2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)突破：常用邏輯用語（學(xué)生版）

考點(diǎn)02常用邏輯用語(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜

合提升練+拓展沖刺練)

m【考試提醒】

i.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必

要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系2理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對(duì)兩種命題

進(jìn)行否定.

111【知識(shí)點(diǎn)】

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p=q,則夕是q的_______條件，q是P的________條件

p是q的____________條件p*q且q由p

p是q的____________條件p4q且q0P

p是q的_______條件p0q

p是q的_____________條件p令q且q由p

2.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”

表示.

⑵存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)

“”表示.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結(jié)構(gòu)對(duì)M中任意一個(gè)x,p(x)成立存在〃中的元素X,p(x)成立

簡記

否定Bx^M,—^p(x)

【常用結(jié)論】

1.充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系

若。以集合/的形式出現(xiàn)，q以集合8的形式出現(xiàn)，即z={x|Mx)}，q：

8={x|q(x)},則

(1)若ZqB,則P是4的充分條件；

(2)若BqZ,則P是4的必要條件；

(3)若幺*8,則P是4的充分不必要條件;

(4)若8:N,則P是4的必要不充分條件;

(5)若幺=8,則P是4的充要條件；

(6)若2*8且8:Z,則P是4的既不充分也不必要條件.

2.含有一個(gè)量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”.

3.命題〃與°的否定的真假性相反.

■【核心題型】

題型一充分、必要條件的判定

充分條件、必要條件的兩種判定方法

⑴定義法：根據(jù)p=>4，q會(huì)進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.

(2)集合法：根據(jù)p,q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍

的推斷問題.

【例題1】(2024?陜西?模擬預(yù)測)給出下列三個(gè)命題：

①命題。：mxeR,使得/+尤-1<0,則r>:VxeR,使得無2+x-lWO；

②"x>5或x<-l"是"/_4工-5>0"的充要條件;

③若pvg為真命題，則PA4為真命題.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【變式11(2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測)直線x+y+6=0與圓C：(x+l『+(y-l)2=5有公共點(diǎn)

的一個(gè)充分不必要條件是()

A.Z>e[-Vio,Vio]B.Z)e(-Vio,Vio)

C.be[一4,4]D.be(-4,4)

【變式2】(2024?全國?模擬預(yù)測)是成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【變式3】(2024?安徽淮北?一模)記S”是等差數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和，貝/｛%｝是遞增數(shù)歹產(chǎn)是

是遞增數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

題型二充分、必要條件的應(yīng)用

求參數(shù)問題的解題策略

（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列

出關(guān)于參數(shù)的不等式（或不等式組）求解.

（2）要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).

【例題2】（23-24高三上?浙江寧波?期末）命題卜2,1],/一尤-0，，為假命題的一個(gè)

充分不必要條件是（）

A.aW—B.Q?0C.D.

4

【變式1】2024高三?全國?專題練習(xí)）已知不等式加一la<加+1成立的充分條件是:<x<g,

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【考查意圖】已知充要關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.

【變式2]（2024高三?全國?專題練習(xí)）若"x=a"是"sinx+cosx>l"的一個(gè)充分條件，則&

的一個(gè)可能取值是.（寫出一個(gè)符合要求的答案即可）

【變式3】（2023海南?？?模擬預(yù)測）已知集合尸=卜卜2-2X<0},Q={N&下<1},則

尸UQ=P的充要條件是（）

A.0<a<lB.0<a<lC.0<a<lD.0<a<l

題型三全稱量詞與存在量詞

含量詞命題的解題策略

（1）判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到

一個(gè)成立即可.當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí)，可以先判斷其否定的真假.

（2）由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價(jià)命題

求參數(shù)的范圍.

命題點(diǎn)1含量詞命題的否定

【例題3】（2024,四川成都?二模）命題“可協(xié)—?jiǎng)Φ姆穸ㄊ牵ǎ?/p>

x

A.3x0eN*,2°->0B,弱eN*,2'。-x；>0

C.VxeN*,2A-x2<0D.VxeN*,2'-x2<0

【變式1］（2024?四川宜賓?二模）命題〃Vx>l,lnx>0〃的否定是（）

A.Vx>l,lnx<0B.Vx>1,liu<0

C.>1,Inx<0D.3x<l,lnx<0

【變式2］（2024?山西?模擬預(yù)測）命題e'+2sinx>2x”的否定是（）

A.,ex+2sinx>2x"B."Vx?（。4）,ex+2sinx<2x"

C.j,ex+2sinx<2x"D.z,3xe^0,—J,e1+2sinx<2x"

【變式3】（2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測）命題“現(xiàn)eR,使得（％-VO"的否定是（）

A.%eR,使得（須一1）240B.現(xiàn)eR,使得

C.V%eR,（x-l）2>0恒成立D.VxeR,（x-l）~20恒成立

命題點(diǎn)2含量詞命題真假的判斷

【例題4】（2023,四川瀘州,一■模）已知命題P：VxwR,x24—->1,命題qH/eR,

x

lnx°=-2,則下列命題是真命題的為（）

A.（-ip）AqB.P^qC.p人（-ig）D.（「。）人（->q）

【變式1］（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）下列命題中，真命題是（）

A.是"M>1"的必要條件

B.Vx>O,ex>2X

C.Vx>0,2x>x2

D.a+b=O的充要條件是f=-l

b

【變式2］（2023?四川綿陽?一模）下列5個(gè)命題：①“玉°eR,君+1<0”的否定；②

5也。=血/是夕=/?的必要條件；③“若a,6都是偶數(shù)，貝Ua+6是偶數(shù)"的逆命題；④"若

X2-3X+2=0,則x=l"的否命題；⑤Vxe{x|x是無理數(shù)},V是無理數(shù).其中假命題的個(gè)

數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.以上答案都不對(duì)

【變式3］（2023?河北?模擬預(yù)測）命題P：Vx>l,?+2x-3>0,命題q：3xeR,

2，-4x+3=0,貝l|（）

A.P真鄉(xiāng)真B.P假9假C.P假9真D.P真9假

命題點(diǎn)3含量詞命題的應(yīng)用

【例題5]（2024?四川涼山,二模）已知命題"VXER,sin?（兀+x）+2cosx+加W?！笔羌倜},

則m的取值范圍為（）

A.[-2,+oo）B.（-2,+oo）C.（-oo,-l）D.（一8,-2]

4

【變式1]（2024?陜西寶雞?一模）命題〃任意、￡（1,3）,Q〃+—〃為假命題，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是.

2

【變式2】（2024?四川成都?模擬預(yù)測）設(shè)命題2:Vx>0,x+—〉。，若F是假命題，則實(shí)數(shù)

x

。的取值范圍是.

【變式3]（2024?福建漳州?模擬預(yù)測）若三。￡[0,+8）,cosa<加為真命題，則實(shí)數(shù)加的取

值范圍為（）

A.m>1B.m>1C.m>-\D.m>-\

H【課后強(qiáng)化】

【基礎(chǔ)保分練】

一、單選題

1.（23-24高三上?山東荷澤?階段練習(xí)）“函數(shù)"tan（x-夕）的圖象關(guān)于1,04寸稱"是

JT

a（p=——+E,左eZ”的（）

4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（23-24高三上?全國?階段練習(xí)）"04-石或4?君"是"圓。|：/+了2=1與圓

。2：（尤+4+3-20）2=36存在公切線”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024?廣東?一模）"￡=4+而（后€2）”是">3-0+5"“=田+]”的（）

4sinacos?

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22廠

4.（2023河南?二模）設(shè)橢圓土+匕=1（加>0,〃>0）的離心率為《,則屋=宜■"是"加=4〃"

mn2

的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（23-24高三上?浙江寧波?期末）若數(shù)列｛?！埃秊榈缺葦?shù)列，貝I]"%21"是“4+%22”的

（）

A.充要條件B.既不充分也不必要條件

C.充分不必要條件D.必要不充分條件

二、多選題

6.（2024?山西呂梁?一模）下列說法正確的是（）

A.命題#<1"的否定是"KI,X1>\"

B."a>10”是△〈士〃的充分不必要條件

c.若函數(shù)指X）的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)〃2x）的定義域?yàn)閇0,1]

D.記8卜2，〃無2））（工產(chǎn)%）為函數(shù)/（x）=6圖象上的任意兩點(diǎn)，貝！I

f「+七[>小）+/（七）

7.（2024,廣東梅州?一模）已知直線加，〃和平面,且〃ua,則下列條件中，P是q

的充分不必要條件的是（）

A.p:m//a,q\m//nB.p:m.La,q\mLn

C.p,.a///3,q:n//f3D.p:n10,q:aV/3

三、填空題

8.（2024?四川成都,一模）命題“Vx>0,tanx>x”的否定為.

9.（23-24高三上?河北張家口?階段練習(xí)）已知函數(shù)彳（a>0且"1）,若

*e（0,3）,/卜2+3）+〃_^“）-220是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題

10.（2024?上海,一模）（1）在用，五點(diǎn)法”作出函數(shù)）=1-sinx,xe[0,27i]的大致圖象的過程中,

第一步需要將五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表，請(qǐng)完成下表:

X0

-sinx0

1-siiix1

（2）設(shè)實(shí)數(shù)。＞0且。片1,求證:ax]=優(yōu)1皿；（可以使用公式:e=ex)

（3）證明：等式無3+辦2+6工+。=（^-尤1）（^-%2乂尤-X3）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的充要條件是

x1+x2+x3=—a

-xxx2+x2x3+x3xx=b

x1x2x3=—c

【綜合提升練】

一、單選題

1.（2024?黑龍江?二模）命題〃VxwR,的否定是（）

A./Z3XGR,ex-x-l>0,,B.”HxwR,ex-x-l<0

C."VxeR,ex-x-l<0D."3XGR,ex-x-l<0"

2.（2024?內(nèi)蒙古赤峰■一模）命題"VxeR,3neN",的否定形式是（）

A.VXGR,\/neN*,n<x2B.eR,3neN*,n<x2

C.R,XfneN",n<x2D.eR,wN*,n<x2

3.2024?全國?模擬預(yù)測）已知直線4：ax+3y-6=0，直線/2：2x+(a-l)y-4=0,則。=-2

是乜〃上的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2024?安徽?模擬預(yù)測）若。＞0,b＞0,則+是"。+641"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不

充分也不必要條件

5.（2024?全國?模擬預(yù)測）若直線/和圓C的方程分別為了=無+%,（尤-1）2+（y-2）2=5-僅，

則"3<加<5"是"直線/和圓C沒有公共點(diǎn)”的（）

A.充要條件B.既不充分也不必要條件

C.充分不必要條件D.必要不充分條件

6.（2024?黑龍江?二模）已知"，A為兩個(gè)不重合平面，I,加為兩條不同直線，則///夕的

充分條件是（）

A.mLa,mHB.Iu/3,/3Ha

C.mua,l//mD.aVp,aC\/3=m,l//m

7.2024?全國?模擬預(yù)測)在AABC中,命題尸:sin?/=cos2S+cos2c,命題2：p+^c|=|sc|

則尸是。的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.（2024?吉林?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=xlnx-G2一;貝『"（幻有兩個(gè)極值"的一個(gè)充

分不必要條件是（）

A.—1<6/<1B.—<a<0C.—<a<0D.0<。<一

422

二、多選題

9.（2024?河南開封?二模）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.用其名字命名

的高斯取整函數(shù)為〃x）=[x],3表示不超過X的最大整數(shù)，例如[-3.5]=-4,[2.1]=2.下

列命題中正確的有()

A.3XGR,/(x)=x-l

B.VXGR,HGZ,/(x+幾)=/(%)+〃

c.Vx,y>0,/(lgx)+/(lgj^)=/(lg(x^))

D.ReN*,/(lgl)+/(lg2)+/(lg3)+-+/(lgn)=92

10.(2024?全國?模擬預(yù)測)下列說法中，正確的是()

A."。>6"是>尸”的既不充分也不必要條件

B.命題“Vxe(0,+co),x+sinx>l”的否定是"Vxe(0,+oo),x+sinxVl”

C.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（〃口2）,若尸（X1l）+尸（XN5）=l,則〃=2

D.V=-x國既是奇函數(shù)又是減函數(shù)

11.（2024,云南楚雄,模擬預(yù)測）下列命題為真命題的是（

A.VxeR,x+—>2B.VXGR,1

x77TT-

C.3xGR,ln（|x|+1）=0D.3xGR,+X+1W0

三、填空題

12.（2024?遼寧沈陽?一模）situ=1的一個(gè)充分不必要條件是.

13.（2024?全國?模擬預(yù)測）"函數(shù)尸taiw的圖象關(guān)于（％,0）中心對(duì)稱"是"sin2x0=0"的一條

件.

14.Q3-24高三上?四川成都朝中）已知a>0,b>0,則在下列關(guān)系①/？②64e~

③cosgz占④小-砥二斯+動(dòng)中，能作為"O+6W2"的必要不充分條件的是（填正

確的序號(hào)）.

四、解答題

15.（2024?廣東?模擬預(yù)測）設(shè)X,y為任意集合，映射了：Xfy.定義：對(duì)任意石,無26x,

若工產(chǎn)馬，則/（無1）//（無2），此時(shí)的/為單射.

⑴試在RfR上給出一個(gè)非單射的映射；

（2）證明：/■是單射的充分必要條件是：給定任意其他集合Z與映射g,6：ZfX,若對(duì)任意

zeZ,有f（g（z））=/（加>））,則g=〃；

⑶證明：/■是單射的充分必要條件是：存在映射。:y-x,使對(duì)任意xeX,有

。（/⑼=x.

16.（2024?廣東?模擬預(yù)測）已知集合A中含有三個(gè)元素x/,z,同時(shí)滿足①工<><z；②

x+y>z；③x+y+z為偶數(shù),那么稱集合A具有性質(zhì)P.已知集合S,={1,2,3,…,2科

（?eN,,?>4）,對(duì)于集合S“的非空子集3,若S“中存在三個(gè)互不相同的元素見ac,使得

"Hc,c+a均屬于8,則稱集合B是集合S”的"期待子集

⑴試判斷集合/={1,2,3,5,7,9}是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

⑵若集合8={3,4,a}具有性質(zhì)p,證明：集合8是集合國的“期待子集"；

⑶證明：集合M具有性質(zhì)P的充要條件是集合M是集合S,的"期待子集

【拓展沖刺練】

一、單選題

1.（2024?山西?一模）設(shè)命題）：玉￡氏罐〉丘，貝!]]以為（）

A.X/xGR,（7X>fcrB.<kx

C.\/xGR,6ZX<kxD.3x^R,ax=kx

2.（2024?天津?一模）已知a/eR,則"b>同"是"/</”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不

充分也不必要條件

3.（2024?寧夏吳忠,模擬預(yù)測）已知直線加，“和平面a,且優(yōu)_La,則"""是"〃，加”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件