(1,0,0)，A1(0,0,2)，C1∴CC1=(0,0,2)設平面DA1Cn?A1D=0,n?A1C∴n=(2,0,1)3分∴∴直線CC1與平面DA1（3）設F(λ,1,0)，-1≤λ≤0，則C1F設平面A1C1A1C1?m令x1=1，則y1=0，z由（2）知：平面DA1假設平面DA1C1與平面A∴線段BC上不存在點F，使平面DA1C12．【2020屆重慶市高三學業(yè)質(zhì)量調(diào)研】如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1（Ⅰ）求證：EF//平面BB（Ⅱ）若AB=BB1=2a,AD=a，求點A到平面【思路引導】(1)通過證明四邊形BEFO1是平行四邊形，得EF//BO1,由線面平行的判定定理可得EF//平面BB1結論。證明：（Ⅰ）如圖，取B1D1的中點O1，連結∴BE∴四邊形BEFO1∴EF又EF?平面BB1∴EF//平面（Ⅱ）設點A到平面PDQ的距離為x,PQ=∵體積VP∴13∴x=63a，即點A3．【天津市薊州等部分區(qū)2019屆高三上學期期末聯(lián)考】如圖，三棱柱,平面,,,為的中點．（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值；（3）若點在線段上，且平面,確定點的位置并求線段的長．【思路引導】（1）連接，交于點，點為的中點，為的中點，求得∥，利用線面平行的判定定理，即可得到∥平面.（2）以為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，求得平面H和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.（3）設，根據(jù)平面，列出方程組，即可求解.【詳解】（1）連接，交于點，則點為的中點，因為為的中點，所以∥.又平面，平面，所以∥平面.（2）因為平面，∥，所以平面，又故以為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，則，所以設平面的法向量為，則有即令，則得.又平面的法向量為，且二面角為銳角，故二面角的余弦值為（3）設因為，所以，.又,,平面，所以解得所以，且點在線段的三等分點處，即4．【河北省邢臺市2019年高三期末測試】如圖，在三棱錐中，，，，，，.（1）證明：平面平面；（2）已知為棱上一點，若四面體的體積為，求線段的長.【思路引導】(1)由面面垂直的判定定理即可證明結論；(2)利用等體積法先計算的關系，進而可求出結果.【詳解】（1）證明：取的中點，連接，因為，，所以又因為，所以因為，為的中點，所以又，所以平面因為平面，所以平面平面.（2）因為，，，所以，由（1）知平面，且，則因為，所以則，.5．【2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科)（新課標Ⅲ)】圖1是由矩形和菱形組成的一個平面圖形，其中，，將其沿折起使得與重合，連結，如圖2.（1）證明圖2中的四點共面，且平面平面；（2）求圖2中的四邊形的面積.【思路引導】(1)因為折紙和粘合不改變矩形，和菱形內(nèi)部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因為是平面垂線，所以易證.(2)欲求四邊形的面積，需求出所對應的高，然后乘以即可．