【蘇科】期末模擬卷02【第1-6章】

2023-2024學年上學期期末模擬考試九年級數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：第1-6章（蘇科版）。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）1．矩形ABCD的對角線長為5，邊AB的長是方程x2﹣7x+12＝0的一個根，則該矩形的面積為（）A．6 B．12 C．6或12 D．8或122．甲、乙、丙、丁四人各進行20次射擊測試，他們的平均成績相同，方差分別是s甲2＝0.5，s乙2＝0.6，S丙2＝0.9，s丁2＝1.0，則射擊成績最穩(wěn)定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．已知點M（2，n）在拋物線yQUOTE（x+1）（x﹣2）上，則n的值為（）A．﹣1 B．0 C．2 D．34．若3y＝4x，則下列式子中不正確的是（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE5．如圖，點A、B、C在⊙O上，若∠C＝40°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．80° D．100°6．我市舉辦的“喜迎黨的二十大，奮進新征程——鄉(xiāng)村振興成果展”吸引了眾多市民前來參觀，如圖所示的是該展覽館出入口的示意圖．小穎B入口進D出口的概率是（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE7．如圖，⊙O半徑為QUOTE，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E在QUOTE上運動，連接BE，作AF⊥BE，垂足為F，連接CF．則CF長的最小值為（）A．QUOTE1 B．1 C．QUOTE1 D．QUOTE8．在平面直角坐標系中，直線y＝mx+1與拋物線QUOTE交于A、B兩點，設A（a1，b1），B（a2，b2），則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）①a1a2＝﹣4；②QUOTE；③當線段AB長取最小值時，則△AOB的面積為2；④若點N（0，﹣1），則AN⊥BN．A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）9．有一組數(shù)據(jù)：1，1，1，1，m．若這組數(shù)據(jù)的方差是0，則m為．10．如果關于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的根的判別式的值為5，那么m＝．11．如圖，已知AD∥BE∥CF，它們依次交直線l1、l2于點A、B、C和D、E、F，如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，則BE的長是．12．人體下半身（腳底到肚臍的長度）與身高的比例越接近0.618，越給人美感．遺憾的是，即使是身材修長的芭蕾舞演員也達不到如此的完美．某女士，身高1.68m，下半身1.02m，她應選擇cm（取兩位有效數(shù)字）高的高跟鞋看起來更美．13．已知A（x1，2018），B（x2，2018）是二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象上的兩點，則當x＝x1+x2時，二次函數(shù)的值是．14．如圖，在⊙O中，直徑AB與弦MN相交于點P，∠NPB＝45°，若AP＝2，BP＝6，則MN＝．15．若m是方程x2+x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式﹣2m+2025﹣2m2的值為．16．如圖，四邊形ABCD為正方形，P是以邊AD為直徑的⊙O上一動點，連接BP，以BP為邊作等邊三角形BPQ，連接OQ，若AB＝2，則線段OQ的最大值為．三．解答題（共10小題，滿分88分）17．（8分）解方程：（1）x2+6x﹣7＝0；（2）4x（2x+1）＝3（2x+1）．18．（6分）某中學運動隊有短跑、長跑、跳遠、實心球四個訓練小隊，現(xiàn)將四個訓練小隊隊員情況繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖：（1）學校運動隊的隊員總?cè)藬?shù)為；（2）補全條形統(tǒng)計圖，并標明數(shù)據(jù)；（3）若在長跑訓練小組中隨機選取2名同學進行比賽，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求所選取的這兩名同學恰好是一男一女的概率．19．（8分）若QUOTE為一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；（1）則方程的另外一個根β＝，t＝；（2）求（α3﹣α2+1）（β3﹣β2+1）的值．20．（8分）如圖，AB是圓O的直徑，點C，D分別在兩個半圓上（不與點A、B重合），AD＝BD．（1）若∠ADC＝15°，AD＝2，則∠CBD＝度，CD的長是；（2）CDQUOTE，求AC+BC的長．21．（8分）如圖，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝2，點D在邊BC的反向延長線上，且DB＝3，點E在邊BC的延長線上，且∠EAC＝∠D．（1）求證：△EAC∽△ADB．（2）若AD＝4，求BE的長．22．（10分）已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，點M平分BC，AD平分∠BAC，過點A、M、D的⊙O分別交AB、AC于點E、F．（1）求∠MAD的度數(shù)；（2）求證：CF＝CD；（3）已知AC＝2，求⊙O的半徑．23．（10分）安徽盒子健康公司不斷加大科技投入，現(xiàn)投資500萬元購進一條滅新冠病毒專用口罩生產(chǎn)線，2020年12月份投產(chǎn)后若不計維修保養(yǎng)、捐贈口罩成本等費用，每月可創(chuàng)利100萬元．實際生產(chǎn)過程中，第n月的維修保養(yǎng)、捐贈口罩成本等費用滿足下表：第n月第1月第2月維修保養(yǎng)、捐贈口罩成本等費用（萬元）35若從第1月到第n月的維修保養(yǎng)與損耗等費用累計為y（萬元），且y＝an2+bn．（1）求出y的解析式；（2）設該公司第n月的利潤為w（萬元），求w與n之間的函數(shù)關系式，并指出在第幾月w取得最大值，最大值是多少？（3）該公司在2021年哪月份能收回投資？24．（8分）已知，如圖，AB為⊙O的直徑，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＞AC，點P是△ABC的內(nèi)心，延長CP交⊙O于點D，連接BP．（1）求證：BD＝PD；（2）已知⊙O的半徑是3QUOTE，CD＝8，求BC的長．25．（10分）如圖，AB與⊙O相切于點C，且C為線段AB的中點，直線AO與⊙O交于點E和點D，OB與⊙O交于點F，連接DF，DC．（1）求證：∠CDF＝∠CDE；（2）①若DE＝10，DF＝8，則CD＝；②連接CO，CF，當∠B的度數(shù)為時，四邊形ODFC是菱形．26．（12分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（﹣1，0）和B（0，3），其頂點的橫坐標為1．（1）求拋物線的表達式．（2）若直線x＝m與x軸交于點N，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點M，當m取何值時，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．（3）若點P為拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸上一動點，將拋物線向左平移1個單位長度后，Q為平移后拋物線上一動點．在（2）的條件下求得的點M，是否能與A、P、Q構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出Q點坐標；若不能構(gòu)成，請說明理由．

2023-2024學年上學期期末模擬考試九年級數(shù)學（考試時間120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：第1-6章（蘇科版）。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）1．矩形ABCD的對角線長為5，邊AB的長是方程x2﹣7x+12＝0的一個根，則該矩形的面積為（）A．6 B．12 C．6或12 D．8或12【分析】根據(jù)題意，先求出方程的解，根據(jù)勾股定理確定出矩形的邊長，再求面積．【解答】解：∵邊AB的長是方程x2﹣7x+12＝0的一個根，x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，解得x1＝3，x2＝4，當AB＝3時，利用勾股定理可求得相鄰的邊為52-3當AB＝4時，利用勾股定理可求得相鄰的邊為52-4故選：B．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程的方法、矩形的面積公式的運用，難度中等．2．甲、乙、丙、丁四人各進行20次射擊測試，他們的平均成績相同，方差分別是s甲2＝0.5，s乙2＝0.6，S丙2＝0.9，s丁2＝1.0，則射擊成績最穩(wěn)定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】根據(jù)方差的意義，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定即可求解．【解答】解：∵s?2=0.5，s?2又∵0.5＜0.6＜0.9＜1.0，∴S甲∴射擊成績最穩(wěn)定的是甲．故選：A．【點評】本題考查了方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．熟知方差的意義是解題的關鍵．3．已知點M（2，n）在拋物線y=-23（x+1）（xA．﹣1 B．0 C．2 D．3【分析】把點M（2，n）代入函數(shù)解析式y(tǒng)=-23（x+1）（x【解答】解：∵點M（2，n）在拋物線y=-23（x∴n=-23故選：B．【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象上點的坐標特點，即二次函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式．4．若3y＝4x，則下列式子中不正確的是（）A．x+yy=74 B．yy-x=【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，把乘積式轉(zhuǎn)化為x=34【解答】解：∵3y＝4x，∴x=34A、x+yyB、yy-xC、x2yD、x-yy故選：D．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)等式寫出x、y之間的關系是解題的關鍵，運算時一定要仔細小心，特別是符號比較容易出錯．5．如圖，點A、B、C在⊙O上，若∠C＝40°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．80° D．100°【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠AOB＝2∠C，代入求出即可．【解答】解：∵弧AB所對的圓周角是∠C，所對的圓心角是∠AOB，且∠C＝40°，∴∠AOB＝2∠C＝80°，故選：C．【點評】本題考查了對圓周角定理的運用，關鍵是能根據(jù)定理得出∠AOB＝2∠C，題目比較典型，難度不大．6．我市舉辦的“喜迎黨的二十大，奮進新征程——鄉(xiāng)村振興成果展”吸引了眾多市民前來參觀，如圖所示的是該展覽館出入口的示意圖．小穎B入口進D出口的概率是（）A．15 B．16 C．12【分析】根據(jù)題意，畫出樹狀圖即可．【解答】解：如圖可知，A，B為入口；C，D，E為出口，∴小穎B入口進D出口的概率為：16故選：B．【點評】本題考查列舉法求概率，解題的關鍵是理解題意，畫出樹狀圖，得到所有的結(jié)果．7．如圖，⊙O半徑為2，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E在ADC上運動，連接BE，作AF⊥BE，垂足為F，連接CF．則CF長的最小值為（）A．5-1 B．1 C．2-1 【分析】取AB的中點K，以AB為直徑作⊙K，想辦法求出FK，CK，根據(jù)CF≥CK﹣FK即可解決問題．【解答】解：如圖，取AB的中點K，以AB為直徑作⊙K，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∵AK＝BK，∴KF＝AK＝BK，∵正方形ABCD的外接圓的半徑為2，∴AB＝BC=2∴KF＝AK＝KB＝1，∵∠CBK＝90°，∴CK=B∵CF≥CK﹣KF，∴CF≥5∴CF的最小值為5-故選：A．【點評】本題考查正多邊形與圓，圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．8．在平面直角坐標系中，直線y＝mx+1與拋物線y=14x2交于A、B兩點，設A（a1，b1），B（a2①a1a2＝﹣4；②b1③當線段AB長取最小值時，則△AOB的面積為2；④若點N（0，﹣1），則AN⊥BN．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】將y＝mx+1代入y=14x2，得mx+1＝1/4x2，整理得x2﹣4mx﹣4＝0，則a1，a2為方程x2﹣4mx﹣4＝0的兩個實數(shù)根，由一元二次方程根與系數(shù)的關系得a1+a2＝4m，a1a2＝﹣4，據(jù)此可對結(jié)論①進行判斷；由y＝mx+1得x=y-1m，并將其代入y=14x2，得y=14[（y﹣1）/m]2，整理得y2﹣（4m2+2）y+1＝0，同理得b1，b2是y2﹣（4m2+2）y+1＝0得兩個實數(shù)根，由一元二次方程根與系數(shù)的關系得b1+b2＝4m2+2，b1b2＝1，據(jù)此可對結(jié)論②進行判斷；由兩點間距離公式得：AB=(a1-a2)2+(b1-b2)2=(a1+a2)2-4a1a2+(b1+b2)2-4b1b2，將a1+a2＝4m，a1a2＝﹣4，b1+b2＝4m2+2，b1b2＝1代入上式整理得AB＝4（m2+1），據(jù)此可得當m＝0時，AB為最小，最小值為4，由此可求出△AOB的面積，進而可對結(jié)論③進行判斷；根據(jù)點A（a1，b1），B（a2，b2），N（0，﹣1）的坐標有斜率公式得kAN=b1+1a1，kBN=b2【解答】解：將y＝mx+1代入y=14x2，得：mx+1=1整理得：x2﹣4mx﹣4＝0，∵直線y＝mx+1與拋物線y=14x2交于A、B兩點，A（a1，b1），B（a2，b∴a1，a2為方程x2﹣4mx﹣4＝0的兩個實數(shù)根，由一元二次方程根與系數(shù)的關系得：a1+a2＝4m，a1a2＝﹣4，因此結(jié)論①正確；由y＝mx+1得：x=y-1將x=y-1m代入y=14x2整理得：y2﹣（4m2+2）y+1＝0，同理得：b1，b2是y2﹣（4m2+2）y+1＝0得兩個實數(shù)根，由一元二次方程根與系數(shù)的關系得：b1+b2＝4m2+2，b1b2＝1，因此結(jié)論②正確；由兩點間距離公式得：AB=(即：AB=(將a1+a2＝4m，a1a2＝﹣4，b1+b2＝4m2+2，b1b2＝1代入上式，得：AB=(4m)2-4×(-4)+(4∵m2≥0，∴4（m2+1）≥4，∴當m＝0時，AB為最小，最小值為4，此時直線y＝mx+1就是直線y＝1，則AB∥x軸，∴S△AOB=1因此結(jié)論③正確；∵點A（a1，b1），B（a2，b2），N（0，﹣1），∴kAN=b1+1a1，k∴kAN?kBN=(將b1+b2＝4m2+2，b1b2＝1，a1a2＝﹣4代入上式，得：kAN?kBN=1+4m2∴當m＝0時，AN與BN垂直，當m≠0時，AN于BN不垂直，∴結(jié)論④不正確．綜上所述：正確的結(jié)論是①②③，共3個．故選：C．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，將求一次函數(shù)與二次函數(shù)交點坐標轉(zhuǎn)化一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系解決問題是解答此題的關鍵．二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）9．有一組數(shù)據(jù)：1，1，1，1，m．若這組數(shù)據(jù)的方差是0，則m為1．【分析】一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差，根據(jù)方差的定義即可求解．【解答】解：依題意可得，平均數(shù)：x=∴4×(1-m+4解得m＝1，故答案為：1．【點評】本題考查了方差，熟練運用方差公式是解題的關鍵．10．如果關于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的根的判別式的值為5，那么m＝﹣1．【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝5，即可得出關于m的方程，解之即可得出m的值．【解答】解：∵關于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的根的判別式的值為5，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2＝5，∴m＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了根的判別式，牢記一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判別式Δ＝b2﹣4ac是解題的關鍵．11．如圖，已知AD∥BE∥CF，它們依次交直線l1、l2于點A、B、C和D、E、F，如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，則BE的長是11．【分析】過點D作DG∥AC，交BE于點H，交CF于點G，運用比例關系求出HE及HB的長，然后即可得出BE的長．【解答】解：過點D作DG∥AC，交BE于點H，交CF于點G，則CG＝BH＝AD＝9，∴GF＝14﹣9＝5，∵HE∥GF，∴HEGF∵DE：DF＝2：5，GF＝5，∴HE5∴HE＝2，∴BE＝9+2＝11，故答案為：11．【點評】本題考查平行線分線段成比例的知識，綜合性較強，關鍵是掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．12．人體下半身（腳底到肚臍的長度）與身高的比例越接近0.618，越給人美感．遺憾的是，即使是身材修長的芭蕾舞演員也達不到如此的完美．某女士，身高1.68m，下半身1.02m，她應選擇4.8cm（取兩位有效數(shù)字）高的高跟鞋看起來更美．【分析】根據(jù)黃金分割的概念，列出方程直接求解即可．【解答】解：設她應選擇高跟鞋的高度是xcm，則102+x168+x解得：x≈4.8cm．經(jīng)檢驗知x≈4.8是原方程的解，故本題答案為：4.8．【點評】此題要能夠根據(jù)題意列方程求解．注意身高不要忘記加上高跟鞋的高度．13．已知A（x1，2018），B（x2，2018）是二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象上的兩點，則當x＝x1+x2時，二次函數(shù)的值是3．【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性得出x＝x1+x2=-ba【解答】解：∵A（x1，2018），B（x2，2018）是二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象上的兩點，又∵點A、B的縱坐標相同，∴A、B關于對稱軸x=-∴x＝x1+x2=-∴a（-ba）2+b（故答案為3．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．二次函數(shù)圖象上的點一定滿足該函數(shù)的解析式．14．如圖，在⊙O中，直徑AB與弦MN相交于點P，∠NPB＝45°，若AP＝2，BP＝6，則MN＝214．【分析】過點O作OD⊥MN于點D，連接ON，先根據(jù)AB是直徑AP＝2，BP＝6求出⊙O的半徑，故可得出OP的長，因為∠NPB＝45°，所以△OPD是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出OD的長，故可得出DN的長，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：過點O作OD⊥MN于點D，連接ON，則MN＝2DN，∵AB是⊙O的直徑，AP＝2，BP＝6，∴⊙O的半徑＝（2+6）＝4，∴OP＝4﹣AP＝4﹣2＝2，∵∠NPB＝45°，∴△OPD是等腰直角三角形，∴OD=2在Rt△ODN中，DN=O∴MN＝2DN＝214．故答案為：214．【點評】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關鍵．15．若m是方程x2+x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式﹣2m+2025﹣2m2的值為2023．【分析】利用一元二次方程根的定義得到m2+m﹣1＝0，然后把m2+m＝1代入﹣2m+2025﹣2m2中進行整式的運算即可．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的一個根，∴m2+m﹣1＝0，∴m2+m＝1，∴﹣2m+2025﹣2m2＝2025﹣2（m2+m）＝2025﹣2＝2023．故答案為：2023．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．利用整體代入的方法解決此類問題．16．如圖，四邊形ABCD為正方形，P是以邊AD為直徑的⊙O上一動點，連接BP，以BP為邊作等邊三角形BPQ，連接OQ，若AB＝2，則線段OQ的最大值為5+1【分析】連接OB、OP，將OB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到O'B，連接O'Q，通過證明△OBP≌△O'BQ（SAS），得出OP＝O'Q＝1，從而得出點Q在以點O'為圓心，O'Q為半徑的圓上運動；則當點O，O'，P三點在同一直線上時，OQ取最大值，易證△OBO'為等邊三角形，求出OO'=OB=5【解答】解：連接OB、OP，將OB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到O'B，連接O'Q，∵OB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到O'B，∴OB＝O'B，∠OBO'＝60°，∵△BPQ為等邊三角形，∴PB＝QB，∠PBQ＝60°，∴∠OBO'﹣∠PBO'＝∠PBQ﹣∠PBO'，即∠OBP＝∠O'BQ，在△OBP和△O'BQ中，OB=OB'∴△OBP≌△O'BQ（SAS），∵AB＝2，四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB＝2，則OA＝OP＝1，∴OP＝O'Q＝1，∴點Q在以點O'為圓心，O'Q為半徑的圓上運動；∴當點O，O'，P三點在同一直線上時，OQ取最大值，在Rt△OAB中，根據(jù)勾股定理可得：OB=O∵OB＝O'B，∠OBO'＝60°，∴△OBO'為等邊三角形，∴OO'∴OQ=OO'故答案為：5+1【點評】本題主要考查看瓜豆模型—圓生圓模型，確定從動點Q的運動軌跡，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．三．解答題（共10小題，滿分88分）17．（8分）解方程：（1）x2+6x﹣7＝0；（2）4x（2x+1）＝3（2x+1）．【分析】（1）利用因式分解法（十字相乘）求解比較簡便；（2）把2x+1看成一個整體，運用因式分解法（提公因式）求解比較簡便．【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0，（x+7）（x﹣1）＝0，∴x+7＝0或x﹣1＝0．∴x1＝﹣7，x2＝1；（2）4x（2x+1）＝3（2x+1），移項，得4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0，∴（2x+1）（4x﹣3）＝0．∴2x+1＝0或4x﹣3＝0．∴x1=-12，x【點評】本題考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的因式分解法是解決本題的關鍵．18．（6分）某中學運動隊有短跑、長跑、跳遠、實心球四個訓練小隊，現(xiàn)將四個訓練小隊隊員情況繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖：（1）學校運動隊的隊員總?cè)藬?shù)為25人；（2）補全條形統(tǒng)計圖，并標明數(shù)據(jù)；（3）若在長跑訓練小組中隨機選取2名同學進行比賽，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求所選取的這兩名同學恰好是一男一女的概率．【分析】（1）由跳遠的學生人數(shù)除以所占百分比即可；（2）求出長跑的男生人數(shù)和跳高的女生學生人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖，并標明數(shù)據(jù)即可；（3）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中所選取的這兩名同學恰好是一男一女的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）學校運動隊的隊員總?cè)藬?shù)為：（5+3）÷32%＝25（人），故答案為：25人；（2）長跑的學生人數(shù)為：25×12%＝3（人），則長跑的男生人數(shù)為：3﹣2＝1（人），跳高的女生學生人數(shù)為：25﹣5﹣3﹣8﹣4＝5（人），補全條形統(tǒng)計圖，并標明數(shù)據(jù)如下：（3）畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中所選取的這兩名同學恰好是一男一女的結(jié)果有4種，∴所選取的這兩名同學恰好是一男一女的概率為46【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．19．（8分）若a=1+52為一元二次方程x2﹣x（1）則方程的另外一個根β＝1-52，t＝（2）求（α3﹣α2+1）（β3﹣β2+1）的值．【分析】（1）利用一元二次方程根與系數(shù)的關系列出等式即可求解；（2）利用一元二次方程根的意義得出α2＝1+α，β2＝1+β，再求出α3﹣α2+1＝α2（α﹣1）+1＝（1+α）（α﹣1）+1＝α2，β3﹣β2+1＝β2（β﹣1）+1＝（1+β）（β﹣1）+1＝β2，然后利用根與系數(shù)的關系解答即可求得結(jié)論．【解答】解：（1）由根與系數(shù)的關系，α+β＝1，αβ＝t，∴β＝1﹣α＝1-1+∴t＝αβ=1+故答案為：1-5（2）∵α、β為一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，∴α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，αβ＝﹣1，∴α2＝1+α，β2＝1+β，∴α3﹣α2+1＝α2（α﹣1）+1＝（1+α）（α﹣1）+1＝α2，β3﹣β2+1＝β2（β﹣1）+1＝（1+β）（β﹣1）+1＝β2，∴（α3﹣α2+1）（β3﹣β2+1）＝α2β2＝（αβ）2＝（﹣1）2＝1．【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關系，一元二次方程的解，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．20．（8分）如圖，AB是圓O的直徑，點C，D分別在兩個半圓上（不與點A、B重合），AD＝BD．（1）若∠ADC＝15°，AD＝2，則∠CBD＝60度，CD的長是6；（2）CD=5，求AC+BC【分析】（1）連接AC，如圖1，根據(jù)圓周角定理得∠ADB＝∠ACB＝90°，而AD＝BD，則∠ABD＝∠BAD＝45°，由于∠ABC＝∠ADC＝15°，所以∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝60°；作DH⊥BC于H，如圖1，在Rt△BDH中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到BN=12BD＝1，DN=3BN=3，然后利用∠BCD＝∠BAD＝45°得到△CDH為等腰直角三角形，所以CD（2）作DM⊥CA于M，DN⊥BC于N，如圖2，先證明Rt△DAM≌Rt△DBN得到BN＝AM，DM＝DN，再說明四邊形CNDM為正方形，則CN＝CM，所以AC+BC＝CM﹣AM+CN+BN＝2CN，然后利用CD=2CN可計算AC+BC【解答】解：（1）連接AC，如圖1，∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∵∠ABC＝∠ADC＝15°，∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝60°，作DH⊥BC于H，如圖1，∵BD＝AD＝2，在Rt△BDH中，∵∠DBH＝60°，∴BN=12∴DN=3BN=∵∠BCD＝∠BAD＝45°，∴△CDH為等腰直角三角形，∴CD=2DN=故答案為60，6；（2）作DM⊥CA于M，DN⊥BC于N，如圖2，∵∠BCD＝∠BAD＝45°，∠ACD＝∠ABD＝45°，∴∠ACD＝∠BCD，∴DM＝DN，在Rt△DAM和Rt△DBN中，DM=DNDA=DB∴Rt△DAM≌Rt△DBN，∴BN＝AM，DM＝DN，而∠BCA＝90°，∴四邊形CNDM為正方形，∴CN＝CM，∴AC+BC＝CM﹣AM+CN+BN＝2CN，而CD=2CN∴AC+BC=2CN=【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．21．（8分）如圖，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝2，點D在邊BC的反向延長線上，且DB＝3，點E在邊BC的延長線上，且∠EAC＝∠D．（1）求證：△EAC∽△ADB．（2）若AD＝4，求BE的長．【分析】（1）根據(jù)條件可證明△ACE∽△DBA，利用相似三角形的對應邊成比例可求得CE；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得CE，過點A作AH⊥BC于H，設BC＝y(tǒng)，根據(jù)勾股定理即可得到答案．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE．∵∠EAC＝∠D，∴△EAC∽△ADB；（2）解：∵△EAC∽△ADB，∴ACBD∵AB＝AC＝2，DB＝3，∴23∴CE=4過點A作AH⊥BC于H，設BC＝y(tǒng)，∴BH＝CH=y∵AD2﹣DH2＝AH2＝AB2﹣BH2，∴42﹣（3+y2）2＝4﹣（y2∴y＝1，∴BE＝BC+CE＝1+4【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，熟悉圖形的特點，從中找到相關圖形是解題的關鍵．22．（10分）已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，點M平分BC，AD平分∠BAC，過點A、M、D的⊙O分別交AB、AC于點E、F．（1）求∠MAD的度數(shù)；（2）求證：CF＝CD；（3）已知AC＝2，求⊙O的半徑．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AM＝BM＝CM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAM＝∠B＝30°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD=12∠（2）連接DF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠C＝60°，由（1）知AM＝CM，推出△ACM是等邊三角形，得到AC＝CM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）連接DE，EF，根據(jù)圓周角定理得到EF是⊙O的直徑，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠CDF＝60°，求得∠BDE＝30°，得到BE＝DE，求得DE＝DF，設BE＝DE＝DF＝CF＝x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，點M平分BC，∴AM＝BM＝CM，∴∠BAM＝∠B＝30°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠∴∠MAD＝∠BAD﹣∠BAM＝15°；（2）證明：連接DF，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴∠C＝60°，由（1）知AM＝CM，∴△ACM是等邊三角形，∴AC＝CM，∵∠CFD＝∠CMA＝180°﹣∠AFD，∠CDF＝∠CAM＝180°﹣∠MDF，∴△CFD∽△CAM，∴CFCA∴CF＝CD；（3）解：連接DE，EF，∵∠BAC＝90°，∴EF是⊙O的直徑，∴∠EDF＝90°，由（2）知CD＝CF，∠C＝60°，∴△CDF是等邊三角形，∴∠CDF＝60°，∴∠BDE＝30°，∴∠B＝∠BDE＝30°，∴BE＝DE，∵AD平分∠BAC，∴DE=∴DE＝DF，∴BE＝DE＝DF＝CF，∵AC＝2，∴AB＝23，設BE＝DE＝DF＝CF＝x，∴AE＝23-x，AF＝2﹣x，EF=2∵EF2＝AE2+AF2，∴2x2＝（23-x）2+（2﹣x）2解得x＝2（3-∴EF＝26-22∴⊙O的半徑為6-【點評】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關鍵．23．（10分）安徽盒子健康公司不斷加大科技投入，現(xiàn)投資500萬元購進一條滅新冠病毒專用口罩生產(chǎn)線，2020年12月份投產(chǎn)后若不計維修保養(yǎng)、捐贈口罩成本等費用，每月可創(chuàng)利100萬元．實際生產(chǎn)過程中，第n月的維修保養(yǎng)、捐贈口罩成本等費用滿足下表：第n月第1月第2月維修保養(yǎng)、捐贈口罩成本等費用（萬元）35若從第1月到第n月的維修保養(yǎng)與損耗等費用累計為y（萬元），且y＝an2+bn．（1）求出y的解析式；（2）設該公司第n月的利潤為w（萬元），求w與n之間的函數(shù)關系式，并指出在第幾月w取得最大值，最大值是多少？（3）該公司在2021年哪月份能收回投資？【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)利潤＝總創(chuàng)利﹣維修保養(yǎng)與損耗等費用累計﹣500，列出w關于x的二次函數(shù)，將其寫成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）求得利潤關于x的函數(shù)值何時由負轉(zhuǎn)正，結(jié)合n取正整數(shù)，即可得出答案【解答】解：（1）第1月到第2月的累積費用為：3+5＝8（萬元），將n=1y=3，n=2y=8代入y＝an2+得3=a+b8=4a+2b解得a=1b=2∴解析式為y＝n2+2n；（2）由題意得：w＝100n﹣（n2+2n）﹣500＝﹣n2+98n﹣500＝﹣（n﹣49）2+1901，∴投產(chǎn)后第49個月，利潤最大，最大利潤為1901萬元；（3）∵w＝﹣n2+98n﹣500，當n＝5時，w＝﹣35（萬元）＜0；n＝6時，w＝52（萬元）＞0；∴在2021年6月收回成本．【點評】本題考查了二次函數(shù)在銷售問題中的應用，理清題中的數(shù)量關系、熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．24．（8分）已知，如圖，AB為⊙O的直徑，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＞AC，點P是△ABC的內(nèi)心，延長CP交⊙O于點D，連接BP．（1）求證：BD＝PD；（2）已知⊙O的半徑是32，CD＝8，求BC的長．【分析】（1）由圓周角定理得出∠ACB＝90°，由內(nèi)心得出∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP，∠ABD＝∠ACD＝45°，由三角形的外角性質(zhì)得出∠DPB＝∠DBP，即可得出結(jié)論；（2）連接AD，由圓周角定理得出∠ABD＝45°，證出△ABD是等腰直角三角形，得出BD=22AB＝6，由勾股定理可求【解答】（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵點P是△ABC的內(nèi)心，∴∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP，∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∵∠DPB＝∠BCP+∠CBP＝45°+∠CBP，∠DBP＝∠ABD+∠EBP＝45°+∠EBP，∴∠DPB＝∠DBP，∴BD＝DP；（2）解：連接AD，過點B作BH⊥CD于H，如圖所示：∵AB是直徑，∠ABD＝45°，∴AB＝62，△ABD是等腰直角三角形，∴BD=22AB=2∵∠BCD＝45°，BH⊥CD，∴∠BCH＝∠CBH＝45°，∴BH＝CH，∴BC=2BH∵BD2＝DH2+BH2，∴36＝（8﹣BH）2+BH2，∴BH＝4±2，∵BC＞AC，∴BC＝42+【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、圓周角定理、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，難度較大．25．（10分）如圖，AB與⊙O相切于點C，且C為線段AB的中點，直線AO與⊙O交于點E和點D，OB與⊙O交于點F，連接DF，DC．（1）求證：∠CDF＝∠CDE；（2）①若DE＝10，DF＝8，則CD＝310；②連接CO，CF，當∠B的度數(shù)為30°時，四邊形ODFC是菱形．【分析】（1）證明：連接OC．由切線的性質(zhì)得∠OCA＝90°，由C為線段AB的中點得出OC垂直平分線段AB，則OA＝OB，得∠AOC＝∠BOC，則CE=（2）①連接OC，過點O作ON⊥DF于N，延長DF交AB于M，先求出DN＝NF=12DF＝4，由勾股定理得ON=OD2+DN2=3，易證∠CDF＝∠OCD，得OC∥DF，則∠OCM+∠CMN＝180°，求出∠CMN＝90°，證得四邊形OCMN是矩形，得出ON②易證△OCF是等邊三角形，則∠COB＝60°，由∠OCB＝90°，即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：連接OC．如圖1所示：∵AB是⊙O的切線，∴∠OCA＝90°，∵C為線段AB的中點，∴OC垂直平分線段AB，∴OA＝OB，∴∠AOC＝∠BOC，∴CE=∴∠CDF＝∠CDE；（2）解：①連接OC，過點O作ON⊥DF于N，延長DF交AB于M，如圖2所示：∵ON⊥DF，OD＝OF，∴DN＝NF=12∵DE＝10，∴OD＝5，在Rt△OND中，由勾股定理得：ON=O∵OC＝OD，∴∠CDE＝∠OCD，∵∠CDF＝∠CDE，∴∠CDF＝∠OCD，∴OC∥DF，∴∠OCM+∠CMN＝180°，∵∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°，∵∠ONM＝90°，∴四邊形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝3，MN＝OC＝5，∴DM＝DN+MN＝4+5＝9，在