河南省青桐鳴大聯(lián)考2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考 數(shù)學(xué)試卷含答案

河南省青桐鳴大聯(lián)考2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．在正三棱柱中，則平面內(nèi)不可能存在一條直線與直線（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．異面2．已知角，直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．已知退休的王大爺連續(xù)天戶外運(yùn)動(dòng)的步數(shù)（單位：百步）分別為50，，，，，則該組數(shù)據(jù)的均值與方差分別為（

）A．50， B．50，10 C．， D．，4．已知在空間直角坐標(biāo)系中，，，則在方向上的投影向量為（

）A． B．C． D．5．已知直線過(guò)點(diǎn)，且直線與直線平行，與直線垂直，，則直線的方程為（

）A． B．C． D．6．已知在中，，分別為，的中點(diǎn)，，，則可以用含，的式子表示為（

）A． B．C． D．7．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則有兩解 D．若，則有兩解8．在正四棱柱中，，，是該正四棱柱表面上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為（

）A．8 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．若為實(shí)數(shù)，則10．已知某籃球運(yùn)動(dòng)員共投籃兩次，記事件“第一次投籃投中”，事件“第二次投籃投中”，事件“兩次投籃均投中”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．，互為互斥事件 B．與互為互斥事件C． D．與互為對(duì)立事件11．如圖，在正方體中，為與的交點(diǎn)，平面與平面交于直線，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．平面 B．平面C． D．存在一條直線與直線，，都相交三、填空題（本大題共3小題）12．在平面直角坐標(biāo)系中，向量，，且滿足，其中，則.13．在四面體中，點(diǎn)為的重心，，，分別為，，的中點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù).14．甲、乙、丙三人一同下棋（無(wú)平局），甲勝乙、乙勝丙、丙勝甲的概率分別為0.6，0.5，0.4.第一局由甲、乙二人先下，丙旁觀，規(guī)則為負(fù)者在下一局旁觀，勝者與丙比賽……依次類推.若其中有一人累計(jì)勝兩局，則結(jié)束比賽，勝兩局者最終獲勝，則甲最終獲勝的概率是.四、解答題（本大題共5小題）15．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線：，.(1)若直線過(guò)點(diǎn)，求的值；(2)求點(diǎn)到直線距離的最大值.16．某高二實(shí)驗(yàn)班共有50名學(xué)生，數(shù)學(xué)老師為研究某次考試，將所有學(xué)生的成績(jī)分成5組：，，，，，得到頻率分布直方圖如下.(1)求的值，并估計(jì)本班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)（計(jì)算結(jié)果保留1位小數(shù)）；(2)全班共有24名女生，該次考試成績(jī)?cè)?20分以下的女生有8人，則不低于120分的男生有多少人？17．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)求角的值；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值.18．如圖，在三棱柱中，，平面平面，.(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.19．如圖，在正三棱臺(tái)中，，.

(1)求的長(zhǎng)度；(2)求三棱臺(tái)的體積.

參考答案1．【答案】A【詳解】對(duì)于A，若平面中存在一條直線與平行，平面，則平面，顯然不可能成立，故A正確；對(duì)于B，如圖，取的中點(diǎn)記為，因?yàn)樵谡庵?，平面平面，平面平面，，所以平面，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C顯然錯(cuò)誤；對(duì)于D，與異面，D錯(cuò)誤.故選：A.2．【答案】D【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，故角的取值范圍是.故選：D.3．【答案】A【詳解】均值：，方差：.故選：A.4．【答案】C【詳解】由題意可得，，所以在方向上的投影向量為.故選：C.5．【答案】B【詳解】由題意得，直線與直線垂直，則，解得，故直線的方程為，即.故選：B.6．【答案】B【詳解】由題意得，，，故，故.故選：B.7．【答案】D【詳解】由正弦定理，得，當(dāng)時(shí)，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故B有兩解，故C正確；當(dāng)時(shí)，，得，僅有一解，故D錯(cuò)誤.故選：D.8．【答案】B【詳解】如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，則，故，故，又，，平面，平面，故平面，又平面，故.在上取點(diǎn)，使，同理可證.又，平面，平面，則平面.設(shè)平面與棱交于點(diǎn)，連接.則平面平面，又平面平面，由平面平面，則，同理可證，故四邊形為平行四邊形，則四點(diǎn)共面.在平面內(nèi)，在棱上取點(diǎn)，使，連接，則，，則四邊形是平行四邊形，則，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，則，即為棱的中點(diǎn)，由，可得，則四邊形為菱形.且平面.由，則點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且與垂直的平面內(nèi)，即平面內(nèi).又是該正四棱柱表面上的一動(dòng)點(diǎn)，故點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡即為菱形，且該菱形的周長(zhǎng)為.所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為.故選：B.9．【答案】ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可得，，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋瑒t，即，故D正確.故選：ACD.10．【答案】BD【詳解】對(duì)于A，，兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，與不可能同時(shí)發(fā)生，故B正確；對(duì)于C，為，的交事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，對(duì)應(yīng)的事件是第一次投籃未投中或第二次投籃未投中，故與互為對(duì)立事件，D正確.故選：BD.11．【答案】ACD【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，連接，

則為的中點(diǎn)，故在中，為中位線，故，因?yàn)槠矫?，平面，故平面，A正確；假設(shè)平面，由平面，則，又，，，平面，故平面，平面，所以，在正方形中不可能成立，故假設(shè)錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；由平面，又直線為平面與平面的交線，所以，又，所以，C正確；如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，取的中點(diǎn)，連接，，，，

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，則，由，又，，則，則，故，，三點(diǎn)共線，故存在一條直線與直線，，都相交，D正確.故選：ACD.12．【答案】【詳解】由，，則，，又，則，解得或，又，則，故答案為：.13．【答案】3【詳解】如圖，連接，則，故，而，故．故答案為：3．14．【答案】0.504【詳解】甲最終獲勝的所有比賽情形有3種，甲勝前兩局：；第一局甲勝乙，第二局丙勝甲，第三局乙勝丙，第四局甲勝乙：；第一局乙勝甲，第二局丙勝乙，第三局甲勝丙，第四局甲勝乙：，故甲最終獲勝的概率為.故答案為：0.504.15．【答案】(1)(2)5【詳解】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)?2,3代入直線的方程得，，整理得，解得.（2）直線的方程可化為，聯(lián)立解得故直線恒過(guò)點(diǎn)，如圖可知，當(dāng)時(shí)點(diǎn)到直線距離的取最大值，最大值為，，故點(diǎn)到直線距離的最大值為5.

16．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由，解得.因?yàn)?，，故中位?shù)為.（2）該次考試成績(jī)?cè)?20分以下的總?cè)藬?shù)為，故120分以下男生人數(shù)為，故不低于120分的男生人數(shù)為.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1），由正弦定理得，故，又故.（2）由，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故周長(zhǎng)的最大值為.18．【答案】(1)證明見解析(2).【詳解】（1）證明：由，得，又平面平面，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，，平面，故平?（2）不妨設(shè)，由（1）知，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，易知平面的一個(gè)法向量為，故，故所求二面角的正弦值為.19．【答案】(