【人教】第三次月考卷【九上全冊】

九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：九上全冊（人教版）。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．一元二次方程x2＝x的根是（）A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝12．下列圖形是中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．3．拋物線y＝3（x+4）2+2的頂點坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，2） D．（﹣4，2）4．疫情期間，若有1人染上“新冠”，不及時治療，經(jīng)過兩輪傳染后有361人染上“新冠”，平均一個人傳染（）個人．A．14 B．16 C．18 D．205．已知⊙O的半徑為6cm，若OP＝5cm，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點P在⊙O外 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O內(nèi) D．不能確定6．把拋物線y＝﹣4x2向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝﹣4（x+2）2﹣3 B．y＝﹣4（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣4（x﹣3）2+2 D．y＝﹣4（x﹣3）2﹣27．如圖，將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，則∠α的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．40° D．30°8．在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油．截面如圖，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬變?yōu)?分米，圓柱形油槽直徑MN為（）A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米9．a(chǎn)，b，c為常數(shù)，且（a﹣c）2＞a2+c2，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0根的情況是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．有一根為010．如圖，AB是半圓O的直徑，點C，D在半圓O上．若∠ABC＝50°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．130° D．140°11．已知函數(shù)y＝|ax2﹣2x﹣a|，當(dāng)﹣1≤x≤1時，y≤2，則a的取值范圍是（）A．﹣1≤a＜0 B．0＜a≤1 C．﹣1≤a≤1 D．﹣2＜a＜212．如圖，點D在半圓O上，半徑OB＝，AD＝10，點C在弧BD上移動，連接AC，H是AC上一點，∠DHC＝90°，連接BH，點C在移動的過程中，BH的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8第Ⅱ卷二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分．）13．點M（1，2）關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為．14．從﹣、0、、π、3.5這五個數(shù)中，隨機抽取一個，則抽到無理數(shù)的概率是．15．如圖，在⊙O中，半徑OA⊥弦BC，∠ADC＝25°，則∠CBO的度數(shù)為．16．若一個圓錐的母線長為4，底面半徑是1，則它的側(cè)面展開圖的面積是．17．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，動點P從點A開始沿邊AB向點B以2mm/s的速度移動，動點Q從B點開始沿邊BC向點C以4mm/s的速度移動．如果P、Q兩點同時出發(fā)，那么△PBQ的面積S隨時間t的函數(shù)關(guān)系式是（寫出t的取值范圍）18．我們把a、b、c三個數(shù)中最大的一個數(shù)記為D（a，b，c），直線y＝mx+（m＞0）與函數(shù)D（﹣x2+1，x﹣1，﹣x﹣1）的圖象有且只有兩個交點，則m的取值為．三、解答題（本題共8小題，共66分．第19-20題每題6分，第21-23題每題8題，其他每題10分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．（6分）計算：解方程：3（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0；20．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（1，﹣4）、B（3，﹣3）、C（1，﹣1）（每個小方格都是邊長為一個單位長度的正方形）．（1）請畫出△ABC關(guān)于原點對稱的△A1B1C1，并寫出A1，B1，C1的坐標(biāo)；（2）請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2．21．（8分）26．如圖，△ABC為等邊三角形，△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得△ACD，且BP＝CQ．（1）求證：△ABP≌△ACQ；（2）求∠APQ的度數(shù)．22．（8分）疫情期間，我市積極開展“停課不停學(xué)”線上教學(xué)活動，并通過電視、手機APP等平臺進行教學(xué)視頻推送．某校隨機抽取部分學(xué)生進行線上學(xué)習(xí)效果自我評價的調(diào)查（學(xué)習(xí)效果分為：A．效果很好；B．效果較好；C．效果一般；D．效果不理想），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖．（1）此次調(diào)查中，共抽查了名學(xué)生；（2）補全條形統(tǒng)計圖，并求出扇形統(tǒng)計圖中∠α＝；（3）某班4人學(xué)習(xí)小組，甲、乙2人認為效果很好，丙認為效果較好，丁認為效果一般．從學(xué)習(xí)小組中隨機抽取2人，則“1人認為效果很好，1人認為效果較好”的概率是多少？（要求畫樹狀圖或列表求概率）23．（8分）已知BC是⊙O的直徑，點D是BC延長線上一點，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求證：直線AD是⊙O的切線；（2）若AE⊥BC，垂足為M，⊙O的半徑為10，求AE的長．24．（10分）“武漢加油!中國加油!”疫情牽動萬人心，每個人都在為抗擊疫情而努力．某廠改造了10條口罩生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線每天可生產(chǎn)口罩500個．如果每增加一條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線就會比原來少生產(chǎn)20個口罩．設(shè)增加x條生產(chǎn)線后，每條生產(chǎn)線每天可生產(chǎn)口罩y個．（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天共生產(chǎn)口罩6000個，在投入人力物力盡可能少的情況下，應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？（3）設(shè)該廠每天可以生產(chǎn)的口罩w個，請求出w與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出增加多少條生產(chǎn)線時，每天生產(chǎn)的口罩數(shù)量最多，最多為多少個？25．（10分）小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，對一個數(shù)學(xué)問題做如下探究：【問題背景】如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的思路是：將△BCD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點B、C分別落在點A、E處（如圖②），易證點C、A、E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，從而得出結(jié)論：AC+BC＝CD．【簡單應(yīng)用】（1）在圖①中，若AC＝，BC＝2，則CD＝．（2）如圖③，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，＝，若AB＝10，BC＝8，求CD的長．【拓展延伸】（3）如圖④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝a，BC＝b（a＜b），求CD的長．（用含a，b的代數(shù)式表示）．（4）如圖⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，點P為AB的中點，若點E滿足AE＝AC，CE＝CA，點Q為AE的中點，請直接寫出線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系．26．（10分）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，點P是拋物線上一點，連接AC、BC．（1）求拋物線的表達式；（2）連接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求點P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：九上全冊（人教版）。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．一元二次方程x2＝x的根是（）A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1【答案】A【解析】解：x2＝x，x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，x＝0，x﹣1＝0，x1＝0，x2＝1，故選：A．2．下列圖形是中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、是中心對稱圖形，故此選項正確；C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；故選：B．3．拋物線y＝3（x+4）2+2的頂點坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，2） D．（﹣4，2）【答案】D【解析】解：∵y＝3（x+4）2+2是拋物線解析式的頂點式，∴根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點可知，頂點坐標(biāo)為（﹣4，2）．故選：D．4．疫情期間，若有1人染上“新冠”，不及時治療，經(jīng)過兩輪傳染后有361人染上“新冠”，平均一個人傳染（）個人．A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C【解析】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，根據(jù)題意，得x+1+（x+1）x＝361，x＝18或x＝﹣20（舍去）．答：每輪傳染中平均一個人傳染了18個人．故選：C．5．已知⊙O的半徑為6cm，若OP＝5cm，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點P在⊙O外 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O內(nèi) D．不能確定【答案】C【解析】解：根據(jù)點到圓心的距離5cm小于圓的半徑6cm，則該點在圓內(nèi)．故選：C．6．把拋物線y＝﹣4x2向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝﹣4（x+2）2﹣3 B．y＝﹣4（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣4（x﹣3）2+2 D．y＝﹣4（x﹣3）2﹣2【答案】A【解析】解：把拋物線y＝﹣4x2向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線的解析式為：y＝﹣4（x+2）2﹣3．故選：A．7．如圖，將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，則∠α的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．40° D．30°【答案】A【解析】解：∵將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)80°∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°∴∠DOC＝80°﹣α∵∠A＝2∠D＝100°∴∠D＝50°∵∠C+∠D+∠DOC＝180°∴100°+50°+80°﹣α＝180°解得α＝50°故選：A．8．在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油．截面如圖，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬變?yōu)?分米，圓柱形油槽直徑MN為（）A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米【答案】C【解析】解：如圖，依題意得AB＝6分米，CD＝8分米，過O點作AB的垂線，垂足為E，交CD于F點，連接OA，OC，由垂徑定理，得AE＝AB＝3（分米），CF＝CD＝4（分米），設(shè)OE＝x分米，則OF＝（x﹣1）分米，在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2+OF2，∵OA＝OC，∴32+x2＝42+（x﹣1）2，解得x＝4，∴半徑OA＝＝5（分米），∴直徑MN＝2OA＝10（分米）．故選：C．9．a(chǎn)，b，c為常數(shù)，且（a﹣c）2＞a2+c2，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0根的情況是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．有一根為0【答案】B【解析】解：∵（a﹣c）2＝a2+c2﹣2ac＞a2+c2，∴ac＜0．在方程ax2+bx+c＝0中，Δ＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根．故選：B．10．如圖，AB是半圓O的直徑，點C，D在半圓O上．若∠ABC＝50°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．130° D．140°【答案】D【解析】解：∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°．又∠ABC＝50°，∴∠A＝40°，∵四邊形ABDC為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝140°，故選：D．11．已知函數(shù)y＝|ax2﹣2x﹣a|，當(dāng)﹣1≤x≤1時，y≤2，則a的取值范圍是（）A．﹣1≤a＜0 B．0＜a≤1 C．﹣1≤a≤1 D．﹣2＜a＜2【答案】C【解析】解：當(dāng)a＞0時，y＝ax2﹣2x﹣a＝a（x﹣）2﹣a﹣，∵﹣a﹣≤﹣2，∴拋物線y＝a（x﹣）2﹣a﹣的頂點A縱坐標(biāo)不大于﹣2，即函數(shù)y＝|ax2﹣2x﹣a|在x＝時的極值不小于2．①若A′的縱坐標(biāo)大于2，則﹣1≤x≤1時，y≤2，則，可得0＜a＜1．②若A′（，2），且﹣1≤x≤1時，y≤2，則，∴a＝1，∴0＜a≤1，當(dāng)a＜0時，同法可得，﹣1≤a＜0，當(dāng)a＝0時，y＝|2x|，當(dāng)﹣1≤x≤1時，y≤2，綜上所述：﹣1≤a≤1，故選：C．12．如圖，點D在半圓O上，半徑OB＝，AD＝10，點C在弧BD上移動，連接AC，H是AC上一點，∠DHC＝90°，連接BH，點C在移動的過程中，BH的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】解：如圖，取AD的中點M，連接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴點H在以M為圓心，MD為半徑的⊙M上，∴當(dāng)M、H、B共線時，BH的值最小，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值為BM﹣MH＝13﹣5＝8．故選：D．第Ⅱ卷二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分．）13．點M（1，2）關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】解：點（1，2）關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．故答案為：（﹣1，﹣2）．14．從﹣、0、、π、3.5這五個數(shù)中，隨機抽取一個，則抽到無理數(shù)的概率是．【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】解：∵﹣、π是無理數(shù)，∴從﹣、0、、π、3.5這五個數(shù)中，隨機抽取一個，則抽到無理數(shù)的概率是：．故答案為：．15．如圖，在⊙O中，半徑OA⊥弦BC，∠ADC＝25°，則∠CBO的度數(shù)為40°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】解：∵半徑OA⊥弦BC，∴＝，∴∠AOB＝2∠ADC＝50°，∴∠CBO＝90°﹣50°＝40°．故答案為40°．16．若一個圓錐的母線長為4，底面半徑是1，則它的側(cè)面展開圖的面積是4π．【答案】4π．【解析】解：圓錐的底面周長：2×1×π＝2π，側(cè)面積：×2π×4＝4π．故答案為：4π．17．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，動點P從點A開始沿邊AB向點B以2mm/s的速度移動，動點Q從B點開始沿邊BC向點C以4mm/s的速度移動．如果P、Q兩點同時出發(fā)，那么△PBQ的面積S隨時間t的函數(shù)關(guān)系式是S＝24t﹣4t2（0≤t≤6）（寫出t的取值范圍）【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】解：∵動點P從點A開始沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動．動點Q從點B開始沿邊BC向點C以4cm/s的速度移動，∴設(shè)t秒時，△PBQ的面積為S，根據(jù)題意得出：S＝BP×BQ＝（12﹣2t）×4t＝24t﹣4t2（0≤t≤6），故答案為：S＝24t﹣4t2（0≤t≤6）．18．我們把a、b、c三個數(shù)中最大的一個數(shù)記為D（a，b，c），直線y＝mx+（m＞0）與函數(shù)D（﹣x2+1，x﹣1，﹣x﹣1）的圖象有且只有兩個交點，則m的取值為m＝、m＝或0＜m＜1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】解：畫出函數(shù)圖象，如圖所示．當(dāng)直線y＝mx+與y＝x﹣1平行，即m＝1時，直線y＝mx+（m＞0）與函數(shù)D（﹣x2+1，x﹣1，﹣x﹣1）的圖象只有一個交點；當(dāng)直線y＝mx+與x軸平行，即m＝0時，直線y＝mx+（m＞0）與函數(shù)D（﹣x2+1，x﹣1，﹣x﹣1）的圖象有兩個交點；當(dāng)直線y＝mx+過點（﹣1，0）時，有﹣m+＝0，即m＝，此時直線y＝mx+（m＞0）與函數(shù)D（﹣x2+1，x﹣1，﹣x﹣1）的圖象只有一個交點；當(dāng)直線y＝mx+與y＝﹣x2+1相切時，方程x2+mx+＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴△＝m2﹣4×1×＝0，m＝，此時直線y＝mx+（m＞0）與函數(shù)D（﹣x2+1，x﹣1，﹣x﹣1）的圖象有兩個交點．綜上所述：當(dāng)m＝、m＝或0＜m＜1時，直線y＝mx+（m＞0）與函數(shù)D（﹣x2+1，x﹣1，﹣x﹣1）的圖象有且只有兩個交點．故答案為：m＝、m＝或0＜m＜1．三、解答題（本題共8小題，共66分．第19-20題每題6分，第21-23題每題8題，其他每題10分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．（6分）計算：解方程：3（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0；【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】解：（x﹣3）（3x﹣9+x）＝0；20．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（1，﹣4）、B（3，﹣3）、C（1，﹣1）（每個小方格都是邊長為一個單位長度的正方形）．（1）請畫出△ABC關(guān)于原點對稱的△A1B1C1，并寫出A1，B1，C1的坐標(biāo)；（2）請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作，點A1，B1，C1的坐標(biāo)分別為（﹣1，4），（﹣3，3），（﹣1，1）；（2）如圖，△A2B2C2為所作．21．（8分）如圖，△ABC為等邊三角形，△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得△ACD，且BP＝CQ．（1）求證：△ABP≌△ACQ；（2）求∠APQ的度數(shù)．【答案】（1）見解析過程；（2）∠APQ＝60°．【解析】（1）證明：∵△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得△ACD，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACD＝∠CAD＝60°，在△ABP和△ACQ中，，∴△ABP≌△ACQ（SAS）；（2）∵△ABP≌△ACQ，∴∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ，∴∠BAP+∠PAC＝∠CAQ+∠PAC＝∠PAQ＝60°，∴△APQ是等邊三角形，∴∠APQ＝60°．22．（8分）疫情期間，我市積極開展“停課不停學(xué)”線上教學(xué)活動，并通過電視、手機APP等平臺進行教學(xué)視頻推送．某校隨機抽取部分學(xué)生進行線上學(xué)習(xí)效果自我評價的調(diào)查（學(xué)習(xí)效果分為：A．效果很好；B．效果較好；C．效果一般；D．效果不理想），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖．（1）此次調(diào)查中，共抽查了200名學(xué)生；（2）補全條形統(tǒng)計圖，并求出扇形統(tǒng)計圖中∠α＝72°；（3）某班4人學(xué)習(xí)小組，甲、乙2人認為效果很好，丙認為效果較好，丁認為效果一般．從學(xué)習(xí)小組中隨機抽取2人，則“1人認為效果很好，1人認為效果較好”的概率是多少？（要求畫樹狀圖或列表求概率）【答案】（1）200；（2）圖形見解析，72°；（3）．【解析】解：（1）80÷40%＝200（名），故答案為：200；（2）條形統(tǒng)計圖中，C的人數(shù)為：200﹣80﹣60﹣20＝40（名），∴∠α＝360°×＝72°，補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：故答案為：72°；（3）把認為效果很好的記為A、B，認為效果較好的記為C，認為效果一般的記為D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能結(jié)果，“1人認為效果很好，1人認為效果較好”的結(jié)果有4種．∴“1人認為效果很好，1人認為效果較好”的概率為＝．23．（8分）已知BC是⊙O的直徑，點D是BC延長線上一點，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求證：直線AD是⊙O的切線；（2）若AE⊥BC，垂足為M，⊙O的半徑為10，求AE的長．【答案】10．【解析】（1）證明：如圖，連結(jié)OA，∵∠AEC＝30°，∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，∵OA是⊙O的半徑，且AD⊥OA，∴直線AD是⊙O的切線．（2）解：如圖，∵BC是⊙O的直徑，且AE⊥BC于點M，∴AM＝EM，∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，∴∠OAM＝30°，∴OM＝OA＝×10＝5，∴AM＝＝＝5，∴AE＝2AM＝2×5＝10．24．（10分）“武漢加油!中國加油!”疫情牽動萬人心，每個人都在為抗擊疫情而努力．某廠改造了10條口罩生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線每天可生產(chǎn)口罩500個．如果每增加一條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線就會比原來少生產(chǎn)20個口罩．設(shè)增加x條生產(chǎn)線后，每條生產(chǎn)線每天可生產(chǎn)口罩y個．（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天共生產(chǎn)口罩6000個，在投入人力物力盡可能少的情況下，應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？（3）設(shè)該廠每天可以生產(chǎn)的口罩w個，請求出w與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出增加多少條生產(chǎn)線時，每天生產(chǎn)的口罩數(shù)量最多，最多為多少個？【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】解：（1）由題意可知該函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)，其解析式為：y＝500﹣20x；∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝500﹣20x（0≤x≤25，且x為整數(shù)）；（2）由題意得：（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，∵盡可能投入少，∴x2＝10舍去．答：應(yīng)該增加5條生產(chǎn)線．（3）w＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，∵a＝﹣20＜0，開口向下，∴當(dāng)x＝7.5時，w最大，又∵x為整數(shù)，∴當(dāng)x＝7或8時，w最大，最大值為6120．答：當(dāng)增加7或8條生產(chǎn)線時，每天生產(chǎn)的口罩數(shù)量最多，為6120個25．（10分）小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，對一個數(shù)學(xué)問題做如下探究：【問題背景】如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的思路是：將△BCD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點B、C分別落在點A、E處（如圖②），易證點C、A、E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，從而得出結(jié)論：AC+BC＝CD．【簡單應(yīng)用】（1）在圖①中，若AC＝，BC＝2，則CD＝．（2）如圖③，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，＝，若AB＝10，BC＝8，求CD的長．【拓展延伸】（3）如圖④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝a，BC＝b（a＜b），求CD的長．（用含a，b的代數(shù)式表示）．（4）如圖⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，點P為AB的中點，若點E滿足AE＝AC，CE＝CA，點Q為AE的中點，請直接寫出線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系．【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】解：（1）由題意可得：AC+BC＝CD，∵AC＝，BC＝2，∴，∴；（2）連接AC、BD、AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝BD，將△BCD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，如圖③，∴∠EAD＝∠DBC，∵∠DBC+∠DAC＝180°，∴∠EAD+∠DAC＝180°，∴E、A、C三點共線，∵AB＝10，BC＝8，∴由勾股定理可求得：AC＝6，∵BC＝AE，∴CE＝AE+AC＝14，∵∠EDA＝∠CDB，∴∠EDA+∠ADC＝∠CDB+∠ADC，即∠EDC＝∠ADB＝90°，∵CD＝ED，∴△EDC是等腰直角三角形，∴CE＝CD