經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 課件 駱文輝 ch01 函數(shù)、極限及其應(yīng)用- ch05 線性規(guī)劃初步

函數(shù)、極限及其應(yīng)用第一章經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課規(guī)劃教材01函數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)的量：出現(xiàn)在數(shù)學(xué)問題中的各種各樣的量，其中有的量在過程中保持固定的數(shù)值，這種量稱為常量。另一些量在過程中不斷變化，這種量稱為變量。常量通常用a，b，c，…表示，變量通常用x，y，z，…表示。函數(shù)函數(shù)有時用具體英文名詞的第一、第二個字母表示該量，例如成本（Cost）用C表示，價格（Price）用P表示，收益（Revenue）用R表示，利潤（Profit）用Pr表示，等等。常量可看做是變量的特例，常量在數(shù)軸上表示一個定點，變量在數(shù)軸上則表示一個動點。變量的變化范圍通常在數(shù)軸上用區(qū)間表示。函數(shù)不等式a<x<b用開區(qū)間（a，b）表示；不等式a≤x≤b用閉區(qū)間[a，b]表示；不等式a≤x<b用半開半閉區(qū)間[a，b）表示。不等式a<x≤b用半開半閉區(qū)間（a，b]表示；整個數(shù)軸-∞<x<+∞用開區(qū)間（-∞，+∞）表示。函數(shù)定義函數(shù)現(xiàn)實世界中經(jīng)常有幾個量同時變化，而且它們之間是互相關(guān)聯(lián)、互相制約的。因此，我們不但要研究事物本身的量的變化，而且要研究不同的量之間的變化的依賴關(guān)系，這種依賴關(guān)系中的一種簡單而又非常重要的情況，就是數(shù)學(xué)中的所謂函數(shù)關(guān)系。函數(shù)某一時期銀行的人民幣整存整取定期儲蓄存期與年利率見表1-1。表1-1確定了存期與年利率這兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)不同的存期可以知道整存整取定期儲蓄的年利率。當(dāng)其中一個變量在某一范圍內(nèi)取某一數(shù)值時，另一個變量就有一個確定的值與之相對應(yīng)。函數(shù)函數(shù)設(shè)有兩個變量x和y，D是一個給定的非空集合，如果對于D內(nèi)的每一個x，按照某個對應(yīng)法則f，都有唯一確定的y值與之對應(yīng)，則稱變量y是x的函數(shù)，記作y=f（x）。x稱為自變量，y稱為因變量，x的變化范圍D叫做函數(shù)的定義域，對應(yīng)的y值的變化范圍叫做函數(shù)y=f（x）的值域，記作Y={y|y=f（x），x∈D}。函數(shù)的兩個要素函數(shù)函數(shù)定義域D和對應(yīng)關(guān)系f唯一確定函數(shù)y=f（x），故稱定義域和對應(yīng)關(guān)系為函數(shù)的兩個要素。如果函數(shù)的兩個要素相同，則它們就是相同的函數(shù)，否則就是不相同的函數(shù)。在實際問題中，函數(shù)的定義域是根據(jù)問題的實際意義確定的。對于解析式表達(dá)的函數(shù)，其定義域為滿足函數(shù)有意義的一切實數(shù)值。函數(shù)式含有分式，函數(shù)分母不能為0；開偶數(shù)次方根式的被開方數(shù)非負(fù)；對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于0。函數(shù)反三角函數(shù)y=arcsinx與y=arccosx中，自變量|x|≤1（在實際應(yīng)用中要特別注意此處x的含義）；若為應(yīng)用問題，則定義域還需符合生產(chǎn)實踐的實際情況。若同一函數(shù)表達(dá)式中出現(xiàn)上述兩種或兩種以上情形，則定義域為所有情形的公共集合（交集）；函數(shù)函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)的幾種簡單的性質(zhì)：設(shè)函數(shù)y=f（x）在數(shù)集D有定義，它的幾種簡單性質(zhì)見表1-2。基本初等函數(shù)和初等函數(shù)函數(shù)在數(shù)學(xué)上，通常稱下列六個函數(shù)為基本初等函數(shù)：常數(shù)函數(shù)（y=C，C為常數(shù)），冪函數(shù)（y=xα）。指數(shù)函數(shù)（y=ax），對數(shù)函數(shù)（y=logax），三角函數(shù)（y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx等），反三角函數(shù)（y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx等）。基本初等函數(shù)的定義、定義域、性質(zhì)和圖形在中學(xué)已經(jīng)學(xué)過，在這里不再重復(fù)。一般來說，能用一個解析式表示的函數(shù)都是初等函數(shù)。由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算及有限次的復(fù)合運算所得到的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)。函數(shù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)在現(xiàn)實經(jīng)濟(jì)生活中，成本C可以看做是產(chǎn)量q的函數(shù)，而產(chǎn)量q又是時間t的函數(shù)。時間t通過產(chǎn)量q間接影響成本C，那么成本C與時間t之間存在著間接的函數(shù)關(guān)系。反函數(shù)人們習(xí)慣將x作為自變量，y作為因變量，表示成y=f（x）。但有時需要將y作為自變量。x作為因變量，表示成x=g（y），數(shù)學(xué)上稱后者為前者的反函數(shù)，也可記作x=f-1（y）或y=f-1（x）

。函數(shù)求已知函數(shù)的反函數(shù)一般步驟為：02將解出的表達(dá)式中x，y符號對換，但保持形式不變。01將自變量x視為未知數(shù)，因變量y視為已知數(shù)，利用解方程的手段解出x；函數(shù)02經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)線性函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)具有y=kx+b形式的函數(shù)稱為線性函數(shù)。函數(shù)的定義域D={x|-∞<x<+∞}，它的圖形是一條直線。在經(jīng)濟(jì)中，不少函數(shù)是線性函數(shù)。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)圖1-1是直線y=2x+1的圖像。010302總成本函數(shù)總成本函數(shù)的表達(dá)式如下：C=C（q）=C1q+C0收益（銷售收入）函數(shù)商品的收益R是由商品的價格p和銷售量q所決定的，收益（銷售收入）函數(shù)一般為R=p·q。價格函數(shù)商品的價格與市場的供求關(guān)系息息相關(guān)，一般價格p可以看做銷售量q的函數(shù)：p=p（q）。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)需求函數(shù)與供應(yīng)函數(shù)當(dāng)價格函數(shù)形如p=a-bq的形式時，它反映了價格p隨著銷售量q的變化而變化，如圖1-2（a）所示。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)需求函數(shù)與供應(yīng)函數(shù)稱為需求函數(shù)，它的圖像是一條向下傾斜的直線，如圖1-2（b）所示。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)需求函數(shù)是從市場消費者的角度來考慮的，說明消費者愿意以不同的價格購買某種商品的數(shù)量。如果從市場的角度考慮，當(dāng)商品的數(shù)量供不應(yīng)求時，商品的價格自然提高，當(dāng)商品的數(shù)量供過于求時，商品的價格會下降。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)一般地，供給函數(shù)如q=m+n·p的形式（其中m>0，n>0），它的圖像是一條向上的直線，如圖1-3（a）所示。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)當(dāng)市場的商品需求量與商品的供給量平衡時，商品的價格就是需求函數(shù)的圖像與供給函數(shù)的圖像的交點E（稱為平衡點）的橫坐標(biāo)，如圖1-3（b）所示。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)利潤函數(shù)盈虧平衡點的經(jīng)濟(jì)意義，可通過圖1-4來說明。為了減少庫存費，可以考慮分批購進(jìn)。這要從庫存費用和進(jìn)貨手續(xù)費用兩個方面來考慮。庫存函數(shù)某工廠一年的生產(chǎn)中，需要一定數(shù)量的某種原材料，若一次把全年的需要量全部購進(jìn)，貯于倉庫中供全年使用，則由于庫存量大而需要多付庫存費。如果分批購進(jìn)，則每批的購進(jìn)量（稱為批量）為多少，或購進(jìn)次數(shù)（或稱批次）為多少才最合算？經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)若批量過大，則庫存費用過多；若批量過少，則進(jìn)貨次數(shù)過多，從而進(jìn)貨手續(xù)費過多。因此要尋求一恰當(dāng)?shù)呐?，使庫存費和進(jìn)貨手續(xù)費之和最小，這樣的批量我們稱之為經(jīng)濟(jì)批量。03函數(shù)的極限函數(shù)的極限當(dāng)x→∞時函數(shù)的極限y=1/x（如圖1-6所示）的變化情況。如果當(dāng)x→+∞時，函數(shù)y=f（x）的函數(shù)值無限趨近于一個常數(shù)A，就說當(dāng)x趨向于正無窮大時，函數(shù)y=f（x）的極限是A。如果當(dāng)|x|→∞時，函數(shù)y=f（x）的函數(shù)值無限趨近于一個常數(shù)A，就說當(dāng)x趨向于無窮大時，函數(shù)y=f（x）的極限是A。如果當(dāng)x→-∞時，如果函數(shù)y=f（x）的函數(shù)值無限趨近于一個常數(shù)A，就說當(dāng)x趨向于負(fù)無窮大時，函數(shù)y=f（x）的極限是A。函數(shù)的極限函數(shù)的極限由圖1-7我們可以看到，當(dāng)x無限趨近于1時，相應(yīng)函數(shù)值無限趨近2，因此我們稱，x→1時，函數(shù)y=f（x）以2為極限。當(dāng)x→x0時，函數(shù)f（x）以A為極限的充分必要條件是f（x）在x0處的左、右極限存在且都等于A。左、右極限定理重點用于討論分段函數(shù)在分段點的極限問題。函數(shù)的極限04無窮小量與無窮大量無窮小量及其性質(zhì)無窮小量是一種特殊的函數(shù)；在某個變化過程中，它的極限是零。在自變量x的某個變化過程中，若函數(shù)f（x）的極限為零，則稱函數(shù)f（x）在該變化過程中為無窮小量，簡稱無窮小，即limf（x）=0。無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量如果說一個函數(shù)f（x）是無窮小，必須指明自變量x的變化趨勢。如f（x）=x-2，當(dāng)x→2時，是無窮小，而當(dāng)x趨近于其他數(shù)值時，因為極限不為0，所以就不是無窮小。無窮小量是變量，不要把一個絕對值很小的常數(shù)（0除外）說成無窮小，因為一個非零常數(shù)的極限是它本身，并不是零，更不要把絕對值很大的負(fù)數(shù)說成無窮小。有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；有界函數(shù)與無窮小量的乘積仍是無窮小。在自變量的同一變化過程中，無窮小具有下列性質(zhì)：有限個無窮小量的乘積仍是無窮小量；無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量無窮大量如果在自變量x的某種趨向下，函數(shù)f（x）的絕對值無限增大，那么函數(shù)f（x）就叫做在自變量的這種趨向下的無窮大量，簡稱無窮大。根據(jù)極限的定義，如果f（x）是當(dāng)x→x0（或x→∞）時的無窮大，那么它的極限是不存在的。注意：02無窮大量是變量，切不可把絕對值很大的一個常數(shù)說成是無窮大量。01說一個函數(shù)f（x）是無窮大，必須指明自變量x的變化趨向；無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量與無窮大量在自變量的同一變化過程中，如果f（x）為無窮大量，則1/f（x）是無窮小量；反之，如果f（x）是無窮小量，且f（x）≠0，則1/f（x）為無窮大量。無窮小量與無窮大量無窮小量的比較：兩個無窮小量的和、差、積仍是無窮小量，但它們的商情況就不同了?？梢妰蓚€無窮小量的商，可以是無窮小量，可以是常數(shù)，也可以是無窮大量。這是因為無窮小量在趨向于零的過程中快慢不同。為了比較無窮小量，在這引入無窮小量階的概念。若limα/β=0，則稱α是比β高階的無窮小量，記為α=o（β），也稱β是比α低階的無窮小量；若limα/β=C（C是不為零的常數(shù)），則稱α與β是同階無窮小量，若C=1，則稱α與β是等階無窮小量。無窮小量與無窮大量05極限的運算極限的四則運算法則極限的運算010302以上法則雖然是以x→x0方式給出，但對任何其他方式。定理結(jié)論成立的前提是函數(shù)f（x）與g（x）的極限必須存在，否則將導(dǎo)出錯誤結(jié)論。除法法則中分母的極限必須不為零，否則結(jié)論不成立。極限的運算極限的運算兩個重要極限在極限求解方法中，有兩個重要的極限不可忽視，它們分別代表一類極限題型的求解，而且在應(yīng)用過程中充滿了趣味與艱辛。如果函數(shù)f（x），g（x），h（x）在同一變化過程中滿足g（x）≤f（x）≤h（x），且limg（x）=limh（x）=A，那么limf（x）存在且等于A。06極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用復(fù)利問題設(shè)本金為P，月利率為i，如果以一個月為一個復(fù)利結(jié)算周期，那么一年后的本利和F（本金與利息之和）為F=P（1+i）1×12。若每天結(jié)算一次，利率變?yōu)閕/30，一個月（按30天算）就結(jié)算30次，一年結(jié)算30×12次。極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用通常稱n年末的本利和F為本金P的終值，而本金P稱為現(xiàn)值。已知現(xiàn)值P，確定終值F，這種情況為復(fù)利問題。在日常生活中的各種現(xiàn)象，如人口的增長，細(xì)胞的繁殖，樹木的生長等，都可以歸結(jié)為上述數(shù)學(xué)模型。極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用貼現(xiàn)問題已知現(xiàn)值，確定終值的問題是復(fù)利問題；與之相反，已知終值問題，求現(xiàn)值問題，這種情況我們稱之為貼現(xiàn)問題，這時的利率i稱為貼現(xiàn)率。由復(fù)利公式可得貼現(xiàn)公式：已知n年末的終值F，利率i，求現(xiàn)值P。07數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事阿基米德——數(shù)學(xué)之神數(shù)學(xué)家的故事阿基米德（公元前287—212），是古希臘物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、靜力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，被后世尊稱為“數(shù)學(xué)之神”。在人類有史以來最重要的三位數(shù)學(xué)家中，阿基米德占首位，另兩位分別是牛頓和高斯。阿基米德研究出螺旋形曲線的性質(zhì)，現(xiàn)今的“阿基米德螺線”曲線，就是因為紀(jì)念他而命名的。阿基米德的幾何著作是希臘數(shù)學(xué)的頂峰。他把歐幾里得嚴(yán)格的推理方法與柏拉圖鮮艷的豐富想象和諧地結(jié)合在一起，達(dá)到了至善至美的境界，從而使得往后由開普勒、卡瓦列利、費馬、牛頓、萊布尼茨等人繼續(xù)培育起來的微積分日趨完美。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事阿基米德在他的著作《論杠桿》（可惜失傳）中詳細(xì)地論述了杠桿的原理。有一次敘拉古國王對杠桿的威力表示懷疑，他要求阿基米德移動載滿重物和乘客的一艘新三桅船。阿基米德叫100多人在大船前面，抓住一根繩子，他讓國王牽動一根繩子，大船居然慢慢地滑到海中。群眾歡呼雀躍，國王也高興異常，當(dāng)眾宣布：“從現(xiàn)在起，我要求大家，無論阿基米德說什么，都要相信他!”數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事阿基米德還曾利用拋物鏡面的聚光作用，把集中的陽光照射到入侵?jǐn)⒗诺牧_馬船只，讓它們自己燃燒起來。羅馬的許多船只都被燒毀了，但羅馬人卻找不到失火的原因。數(shù)學(xué)家的故事900多年后，有位科學(xué)家按史書介紹的阿基米德的方法制造了一面凹面鏡，成功地點著了距離鏡子45米遠(yuǎn)的木頭，而且燒化了距離鏡子42米遠(yuǎn)的鋁質(zhì)材料。所以，許多科技史家通常都把阿基米德看成是人類利用太陽能的始祖。身處西西里島的敘拉古一直都投靠羅馬，但是公元前216年迦太基大敗羅馬軍隊。阿基米德眼見國土危急，護(hù)國的責(zé)任感促使他奮起抗敵，于是他絞盡腦汁，夜以繼日地發(fā)明御敵武器。公元前三世紀(jì)末正是羅馬帝國與北非迦太基帝國，為了爭奪西西里島的霸權(quán)而開戰(zhàn)的時期。敘拉古的新國王，立即見風(fēng)轉(zhuǎn)舵與迦太基結(jié)盟，羅馬帝國于是派馬塞拉斯將軍領(lǐng)軍從海路和陸路同時進(jìn)攻敘拉古。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事祖沖之——中國古代偉大的數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家的故事祖沖之（公元429—500），是我國杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、文學(xué)家、地質(zhì)學(xué)家、地理學(xué)家和科學(xué)家。祖沖之的原籍是范陽郡遒縣（今河北易縣）。在西晉末年，祖家由于故鄉(xiāng)遭到戰(zhàn)爭的破壞，遷到江南居住。宋朝末年，祖沖之回到建康（今南京），擔(dān)任謁者仆射的官職。從這時起，直到齊朝初年，他花了較大的精力來研究機(jī)械制造，重造指南車，發(fā)明千里船、水碓磨等，做出了出色的貢獻(xiàn)。在數(shù)學(xué)方面的成就，祖沖之推算出圓周率π的不足近似值（朒數(shù)）3.1415926和過剩近似值（盈數(shù)）3.1415927，指出π的真值在盈、朒兩限之間。數(shù)學(xué)家的故事當(dāng)祖沖之晚年的時候，齊朝統(tǒng)治集團(tuán)發(fā)生了內(nèi)亂，政治腐敗黑暗，人民生活非常痛苦。在公元494年到498年之間，他擔(dān)任長水校尉的官職。從公元494年到500年間，江南一帶又陷入戰(zhàn)火。對于這種內(nèi)憂外患重重逼迫的政治局面，祖沖之非常關(guān)心。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事當(dāng)時他寫了一篇《安邊論》，建議政府開墾荒地，發(fā)展農(nóng)業(yè)，增強國力，安定民生，鞏固國防。齊明帝看到了這篇文章，打算派祖沖之巡行四方，興辦一些有利于國計民生的事業(yè)。數(shù)學(xué)家的故事但是由于連年戰(zhàn)爭，他的建議始終沒能實現(xiàn)。過不多久，這位卓越的大科學(xué)家活到七十二歲，就在公元500年的時候去世了。祖沖之在推算過程中提出了“冪勢既同，則積不容異”（二立體等高處截面積恒相等，則二立體體積相等）原理。這個原理，直到17世紀(jì)才為意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利（1598—1647）重新提出，而被稱為卡瓦列利原理，中國現(xiàn)在一般稱為祖暅公理。據(jù)《隋書·律歷志》記載，祖沖之對于二次方程和三次方程也有所研究。數(shù)學(xué)家的故事所著《綴術(shù)》一書，是著名的《算經(jīng)十書》之一，曾被唐代國子監(jiān)和朝鮮、日本用做算學(xué)課本，可惜已失傳。他最早把歲差引進(jìn)歷法，提高了歷法精確性，這是中國歷法史上的重大進(jìn)步。在天文歷法方面，祖沖之在長期觀測、精確計算和對歷史文獻(xiàn)深入研究的基礎(chǔ)上，創(chuàng)制了《大明歷》。數(shù)學(xué)家的故事感謝觀看導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用第二章經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課規(guī)劃教材01導(dǎo)數(shù)的概念兩個實例已知變速直線運動物體的路程s是時間t的函數(shù)s=s（t），求該物體在時刻t0的瞬時速度v（t0）。對于變速直線運動，若從t0到t0+Δt這一時間間隔Δt內(nèi)物體運動的路程為Δs=s（t0+Δt）-s（t0）。導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念也就是說，變速直線運動物體的瞬時速度就是當(dāng)時間增量趨于零時，路程函數(shù)的增量與時間的增量之比的極限。已知一平面曲線L的方程為y=f（x），P（x0，y0）為該曲線L上的一點，求曲線在該點處的切線斜率。導(dǎo)數(shù)的概念圖2-1，實例2。導(dǎo)數(shù)的概念上述兩個實例，盡管實際意義不同，但解決它們的數(shù)學(xué)方法是相同的，都可以歸結(jié)為函數(shù)改變量與自變量之比，當(dāng)自變量改變量趨于零時的極限。在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，還有許多問題最終都可以歸結(jié)為討論此類數(shù)學(xué)模型的極限，數(shù)學(xué)上這種特定的極限叫做函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量Δx（Δx≠0）。稱函數(shù)y=f（x）在點x0處可導(dǎo)，并稱該極限值為函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)。若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上每一點都可導(dǎo)，則稱y=f（x）在區(qū)間I上可導(dǎo)。此時對每一個x∈I，都對應(yīng)有y=f（x）的一個確定的導(dǎo)數(shù)f′（x），這樣的對應(yīng)就構(gòu)成了一個新的函數(shù)，稱f′（x）為y=f（x）在I上的導(dǎo)函數(shù)，也簡稱為導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的概念01基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計算函數(shù)的增量Δy；03求極限02計算函數(shù)增量與自變量增量的比值Δy/Δx；導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念前面利用導(dǎo)數(shù)的定義推導(dǎo)出了幾個基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式。其他基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式我們不再一一推導(dǎo)，但它們是完成函數(shù)求導(dǎo)工作的基本工具。導(dǎo)數(shù)的幾何意義由前面討論知，函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）在幾何上就是曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））的切線斜率。如果曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））的導(dǎo)數(shù)存在，則曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））的切線方程是y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）。導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念由解析幾何知道，過切點（x0，f（x0））且與切線垂直的直線稱為曲線y=f（x）在該點的法線。在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，還有許多問題最終都可以歸結(jié)為討論此類數(shù)學(xué)模型的極限，數(shù)學(xué)上這種特定的極限叫做函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的概念【例2.5】求曲線y=√x在點P（1，1）處的切線方程與法線方程。函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系導(dǎo)數(shù)的概念如果函數(shù)y=f（x）在點x0處可導(dǎo)，則函數(shù)y=f（x）在點x0處必連續(xù)。然而，該定理的逆命題卻不一定成立，即一個函數(shù)在某點處連續(xù)，但是在該點處不一定可導(dǎo)。02導(dǎo)數(shù)的運算法則導(dǎo)數(shù)的運算法則前面一節(jié)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出了部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但對于一般的函數(shù)而言，利用定義方法求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)往往很困難。本節(jié)將給出函數(shù)的求導(dǎo)法則，借助這些法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，就能方便地求出常見初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的運算法則導(dǎo)數(shù)的四則運算法則如果函數(shù)u=u（x），v=v（x）都在點x處具有導(dǎo)數(shù)，則它們的和、差、積、商都在點x處具有導(dǎo)數(shù)。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對于復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能否直接利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)呢？求函數(shù)y=sin2x的導(dǎo)數(shù)，能否直接利用（sinx）′=cosx，得到（sin2x）′=cos2x？導(dǎo)數(shù)的運算法則導(dǎo)數(shù)的運算法則也就是說，若y是x的復(fù)合函數(shù)，u是中間變量，那么y對x的導(dǎo)數(shù)等于y先對u的導(dǎo)數(shù)，再乘以u對x的導(dǎo)數(shù)，稱此法則為復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可以推廣到有限次復(fù)合情形。隱函數(shù)的求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)的運算法則如果變量x、y之間的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系由一個含x、y的二元方程F（x，y）=0所確定（y沒有解出）。此時x、y的函數(shù)關(guān)系隱含在方程中，稱這種由二元方程所確定的函數(shù)為y對x為隱函數(shù)。導(dǎo)數(shù)的運算法則相應(yīng)地，稱由y=f（x）表示的函數(shù)為顯函數(shù)。把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的過程叫做隱函數(shù)的顯化。有些隱函數(shù)，如方程y3+2siny-x=0所確定的函數(shù)，y難以解出。由上例可以得到隱函數(shù)求導(dǎo)步驟是：02從一次方程中解出y′即為所求的隱函數(shù)y對x的導(dǎo)數(shù)。01將方程F（x，y）=0兩端對x求導(dǎo)（其中視y為x的函數(shù)），得到一個關(guān)于y′的一次方程；導(dǎo)數(shù)的運算法則高階導(dǎo)數(shù)由物理學(xué)知識可知，作變速直線運動物體的速度v（t）是路程函數(shù)s=s（t）對時間t的導(dǎo)數(shù)。即v（t）=s′（t），若速度仍然是時間t的函數(shù)，則它對時間t的導(dǎo)數(shù)是物體的加速度，即a=v′（t）=[s′（t）]′，于是，加速度是路程函數(shù)s=s（t）對時間t的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為二階導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的運算法則導(dǎo)數(shù)的運算法則相應(yīng)地，把y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）叫做函數(shù)y=f（x）的一階導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，直到求出對應(yīng)階為止。03函數(shù)的微分微分的概念函數(shù)的微分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)相對于自變量變化的快慢程度，它是函數(shù)在點x處的變化率。但在實際問題中，當(dāng)自變量在某一點處取得一個微小改變量Δx時，如何有效計算出函數(shù)改變量的值呢？因此我們要引入微分的概念。函數(shù)的微分先來研究一個實際問題。一塊正方形金屬薄片受溫度變化影響，其邊長由x0變到x0+Δx，問此薄片的面積改變了多少？如果邊長改變很微小，面積的改變量ΔA可以近似地由2x0Δx代替，而且Δx越趨于0，近似程度越好。基本初等函數(shù)的微分公式由函數(shù)微分的定義dy=f′（x）dx可知，要求函數(shù)y=f（x）的微分。只要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），再乘以dx即可。因此，由求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則可以得到基本初等函數(shù)的微分公式和微分法則。函數(shù)的微分函數(shù)的微分導(dǎo)數(shù)公式：函數(shù)的微分微分公式：函數(shù)的微分微分的運算法則函數(shù)和、差、積、商的微分運算法則。函數(shù)的微分由此可知，無論u是自變量還是中間變量，微分形式dy=f′（u）du保持不變。這一性質(zhì)稱為一階微分形式不變性。利用微分形式不變性，可簡化有關(guān)微分運算。函數(shù)的微分于是，當(dāng)|x|是較小的數(shù)值時，可以推得以下幾個常見的近似公式：04導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用邊際函數(shù)在經(jīng)濟(jì)管理中，常常用邊際這個概念來描述一個經(jīng)濟(jì)量y對于另一個經(jīng)濟(jì)量x的變化問題。一個經(jīng)濟(jì)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）稱為該函數(shù)的邊際函數(shù)。導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用邊際函數(shù)值f′（x0）在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的解釋是：經(jīng)濟(jì)函數(shù)f（x）在點x0處，當(dāng)自變量x再增加（或減少）1個單位量時，經(jīng)濟(jì)函數(shù)f（x）增加（或減少）量為f′（x0）。常見的邊際函數(shù)有邊際成本、邊際收益和邊際利潤等。導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用它表示當(dāng)產(chǎn)量為1000件時，再增加（或減少）1件單位產(chǎn)品，總成本增加（或減少）2個單位，即總成本的變化率為2（單位成本/單位產(chǎn)量）。它表明當(dāng)銷量為20件時，再增加（或減少）1件單位產(chǎn)品，總利潤增加（或減少）12個單位，即總收益的變化率為12（單位收益/單位銷量）。導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用上面討論了邊際函數(shù)的問題，其實質(zhì)是函數(shù)的絕對改變量與自變量的比率問題，但在實踐活動中，僅僅研究函數(shù)的絕對變化率是不夠的，還需要研究函數(shù)的相對變化率。例如，單價分別為50元和500元兩種產(chǎn)品，它們同時漲價10元，顯然價格改變絕對量相同，但與原價相比，前者漲幅為20%，后者漲幅為2%，前者是后者的10倍。為了更準(zhǔn)確說明這類問題，下面引入彈性概念。彈性分析我們以需求函數(shù)的彈性來說明彈性的經(jīng)濟(jì)意義，設(shè)需求函數(shù)為Q=Q（P），按函數(shù)彈性的意義。由于上式是描述需求Q對價格P的相對變化率，通常稱上式為需求函數(shù)在點P的需求價格彈性，簡稱為需求彈性，記做EP。導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用05洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則【例2.28】洛必達(dá)法則【例2.29】洛必達(dá)法則【例2.30】洛必達(dá)法則【例2.31】洛必達(dá)法則【例2.33】洛必達(dá)法則【例2.34】06函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)單調(diào)性的判別方法函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，在中學(xué)階段我們利用函數(shù)定義的方法來判別函數(shù)的單調(diào)性。但對于較復(fù)雜的函數(shù)往往是很困難的，下面介紹利用導(dǎo)數(shù)的符號來判別函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性與極值一個函數(shù)y=f（x）在區(qū)間上單調(diào)增加（或單調(diào)減少），其在直角坐標(biāo)系中對應(yīng)的圖像是隨著x值的增大曲線逐漸上升（或下降），對應(yīng)切線的斜率為正（或負(fù)），如圖2-2所示。函數(shù)的單調(diào)性與極值導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間上單調(diào)增大，則y=f（x）在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形是一條上升的曲線。曲線上各點的切線與x軸正向的夾角為銳角，所以其斜率為正，對應(yīng)導(dǎo)數(shù)f′（x）>0。函數(shù)的單調(diào)性與極值若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間上單調(diào)減小，則y=f（x）在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形是一條下降的曲線，曲線上各點的切線與x軸正向的夾角為鈍角，所以其斜率為負(fù)，對應(yīng)導(dǎo)數(shù)f′（x）<0。由此可見，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的符號有著密切聯(lián)系，因此可以通過判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號來判定函數(shù)的增減性。函數(shù)的單調(diào)性與極值【例2.35】函數(shù)的單調(diào)性與極值【例2.36】函數(shù)的極值函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點。極大值和極小值是函數(shù)在一點x0附近的局部性質(zhì)，函數(shù)的極大值不一定大于極小值，函數(shù)的極值必定在區(qū)間內(nèi)部取得，在區(qū)間端點處不能取得極值。函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性與極值如圖2-3所示，函數(shù)的極值通常是在曲線的升降轉(zhuǎn)折處取得，在點x2、x5處取得極大值，在點x1、x4、x6處取得極小值，它們對應(yīng)的切線是水平方向，對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值等于零。函數(shù)的單調(diào)性與極值【例2.38】函數(shù)的單調(diào)性與極值【例2.39】函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的單調(diào)性與極值設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，b]上一定有最大值和最小值。這個最大值或最小值只能在區(qū)間內(nèi)部或區(qū)間端點處取得。如果最大值或最小值在區(qū)間內(nèi)的某一點x0取得。函數(shù)的單調(diào)性與極值那么這個最大值或最小值f（x0）必定是函數(shù)f（x）的一個極大值或極小值，點x0必定為函數(shù)f（x）的穩(wěn)定點。因此，求出f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)全部的穩(wěn)定點和不可導(dǎo)點處對應(yīng)的函數(shù)值。07曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點利用函數(shù)的單調(diào)性和極值，可以知道函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的大概情況，但還不能全面地描述函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的形態(tài)特征。因此，研究函數(shù)圖像時還要考察它的彎曲方向。曲線的凹凸性與拐點它們在第一象限內(nèi)都是上升的曲線，但是它們的彎曲情況卻不同，如圖2-4所示。曲線的凹凸性與拐點導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間上單調(diào)增大，則y=f（x）在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形是一條上升的曲線。曲線上各點的切線與x軸正向的夾角為銳角，所以其斜率為正，對應(yīng)導(dǎo)數(shù)f′（x）>0。曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點定義如果曲線弧上任意一點處的切線總是位于該曲線弧的上方，則稱此曲線弧是凸的，稱區(qū)間（a，b）為該曲線的凸區(qū)間，如圖2-5所示。如果函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)曲線弧是凹的時候，其切線的斜率是逐漸增加的，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單調(diào)增加的。當(dāng)曲線弧是凸的時候，其切線的斜率是逐漸減少的，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單調(diào)減小的，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的判別方法，則可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號來判斷曲線弧的凹凸性。曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點曲線凹凸性的判別及拐點的求法【例2.44】08極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用前面我們討論了極值和最值的求法，在實際問題中，如果所討論的函數(shù)在所給定區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，而實際應(yīng)用問題中又有最值存在。那么最值就在此極值點處取得，如“利潤最大”、“成本最低”、“用料最省”、“效率最優(yōu)”等問題，在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為求某一函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的最大值與最小值問題。極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用最大利潤問題【例2.46】極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用【例2.47】極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用最小平均成本問題【例2.48】極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用用料最省問題【例2.49】09數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事牛頓——牛人數(shù)學(xué)家艾薩克·牛頓（IsaacNewton，1643—1727）是英國偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家。其研究領(lǐng)域包括了物理學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)、神學(xué)、自然哲學(xué)和煉金術(shù)。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事牛頓的主要貢獻(xiàn)有發(fā)明了微積分，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律和經(jīng)典力學(xué)，設(shè)計并實際制造了第一架反射式望遠(yuǎn)鏡等，被譽為人類歷史上最偉大、最有影響力的科學(xué)家。為了紀(jì)念牛頓在經(jīng)典力學(xué)方面的杰出成就，“牛頓”后來成為衡量力的大小的物理單位。數(shù)學(xué)家的故事牛頓于1643年1月4日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村。1661年入學(xué)英國劍橋大學(xué)圣三一學(xué)院，1665年獲文學(xué)士學(xué)位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避鼠疫，他在此間制定了一生大多數(shù)重要科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖。1669年任劍橋大學(xué)盧卡斯數(shù)學(xué)教授席位直到1701年。1703年任英國皇家學(xué)會會長。1706年受英國女王安娜封爵等。1667年牛頓回劍橋后當(dāng)選為劍橋大學(xué)三一學(xué)院院委，次年獲碩士學(xué)位。1696年任皇家造幣廠監(jiān)督，并移居倫敦。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事李善蘭——微積分在中國最早的傳播人數(shù)學(xué)家的故事李善蘭（1811—1882），字壬叔，號秋紉，浙江海寧人，出生在一個書香門第家庭，少年時代便喜歡數(shù)學(xué)。李善蘭是中國清朝數(shù)學(xué)家、天文學(xué)、力學(xué)和植物學(xué)家。數(shù)學(xué)家的故事創(chuàng)立了二次平方根的冪級數(shù)展開式，各種三角函數(shù)，反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式，這是李善蘭也是19世紀(jì)中國數(shù)學(xué)界最重大的成就。李善蘭于清嘉慶十五年（1810年）1月2日生于浙江海寧縣硤石鎮(zhèn)，出身于讀書世家，自幼就讀于私塾，受到了良好的家庭教育。他資稟穎異，勤奮好學(xué)，于所讀之詩書，過目即能成誦。9歲時，李善蘭發(fā)現(xiàn)父親的書架上有一本中國古代數(shù)學(xué)名著——《九章算術(shù)》，感到十分新奇有趣，從此迷上了數(shù)學(xué)。李善蘭在《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上，又吸取了《幾何原本》的新思想，這使他的數(shù)學(xué)造詣日趨精深。數(shù)學(xué)家的故事余楙在《白岳詩話》中說他“夜嘗露坐山頂，以測象緯躊次”。1840年，鴉片戰(zhàn)爭爆發(fā)，帝國主義列強入侵中國的現(xiàn)實，激發(fā)了李善蘭科學(xué)救國的思想。至今李善蘭的家鄉(xiāng)還流傳著他在新婚之夜探頭于閣樓窗外觀測星宿的故事。數(shù)學(xué)家的故事感謝觀看不定積分與定積分第三章經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課規(guī)劃教材01不定積分原函數(shù)與不定積分的概念一般地，若有F′（x）=f（x），就有（F（x）+C）′=f（x），若F（x）是f（x）的一個原函數(shù)，則F（x）+C是f（x）的全部原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)。若函數(shù)F（x）是f（x）在區(qū)間I上一個的原函數(shù)，則F（x）+C（C為任意常數(shù)）稱為f（x）在該區(qū)間上的不定積分，記∫f（x）dx。不定積分不定積分【例3.1】不定積分的性質(zhì)不定積分不定積分的幾何意義：F（x）+C是f（x）的所有原函數(shù)，原函數(shù)之間的關(guān)系可在幾何上表示，把曲線y=F（x）通過上下平移。每條積分曲線在相應(yīng)點的切線斜率相等，都等于f（x），從而使相應(yīng)點的切線互相平行。這就是不定積分的幾何意義。不定積分曲線y=F（x）+C的圖像，如圖3-1所示。不定積分不定積分的性質(zhì)。不定積分求導(dǎo)數(shù)基本公式的逆過程，就是求不定積分的基本公式，因而由導(dǎo)數(shù)基本公式可得出相應(yīng)的公式，見表3-1。不定積分求導(dǎo)數(shù)基本公式的逆過程，就是求不定積分的基本公式，因而由導(dǎo)數(shù)基本公式可得出相應(yīng)的公式，見表3-1。不定積分【例3.2】不定積分【例3.3】不定積分【例3.4】02不定積分的換元積分法與分部積分法不定積分的換元積分法與分部積分法換元積分法【例3.5】不定積分的換元積分法與分部積分法常用的湊微分的公式見表3-2。不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.7】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.8】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.9】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.10】不定積分的換元積分法與分部積分法分部積分法【例3.11】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.12】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.13】不定積分的換元積分法與分部積分法【例3.14】03定積分定積分設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上是非負(fù)連續(xù)函數(shù)，由曲線y=f（x），直線x=a，x=b以及x軸所圍成的平面圖形，稱為曲邊梯形，其中曲線y=f（x）為曲邊，如圖3-2所示。定積分定積分的概念與性質(zhì)定積分的幾何意義，如圖3-3所示。定積分性質(zhì)6該性質(zhì)的幾何意義如圖3-4所示。定積分性質(zhì)7

該性質(zhì)的幾何意義如圖3-5所示。定積分定積分的計算【例3.16】定積分【例3.17】定積分【例3.19】04定積分的應(yīng)用定積分不僅能分析和解決曲邊梯形面積的問題，而且在經(jīng)濟(jì)方面也有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)首先闡述定積分的微元法，然后舉例說明定積分在幾何、經(jīng)濟(jì)上的一些簡單應(yīng)用。定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用【例3.24】定積分的應(yīng)用【例3.25】定積分的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用【例3.26】定積分的應(yīng)用無窮區(qū)間的廣義積分【例3.27】定積分的應(yīng)用【例3.29】05數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事高斯———數(shù)學(xué)王子卡爾·弗里德里?！じ咚梗↗ohannCarlFriedrichGauss）（1777—1855），生于不倫瑞克，卒于哥廷根，德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家。高斯被認(rèn)為是最重要的數(shù)學(xué)家，有數(shù)學(xué)王子的美譽，并被譽為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事高斯1777年4月30日生于不倫瑞克的一個工匠家庭。高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債賬目的事情，已經(jīng)成為一個軼事流傳至今。他曾說，他在麥仙翁堆上學(xué)會計算。數(shù)學(xué)家的故事能夠在頭腦中進(jìn)行復(fù)雜的計算，是上帝賜予他一生的天賦。父親格爾恰爾德·迪德里赫對高斯要求極為嚴(yán)厲，甚至有些過分。高斯尊重他的父親，并且秉承了其父誠實、謹(jǐn)慎的性格。高斯一生下來，就對一切現(xiàn)象和事物十分好奇，而且決心弄個水落石出，這已經(jīng)超出了一個孩子能被許可的范圍。在成長過程中，幼年的高斯主要得力于母親和舅舅：高斯的母親羅捷雅、舅舅弗利德里希。高斯很幸運地有一位鼎力支持他成才的母親。當(dāng)丈夫為此訓(xùn)斥孩子時，她總是支持高斯，堅決反對頑固的丈夫想把兒子變得跟他一樣無知。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事弗利德里希富有智慧，為人熱情而又聰明能干，投身于紡織貿(mào)易頗有成就。他發(fā)現(xiàn)姐姐的兒子聰明伶俐，因此他就把一部分精力花在這位小天才身上，用生動活潑的方式開發(fā)高斯的智力。數(shù)學(xué)家的故事高斯7歲那年開始上學(xué)。10歲的時候，他進(jìn)入了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的班級，這是一個首次創(chuàng)辦的班，孩子們在這之前都沒有聽說過算術(shù)這么一門課程。數(shù)學(xué)教師是布特納，他對高斯的成長也起了一定作用。一天，老師布置了一道題，1+2+3+…，即從1一直加到100等于多少。高斯很快就算出了答案，起初高斯的老師布特納并不相信高斯算出了正確答案：“你一定是算錯了，回去再算算。高斯說出答案就是5050。高斯是這樣算的：1+100=101，2+99=101…1加到100有50組這樣的數(shù)，所以50×101=5050。數(shù)學(xué)家的故事布特納對他刮目相看。他特意從漢堡買了最好的算術(shù)書送給高斯，說：“你已經(jīng)超過了我，我沒有什么東西可以教你了?！?788年，11歲的高斯進(jìn)入了文科學(xué)校，他在新的學(xué)校里，所有的功課都極好，特別是古典文學(xué)、數(shù)學(xué)尤為突出。接著，高斯與布特納的助手巴特爾斯建立了真誠的友誼，直到巴特爾斯逝世。他們一起學(xué)習(xí)，互相幫助，高斯由此開始了真正的數(shù)學(xué)研究。數(shù)學(xué)家的故事他的教師們和慈母把他推薦給伯倫瑞克公爵，希望公爵能資助這位聰明的孩子上學(xué)。布倫茲維克公爵卡爾·威廉·斐迪南召見了14歲的高斯。這位樸實、聰明但家境貧寒的孩子贏得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意做高斯的資助人，讓他繼續(xù)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事1792年高斯進(jìn)入布倫茲維克的卡羅琳學(xué)院繼續(xù)學(xué)習(xí)。1795年，公爵又為他支付各種費用，送他入德國著名的哥廷根大學(xué)。這樣就使得高斯得以按照自己的理想，勤奮地學(xué)習(xí)和開始進(jìn)行創(chuàng)造性的研究。數(shù)學(xué)家的故事1796年高斯19歲，他發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，解決了自歐幾里得以來懸而未決的一個難題。同年，他發(fā)表并證明了二次互反律。這是他的得意杰作，一生曾用八種方法證明，稱之為“黃金律”。雖然他的博士論文順利通過了，被授予博士學(xué)位，同時獲得了講師職位。公爵為高斯付諸了長篇博士論文的印刷費用，送給他一幢公寓，又為他印刷了《算術(shù)研究》，使該書得以在1801年問世；還負(fù)擔(dān)了高斯的所有生活費用。1799年，高斯完成了博士論文，獲黑爾姆施泰特大學(xué)的博士學(xué)位，回到家鄉(xiāng)布倫茲維克。但他沒有能成功地吸引學(xué)生，因此只能回老家，這時又是公爵伸手救援他。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事所有這一切，令高斯十分感動。他在博士論文和《算術(shù)研究》中，寫下了情真意切的獻(xiàn)詞：“獻(xiàn)給大公”，“你的仁慈，將我從所有煩惱中解放出來，使我能從事這種獨特的研究”。布倫茲維克公爵在高斯的成才過程中起了舉足輕重的作用。不僅如此，這種作用實際上反映了歐洲近代科學(xué)發(fā)展的一種模式，表明在科學(xué)研究社會化以前，私人的資助是科學(xué)發(fā)展的重要推動因素之一。數(shù)學(xué)家的故事高斯正處于私人資助科學(xué)研究與科學(xué)研究社會化的轉(zhuǎn)變時期。1806年，卡爾·威廉·斐迪南公爵在抵抗拿破侖統(tǒng)帥的法軍時不幸在耶拿戰(zhàn)役陣亡，這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕，長時間對法國人有一種深深的敵意。大公的去世給高斯帶來了經(jīng)濟(jì)上拮據(jù)，德國處于法軍奴役下的不幸，以及第一個妻子的逝世，這一切使得高斯有些心灰意冷。但他是位剛強的漢子，從不向他人透露自己的窘?jīng)r，也不讓朋友安慰自己的不幸。人們只是在19世紀(jì)整理他的未公布于眾的數(shù)學(xué)手稿時才得知他那時的心態(tài)。在一篇討論橢圓函數(shù)的手稿中，突然插入了一段細(xì)微的鉛筆字：“對我來說，死去也比這樣的生活更好受些?！睌?shù)學(xué)家的故事慷慨、仁慈的資助人去世了，因此高斯必須找一份合適的工作，以維持一家人的生計。彼得堡科學(xué)院不斷暗示他，自從1783年萊昂哈德·歐拉去世后，歐拉在彼得堡科學(xué)院的位置一直在等待著像高斯這樣的天才。由于高斯在天文學(xué)、數(shù)學(xué)方面的杰出工作，他的名聲從1802年起就已開始傳遍歐洲。數(shù)學(xué)家的故事公爵在世時堅決勸阻高斯去俄國，他甚至愿意給高斯增加薪金，為他建立天文臺。為了不使德國失去最偉大的天才，德國著名學(xué)者洪堡（B.A.VonHumboldt）聯(lián)合其他學(xué)者和政界人物，為高斯?fàn)幦〉搅讼碛刑貦?quán)的哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)和天文學(xué)教授，以及哥廷根天文臺臺長的職位。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事從這時起，除了一次到柏林去參加科學(xué)會議以外，他一直住在哥廷根。洪堡等人的努力，不僅使得高斯一家人有了舒適的生活環(huán)境，高斯本人可以充分發(fā)揮其天才，而且為哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的創(chuàng)立、德國成為世界科學(xué)中心和數(shù)學(xué)中心創(chuàng)造了條件。同時，這也標(biāo)志著科學(xué)研究社會化的一個良好開端。數(shù)學(xué)家的故事歐幾里得已經(jīng)指出，正三邊形、正四邊形、正五邊形、正十五邊形和邊數(shù)是上述邊數(shù)兩倍的正多邊形的幾何作圖是能夠用圓規(guī)和直尺實現(xiàn)的，但從那時起關(guān)于這個問題的研究沒有多大進(jìn)展。高斯在數(shù)論的基礎(chǔ)上提出了判斷一給定邊數(shù)的正多邊形是否可以幾何作圖的準(zhǔn)則。例如，用圓規(guī)和直尺可以作圓內(nèi)接正十七邊形。這樣的發(fā)現(xiàn)還是歐幾里得以后的第一個。高斯還將復(fù)數(shù)引進(jìn)了數(shù)論，開創(chuàng)了復(fù)整數(shù)算術(shù)理論，復(fù)整數(shù)在高斯以前只是直觀地被引進(jìn)。高斯是最早懷疑歐幾里得幾何學(xué)是自然界和思想中所固有的那些人之一。這些關(guān)于數(shù)論的工作對代數(shù)的現(xiàn)代算術(shù)理論（即代數(shù)方程的解法）做出了貢獻(xiàn)。1831年（發(fā)表于1832年）他給出了一個如何借助于x，y平面上的表示來發(fā)展精確的復(fù)數(shù)理論的詳盡說明。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事他模型中的一些基本思想被稱做公理，它們是透過純粹邏輯構(gòu)造整個系統(tǒng)的出發(fā)點。在這些公理中，平行線公理一開始就顯得很突出。按照這一公理，通過不在給定直線上的任何點只能作一條與該直線平行的線。數(shù)學(xué)家的故事不久就有人推測︰這一公理可從其他一些公理推導(dǎo)出來，因而可從公理系統(tǒng)中刪去。但是關(guān)于它的所有證明都有錯誤。高斯是最早認(rèn)識到可能存在一種不適用平行線公理的幾何學(xué)的人之一。他逐漸得出革命性的結(jié)論︰確實存在這樣的幾何學(xué)，其內(nèi)部相容并且沒有矛盾。但因為與同代人的觀點相背，他不敢發(fā)表。當(dāng)1830年前后匈牙利的波爾約和俄國的羅巴切夫斯基獨立地發(fā)表非歐幾何學(xué)時，高斯宣稱他大約在30年前就得到同樣的結(jié)論。高斯也沒有發(fā)表特殊復(fù)函數(shù)方面的研究成果，可能是因為沒有能從更一般的原理導(dǎo)出它們。數(shù)學(xué)家的故事1830年前后，極值（極大和極小）原理在高斯的物理問題和數(shù)學(xué)研究中開始占有重要地位，例如流體保持靜止的條件等問題。這一工作對于能量守恒原理的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。從1830年起高斯就與物理學(xué)家威廉·愛德華·韋伯密切合作。在探討毛細(xì)作用時，他提出了一個數(shù)學(xué)公式能將流體系統(tǒng)中一切粒子的相互作用、引力以及流體粒子和與它接觸的固體或流體粒子之間的相互作用都考慮在內(nèi)。數(shù)學(xué)家的故事由于對地磁學(xué)的共同興趣，他們一起建立了一個世界性的系統(tǒng)觀測網(wǎng)。他們在電磁學(xué)方面最重要的成果是電報的發(fā)展。因為他們的資金有限，所以試驗都是小規(guī)模的。高斯的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事他還把數(shù)學(xué)應(yīng)用于天文學(xué)、大地測量學(xué)和磁學(xué)的研究，發(fā)明了最小二乘法原理。高斯一生共發(fā)表155篇論文，他對待學(xué)問十分嚴(yán)謹(jǐn)，只是把他自己認(rèn)為是十分成熟的作品發(fā)表出來。高斯首先迷戀上的也是自然數(shù)。高斯在1808年談道：“任何一個花過一點功夫研習(xí)數(shù)論的人，必然會感受到一種特別的激情與狂熱?！睌?shù)學(xué)家的故事高斯把前人證明的缺失一一指出來，然后提出自己的見解，他一生中一共給出了四個不同的證明。高斯在1816年左右就得到非歐幾何的原理。他還深入研究復(fù)變函數(shù)，建立了一些基本概念發(fā)現(xiàn)了著名的柯西積分定理。在物理學(xué)方面，高斯最引人注目的成就是在1833年和物理學(xué)家韋伯發(fā)明了有線電報。除此以外，高斯在力學(xué)、測地學(xué)、水工學(xué)、電動學(xué)、磁學(xué)和光學(xué)等方面均有杰出的貢獻(xiàn)。他還發(fā)現(xiàn)橢圓函數(shù)的雙周期性，但這些工作在他生前都沒發(fā)表出來。這使高斯的聲望超出了學(xué)術(shù)圈而進(jìn)入公眾社會。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事高斯名言：淺薄的學(xué)識使人遠(yuǎn)離神，廣博的學(xué)識使人接近神。數(shù)學(xué)，科學(xué)的皇后；算術(shù)，數(shù)學(xué)的皇后。感謝觀看概率應(yīng)用基礎(chǔ)第四章經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課規(guī)劃教材01隨機(jī)事件和事件概率隨機(jī)事件和樣本空間隨機(jī)試驗與隨機(jī)事件：在現(xiàn)實生活中，一類現(xiàn)象是確定性的，即在一定的條件下，必然會出現(xiàn)某種確定結(jié)果。例如，水在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的條件下加熱到100℃，必然要沸騰，人們把這類現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象。隨機(jī)事件和事件概率隨機(jī)事件和事件概率另一類現(xiàn)象則是不確定性的，即在一定的條件下，可能會出現(xiàn)各種不同的結(jié)果。例如，拋擲一枚硬幣，當(dāng)硬幣落在地上時，可能是正面朝上，也可能反面朝上，在硬幣落地前人們不能預(yù)知究竟哪一面朝上，把這類現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)事件和事件概率偶然性和必然性對立統(tǒng)一，相互依賴、相互滲透，在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。其偶然性表現(xiàn)為每一次試驗前，不能準(zhǔn)確預(yù)言發(fā)生哪種結(jié)果；其必然性表現(xiàn)為在相同條件下，進(jìn)行大量重復(fù)試驗時，結(jié)果呈現(xiàn)出規(guī)律性。隨機(jī)事件和事件概率偶然性孕育著必然性，必然性通過無數(shù)的偶然性表現(xiàn)出來，把隨機(jī)現(xiàn)象的這種規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性。為了研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，把各科學(xué)試驗或?qū)δ骋皇挛锏挠^察統(tǒng)稱為試驗。試驗可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；每次試驗之前不能預(yù)知將來會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。每次試驗的所有可能結(jié)果都是明確可知的，并且不止一個；隨機(jī)事件和事件概率在每次試驗的結(jié)果中，如果某事件一定發(fā)生，則稱為必然事件。在試驗結(jié)果中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件，通常用字母A、B、C表示隨機(jī)事件。把試驗的結(jié)果中發(fā)生的現(xiàn)象稱為事件。相反，如果某事件一定不發(fā)生，則稱為不可能事件。隨機(jī)事件和事件概率樣本空間隨機(jī)事件和事件概率看這樣一個隨機(jī)試驗：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。由于骰子是一個均勻的正六面體，所以每次試驗可能出現(xiàn)的點數(shù)是1、2、3、4、5、6中的一個?！俺霈F(xiàn)的點數(shù)是4”是隨機(jī)事件；“出現(xiàn)的點數(shù)小于4”也是隨機(jī)事件，這兩種隨機(jī)事件顯然是不同的。在一次試驗中，不可能分解的事件叫基本事件。例如，上例中的A1、A2、A3、A4、A5、A6都是基本事件。隨機(jī)事件和事件概率隨機(jī)事件和事件概率由兩個或者兩個以上的基本事件組成的事件叫做復(fù)合事件。例如，上例中的事件B就是復(fù)合事件。隨機(jī)試驗中，所有基本事件組成的集合稱為樣本空間，記為Ω。隨機(jī)事件和事件概率由于必然事件在每次試驗中一定發(fā)生，所以必然事件是所有基本事件組合的集合，這樣必然事件就等于樣本空間，通常記做Ω。又因為在試驗的結(jié)果中任一事件發(fā)生時不可能事件都不發(fā)生，所以不可能事件是不包含任何基本事件的空集，通常記為?。包含關(guān)系：如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A。并的關(guān)系：兩個事件A和B中至少有一個發(fā)生所導(dǎo)致的新事件叫做事件A和B的并。相等關(guān)系：如果事件A包含事件B，且事件B包含事件A。隨機(jī)事件和事件概率010302交的關(guān)系：兩個事件A和B同時有一個發(fā)生所導(dǎo)致的新事件叫做事件A和B的交?；ゲ幌嗳菔录喝绻录嗀與B不可能同時發(fā)生，即AB=?，則稱A與B為互不相容（或互斥）。對立事件：如果兩個互不相容的事件A與B中必有一個發(fā)生，即AB=?且A+B=Ω。隨機(jī)事件和事件概率隨機(jī)事件和事件概率如果用平面上某個矩形區(qū)域表示樣本空間Ω，矩形區(qū)域內(nèi)的點表示樣本基本事件，矩形內(nèi)的一些封閉圖形表示隨機(jī)事件，則上述事件關(guān)系及運算可以用集合圖形直觀地表示出來，如圖4-1所示。隨機(jī)事件的概率概率的統(tǒng)計定義：在一次實驗中，一個隨機(jī)事件是否發(fā)生雖然不能事先確定。但是對于同一事件，在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)實驗，它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，它表明隨機(jī)實驗發(fā)生的可能性的大小是可以度量的。隨機(jī)事件和事件概率隨機(jī)事件和事件概率在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率m/n總是在某一確定的常數(shù)p附近擺動，具有穩(wěn)定性，把這個常數(shù)叫做事件A發(fā)生的概率，記做P（A），即有P（A）=p。由于數(shù)字p是大量重復(fù)試驗中通過統(tǒng)計顯示出來的，所以把這個定義稱為概率的統(tǒng)計定義。隨機(jī)事件和事件概率這就是說，頻率的穩(wěn)定性是概率的經(jīng)驗基礎(chǔ)，而頻率的穩(wěn)定值是隨機(jī)事件的概率。頻率是個試驗值，具有偶然性?？赡苋《鄠€不同的值，它近似地反映了事件可能性的大??；概率是個理論值，只能取唯一值，只有概率才精確地反映出事件可能性的大小。隨機(jī)事件和事件概率概率的古典定義及其計算雖然已經(jīng)建立了概率的統(tǒng)計定義，但要按定義來求得事件的概率是十分困難的。事實上，在某些特殊類型的隨機(jī)試驗中，并不需要進(jìn)行大量重復(fù)試驗，只要對試驗的基本事件加上一定的限制，概率的計算就較為容易，這種試驗就是下述的古典概型。如果隨機(jī)試驗具有如下特征：（1）樣本空間是由有限個基本事件組成的；（2）每一個基本事件在一次試驗中發(fā)生的可能性是相同的。則稱這類隨機(jī)試驗為古典概型。這個定義叫做概率的古典定義，它同樣具備概率統(tǒng)計定義的三個性質(zhì)。隨機(jī)事件和事件概率02概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性概率的加法運算設(shè)事件A、B互不相容，則P（A∪B）=P（A）+P（B）。兩個互不相容事件并的概率等于這兩個事件概率的和。這個結(jié)論可以推廣到有限個兩兩互不相容事件并的情況。概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性【例4.8】概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性【例4.8】任意事件概率的加法公式概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性任意事件概率的加法公式為P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）。P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）。概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性概率的乘法運算條件概率：在實際問題中，要考慮事件B的概率P（B），有時不僅依賴于所知的關(guān)于事件B的信息。而且另一事件A的發(fā)生也有可能影響到事件B的概率。對于這種情況，給出下面定義。概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性【例4.9】概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性【例4.10】概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性全概率公式【例4.11】概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性全概率公式【例4.11】概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性【例4.12】概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性【例4.12】事件的獨立性與伯努利概型概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性事件的獨立性：前面討論了在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率P（B|A）。一般來說，條件概率P（B|A）與概率P（B）是不相等的，然而在某些情況下，它們是相等的。這時概率乘法公式就有了簡明的形式：P（AB）=P（A）P（B）。那么在什么情況下條件概率P（B|A）與概率P（B）相等呢？如果對于任意兩個隨機(jī)事件A與B，事件A（或B）的發(fā)生不影響事件B（或A）發(fā)生的概率，即P（B|A）=P（B）或P（A|B）=P（A），那么事件A、B叫做相互獨立事件。概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性伯努利概型在實踐中，經(jīng)常會遇到只有兩種結(jié)果的隨機(jī)試驗。例如，在產(chǎn)品抽樣檢查中不是抽到正品，就是抽到次品；一個籃球運動員在一次投籃中不是投中就是不中，這種只有兩種結(jié)果的試驗稱為伯努利試驗。概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性有些隨機(jī)現(xiàn)象，可能不止兩種結(jié)果。例如，電子管的壽命可以是不小于零的任意數(shù)值，但是只要做這樣規(guī)定。把壽命大于2000h的電子管作為合格品，否則作為次品，則這類隨機(jī)現(xiàn)象也可以歸結(jié)為伯努利試驗。在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行n次伯努利試驗，在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率p和不發(fā)生的概率q都是不變的，則稱這種試驗為n次伯努利試驗（又稱n次獨立試驗）。概率的基本性質(zhì)與事件的獨立性03隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量的概念：從隨機(jī)事件及其概率中可以看到，隨機(jī)試驗的結(jié)果與數(shù)值發(fā)生關(guān)系，或者說，很多隨機(jī)事件都可以用數(shù)量進(jìn)行描述。如某一段時間內(nèi)電話用戶對電話站的呼喚次數(shù)；抽查產(chǎn)品質(zhì)量時出現(xiàn)的廢品個數(shù)；車床加工零件尺寸與規(guī)定尺寸的偏差；擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)等。隨機(jī)變量的概率分布隨機(jī)變量的概率分布這些事件結(jié)果都可以用數(shù)量標(biāo)志，為此引進(jìn)隨機(jī)變量的概念。如果隨機(jī)試驗的結(jié)果可用一個變量的取值（或范圍）來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的概率分布偶然性———在一次試驗前，不能預(yù)言變量取什么值；規(guī)律性———由于大量重復(fù)試驗呈現(xiàn)的統(tǒng)計規(guī)律性，即每個事件的概率又是確定的，所以對應(yīng)于隨機(jī)變量取某一數(shù)值或某一范圍的概率也是確定的。描述一個隨機(jī)變量，主要是兩個方面：一是隨機(jī)變量的取值范圍；二是隨機(jī)變量取一個（或一部分）值的概率。隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的分布如果隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出（有限個或無窮可列個），則稱這類隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。例如，n次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)、任取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)等都是離散型隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的概率分布一臺自動電梯的無故障運轉(zhuǎn)時間ξ是一個隨機(jī)變量，它可以?。?，+∞）內(nèi)的一切值，不能按一定次序一一列舉出來，所以它不是一個離散型隨機(jī)變量。要掌握一個離散型隨機(jī)變量統(tǒng)計規(guī)律，必須知道ξ的所有取值及ξ取一個可能值的概率。隨機(jī)變量的概率分布幾種離散型隨機(jī)變量的分布【例4.18】隨機(jī)變量的概率分布幾種離散型隨機(jī)變量的分布【例4.18】連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度隨機(jī)變量的概率分布有的隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值。由連續(xù)型隨機(jī)變量的定義及概率的性質(zhì)可以推得，連續(xù)型隨機(jī)變量ξ取某一實數(shù)值的概率為零。隨機(jī)變量的概率分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布規(guī)律集中體現(xiàn)在分布上，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布規(guī)律性集中體現(xiàn)在密度函數(shù)上。正態(tài)分布：最常見也是最重要的一種分布，在自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象中很多隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布。如果固定σ改變μ，則正態(tài)分布曲線沿著x軸平移而不改變狀態(tài)，可見曲線的位置完全由參數(shù)μ所決定。σ決定了曲線的形狀，刻畫了正態(tài)隨機(jī)變量取值的分散程度，σ越小時，取值越集中，σ越大時，取值越分散。隨機(jī)變量的概率分布04隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的概率分布比較完整地描述了隨機(jī)變量的分布規(guī)律。在實際問題中，確定一個隨機(jī)變量的概率分布常常是比較困難的，在某些情況下，并不需要完全確定它的分布，而只要了解它的一些統(tǒng)計特征即可。隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的統(tǒng)計特征可以概括地反映出隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律，這些統(tǒng)計特征常用數(shù)字描述，所以又叫隨機(jī)變量的數(shù)字特征。隨機(jī)變量的數(shù)字特征中最重要和最常用的是數(shù)學(xué)期望和方差。隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望【例4.29】隨機(jī)變量的數(shù)字特征【例4.31】隨機(jī)變量的數(shù)字特征【例4.32】隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)【例4.35】隨機(jī)變量的數(shù)字特征【例4.36】隨機(jī)變量的數(shù)字特征【例4.37】方差隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，提供了對兩個不同隨機(jī)變量平均狀態(tài)進(jìn)行比較的標(biāo)準(zhǔn)。那么，當(dāng)兩個隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值相同時，能否就說這兩個隨機(jī)變量一樣呢？這與隨機(jī)變量在其均值附近是如何變化的，其分散程度如何有關(guān)。隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征方差的概念【例4.39】隨機(jī)變量的數(shù)字特征幾種重要隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差為了便于應(yīng)用，將幾種重要分布的數(shù)字特征列表，見表4-1。隨機(jī)變量的數(shù)字特征幾種重要隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差為了便于應(yīng)用，將幾種重要分布的數(shù)字特征列表，見表4-1。05數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事歐拉———雙目失明的數(shù)學(xué)英雄萊昂哈德·保羅·歐拉（LeonhardPaulEuler，1707—1783）是一位瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一，他一生大部分時間在俄國和普魯士度過。歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，他一生共寫下了886本書籍和論文，其中在世時發(fā)表了700多篇論文。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，整整用了47年。在他雙目失明后的17年間，也沒有停止對數(shù)學(xué)的研究，口述了好幾本書和400余篇的論文。數(shù)學(xué)家的故事歐拉對物理力學(xué)、天文學(xué)、彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)、音樂都有研究。有許多公式、定理、解法、函數(shù)、方程、常數(shù)等是以歐拉名字命名的。歐拉寫的數(shù)學(xué)教材在當(dāng)時一直被當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)教程。1707年出生在瑞士的巴塞爾（Basel）城，小時候他就特別喜歡數(shù)學(xué)，不滿10歲就開始自學(xué)《代數(shù)學(xué)》。13歲就進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書，這在當(dāng)時是個奇跡，曾轟動了數(shù)學(xué)界。歐拉還是數(shù)學(xué)符號發(fā)明者，他創(chuàng)設(shè)的許多數(shù)學(xué)符號。這本書連他的幾位老師都沒讀過，可小歐拉卻讀得津津有味，遇到不懂的地方，就用筆做個記號，事后再向別人請教。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事小歐拉是這所大學(xué)，也是整個瑞士大學(xué)校園里年齡最小的學(xué)生。在大學(xué)里得到當(dāng)時最有名的數(shù)學(xué)家微積分權(quán)威約翰·伯努利的精心指導(dǎo)，并逐漸與其建立了深厚的友誼。約翰·伯努利后來曾這樣稱贊青出于藍(lán)而勝于藍(lán)的學(xué)生：“我介紹高等分析時，它還是個孩子，而你將它帶大成人。數(shù)學(xué)家的故事兩年后的夏天，歐拉獲得巴塞爾大學(xué)的學(xué)士學(xué)位，次年，歐拉又獲得巴塞爾大學(xué)的哲學(xué)碩士學(xué)位。歐拉的父親保羅·歐拉（PaulEuler）也是一個數(shù)學(xué)家，原希望小歐拉學(xué)神學(xué)，同時教他一點數(shù)學(xué)。由于小歐拉的才能和異常勤奮的精神，又受到約翰·伯努利的賞識和特殊指導(dǎo)，當(dāng)他在19歲時寫了一篇關(guān)于船桅的論文，獲得巴黎科學(xué)院的獎金后，他的父親就不再反對他攻讀數(shù)學(xué)了。1725年約翰·伯努利的兒子丹尼爾·伯努利赴俄國，并向沙皇喀德林一世推薦了歐拉，這樣，在1727年5月17日歐拉來到了彼得堡。數(shù)學(xué)家的故事1733年，年僅26歲的歐拉擔(dān)任了彼得堡科學(xué)院數(shù)學(xué)教授。然而過度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，這時他才28歲。1735年，歐拉解決了一個天文學(xué)的難題（計算彗星軌道），這個問題經(jīng)幾個著名數(shù)學(xué)家?guī)讉€月的努力才得到解決，而歐拉卻用自己發(fā)明的方法，三天便完成了。數(shù)學(xué)家的故事1741年歐拉應(yīng)普魯士彼德烈大帝的邀請，到柏林擔(dān)任科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長，直到1766年。后來在沙皇喀德林二世的誠懇敦聘下重回彼得堡，不料沒有多久，左眼視力衰退，最后完全失明。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事不幸的事情接踵而來，1771年彼得堡的大火災(zāi)殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中，雖然他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了。沉重的打擊，仍然沒有使歐拉倒下，他發(fā)誓要把損失奪回來。數(shù)學(xué)家的故事在他完全失明之前，還能朦朧地看見東西，他抓緊這最后的時刻，在一塊大黑板上疾書他發(fā)現(xiàn)的公式，然后口述其內(nèi)容，由他的學(xué)生特別是大兒子A·歐拉（數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家）筆錄。歐拉完全失明以后，仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進(jìn)行研究，直到逝世，竟達(dá)17年之久。他那頑強的毅力和孜孜不倦的治學(xué)精神，使他在雙目失明以后，也沒有停止對數(shù)學(xué)的研究。19世紀(jì)偉大數(shù)學(xué)家高斯曾說：“研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的最好方法。”歐拉著作的驚人多產(chǎn)并不是偶然的，他可以在任何不良的環(huán)境中工作，他常常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧孩子在旁邊喧嘩。在失明后的17年間，他還口述了幾本書和400篇左右的論文。數(shù)學(xué)家的故事感謝觀看線性規(guī)劃初步第五章經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課規(guī)劃教材01線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)活動中常常要考慮兩類問題，一類是目標(biāo)任務(wù)確定后，如何統(tǒng)籌安排，用最少的人力、物力去完成任務(wù)。另一類是對現(xiàn)有的人力、物力如何進(jìn)行合理分配，使經(jīng)濟(jì)效益最大。例如，最優(yōu)運輸問題、生產(chǎn)組織與計劃問題、合理下料問題等。線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型一般地，在滿足某些約定條件下，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極大（?。┲档膯栴}稱為數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。如果目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的，則稱為線性規(guī)劃。線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型運輸問題的數(shù)學(xué)模型【例5.1】線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型生產(chǎn)組織與計劃問題【例5.2】線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型生產(chǎn)組織與計劃問題【例5.2】線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型合理下料問題【例5.3】線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型合理下料問題【例5.3】線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型合理下料問題【例5.3】線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型滿足以上三個條件的數(shù)學(xué)問題模型稱為線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，其一般形式為：對于一個線性規(guī)劃問題，全部決策變量都滿足所有約束條件的一組數(shù)值稱為該線性規(guī)劃問題的一個可行解。全體可行解的集合稱為該線性規(guī)劃問題的可行解集（或可行解域）。使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值的可行解稱為最優(yōu)解。一個線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型問題可能沒有最優(yōu)解，也可能有有限個或無窮多個最優(yōu)解。線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型02線性規(guī)劃問題的圖解法線性規(guī)劃問題的圖解法圖解法【例5.4】線性規(guī)劃問題的圖解法圖解法的求解步驟【例5.5】線性規(guī)劃問題的圖解法【例5.6】線性規(guī)劃問題的圖解法重要結(jié)論【例5.7】線性規(guī)劃問題的圖解法【例5.8】線性規(guī)劃問題的圖解法當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與可行解域有唯一的公共點時，則線性規(guī)劃問題有唯一最優(yōu)解；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與可行解域有無數(shù)個公共點時，則線性規(guī)劃問題有無窮多個最優(yōu)解（或者有可行解但無最優(yōu)解）；線性規(guī)劃問題的圖解法當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與可行解域沒有公共點時，則線性規(guī)劃問題沒有最優(yōu)解。線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解如果存在，必然在可行解域的某一個“頂點”處或某一條“邊”上取得。當(dāng)公共點在可行解域的上方時，能使目標(biāo)函數(shù)s=c1x1+c2x2取得最大值。當(dāng)公共點在可行解域的下方時，能使目標(biāo)函數(shù)