相交線與平行線（題型歸納）（原卷版+解析）

專題08相交線與平行線

題型一對頂角的概念與性質(zhì)

2.（2022?陜西西安.二模）當光線從空氣中射入某種液體中時，光線的傳播方向發(fā)生了變化，在物理學(xué)中這

種現(xiàn)象叫做光的折射.如圖，液面于點。，一束光線沿CD射入液面，在點。處發(fā)生折射，折射

光線為。E,點P為的延長線上一點，若入射角4=50。，折射角N2=36。，則/ED尸的度數(shù)為（）

A.14°B.16°C.18°D.25°

3.（2022.福建省廈門第六中學(xué)二模）如圖,已知三條直線相交于點。則NBOZ）的對頂角是（）

1

A'力

A.ZAOCB./EOCC.ZEOAD.ZAOD

4.（2022?山東臨沂?二模）如圖，直線AB、CD相交于點。，射線OM平分NBOD,若ZAOM^160°,則ZAOC

等于（）

A.20°B.40°C.45°D.50°

5.如圖，直線E尸，CD相交于點O,在/EOC內(nèi)部畫射線OA,使OC恰為NAOP的平分線，在/EOD內(nèi)

部畫射線使NAOE=2NBO￡>,將直線C￡>繞點0旋轉(zhuǎn)，下列數(shù)據(jù)與/CO歹大小變化無關(guān)的是（）

A./EOD的度數(shù)B./A03的度數(shù)D.NAOC的度數(shù)

題型二鄰補角概念及利用鄰補角求角度

6.如圖，若AB,CO相交于點。，過點。作OELCD,則下列結(jié)論不正確的是

A.N1與N2互為余角B.N3與N2互為余角

C.N3與ZAOD互為補角D./EOD與—3OC是對頂角

7.如圖，直線A3,C。相交于點O,OE平分ZAOD.若N3O3=40°,則NCOE的度數(shù)為（）

A.130°B.120°

8.（2022.河北保定?一模）如圖，小明手持激光燈照向地面，激光燈發(fā)出的光線CO與地面A3形成了兩個角,

ZBOC=5ZAOC,則—3OC的度數(shù)是（）

盡c.

AOB

A.160°B.150°C.120°D.20°

9.如圖，直線AB,8相交于點O,Q4平分NCO石，ZBOD=50°,貝ljN￡OD=()

10.如圖，直線AB,8交于點O.射線OM平分NAOC,若48=72。，則等于（）

A.36°B.108°C.126°D.144°

題型三垂線段最短與點到直線的距離

11.（2022?河北唐山.一模）在小河旁有一村莊，現(xiàn)要建一取水點，為使該村村民到河邊取水最近，則取水

點應(yīng)建在（）

小河

A.A點B.B點、C.。點D.。點

12.（2022?河北保定?一模）如圖，設(shè)點尸是直線/外一點，尸Q，/,垂足為點。，點T是直線/上的一個動

點,連接尸T,貝1J（）

A.PT<POB.PT>TQC.PT>PQD.PT<PQ

13.（2022?江蘇?射陽縣第四中學(xué)二模）下列三個日?，F(xiàn)象:

①跳遠測蚩②道路改道③木條固定

其中，可以用“兩點之間線段最短”來解釋的是（)

A.①C.D.

14.直線/外有一點P,直線/上有三點A、B、C,若尸B=2cm,PC=3cm,那么點尸到直線/

的距離（）

A.不小于2cmB.不大于2cmC.大于2cmD.小于2cm

15.如圖，ZBAC=90°,ADL3C于點。，點5到AD的距離是下列哪條線段的長度（）

題型四平行線的判定

16.（2022.廣西柳州?模擬預(yù)測）如圖所示，下列條件中能說明。〃b的是（）

A.Z1=Z2B./3=/4C.Z2+Z4=180°D.Zl+Z4=180°

17.（2022?山東淄博?二模）下列圖形中，由N1=N2能得到的是（）

18.如圖，直線?！?,且直線a,b被直線c,d所截，則下列條件不熊判定直線c〃d的是（）

19.（2022?吉林?中考真題）如圖，如果N1=N2,那么AB〃CD,其依據(jù)可以簡單說成（）

A.兩直線平行，內(nèi)錯角相等B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

C.兩直線平行，同位角相等D.同位角相等，兩直線平行

20.（2022?廣東?蛇口育才二中三模）如圖，能判定的條件是（

EA

A.ZC=ZJB.ZA=Z2C.ZC=Z3D.ZA=Z1

21.（2022?寧夏?固原市原州區(qū)三營中學(xué)模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)課上，老師要求同學(xué)們利用一副三角板任作兩條

平行線.小明的作法如下:

如圖，（1）任取兩點A,B,畫直線A3.

（2）分別過點A,B作直線AB的兩條垂線ACM；

則直線AC、即為所求.

老師說：“小明的作法正確.”請回答：小明的作圖依據(jù)是.

22.（2022?新疆阿克蘇.一模）如圖，將木條a,b與c釘在一起，Z2=5O°,若要使木條a與6平行，則N1

的度數(shù)應(yīng)為.

23.（2022?江蘇南京?模擬預(yù)測）如圖，直線a、》被c所截，4=130。，當N2=。時，a//b

24.（2022?甘肅.平?jīng)鍪械谑袑W(xué)三模）將一副三角板如圖擺放，則//,理由是

25.如圖，給出了直線外一點作已知直線平行線的一種方法，它的依據(jù)是

題型五平行線的性質(zhì)

26.（2022?四川德陽?模擬預(yù)測）如圖，直線a//6,將三角尺的直角頂點放在直線6上，如果N2=60。，那

么/I的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

27.如圖，ZAOB=45。,CD〃OB交OA于E,則NAEC的度數(shù)為()

A.130°B.135°C.140°D.145°

28.（2022?湖南?長沙市一中雙語實驗中學(xué)九年級階段練習）如圖，直線?！?,則直線°,人之間的距離是（）

A.線段ABB.線段A2的長度C.線段。D.線段8的長度

29.（2022?湖南?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校九年級期中）如圖，AB//CD,AE平分/C4B交CO

于點E.若NC=50。，則/AEC的大小為（）

A.55°B.65°C.70°D.80°

30.如圖，直線AB平行直線CO,ZEFD=102°,EG平分ZBEF,貝l|NEGR=()

A.38°B.39°C.48°D.49°

31.（2022?四川宜賓.模擬預(yù)測）有下列說法：①對頂角相等；②同位角相等；③過一點有且只有一條直

線與已知直線垂直；④點到直線的距離即為垂線段；⑤同旁內(nèi)角互補，兩直線平行?其中正確的有

32.將一副三角板（含30。、45。、60。、90。角）按如圖所示的位置擺放在直尺上，則N1的度數(shù)為'

33.（2022?四川?成都市雙流區(qū)立格實驗學(xué)校二模）如圖，把三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，若4=32。,

則Z2的度數(shù)為

34.（2022.寧夏.吳忠市第三中學(xué)一模）如圖，在平行線以6之間放置一塊直角三角板，三角板的頂點43分

別在直線。、匕上，則N1+N2的度數(shù)為.

35.如圖，直線Zl=100°,則N2的度數(shù)是

題型六命題'定理和證明的應(yīng)用

36.（2022?浙江嘉興?九年級期中）下列命題正確的是（）

A.長度相等的弧是等弧

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

C.不在同一直線上的三點確定一個圓

D.圓內(nèi)接三角形一定是等邊三角形

37.下列說法正確的是（）

A.命題一定有逆命題B.所有的定理一定有逆定理

C.真命題的逆命題一定是真命題D.假命題的逆命題一定是假命題

38.下列命題是假命題的是（）

A.如果/1=N2,Z2=Z3,那么/1=/3B.對頂角相等

C.如果一個數(shù)能被4整除，那么它也能被2整除D.內(nèi)錯角相等

39.（2022?重慶?西南大學(xué)附中三模）下列命題是真命題的是（）

A.五邊形的內(nèi)角和為560。

B.三角形的外角大于它的任意一個內(nèi)角

C.六條邊都相等的六邊形是正六邊形

D.銳角三角形的三條高均在三角形的內(nèi)部

40.（2022?山東青島?九年級期中）在下列命題中，正確的是（）

A.一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

B.有一個角是直角的四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

41.在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的,那么這兩個命題稱為互逆命

題，其中一個命題稱為另一個命題的.

42.把命題“對頂角相等”改寫成“如果……，那么……”的形式：.

43.為了說明命題“若/>9,貝腐>3”是假命題，舉一個反例：那么。的值可以是.

44.（2022?吉林大學(xué)附屬中學(xué)一模）“如果兩直線平行，那么同旁內(nèi)角相等”是命題.（填“真”或"假”）

45.（2022?廣西賀州?一模）命題：“對頂角相等”的逆命題是.

題型七圖形的平移變換

■

46.如圖，將放△ABC沿著點8到C的方向平移到△。環(huán)的位置，AB=10,00=4,平移距離為6,則陰

影部分面積為（）

A.42B.96C.48D.84

47.（2022.福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)模擬預(yù)測）通過平移圖中的吉祥物“冰墩墩”得到的圖形是（）

A.B.D.

48.（2022.廣東.佛山市南海區(qū)石門實驗學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，將△A3C向右平移〃cm（a>0）得到△。跖,

連接AD,若△ABC的周長是36cm,則四邊形A3尸。的周長是（）

A.（36+Q）cmB.（72+。）cmC.（36+2。）cmD.（72+2。）cm

49.如圖，將△A5c沿5C方向平移1cm得到對應(yīng)的△若8C=2cm,則5c的長是（）

A.2cmB.3cmD.5cm

50.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=3cm,AC=4cm,將沿直線5C向右平移2.5cm后，得到

△DEF,連接下列結(jié)論錯誤的是（）

D

B

A.AC//DFB.AD//CFC.CF=3cmD.DEIAC

51.如圖，已知矩形ABC。，AB=18cm,AD=10cm,在其矩形內(nèi)部有三個小矩形，則這三個小矩形的周

長之和為cm.

52.（2022?山東?德州市第九中學(xué)九年級期中）如圖，一樓梯的高度為6.4m,水平寬度為8.6m,現(xiàn)要在樓梯

的表面鋪一種地毯，此種地毯每米需10元錢，那么購買地毯需要元.

53.（2022?貴州貴陽?二模）如圖，將RdABC沿著點8到C的方向平移到△。所的位置，AB=9,DO=4,

平移距離為6,則陰影部分面積為

54.（2022?江蘇淮安?九年級期中）如圖，將△ABC沿射線8c方向向右平移了7cm,得到AAB'C,若？C

=3cm,則BC=cm.

55.如圖，將ZA8C平移到京。的位置（點8在AC邊上），若/B=55。，NC=100。，則上48q的度數(shù)

為°.

專題08相交線與平行線

題型分析

題型演練

題型一對頂角的概念與性質(zhì)

)

【答案】c

【分析】根據(jù)對頂角的意義求解.

【詳解】解：對頂角指的是有一個公共頂點,并且一個角的兩邊是另一個角兩邊的反向延長

線的兩個角,

所以A兩角只有一條邊互為反向延長線，另一條邊沒有互為反向長線，不符合題意;

B兩角也是只有一條邊互為反向延長線，另一條邊沒有互為反向長線，不符合題意；

C兩角有一個公共頂點，并且一個角的兩邊是另一個角兩邊的反向延長線的兩個角，符合題

-zfe.

忌；

D兩角沒有公共頂點，不符合題意；

故選C.

2.（2022?陜西西安.二模）當光線從空氣中射入某種液體中時，光線的傳播方向發(fā)生了變化,

在物理學(xué)中這種現(xiàn)象叫做光的折射.如圖，AB/液面于點。，一束光線沿。射入液

面，在點。處發(fā)生折射，折射光線為。E,點尸為的延長線上一點，若入射角4=50。，

折射角N2=36。，則/ED尸的度數(shù)為（）

A.14°B.16°C.18°D.25°

【答案】A

【分析】根據(jù)對頂角相等，計算角的差即可;

【詳解】解：???尸點在CD延長線上,

：.Z1^ZFDB=5O°,

：./EDF=/FDB-N2=14°,

故選：A.

3.（2022.福建省廈門第六中學(xué)二模）如圖,已知三條直線相交于點。，則NBOD的對頂角

是（）

A.ZAOCD.ZAOD

【答案】A

【分析】根據(jù)對頂角的定義可得答案.

【詳解】解：的對頂角是/AOC,故選：A.

4.（2022?山東臨沂.二模）如圖，直線AB、CD相交于點。，射線平分若

NAOM=160°,

A.20°D.50°

【答案】B

【分析】根據(jù)鄰補角的定義求出再根據(jù)角平分線的定義求出N2。。，然后根據(jù)對

頂角相等求解即可.

【詳解】ZAOM=160°,

:.ZBOM=180°-ZAOM=20°,

???。拉平分/3OD,

ZBOD=2ZBOM=40°

ZAOC=ZBOD=40°

故選B

5.如圖，直線E尸，CD相交于點0,在NEOC內(nèi)部畫射線。4,使0C恰為/A0F的平分

線，在NEOD內(nèi)部畫射線02,使ZAOE=2NBOD,將直線CO繞點。旋轉(zhuǎn)，下列數(shù)據(jù)與

NCO尸大小變化無關(guān)的是（）

A.NEOQ的度數(shù)D./AOC的度數(shù)

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線和對頂角相等分別找到ZCOF與各個選項的角度的關(guān)系即可.

【詳解】CO相交于點0,

Z.EOD=ZCOF,A選項不符合題意；

：0C恰為/AO歹的平分線，

ZAOC=Z.COF,D選項不符合題意;

*.?ZAOD=\^°-Z\OC

：.ZAOD=180°-ZCOF,C選項不符合題意；

故選：B

題型二鄰補角概念及利用鄰補角求角度

I

6.如圖，若AB,C￡＞相交于點。，過點。作OELCD,則下列結(jié)論不正確的是

A.N1與N2互為余角B./3與N2互為余角

C./3與ZAC?互為補角D./EOD與—3OC是對頂角

【答案】D

【分析】根據(jù)余角、鄰補角、對頂角的定義即可求解.

【詳解】由圖可知，

...N1與N2互為余角，A正確；

/3與N2互為余角，B正確；

/3與ZAC?互為補角，C正確；

ZAOD與/30C是對頂角，故D錯誤；

故選D.

7.如圖，直線48,CD相交于點。，?！昶椒諾AOD.若々00=40。，則NCOE的度數(shù)為

()

A.130°B.120°C.110°D.100°

【答案】C

【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)，鄰補角的含義先求解NAOCZAO2再利用角平分線的定義

求解NAOE,再利用角的和差關(guān)系可得答案.

【詳解】解：ZBOD=40°,

ZAOD=180°-40°=140°,ZAOC=ZBOD=40°,

OE平分ZAOD,

:.ZAOE=~ZAOD=10°,

2

ZCOE=ZAOC+ZAOE=110°.

故選：C.

8.（2022?河北保定?一模）如圖，小明手持激光燈照向地面，激光燈發(fā)出的光線CO與地面AB

形成了兩個角，ZBOC=5ZAOC,則230C的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】利用補角的定義及NBOC與24OC的關(guān)系可求解NAOC的度數(shù)，進而可求解NBOC

的度數(shù).

【詳解】解：VZAOC+ZBOC=180°,ZBOC=5ZAOC,

.?.6NAOC=180。，

ZAOC=30°,

.,.ZBOC=5x30°=150°,

故選：B.

9.如圖，直線AB,CO相交于點。，平分NCOE,ZBOD=50°,則NEOD=（）

ED

Cz

A.60°B.70°C.75°D.80°

【答案】D

【分析】根據(jù)對頂角相等求出/AOC的度數(shù)，從而根據(jù)角平分線的定義求出NCOE的度數(shù),

再根據(jù)鄰補角互補求解即可.

【詳解】解：：400=50。，

ZAOC=ZBOD=50P,

,/平分/COE,

二ZCOE=2ZAOC=100°,

/.ZEOD=180°-ZCOE=180°-100°=80°.

故選：D.

10.如圖，直線A3,CO交于點O.射線O癡平分NAOC,若々00=72。，則暇等

于（）

A.36°B.108°C.126°D.144°

【答案】D

【分析】根據(jù)對頂角求得根據(jù)角平分線的意義求得NAQW,根據(jù)鄰補角即可求

解.

【詳解】解：??,/BOD=72。，

:.ZAOC=ZBOD=1T,

?.,射線平分NAOC,

ZAOM=ZCOM=-ZAOC=36°.

2

Z.BOM=180°-ZAOM=144°.

故選D.

題型三垂線段最短與點到直線的距離

11.（2022?河北唐山.一模）在小河旁有一村莊，現(xiàn)要建一取水點，為使該村村民到河邊取水

最近，則取水點應(yīng)建在（）

小河

【答案】C

【分析】利用垂線段的性質(zhì)判斷即可；

【詳解】解：二.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，

；.C點離村莊最近，

故選：C.

12.（2022?河北保定?一模）如圖，設(shè)點P是直線/外一點，PQ-LI,垂足為點Q,點T是直

A.PT<POB.PT>TQC.PT>PQD.PT<PQ

【答案】C

【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)“垂線段最短”即可得到結(jié)論.

【詳解】解：：尸。，/,點T是直線/上的一個動點，連結(jié)PT,

：.PT>PQ,

故選：C.

13.（2022?江蘇?射陽縣第四中學(xué)二模）下列三個日?，F(xiàn)象：

①跳遠測量②道路改道③木條固定

其中，可以用“兩點之間線段最短”來解釋的是（）

A.①B.②C.③D.②③

【答案】B

【分析】根據(jù)垂線段最短，兩點之間線段最短，兩點確定一條直線，逐個分析判斷即可.

【詳解】解：①可以用垂線段最短解釋；②可以用兩點之間線段最短解釋；③可以用兩點確

定一條直線解釋.故選：B.

14.直線/外有一點P,直線/上有三點A、B、C,若尸8=2cm,PC=3cm,那

么點尸到直線/的距離（）

A.不小于2cmB.不大于2cmC.大于2cmD.小于2cm

【答案】B

【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義和垂線段最短的性質(zhì)解答.

【詳解】解：PA=4cm,PB=2cm,PC=3cm,

點到直線l的距離不大于2cm.

故選：B.

15.如圖，ZBAC=90°,于點。，點8到的距離是下列哪條線段的長度（）

【答案】B

【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義（從直線外一點到已知直線的垂線段的長度）進行判斷.

【詳解】:ACBC于點。，

/.點B到AD的距離是線段BD的長度，

故選：B.

題型四平行線的判定

16.（2022?廣西柳州.模擬預(yù)測）如圖所示，下列條件中能說明a〃匕的是（）

ab

A.Z1=Z2B./3=/4C.Z2+Z4=180°D.Zl+Z4=180°

【答案】B

【分析】利用平行線的判定定理對各選項進行分析即可.

【詳解】解：A.當Nl=/2時，不能判定?！?,故選項不符合題意；

B.當N3=N4時，N3與N4屬于同位角，能判定?！╞,故選項符合題意；

C.當N2+N4=180。時，N2與N4屬于同旁內(nèi)角，能判定c〃d,故選項不符合題意;

D.當/1+/4=180。時，不能判定故選項不符合題意；

故選：B.

17.（2022?山東淄博?二模）下列圖形中，由N1=N2能得到AB〃CD的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐項分析即可.

【詳解】A.N1=N2,不能判斷AB〃CD,故A不符合題意;

B.VZ1=Z2,

：.AB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故B符合題意；

C.-.-Zl=Z2,

AC//BD,故C不符合題意；

D.Z1=Z2,不能判斷AB〃CD,故D不符合題意.

故選：B.

18.如圖，直線。且直線°,方被直線c,d所截，則下列條件不熊判定直線c〃d的是

()

d

A./3=/4B.D.Z1=Z4

【答案】C

【分析】利用平行線的判定條件進行分析即可得出結(jié)果.

【詳解】解：A、當—3=/4時，c〃d；故A不符合題意;

B、當Nl+N5=180。時，c〃d；故B不符合題意;

C、當N1=N2時，aHb；故C符合題意;

D,'：a//b,則/1=/2,

VZ1=Z4,貝ljN2=N4,

：.c//d；故D不符合題意;

故選：C

19.（2022?吉林?中考真題）如圖,如果N1=N2,那么AB〃CD,其依據(jù)可以簡單說成（）

A.兩直線平行，內(nèi)錯角相等B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

C.兩直線平行，同位角相等D.同位角相等，兩直線平行

【答案】D

【分析】根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”即可得.

【詳解】解：因為N1與N2是一對相等的同位角，得出結(jié)論是A3〃C。，

所以其依據(jù)可以簡單說成同位角相等，兩直線平行，

故選：D.

20.（2022?廣東?蛇口育才二中三模）如圖，能判定￡B〃AC的條件是（）

EA

A.NC=4B.ZA=Z2C.ZC=Z3D.ZA=Z1

【答案】D

【分析】直接根據(jù)平行線的判定定理對各選項逐一進行分析即可.

【詳解】解：A、???/（7和N1不是同位角，

ANC=N7不能判定任何直線平行，故此選項不符合題意；

B、,.,/A和N2不是內(nèi)錯角，

A/4=N2不能判定任何直線平行，故此選項不符合題意；

C、和/3不是同位角，

ANC=Z3不能判定任何直線平行，故此選項不符合題意；

D、A和N1是內(nèi)錯角，

.,.當NA=/1時能判定￡B〃AC,故此選項符合題意.

故選：D.

21.（2022.寧夏?固原市原州區(qū)三營中學(xué)模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)課上，老師要求同學(xué)們利用一副三

（2）分別過點A,8作直線的兩條垂線AC的；

則直線AC、即為所求.

老師說：“小明的作法正確請回答：小明的作圖依據(jù)是

【答案】在同一平面上，垂直于同一直線的兩直線平行

【分析】根據(jù)在同一平面上，垂直于同一直線的兩直線平行，即可求解.

【詳解】解：；AC±AB,BD1.AB,

：.AC//BD（在同一平面上，垂直于同一直線的兩直線平行）

故答案為：在同一平面上，垂直于同一直線的兩直線平行

22.（2022?新疆阿克蘇.一模）如圖，將木條a,方與c釘在一起，Z2=50°,若要使木條。

與b平行，則N1的度數(shù)應(yīng)為.

【答案】50°

【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行，求出N1的度數(shù).

【詳解】解：:/仁/2時，a//b,

,若要使木條。與6平行，/1=/2=50。，

故答案為：50°.

23.（2022?江蘇南京?模擬預(yù)測）如圖，直線小。被c所截，Zl=130°,當N2=。時,

aHb

【答案】50

【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行求解即可.

【詳解】解：由題意得N1與N2是同旁內(nèi)角，

...當Nl+N2=180°時a〃》，

VZl=130°,

.?.當/2=50。時，a//b

故答案為：50.

24.（2022?甘肅.平?jīng)鍪械谑袑W(xué)三模）將一副三角板如圖擺放，則//,理由是

【答案】BCDE內(nèi)錯角相等，兩直線平行

【分析】根據(jù)三角板的角度可知ZBC4=ZDEF=90。，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行判斷即可.

【詳解】解：一副三角板如圖擺放,

ZBCA=ZDEF=90°,

：.BC//DE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

故答案為：BC；DE-,內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

25.如圖，給出了直線外一點作已知直線平行線的一種方法，它的依據(jù)是

【答案】同位角相等，兩直線平行

【分析】利用作圖可得，畫出兩同位角相等，從而根據(jù)平行線的判定方法可判斷所畫直線與

原直線平行.

【詳解】解：給出了過直線外一點作已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是同位角相等，兩直

線平行.

故答案是：同位角相等，兩直線平行.

題型五平行線的性質(zhì)

26.（2022?四川德陽?模擬預(yù)測）如圖，直線a〃小將三角尺的直角頂點放在直線b上，如

果N2=60。，那么N1的度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出23,由平角性質(zhì)可知/1=180。--3-90。即可得出結(jié)論.

a11b,

.-.Z2=Z3=60°,

Z1=180°-90°-Z3=180°-90°-60°=30°,

故選：A.

27.如圖，ZAOB=45。,CD〃OB交。4于E,則NAEC的度數(shù)為（）

A.130°B.135°C.140°D.145°

【答案】B

【分析】由切〃妣4必=45。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/A￡D=45。，根據(jù)平角的意義即

可求出答案.

【詳解】解：?.?5〃陽,//陽=45。，

ZAOB=ZAED=45°,

-.■ZAEC+ZAED=180°,

.?./板=180°-45°=135°,

故選：B.

28.（2022?湖南?長沙市一中雙語實驗中學(xué)九年級階段練習）如圖，直線?！ㄈ藙t直線a,b

之間的距離是（）

A.線段ABB.線段A3的長度C.線段COD.線段。的長度

【答案】D

【分析】根據(jù)兩平行線之間的距離的概念：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直

線的距離叫做兩平行線的距離，進行判斷即可.

【詳解】解：,??直線?！?,CDLb,

二線段CZ）的長度是直線公匕之間的距離，

故選：D.

29.（2022?湖南?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校九年級期中）如圖，AB//CD,AE平

分NCAB交CD于點、E.若NC=50。，則—AEC的大小為（）

B

ED

A.55°B.65°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NC4B=130。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可

求解.

【詳解】

ZBAC+ZC=180°,

,/ZC=50°,

NBA。=130°,

：AE平分/C45,

ZBAE=ZCAE=-ABAC=65°,

2

,/AB//CD,

：.ZAEC=ZBAE=65°.

故選B.

30.如圖，直線A3平行直線C￡）,ZEED=102°,EG平分ZBEF,則NEGF=（）

A.38°B.39°C.48°D.49°

【答案】B

【分析】根據(jù)AB〃CD可知/BE尸+NETO=180。，進而求出NBEF,再根據(jù)EG平分NB砂1

可ZBEG,再根據(jù)平行線的性質(zhì)知NEGF=NBEG.

【詳解】解：

:./BEF+NEFD=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

ZBEF=1800-ZEFD=180°-102°=78°.

EG平分ZBEF,

ZBEG=-ZBEF=39°.

2

,/ABHCD,

;.NEGF=ZBEG=39°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

故選B.

31.（2022?四川宜賓?模擬預(yù)測）有下列說法：①對頂角相等；②同位角相等；③過一點有

且只有一條直線與已知直線垂直；④點到直線的距離即為垂線段；⑤同旁內(nèi)角互補，兩直

線平行?其中正確的有.

【答案】①⑤

【分析】分別利用平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)及平行公理對四個選項逐一判斷后即可確定

正確的選項.

【詳解】解：①對頂角相等，故正確；

②只有在兩直線平行的條件下，同位角一定相等，故錯誤；

③在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故錯誤；

④點到直線的距離即為垂線段的長度，故錯誤；

⑤同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，正確；

故答案為：①⑤.

32.將一副三角板（含30。、45。、60。、90。角）按如圖所示的位置擺放在直尺上，則-1的度數(shù)

為°.

【答案】60

【分析】由平角等于180。結(jié)合三角板各角的度數(shù)，可求出-2的度數(shù)，由直尺的上下兩邊平

行，利用“兩直線平行，同位角相等”可得出N1的度數(shù).

【詳解】解：如圖：

?.22+90°+30°=180°,

12=60°.

?.?直尺的上下兩邊平行，

21=12=60。.

故答案為：60.

33.（2022.四川.成都市雙流區(qū)立格實驗學(xué)校二模）如圖，把三角尺的直角頂點放在直尺的一

邊上，若4=32。，則N2的度數(shù)為______.

【答案】58°

【分析】先根據(jù)“三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上”得到/1+-3=90。，求出/3=58。,

再根據(jù)平行線的性質(zhì)作答即可.

【詳解】解：如圖，

根據(jù)題意可得/1+/3=90。，

Z3=90°-Zl=90°-32。=58°,

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，

Z2=Z3=58°.

故答案為：58°.

34.（2022?寧夏?吳忠市第三中學(xué)一模）如圖，在平行線a、b之間放置一塊直角三角板，三

角板的頂點A3分別在直線以6上，則N1+N2的度數(shù)為.

【答案】90°

【分析】過點。作8〃。，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：過點C作CD〃a,則/1=NACD.

'：a//b

：.CD//b

：.Z2=ZDCB

ZACD+NDCB=90。,

Zl+Z2=90°

故答案為：90°

35.如圖，直線a〃入4=100。，則N2的度數(shù)是

1

a

【答案】80°

【分析】如圖，根據(jù)平角的定義（等于180。的角叫做平角）求出N3的度數(shù)，根據(jù)平行線的

性質(zhì)得出12=/3,代入求出即可.

【詳解】如圖，?.?4+N3=180°,

Z3=180°-Zl=80°,

a//b,

AZ2=Z3=80°,

1題型六命題、定理和證明的應(yīng)用

■■

36.（2022?浙江嘉興.九年級期中）下列命題正確的是（）

A.長度相等的弧是等弧

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

C.不在同一直線上的三點確定一個圓

D.圓內(nèi)接三角形一定是等邊三角形

【答案】C

【分析】根據(jù)等弧、垂徑定理、確定圓的條件、圓內(nèi)接三角形的知識進行判斷即可.

【詳解】解：A、長度相等的弧是等弧是錯誤的，等弧是完全重合的兩條弧，本選項不符合

題意；

B、平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，錯誤，此弦不是直徑，本選項不符合題

思；

C、不在同一直線上的三點確定一個圓，正確，本選項符合題意；

D、圓內(nèi)接三角形一定是等邊三角形，錯誤，可以是任意三角形，本選項不符合題意.

故選：C

37.下列說法正確的是（）

A.命題一定有逆命題B.所有的定理一定有逆定理

C.真命題的逆命題一定是真命題D.假命題的逆命題一定是假命題

【答案】A

【分析】根據(jù)命題的定義和定理及其逆定理之間的關(guān)系，分別舉出反例，再進行判斷，即可

得出答案.

【詳解】解：A、命題一定有逆命題，故此選項符合題意；

B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形對應(yīng)角相等沒有逆定理，故此選項不符合題意；

C、真命題的逆命題不一定是真命題，如：對頂角相等的逆命題是：相等的兩個角是對頂角，

它是假命題而不是真命題，故此選項不符合題意；

D、假命題的逆命題定不一定是假命題，如：相等的兩個角是對頂角的逆命題是：對頂角相

等，它是真命題，故此選項不符合題意.

故選：A.

38.下列命題是假命題的是（）

A.如果/1=/2,Z2=Z3,那么/1=N3B.對頂角相等

C.如果一個數(shù)能被4整除，那么它也能被2整除D.內(nèi)錯角相等

【答案】D

【分析】利用對頂角的性質(zhì)、實數(shù)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解：A、如果/1=N2,N2=N3,那么/1=N3,正確，是真命題，不符合題意；

B、對頂角相等，正確，是真命題，不符合題意；

C、如果一個數(shù)能被4整除，那么它也能被2整除，正確，是真命題，不符合題意；

D、兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故原命題錯誤，是假命題，符合題意.

故選：D.

39.（2022?重慶?西南大學(xué)附中三模）下列命題是真命題的是（）

A.五邊形的內(nèi)角和為560。

B.三角形的外角大于它的任意一個內(nèi)角

C.六條邊都相等的六邊形是正六邊形

D.銳角三角形的三條高均在三角形的內(nèi)部

【答案】D

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，正多邊形定義，三角形高的性質(zhì)解答

即可.

【詳解】解：A、五邊形的內(nèi)角和為560。是假命題，不符合題意；

B、三角形的外角大于它的任意一個內(nèi)角是假命題，不符合題意；

C、六條邊都相等的六邊形是正六邊形是假命題，不符合題意；

D、銳角三角形的三條高均在三角形的內(nèi)部是真命題，符合題意.

故選：D.

40.（2022?山東青島.九年級期中）在下列命題中，正確的是（）

A.一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

B.有一個角是直角的四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定定理判斷即可.

【詳解】解：A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故該選項錯誤；

B、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故該選項錯誤；

C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，正確，符合題意；

D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故該選項錯誤.

故選：C.

41.在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的,那么這兩個命

題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的.

【答案】結(jié)論和條件逆命題

【分析】根據(jù)互逆命題的定義直接解答即可.

【詳解】解：在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的

結(jié)論是第二個命題的條件,那么這兩個命題叫作互逆命題,如果把其中一個命題叫作原命題,

那么另一個命題叫作它的逆命題，

故答案為：結(jié)論和條件；逆命題.

42.把命題對頂角相等”改寫成“如果……,那么……”的形式：.

【答案】兩個角是對頂角，那么這兩個角相等

【分析】先找到命題的題設(shè)和結(jié)論，再寫成“如果...，那么…”的形式.

【詳解】解：把命題“對頂角相等”改寫成“如果……，那么……”的形式為：

如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.

故答案為：兩個角是對頂角，那么這兩個角相等

43.為了說明命題“若/>9,則“>3”是假命題，舉一個反例：那么a的值可以是.

【答案】-4（答案不唯一）

【分析】根據(jù)負數(shù)的平方也為正數(shù)，即當a=T時，滿足/>9,但不滿足。>3,即可填空.

【詳解】當a=T■時，a2=16>9,但a<3,

故'若/>9,則a>3”是假命題.

故答案為：-4（答案不唯一）.

44.（2022?吉林大學(xué)附屬中學(xué)一模）“如果兩直線平行，那么同旁內(nèi)角相等”是命題.（填

“真”或“假”）

【答案】假

【分析】根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”，從而可得答案.

【詳解】解：因為：如果兩直線平行，那么同旁內(nèi)角互補，是真命