24.2 直角三角形的性質(zhì) 同步練習(xí)

第24章解直角三角形24.2直角三角形的性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)1.(2023河南周口淮陽期末)如圖，木桿AB斜靠在墻壁上，P是AB的中點(diǎn)，當(dāng)木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時(shí)，木桿的底端B也隨之沿著射線OM方向滑動(dòng)，則下滑過程中OP長度的變化情況是()A.逐漸變大 B.不斷變小 C.不變 D.先變大再變小2.(2023海南?？诰胖泻５榉中Ｔ驴?一副三角板按如圖所示的位置擺放，△BDE的直角邊BD恰好經(jīng)過Rt△ABC中斜邊AC的中點(diǎn)M，BE交AC于點(diǎn)F，則∠BFM=°.

3.如圖，已知點(diǎn)D是△ABC中邊AB的中點(diǎn)，∠ACB=∠A+∠B，AC=6，BC=8，求CD的值.4.(2023山西晉城陵川月考)已知：如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的高，CE是AB邊上的中線，G是CE的中點(diǎn)，DG⊥CE于點(diǎn)G.求證：∠B=2∠BCE.[變式](2023湖南衡陽華新實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)如圖，BD、CE是△ABC不同邊上的高，點(diǎn)G、F分別是BC、DE的中點(diǎn)，試證明GF⊥DE.知識(shí)點(diǎn)2含30°角的直角三角形的性質(zhì)5.(2023山西呂梁汾陽期末)如圖，衣架框內(nèi)部可以近似地看成一個(gè)等腰三角形，記為等腰三角形ABC，若AB=AC=26cm，D是BC的中點(diǎn)，∠ABC=30°，則AD的長為()A.11cm B.12cm C.13cm D.14cm6.(2023吉林長春綠園期末)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8.若E、F是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以EF為邊的等邊△EFP的頂點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部或邊上，則等邊△EFP的周長的最大值為.

7.(2023河南許昌禹州期中)圖1是某超市門口的雙翼閘門，當(dāng)它的雙翼展開時(shí)，如圖2，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為12cm，雙翼的邊緣AC=BD=62cm，且與閘機(jī)箱側(cè)立面的夾角∠ACP=∠BDQ=30°.求當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度.圖1 圖2能力提升全練8.(2022山西長治模擬)如圖，在長方形臺(tái)球桌上打臺(tái)球時(shí)，如果擊打黑球時(shí)入射角∠1=30°，恰好使黑球在上邊框的點(diǎn)A處反彈后進(jìn)入袋中，點(diǎn)A到右邊框BC的距離為3，則黑球從點(diǎn)A到進(jìn)袋所走過的路徑AC約為()A.3 B.4 C.5 D.69.(2022遼寧大連中考)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°.分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN.直線MN與AB相交于點(diǎn)D，連結(jié)CD，若AB=3，則CD的長是(A.6 B.3 C.1.5 D.110.(2023河南開封金明中學(xué)期末)如圖，已知∠AOB=60°，點(diǎn)P在OA邊上，OP=12cm，點(diǎn)E、F在邊OB上，且PE=PF，若EF=2cm，則OE=cm.

11.(2023陜西西安碑林模擬)如圖，在△ABC中，AB=AC=4，∠CAB=30°，以AC為斜邊作Rt△ADC.使∠ADC=90°，∠CAD=∠CAB，E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF、DE、DF，則DE的長為.

12.(2023河南鶴壁淇濱期中)如圖所示，一輪船由西向東航行，早上8點(diǎn)，在A處測(cè)得小島P在北偏東75°的方向上，以每小時(shí)20海里的速度繼續(xù)向東航行，10點(diǎn)到達(dá)B處，并測(cè)得小島P在北偏東60°的方向上，已知小島周圍22海里內(nèi)有暗礁，若輪船仍向前航行，有無觸礁的危險(xiǎn)?13.(2023四川資陽安岳期末)已知：如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=45°，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線.(1)求證：AE=CD；(2)求∠ACE的度數(shù).14.(2023吉林長春凈月期末)如圖，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB=90°，∠ACB=90°，E是AB的中點(diǎn).(1)求證：DE=CE；(2)若∠CAB=30°，∠DBA=40°，求∠DEC的度數(shù).素養(yǎng)探究全練15.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn).(1)求證：EF⊥BD；(2)若∠BED=90°，求∠BCD的度數(shù)；(3)若∠BED=α，直接寫出∠BCD的度數(shù).(用含α的代數(shù)式表示)

第24章解直角三角形24.2直角三角形的性質(zhì)答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.C∵P是AB的中點(diǎn)，∠AOB=90°，∴OP=12AB∵木桿AB的長固定，∴OP的長度不變.2.75解析本題借助一副三角板考查直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì).∵M(jìn)是Rt△ABC中斜邊AC的中點(diǎn)，∴BM=CM，∴∠MBC=∠C=30°，∵∠DBE=∠DEB=45°，∴∠EBC=∠EBD+∠MBC=75°，∵∠BFM+∠FBC+∠C=180°，∴∠BFM=180°-30°-75°=75°.3.解析∵∠ACB=∠A+∠B，∠A+∠ACB+∠B=180°，∴∠ACB=90°，∵D是斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD=12AB.∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=AC2+∴CD=5.4.證明如圖，連結(jié)DE，∵G是CE的中點(diǎn)，DG⊥CE，∴直線DG是線段CE的垂直平分線，∴DE=DC，∵AD⊥BC，CE是AB邊上的中線，∴DE是Rt△ADB的斜邊AB上的中線，∴DE=BE=12AB.∵DE=DC，∴∠DEC=∠BCE，∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE.[變式]證明如圖，連結(jié)EG、DG，∵BD、CE分別是△ABC的AC、AB邊上的高，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴DG=EG=12BC，∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，∴GF⊥5.C∵AB=AC=26cm，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠ABC=30°，∴AD=12AB=13(cm)6.63解析如圖，當(dāng)點(diǎn)F與C重合時(shí)，△EFP的邊長最大，周長也最大，∵∠ACB=90°，∠PFE=60°，∴∠PCA=30°，∵∠A=60°，∴∠APC=90°，在Rt△ABC中，AC=12AB=4.在Rt△ACP中，AP=12AC=2，∴PC=AC2?AP2=42?227.解析如圖，過點(diǎn)A作AE⊥CP于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥DQ于點(diǎn)F，在Rt△ACE中，∠ACE=30°，∴AE=12AC=12×62=31(cm)，同理可得BF=31cm，∵雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為12cm，∴31+12+31=74(cm)，∴當(dāng)雙翼收起時(shí)，能力提升全練8.D∵反射角等于入射角，∴∠1=∠2=30°.由題意可得∠2+∠3=90°，∴∠3=60°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=30°，∴AC=2AB=6.9.C由已知可得直線MN是線段AC的垂直平分線，設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為E，∵∠ACB=90°，MN垂直平分AC，∴∠AED=∠ACB=90°，AE=CE，∴ED∥CB，∴△AED∽△ACB，∴AEAC=ADAB，∴12=ADAB，∴AD=12AB，∴點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∵AB=3，∴CD=12AB=1.510.5解析如圖，過P作PD⊥OB于D，∵PE=PF，EF=2cm，∴ED=FD=1cm，∵PD⊥OB，∴∠PDO=90°，∵∠POB=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=12OP，∵OP=12cm，∴OD=6cm∴OE=OD-ED=6-1=5(cm).11.22解析∵∠CAD=∠CAB，∠CAB=30°，∴∠CAD=30°，∵∠ADC=90°，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，AC=4，∴DF=AF=12AC=2，∴∠CAD=∠ADF=30°，∴∠DFC=∠CAD+∠ADF=60°∵E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，∴EF=12AB=2，EF∥AB，∴∠EFC=∠BAC=30°，∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=90°.在Rt△DFE中，DE=DF2+E12.解析如圖，作PC⊥AB于點(diǎn)C.∵∠PAB=90°-75°=15°，∠PBC=90°-60°=30°，∠PBC=∠PAB+∠APB，∴∠PAB=∠APB=15°，∴BP=AB=20×2=40(海里)，在Rt△PBC中，PC=12PB=40×12=20(海里)<22海里，即若輪船仍向前航行，13.解析(1)證明：如圖，連結(jié)DE，∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵∠B=30°，∠ACB=45°，∴∠BAD=60°，∠DAC=∠ACD=45°，∴AD=CD，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∠ADB=90°，∴BE=DE=AE=12AB，∴△AED是等邊三角形，∴AD=AE，∴AE=(2)∵DE=EB，∴∠B=∠EDB=30°，∴∠DEC+∠DCE=30°，∵DE=AD，AD=CD，∴DE=DC，∴∠DEC=∠DCE=15°，∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=30°，∴∠ACE的度數(shù)為30°.14.解析(1)證明：∵在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB=90°，∠ACB=90°，E是AB的中點(diǎn)，∴DE=12AB，CE=12AB，∴DE(2)在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB=90°，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∠DBA=40°，∴∠DAB=90°-∠DBA=50°，∠ABC=90°-∠CAB=60°，∵E是AB的中點(diǎn)，∴DE=12AB=AE，CE=12AB=BE，∴∠ADE=∠DAB=50°，∠ECB=∠ABC=60∴∠DEA=180°-2∠DAB=180°-100°=80°，∠CEB=180°-2∠ECB=180°-120°=60°，∴∠DEC=180°-∠DEA-∠CEB=180°-80°-60°=40°.素養(yǎng)探究全練15.解析(1)證明：∵∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴DE=12AC，BE=12∴DE=BE，∴△BED是等腰三角形，又∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，∴EF⊥BD.(2)∵∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴DE=12AC=EC，BE=12AC=∴∠EDC=∠ECD，∠EBC=∠ECB，在四邊形DEBC中，∠EDC+∠ECD+∠ECB+∠EBC+∠BED=360°，∠BED=90°，∴2∠ECD+2∠ECB